边连通度
强乘积图的限制边连通度
和（ ２Ｙ ） 邻 当且 仅 当 ｚ — 且 ． ２ 者 １ ２ ｚ ， ２相 １ ２ ｙ ＥＥ 或 一 且 ｌ ∈Ｅ ． ２
定义 ２ 设 Ｇｌ ＶｌＥ ） Ｇ２ ， ） 两个无 向图 ， 中 Ｖ 一｛ ｌｚ ， ， ｝Ｖ 一｛ １Ｙ ， ， ｝ 一（ ， １ 和 （ Ｅ２为 ２ 其 １ ｚ ，２ … ｚ ， ２ Ｙ ，２… ．
图 的 限 制 边 连 通 度 的 一 个 上 界 ， 确 定 一 类特 殊 强 乘 积 图 的 限 制 边 连 通 度 ． 并
［ 键 词 ］ 强 乘 积 图 ； 制 边 连 通 度 ； 连 通 度 关 限 边
（ 章 编 号 ］ １ ７２ ２ ７（ ０１ ０ ０ ０ ０ ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ７ ６ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ０２ ２ ０） ３ ０ ３ — ３ 中 ５ ． 文
引理 １ 设 Ｇ 和 Ｇ 是两个 连通 图 ， ｚ 阶分 别 为 ， ， 且 ≥ ２ ， ≥ ２ Ｆ一［ Ｘ］ Ｇ ， ｚ ， Ｘ， 是 的一 个最 小 边 割 ，Ｆ『 。则 ［ ×ｘ， ×ｘ］ Ｇ 因Ｇ 『 一 ， Ｖ。 Ｖｚ 是 ：的一 个边 割 ， 所含边 数为 （ 十２ Ｅ ｆ． 其 。） Ｊ 证 明 设 Ｇ＝Ｇ ［ ｚ ３ 是 Ｆ—Ｅ ］ ＮＧ ， ２ ： ｘ， 中任一 条边 ， 中 ＥＸ， ∈ ． 任意 Ｙ ，ｚ ， ∈Ｘ 其 。 对 ＥＶ。 （ 。 ） ×Ｖ ，ｘ ， ∈ｘ×Ｖ２且 （ ）ｚ ， ） Ｇ 因Ｇ ２ （２ ） ， ｚ ， （ｚ． 是 ｙ ｚ的一条边 ． 因此 ， ， （ ． ∈［ ×Ｘ， （ ） － ， ） 。 １ ｚ ｙ Ｖ ×ｘ］ 对 任 ． 意 Ｙ ２ ２ （ ｌ ） １ ， ） Ｅ ，ｘ ， （ ｌ ｘ Ｅ １ ｚ ２ Ｅ Ｘ×Ｖ２ （ ２ １ （ ， ） ，ｚ ， ） ２ ２ ＥＸ×Ｖ２ 且 （ １ ） ｚ ， ） （ ２ １ （ ， ２ 都 ， ｚ ， （１ １ ２ 和 － ， ） ２ Ｙ ） ｚ 是 Ｇ 因 的边 ， 因此 Ｊ ｘＸ， ２ ［ Ｖ ｘｘＪ ≤ （ 十２ Ｅ（ ２ Ｊ 』 』 Ｇ ）．
三阶限制边连通度的优化问题
三阶限制边连通度的优化问题设G=（V，E）是无向简单连通图，S（?）E是G的一个边割，如果G-S的每个连通分支至少有k个顶点，则称S是G的一个k阶限制边割。
若G的k阶限制边割存在，则把G的最小k阶限制边割所含的边数称为G的k阶限制边连通度。
k阶限制边连通度作为边连通度的推广，是计算机互连网络可靠性的一个重要度量。
k阶极大限制边连通性是比k阶限制边连通度更精确的一个网络可靠性指标。
一个图G是k阶极大限制边连通的，如果它的k阶限制边连通度等于它的k阶限制最小度，即λ<sub>k</sub>（G）=ξ<sub>k</sub>（G）。
本文主要研究了k阶限制边割的存在性和几类情形下图的3阶极大限制边连通性。
在第一章第一节我们给出本文将用到的图论方面的主要的术语、记号。
在第二节我们介绍了限制边连通度方面的基本概念和基本结论。
本文第二章研究了直径为2的图的k阶限制边割存在的一个充分条件，并证明一类特殊的图-完全图的k阶限制边割是存在的。
图的3阶极大限制边连通性在网络可靠性分析中有重要作用。
在本文的第三章中，我们先给出了后文将要用到的几个简单事实，并简略总结了直径为2的图的连通性方面的已有结论。
在第二节，直径为2的图是3阶极大限制边连通的几个充分条件被给出，具体是：（1）设G是一个λ<sub>3</sub>-连通图，且对于G中的任意两个不相邻顶点u和v，有|N（u）∩N（v）|≥4，且若u，v都在三角形中，有|N（u）∩N（v）|≥5，则G是三阶极大限制边连通的。
（2）设G是一个λ<sub>3</sub>-连通图，且对于G中的任意两个不相邻顶点u和v，若|N（u）∩N（v）|≥4，且G[N（u）∩N（v）]包含至少四条边，那么G是三阶极大限制边连通的。
（3）设G是一个λ<sub>3</sub>-连通图，满足ν≥38。
第3章 连通度问题
推论3.2.1 当ν ≥ 3时，图G为2-连通的⇔G的任 连通的⇔ 的任 推论 时 为 连通的 二顶点共圈。 二顶点共圈。
证明：由定理3.2 ，显然。
称边e被剖分 ⇔ 用连接e的两端点的长2为 的新路去替换e。 容易验证，当ν ≥ 3时，块的一些边被剖分后 仍然保持是块。
推论3.2.2 设ν ≥ 3，则G为块 ⇔ G连通且其任 推论 ， 为块 连通且其任 二边共圈。 二边共圈。
称G中极大不含割点的连通子图为G的块。 当一个图G有割点时，我们可沿G的割点将G 逐步划分为一些G的块。因此一个图是它的 块的边不重并。例如
划分 ⇒ G的块
图G
性质
(1) G的两个块之间至多有一公共顶点，它一定是G 的割点。 (2) G的任一割点至少是G的两个块的公共顶点。 (3) 含割点的连通图G中，至少有两个G的块每个恰 含G的一个割点，称之为endblock。 (4) G是它的块的边不重并。 (5)* 任一图 G中，易证，边之间的共圈关系是边集 合上的一个等价关系。它将E(G)划分为一些等价类 (E1 ,E2 ,...,Eq )，而每个 G[Ei ]都是G的块（其中q为 G的块数）。
图的连通度问题
图的连通度问题研究1．图的连通度的定义图要么是连通的，要么是不连通的。
但对于任意连通图来说，它们的连通程度也可能是不同的。
为了精确地体现连通的程度，下面将引入两个概念：边连通度和顶点连通度。
设G = (V, E)是一个n阶图。
如果G是完全图K n，那么我们定义它的顶点连通度为κ(K n) = n– 1否则，定义它的顶点连通度为κ(G) = min{|U| : G v-u是非连通的}即最小顶点数，删除这些顶点便是非连通图。
图G的边连通度定义为从图G中删除边而使G非连通的最小边数，用λ(G)表示。
这里的图G=(V, E)代表无向图或有向图，且没有自环和重边。
下面将主要讨论无向图的边连通度，有向图的边连通度和顶点连通图可以以此类推。
2．无向图的边连通度在无向图G中，令顶点v的度数deg(v)表示与顶点v相连的边的数目。
无向图G的最小度δ(G)定义为：δ(G) = min{deg(v) | v属于G}。
考虑有向图G中，v 的入度表示为in-deg(v)，v的出度表示为out-deg(v)，相应的最小度为：δ(G) = min{in-deg(v), out-deg(v)| v属于G}。
在整篇文章中，图的点数用n表示，边数用m表示。
另u和v表示图G中的一对不相同的点。
定义λ(u, v)表示从图G中删除最少的边，使得u和v之间不存在任何路径。
在有向图G中，λ(u, v)表示从G中删除最少的弧(有向边)，使得不存在任何从u到v的有向路径。
注意到，在无向图中，有λ(u, v) =λ(v, u)，在有向图中却不符合这个等式。
显然，λ(u, v)就是图中u和v的最小割。
求两点之间的最小割，根据最大流最小割定理，可以用最大流算法求解：令u为网络的源点，v为网络的汇点，每条边的容量为1，u到v的最大流便是u和v之间的最小割。
预流推进算法可以在O(nm)时间复杂度下求出最大流。
另外，每条边的容量都为1，可以用Hoproft算法在)O的时间复杂度下求出单位容量网络的最大流。
超图的限制边连通度与最优限制边连通
2020年12月Dec., 2020运筹学学报O p e r a t i o n s R e s e a r c h T r a n s a c t i o n s第24卷第4期V o l.24N o.4D O I:10.15960/j.c n k i.i s s n.l007-6093.2020.04.013超图的限制边连通度与最优限制边连通*童林肯*1单而芳2，t摘要设W == (V，E)是顶点集为V，超边集为£的连通超图。
对//的边子集S，若\ 5不连通而且不含孤立点，则称S是只的一个限制边割。
把i f中最小限制边割的基数称为//的限制边连通度，记为对边e，其边度是指在好中与e相交的超边的数目，//中最小边度记为$(孖)。
如果丑）=■?(//)，那么称超图孖是最优限制边连通的，简记为A'-最优。
研宄超图丑的限制边连通度和A'-最优，推广了图上关于限制边连通度和A'-最优的一些结论。
关键词超图，限制边连通度，最优限制边连通性中图分类号02212010数学分类号05C40T h e r e stric te d e d g e-co n n ectiv ity and A^optim alityo f hypergraphs*T O N G Linken1SH AN Erfang2^Abstract L e t H = (V,E)b e a c o n n e c t e d h y p e r g r a p h c onsisting of a v e r t e x set Va n d a n e d g e set E.F o r5 C£■(//), 5 is a restricted e d g e-c u t,if // \ 5 is d i s c o n n e c t e da n d t h e r e a r e n o isolated vertices in H\ S.T h e restricted e d g e-connectivity, d e n o t e db y(H)^ is d e f i n e d a s t h e m i n i m u m cardinality o v e r all restricted edge-cuts. T h e e d g e-d e g r e e dn(e) of a n e d g e e G E(H) is defined as t h e n u m b e r o f e d g e s a d j a c e n t to e, a n d t h em i n i m u m e d g e-d e g r e e o f H is d e n o t e d b y^(H).T h e h y p e r g r a p h H is called A^o p t i m a l,if 入’（//) =《(//). I n this p a p e r,w e c o n s i d e r t h e restricted e d g e-c o n n e c t i v i t y a n d入o p t i m a l i t y o f h y p e r g r a p h s a n d generalize s o m e results o n t h e restricted e d g e-c o n n e c t i v i t ya n d A^o p t i m a l i t y o f g r a p h s to h y p e r g r a p h s.Keywords h y p e r g r a p h, restricted e d g e-c o n n e c t i v i t y,入’-o p t i m a lChinese Library ClassificationO 157.52010M athem atics Subject Classification 05C40对于连通图G，它的边连通度定义为所有边割中的最小边数。
边连通度 多项式算法
边连通度多项式算法边连通度多项式算法边连通度是图论中一个重要的概念，用来描述图中边的连通性。
在某些应用中，我们需要知道图的边连通度，以便做出相应的决策或优化。
边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。
边连通度多项式算法基于图的边连通性，将其转化为一个多项式的问题。
具体的算法步骤如下：1. 输入：给定一个无向图G，其中包含n个顶点和m条边。
2. 初始化：设F(x)为边连通度多项式，初始值为1。
设E(x)为边多项式，初始值为x。
3. 迭代计算：从1到n的顶点依次进行以下操作：a. 对于当前的顶点v，计算它的度数d(v)，即与v相关联的边的数目。
b. 更新边多项式E(x)为E(x) * (x - d(v))。
c. 更新边连通度多项式F(x)为F(x) * E(x)。
4. 输出：边连通度多项式F(x)。
边连通度多项式算法的关键在于将边连通性转化为多项式的形式，并通过迭代计算来求解。
算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别为图的顶点数和边数。
边连通度多项式算法的应用非常广泛。
例如，在网络设计中，我们希望设计一个具有较高边连通度的网络，以提高网络的可靠性和稳定性。
通过计算边连通度多项式，我们可以评估不同网络拓扑结构的边连通度，并选择最优的拓扑结构。
在社交网络分析中，边连通度多项式算法可以用于评估社交网络中人与人之间的关系强度。
通过计算边连通度多项式，我们可以得到不同人之间的关系强度分布，从而帮助我们了解社交网络的结构和演化规律。
边连通度多项式算法还可以应用于电路设计、交通网络规划等领域。
在这些领域中，我们需要考虑边的连通性，以便优化设计或规划方案。
通过计算边连通度多项式，我们可以得到不同方案的边连通度，并选择最优的方案。
边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。
它将边连通性转化为多项式的形式，并通过迭代计算来求解。
该算法在网络设计、社交网络分析、电路设计等领域有着广泛的应用。
彼得松图的点连通度和边连通度
彼得松图的点连通度和边连通度
彼得松图是一种被广泛应用于多种用途的数据结构，它的点连通度和边连通度也拥有其独特性。
首先，彼得松图的点连通度是指图中任意两个顶点之间的链接性能，高点连通度意味着任意两个节点都是互通的，可以彼此联系，这个联系有可能是距离非常近的，也有可能跨越很多中间节点，总之，任意两点可以相互联系。
当然，这并不是说点连通度越高越好，比如对欧拉网而言，它具有很高的点连通度（每个顶点可以用一条边与另一个顶点相连），但它的边连通难以实现，因此，彼得松图可以解决这一问题，既满足了高点连通度，又保持了较高的边连通度。
此外，彼得松图的边连通度是指图中任意两个边之间的实现性能，也就是说任意两边都可以被链接起来，当边连通度较高的时候，网络的容量将大大提高，并且由于节点数量较少，因此整个网络负载会减轻，有效避免了多重路由的出现，以及在一定的范围内服务的一致性得到了改善，这对于用户友好性和服务质量的提高是非常重要的。
总而言之，彼得松图的点连通度和边连通度给网络行业带来了极大的便利，它更合理地组织数据，改善了整体的负载性能，提升了服务质量，不仅仅满足了用户的需求，而且也为网络的发展和运营者的利益提供了有益的补充。
图的点连通度边连通度总结
图的点连通度边连通度总结点连通度的定义：一个具有N个点的图G中，在去掉任意k-1个顶点后（1<=k<=N）,所得的子图仍然连通，去掉K个顶点后不连通，则称G是K连通图，K称作图G的连通度，记作K（G）。
独立轨：A，B是图G（有向无向均可）的两个顶点，我们称为从A到B的两两无公共内顶点的轨为独立轨，其最大的条数记作p(A,B)。
在上图中有一个具有7个定点的连通图，从顶点1到顶点3有3条独立轨，即p(1,3)=3; 1—2—3 , 1—7—3 , 1—6—5—4—3如果分别从这3条独立轨中，每条轨抽出一个内点，在G图中删掉，则图不连通。
若连通图G的两两不相邻顶点间的最大独立轨数最小的P（A，B）值即为K（G）。
若G为完全图（两两点可达），则K（G）=n-1，即完全把某个点的所有边删掉后才不连通。
既然独立轨是只能经过一次的边，那么可以构造网络流模型，其中每条边的容量为1，就可以限制只经过一次。
构建网络流模型：若G为无向图：（1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条弧容量为1；（2）原图G中的每条边e=UV，在N网中有两条弧e`=U``V`,e``=V``U`与之对应，e`与e``容量均为无穷；（3）以A``为源点，B`为汇点，求最大流。
若G为有向图（1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条容量为1的弧；（2）原G图中的每条弧e=UV变成一条有向轨U`U``V`V``,其中轨上的弧U``V`的容量为无穷；（3）以A``为源点，B`为汇点求最大流。
上面的模型只是求出了以A为源点B为汇点的最大流max_flow，等价于在G中只要去掉max_flow个点就会使得A与B不连通。
而图的连通度是要求去掉最少的点使得整个图不连通，做法是固定一个点为源点，枚举与源点不相邻的点为汇点，求最大流。
在所有的枚举结果中最小的max_flow值就是要求的K(G).注意如果某次枚举的汇点求出的最大流为无穷则说明此此枚举的源点与汇点是强连通的。
网络流的应用—图的顶点连通度和边连通度
4. 一个连通图的生成树：是连通图的一个极小连通子图，这 里的极小是指边数极小，即含有图G的全部顶点，但只有 足以构成一棵树的n-1条边。如下图也有n-1条边，但不构 成一个生成树。
V2 V1 V3 V4
V5
V6 V8
3
V7
V9
V10
图的顶点连通度 1. 定义1：设图G的顶点数为N，去掉G的任意k-1个顶点(及 相关联的边)后(1≤k≤N)，所得到的子图仍然连通，而去 掉某k个顶点(及所关联的边)后的子图不连通，则称G是k 连通图，k称作图G的顶点连通度，记做k(G)。 2. 定义2：设V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’ 及与V’相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。最 小割顶集中顶点的个数，称作图G的顶点连通度，记做 k(G)。
直至所有不相邻顶点对分析完为止，即可求出图的顶点连通 度k’(G)和最小桥集了。
k(G)和k’(G)的关系
k(G)≤k’(G)≤δ(G) （δ(G)为图G中顶点的最小度数）
V2 V1 V5 V6 V3 V4
V7
V8
V9
V10
特殊情况
1. k(完全图)＝顶点数－1 2. k(不连通图)＝0 3. k(平凡图)＝0 平凡图：只有一个顶点的图
应该怎样求顶点连通度？
方法一
考虑任意删除1个顶点(及所关联的边) ，剩下 的子图的连通性 考虑任意删除2个顶点(及所关联的边) ，剩下 的子图的连通性 ……
3. 流出A的一切弧的容量和，即为P’(A,B)，流出A的流量为 1的弧(Vi,Vj)组成了一个桥集。在图G中删除对应的边，则 A和B不连通了。
求边连通度的算法
设k’(G)的初始值为∞
1. 分析图G中的每一对不相邻顶点，则求出P’(A,B)以及对 应的桥集；
图的四阶边连通度的存在性
２ ０ Ｓ ｉＴｅ ． ｎ￣ ． ０ ７ ｅ． ｅｈ Ｅ ｇ ｇ ｎ
琴
甾
蕤 甏 论 文
数 学
图 的 四阶 边 连 通 度 的存 在 性
霍 关霞 高敬振
（ 山东 师范大学数学科学学 院， 济南 ２ ０ １ ） ５ ０ ４
摘
要
设 Ｆ是图 Ｇ的一个边 子集， ＧＦ不连 通且它 的每个连通分 支至少有 ４个顶点 ， 若 － 则称 Ｆ是 Ｇ的一个 ４阶边 割。若 Ｇ
由引 理 １立刻 得 到 ：
引理 ２ Ｇ是 阶 至 少 为 ８的 连 通 图 ， Ａ （ 则 Ｇ）
的限制 连通 度 Ａ （ ） Ｇ 。它 的 网络 的可靠性 比较 中是
一
个新 的重 要 参 数 。在 文 献 ［ ２］中ｌ ｓ ｈｎａ ， ｆ ａｉ Ｅａ ｎ和 且 至少 有 ４个 顶点 ， Ａ （ ） 在 。 则 ：Ｇ 存
有 长度 至少 是 ｈ＋１的 圈 ， Ａ （ 存在 。 则 Ｇ）
由引理 ３立 刻得 到 ： 引理 ４ Ｇ是 阶至 少 为 ８的连 通 图 ， 果 含 有 如
很 多成果。在文献［ ］ 王应前 和李乔刻 画了三 ３ 中，
２ｏ ０ ７年 ３月 ２ 日收 到 ３
长 度 至少是 ５的圈 ， Ａ （ ） 在 。 则 Ｇ存
在的。
定 义 １ １ 设 ｈ是 一 个 正 整 数且 ２ ≤， 给定 ［ ｈ ｌ 。 Ｇ的一 个边子 集 Ｓ 若 Ｇ Ｓ不 连通 ， 称 Ｓ为 Ｇ的一 ， ． 则
个 边割 。若 ＧＳ的每 个 连 通分 支 至少 有 ＾个 顶 点 ， －
则称 ．是 Ｇ的一 个 ｈ阶边 割 。若 Ｇ有 ｈ阶边 割 ， ｓ 把
存在 当且 仅 当 Ｇ有 两 个 阶 至 少 为 ４的点 不 交 的 连
点割集、边割集、割点、桥、连通度、双连通分支
对于一个无向图G：
定义一：删除一个点v是指删除点v以及所有与点v关联的边。
定义二：删除一条边e是指删除这条边，但是保留e的两个顶点。
点割集：V是一些顶点的集合，如果删除V中的所有顶点之后，G不在连通，但是对于V的任何真子集V1，删除V1后G仍然连通，则称V是点割集。
割点：如果点割集里只有一个顶点，那么这个顶点叫做割点。
点连通度：最小的点割集的大小。
边割集：E是一些边的集合，如果删除E里的所有边之后G不在连通，但是对于E的任何真子集E1,删除E1之后G仍然连通，则称E是边割集。
桥：如果边割集里只有一条边，该边称为桥。
边连通度：最小的边割集的大小。
双连通：如果一个图没有割点，那么这个图称为2-连通的，或者双连通的。
一个图的极大双连通子图称为双连通分量。
注意是极大而不是最大，即意味双连通子图不一定只有一个。
ppt11 连通度的概念与性质
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理4 设G是(n, m)单图，若对任意正整数k ,有：
(G) n k 2
2
则G是k连通的。
证明：任意删去k-1个顶点，记所得之图为H，则：
(H ) (G) (k 1) n k 2 k 1 n k
2
2
由于δ(H)是整数，故：
(H
值得一提的是，惠特尼创立了微分流形的拓扑学。在该 领域，我国吴文俊等许多拓扑学家做出了贡献 。
定理2 设G是(n, m)连通图，则：
k
(G
)
2m n
证明：由握手定理： 2m d (v) n (G) nk(G) vV (G ) 12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
例如：
v2
v5
v1
v3
G1
v4
v1 v6
v3
G1的边连通度λ(G1)=1 G2的边连通度为λ (G2)=3 G3的边连通度为λ (G3)=0
v2
v4 G2
G3
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义4 在G中，若k (G)≧ k, 称G是k连通的；若λ(G)≧k，称 G是k边连通的。
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
作H5,9
8 7 6
5 4
0 1 2
3
定理3
设G是(n, m)单图，若
(G )
n 2
，则G连通。
证明：若G不连通，则G至少有两个连通分支，于是，至
三阶限制边连通度的优化问题的开题报告
三阶限制边连通度的优化问题的开题报告1. 研究背景和意义连通度是图论中一个重要的概念，因为它可以衡量一个图中边的重要性。
连通度高的图更加稳定，因为删除任意一个顶点都不会影响整个图的连通性。
因此，研究如何提高图的连通度是计算机科学领域中一个重要的研究方向。
三阶限制边连通度是一种特殊的连通性问题。
它要求对于任意三个不同的顶点，这三个顶点之间至少存在一条路径且这条路径上的边数不能超过限制值k。
因此，在解决三阶限制边连通度的问题时，需要考虑如何保证连通性同时限制路径长度，并且需要寻找一种有效的算法来解决该问题。
2. 研究现状针对三阶限制边连通度问题的研究已经得到了一些成果。
其中一些算法是根据随机化策略提出的。
例如，王建华等人提出了一种随机化算法，通过利用随机化的方法采样图的子图并计算其连通度来寻找最优解。
该算法是一种贪心算法，能够在较短时间内找到较好的解。
除了基于随机化的算法之外，还有一些基于数学理论的算法。
例如，林元坤等人提出了一种基于矩阵理论的算法，利用特殊的矩阵结构来寻找三阶限制边连通度问题的解。
该算法虽然速度比较快，但需要先将图转化为矩阵形式，计算过程比较繁琐。
3. 研究内容和方法本文将研究三阶限制边连通度问题的优化方法。
本文的方法将基于贪心算法和动态规划算法。
贪心算法是一种常用的算法，可以用于寻找最优解。
动态规划算法则是一种优化算法，可以通过将问题分解为子问题来提高算法效率。
在本文中，我们将提出一种新的算法，该算法将综合运用贪心和动态规划思想，通过动态规划的方式来优化贪心选择的边。
具体来说，我们将首先通过贪心算法选择一组边，然后利用动态规划来计算这组边的贡献值，并根据贡献值对边集进行排序，最后选择对总贡献值最大的边集。
我们将在实验中测试该算法，以验证其有效性和效率。
4. 预期成果我们期望通过本文的研究，提出一种有效的算法来解决三阶限制边连通度问题。
该算法将综合运用贪心和动态规划思想，具有较高的解决效率和优化能力。
离散数学点连通度和边连通度
离散数学点连通度和边连通度
离散数学中的图是由一组点和边组成的数学模型。
点连通度和边连通度是衡量图连通性强度的两个重要指标。
点连通度是指在一个无向图中，如果删除一个点后，图仍然保持连通，那么该图的点连通度就是该点对应的连通块数，即该点的连通度。
如果该图不连通，则定义该图的点连通度为0。
边连通度是指在一个无向图中，如果删除一条边后，图仍然保持连通，那么该图的边连通度就是该边对应的最小割。
最小割是指在图中找到一条边，将图分成两部分，使得两部分之间的边权和最小。
如果该图不连通，则定义该图的边连通度为0。
需要注意的是，在有向图中，点连通度和边连通度的定义略有不同。
点连通度是指从该点开始，能够到达所有其他点的强连通分量的个数。
边连通度是指在有向图中，如果删除一条边后，图仍然保持强连通，那么该图的边连通度就是该边对应的最小割。
点连通度和边连通度是图论中非常重要的概念，它们可以用来研究网络的鲁棒性和稳定性，也可以用来优化网络的设计和运行。
中间P_2-图的边连通性
中间P_2-图的边连通性
图论中边连通度是用来研究网络可靠性的一个参数,它能比较准确的刻画小规模网络的容错性,其相关结论是研究互联网的拓扑结构的有利工具.为了更好的研究图的边连通度,1932年Whitney[1]提出了线图的概念.关于线图已有很多好的结论.后来,Broersmn和Hoede [2]把线图推广,提出了路图的概念.图G的Pk-路图Pk(G)其顶点集是G中所有k长路,其中两点相邻当且仅当在G中它们公共部分是k-1长路且它们的并是k+1长路或圈.显然,k=1时,P1(G)就是图G的线图.图G的中间图M(G)的定义为[15]：顶点集是V(G)∪E(G),其中两点x与y相邻当且仅当{x,y)n E(G)≠φ且x,y在G中相邻或关联.本文中,我们把中间图M(G)的概念推广,给出中间Pk-图Mk(G)的概念.图G的中间Pk-图Mk(G)的定义为：顶点集是V(G)∪V,(Pk(G)),边集是E(Pk(G))∪Ek,其中Ek={(v,p):p∈V(Pk(G)),v 是p的一个端点.}由上面定义,我们有：k=1时,M1(G)=M(G),k=2时,M2(G)=(V(G)∪V{P2(G),E(P2(G))∪E2).如果图G中含有一个包含所有边的闭迹,称图G是欧拉图.所有顶点度数是偶数的图称为偶图；所有顶点度数是奇数的图称为奇图.本文主要证明了：(1)顶点数|V(G)|≥3的连通图G,若6(G)≥2,则P2(G)连
通,M2(G)连通,且入(M2(G))≥2.(2)设G是连通图,如果δ(G)≥3,则λ(M2(G))≥2δ(G).(3)设G是连通图,若G是欧拉图,则M2(G)也是欧拉图.(4)设G和M2(G)都是连通图,若M2(G)是欧拉图,则G是偶图或奇图.。
割点、割边和连通度
G 1
2
，则G是连通的。
17
边割集
• 边割集 (edge cut)
– S⊆E(G): w(G‐S)>1
注意：与教材、参考书的定义略有不同，做了简化！
• 极小边割集 (minimal edge cut)
– 边数极少（任何一个真子集都不再是边割集）
• 最小边割集 (minimum e cut)
– – 有不相邻顶点 ⇒ diam(G)≥2 任二不相邻顶点u和v ⇒ d(u)+d(v)≥ν(G)‐1 ⇒ u和v有公共邻点 ⇒ diam(G)≤2
⇒ diam(G)=2 ⇒ κ’(G)=δ(G)
26
κ’(G)=δ(G)的充分条件3
• G是简单图且 2 。 证明： 任二不相邻顶点u和v ⇒ d(u)+d(v)≥ν(G)‐1 ⇒ κ’(G)=δ(G)
•
k‐连通 (k‐connected)
– κ(G)≥k
v1 v4
v2 v5
v3
v1 v4
v3
v2 v5
v1 v3
v2 v4
14
• 2‐连通图
– 2‐连通图 – 2‐连通图
没有割点的连通图？
边连通度 多项式算法
边连通度多项式算法一、边连通度的概念边连通度是指一个图中任意两个顶点之间至少存在一条边的最小数量。
它是用来描述图的稳定性和连通性的一个重要指标。
边连通度越高，表示图的稳定性越好，反之则表示图的稳定性较差。
二、边连通度多项式算法的原理边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。
它基于图的邻接矩阵表示，通过变换矩阵的特征值来计算边连通度。
具体步骤如下：1. 将图的邻接矩阵表示出来，邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
2. 计算邻接矩阵的特征值，特征值是指矩阵满足某个特定方程的解。
特征值的计算可以通过特征值分解或者迭代法来实现。
3. 根据特征值的计算结果，得到边连通度的多项式表达式。
多项式的系数是特征值的函数，通过对特征值的求和和乘积来计算边连通度。
4. 根据多项式表达式，可以得到边连通度的具体值。
边连通度的值越高，表示图的稳定性越好。
三、边连通度多项式算法的应用边连通度多项式算法在图论中有广泛的应用。
它可以用来解决一些与图的连通性和稳定性相关的问题，例如：1. 网络通信：在计算机网络中，边连通度多项式算法可以用来评估网络的稳定性和可靠性。
通过计算网络中节点之间的边连通度，可以判断网络的传输性能和容错能力。
2. 社交网络：在社交网络中，边连通度多项式算法可以用来分析社交关系的稳定性和连通性。
通过计算社交网络中用户之间的边连通度，可以了解社交网络中信息传播的效率和可靠性。
3. 交通规划：在交通规划中，边连通度多项式算法可以用来评估道路网络的稳定性和连通性。
通过计算道路网络中道路之间的边连通度，可以优化交通路线规划和道路布局。
四、总结边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。
它可以通过计算图的邻接矩阵的特征值来得到边连通度的多项式表达式，并进一步计算图的边连通度。
边连通度多项式算法在图论中有广泛的应用，可以用来解决与图的连通性和稳定性相关的问题。
通过应用边连通度多项式算法，我们可以更好地理解和分析图的结构和特性，从而优化相关问题的解决方案。
第3章连通度(10.1)
则G 是 k 连通的。
nk 2 2
证明 任意删去G中k-1个点，记所得之图为H，则 δ(H)≥δ(G)-(k-1) ≥ 因δ(H)是整数, 故
(H )
n k n k 1 2 2
nk 2 2- k+1
=
nk 2
到 v 段，边 wv 以及P2 的 u 到 w 段共同构成一个圈C*
且u 与 v 均在 C* 上。
P1 x u C w P2 v Q
推论 设G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无孤立点且 任意两条边都在同一个圈上。 证明 设G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上。此时G 无环且任意两个点也在同一个圈上，由定理4知G是块。 反之，设G是块。任取G中两条边e1和e2。在e1和e2的边 上各插入一个新的顶点v1和v2，使e1和e2均成为两条边， 记这样得到的图为G′。显然G′是阶大于4的块，由定理4， G′中v1和v2位于同一个圈上，于是在G中e1和e2位于同一个 圈上。 定理5 点v是图G的割点当且仅当v至少属于G的两个不同 的块。
例 图G如图（a）所示，G的所有块如图（b）所示。
(a)
(b)
由定义3可推知：若e是图G的割边或e是一个环，则G[{e}] 是G的块；G的仅含一个点的块或是孤立点,或是环导出的 子图；至少两个点的块无环，至少三个点的块无割边。
定理4 设图G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无环并且 任意两点都位于同一个圈上。 证明 充分性 此时G显然连通。若G不是块，则G中存在 割点v，于是由定理4，V(G-v)可划分为两个非空顶点子 集V1与V2，使x∈V1，y∈V2，并且点v在每一条(x, y) 路 上。这表明x与y不可能位于同一个圈上, 这与假设矛盾, 所以G是块。 必要性 G无环是显然的。下证G中任意两点都位于同 一个圈上。我们对任意两点u和v的距离d(u,v)用归纳 法。
边连通度
一、实验目的：给定一个图(有向或无向)，求它的边连通度。
二、实验内容：1)题目：求5阶完全图的边连通度。
2)C语言代码：# include<stdio.h># define m -1# define n 5 /*已知图的点数*/void main(){int f[n+1][n+1],content[n+1][n+1],b1[n+1][n+1]; /*f表示流量，conten 表示弧上的容量，b1表示单位费用*/int kg[n+1][n+1];/*保存任意两点间最大的内部边不交的路的条数*/int c[n+1][n+1]={0};/*最小费用最大流中的w(f)*/int d[n+1]={0}; /*存放权*/int s[2*n+2]={0},s2[2*n+2]={0},s1[2*n+2]={0},r1;int i,j,k,p,l,flag,a ,u,cta,flag1,flag2,p1;int b,t; /*b,t分别代表路的起点和终点的角标*/for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++){kg[i][j]=0;}}for(b=1;b<=n;b++){for(t=b+1;t<=n;t++){for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++){f[i][j]=m; content[i][j]=m;b1[i][j]=m;}}for(i=1;i<=2*n;i++){s[i]=0;s2[i]=0;}for(i=1;i<n+1;i++)d[i]=0;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(i!=j){content[i][j]=1;b1[i][j]=1;f[i][j]=1; /*利用已知图构造网络*/}}}do{for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(content[i][j]==1 && i<j){if(f[i][j]<content[i][j])c[i][j]=b1[i][j];if(f[i][j]==content[i][j])c[i][j]=m;if(f[i][j]>0)c[j][i]=m;if(f[i][j]==0)c[j][i]=m;}if(content[i][j]==1 && i>j){if(f[i][j]<content[i][j])c[i][j]=b1[i][j];if(f[i][j]==content[i][j] ){if(c[i][j]!=b1[i][j])c[i][j]=m;if(c[i][j]==b1[i][j])c[i][j]=b1[i][j];}if (f[i][j]>0 || f[i][j]==0){if(c[j][i]!=b1[j][i])c[j][i]=m;if(c[j][i]==b1[j][i])c[j][i]=b1[j][i];}}}} /*利用当前流构造图w(f)*/for (i=1;i<n+1;i++)c[i][b]=m;p=0;for(i=1;i<=2*n;i++){s[i]=0;s2[i]=0;}for(i=1;i<n+1;i++)d[i]=0;s[1]=b;do{p=p+1;a=100;k=0;l=0;for (i=1;s[i]!=0;i=i+1){for (j=1;j<=n;j++){if (c[s[i]][j]>0 && d[s[i]]+c[s[i]][j]<a && j!=s[i]){a=c[s[i]][j]+d[s[i]];k=s[i]; l=j;}}}flag=0;d[l]=a;for(i=1;i<2*n+2;i++){if (s[i]!=0 && s[i+1]==0){if(i==1){s[i]=k;s[i+1]=l;i=2*n+2;}else{s[i+1]=k; s[i+2]=l; i=2*n+2;}}}for (i=1;i<n+1;i++)c[i][l]=m;c[k][l]=m;c[l][k]=m;for (i=1;s[i]!=0;i++){if(s[i]==t){flag=1;break;}}}while (flag==0 && p<=n+1);flag1=0;if (p>n+1 ){flag1=1; /*此时图不存在从Vb到Vt的最短路*/ }if (flag1==0) /*此时存在从Vb到Vt的最短路*/ {r1=1;for(i=2*n-1;i>=1;i--){if(s[i]>0)s1[r1++]=s[i];}for(i=1;s[i]!=0;i++)s[i]=0;for(i=1;s1[i]!=0;i++)s[i]=s1[i];u=1;for (i=1;s[i]>0; ){j=i; p=0;do{p++; flag2=0;if(s[j+2]>0 && s[i+1]==s[j+2]){s2[u]=s[i];s2[u+1]=s[i+1];u=u+2;flag2=1; j=j+2;}else if(u>2 && s2[u-1]==s[i] && s[i+1]==b){s2[u]=s[i];s2[u+1]=s[i+1];flag2=1;j=2*n+2;}elsej=j+2;}while(flag2==0 && p<n+1);i=j;}}for(i=1;i<2*n+2;i++)s[i]=0;r1=1;for(i=2*n+2-1;i>=1;i--){if(s2[i]>0)s[r1++]=s2[i];}for(i=1;s[i]!=0;i++)s2[i]=s[i];cta=100;for(i=1;s2[i]!=0;i=i+2){if(content[s2[i]][s2[i+1]]-f[s2[i]][s2[i+1]]<cta)cta=content[s2[i]][s2[i+1]]-f[s2[i]][s2[i+1]];}if(cta>0){for(i=1;s2[i]!=0;i=i+2){f[s2[i]][s2[i+1]]=f[s2[i]][s2[i+1]]+cta;}}}while(flag1==0); /*即一直存在最短路*/p1=0;for(i=1;i<=n;i++){if(content[b][i]==1 && f[b][i]>=0)p1=p1+f[b][i];}kg[b][t]=p1;}}cta=100;for(i=1;i<=n;i++){for(j=i+1;j<=n;j++){if(kg[i][j]>0 && kg[i][j]<cta )cta=kg[i][j];}}printf("The edge connectivity of the graph is %d\n",cta);printf("\n");getchar();}3)运行结果：三、使用环境四、调试过程五、总结。
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一、实验目的：给定一个图(有向或无向)，求它的边连通度。
二、实验内容：
1)题目：求5阶完全图的边连通度。
2)C语言代码：
# include<stdio.h>
# define m -1
# define n 5 /*已知图的点数*/
void main()
{
int f[n+1][n+1],content[n+1][n+1],b1[n+1][n+1]; /*f表示流量，conten 表示弧上的容量，b1表示单位费用*/
int kg[n+1][n+1];/*保存任意两点间最大的内部边不交的路的条数*/
int c[n+1][n+1]={0};/*最小费用最大流中的w(f)*/
int d[n+1]={0}; /*存放权*/
int s[2*n+2]={0},s2[2*n+2]={0},s1[2*n+2]={0},r1;
int i,j,k,p,l,flag,a ,u,cta,flag1,flag2,p1;
int b,t; /*b,t分别代表路的起点和终点的角标*/
for(i=0;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
{
kg[i][j]=0;
}
}
for(b=1;b<=n;b++)
{
for(t=b+1;t<=n;t++)
{
for(i=0;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
{
f[i][j]=m; content[i][j]=m;b1[i][j]=m;
}
}
for(i=1;i<=2*n;i++)
{
s[i]=0;s2[i]=0;
}
for(i=1;i<n+1;i++)
d[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i!=j)
{
content[i][j]=1;b1[i][j]=1;f[i][j]=1; /*利用已知图构造网络*/
}
}
}
do
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(content[i][j]==1 && i<j)
{
if(f[i][j]<content[i][j])
c[i][j]=b1[i][j];
if(f[i][j]==content[i][j])
c[i][j]=m;
if(f[i][j]>0)
c[j][i]=m;
if(f[i][j]==0)
c[j][i]=m;
}
if(content[i][j]==1 && i>j)
{
if(f[i][j]<content[i][j])
c[i][j]=b1[i][j];
if(f[i][j]==content[i][j] )
{
if(c[i][j]!=b1[i][j])
c[i][j]=m;
if(c[i][j]==b1[i][j])
c[i][j]=b1[i][j];
}
if (f[i][j]>0 || f[i][j]==0)
{
if(c[j][i]!=b1[j][i])
c[j][i]=m;
if(c[j][i]==b1[j][i])
c[j][i]=b1[j][i];
}
}
}
} /*利用当前流构造图w(f)*/
for (i=1;i<n+1;i++)
c[i][b]=m;
p=0;
for(i=1;i<=2*n;i++)
{
s[i]=0;s2[i]=0;
}
for(i=1;i<n+1;i++)
d[i]=0;
s[1]=b;
do
{
p=p+1;
a=100;k=0;l=0;
for (i=1;s[i]!=0;i=i+1)
{
for (j=1;j<=n;j++)
{
if (c[s[i]][j]>0 && d[s[i]]+c[s[i]][j]<a && j!=s[i])
{
a=c[s[i]][j]+d[s[i]];
k=s[i]; l=j;
}
}
}
flag=0;
d[l]=a;
for(i=1;i<2*n+2;i++)
{
if (s[i]!=0 && s[i+1]==0)
{
if(i==1)
{
s[i]=k;s[i+1]=l;i=2*n+2;
}
else
{
s[i+1]=k; s[i+2]=l; i=2*n+2;
}
}
}
for (i=1;i<n+1;i++)
c[i][l]=m;
c[k][l]=m;
c[l][k]=m;
for (i=1;s[i]!=0;i++)
{
if(s[i]==t)
{
flag=1;
break;
}
}
}while (flag==0 && p<=n+1);
flag1=0;
if (p>n+1 )
{
flag1=1; /*此时图不存在从Vb到Vt的最短路*/ }
if (flag1==0) /*此时存在从Vb到Vt的最短路*/ {
r1=1;
for(i=2*n-1;i>=1;i--)
{
if(s[i]>0)
s1[r1++]=s[i];
}
for(i=1;s[i]!=0;i++)
s[i]=0;
for(i=1;s1[i]!=0;i++)
s[i]=s1[i];
u=1;
for (i=1;s[i]>0; )
{
j=i; p=0;
do
{
p++; flag2=0;
if(s[j+2]>0 && s[i+1]==s[j+2])
{
s2[u]=s[i];s2[u+1]=s[i+1];u=u+2;
flag2=1; j=j+2;
}
else if(u>2 && s2[u-1]==s[i] && s[i+1]==b)
{
s2[u]=s[i];s2[u+1]=s[i+1];
flag2=1;j=2*n+2;
}
else
j=j+2;
}while(flag2==0 && p<n+1);
i=j;
}
}
for(i=1;i<2*n+2;i++)
s[i]=0;
r1=1;
for(i=2*n+2-1;i>=1;i--)
{
if(s2[i]>0)
s[r1++]=s2[i];
}
for(i=1;s[i]!=0;i++)
s2[i]=s[i];
cta=100;
for(i=1;s2[i]!=0;i=i+2)
{
if(content[s2[i]][s2[i+1]]-f[s2[i]][s2[i+1]]<cta)
cta=content[s2[i]][s2[i+1]]-f[s2[i]][s2[i+1]];
}
if(cta>0)
{
for(i=1;s2[i]!=0;i=i+2)
{
f[s2[i]][s2[i+1]]=f[s2[i]][s2[i+1]]+cta;
}
}
}while(flag1==0); /*即一直存在最短路*/
p1=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(content[b][i]==1 && f[b][i]>=0)
p1=p1+f[b][i];
}
kg[b][t]=p1;
}
}
cta=100;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
if(kg[i][j]>0 && kg[i][j]<cta )
cta=kg[i][j];
}
}
printf("The edge connectivity of the graph is %d\n",cta);
printf("\n");
getchar();
}
3)运行结果：
三、使用环境
四、调试过程
五、总结。