数学分析习题课1

0
x0 2
0, 对
0,由实数稠密性，知
一、函数极限的性质
性质4.1.（唯一性）
若 lim f ( x)存在，则极限必唯一. x x0
性质4.2.（局部有界性）
lim
x x0
f
( x)存在, 则f
( x)在x0的邻域Uo ( x0 )内有界.
性质4.3. (保序性)
设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
性质4.5(夹逼定理)
如果当 x Uo ( x0 )时,下列函数满足
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0
x x0
那么 lim f ( x) 存在, 且等于A. x x0
二、极限的四则运算性质
定理4.1（函数极限四则运算性质）
lim f ( x) 1,
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1,
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x0
x 0 可去型间断点
x 1 第一类间断点
x x0
x x0
(1) 若A B, 0,当x U 0( x0 , )时,
f ( x) g( x).
(2) 若 0,当x U 0( x0 , )时, f ( x) g( x),则
A B.
性质4.4(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0 则 0,当x U o( x0 , )时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
f ( x0 0) A
0, 0,使当x0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A
定理4.5 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
f
(x)
lim
n
xn2 xn xn xn
的连续性。
解 先求 f (x)的表达式
1, 0 x 1,
f
(x)
lim
n
x2n2 1 x2n 1
0, x2,
x 1, x 1
在 ( , 1), (1, 0), (0, 1), (1, )
上, f ( x) 是初等函数,所以连续.
x 0, x 1 间断点
4
10
3
7
2
4
1
2
f
A
B
4
10
3
4
2
2
1
g
A
B
f 为单射，g不是.
定义1.5（满射）
f : A B,若f ( A) B，则称 f为满射.
定义1.6（一一对应）
f : A B, 既是单射，又是满射.
定义1.7（映射的逆像） 设f : A B, F B,则A的子集
f 1( F ) { x A : f ( x) F }. 称为F的逆像.
设f：(a,b) R,若对 x0 (a,b),若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续; 若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续.
定理5.1 函数 f ( x)在 x0 处连续 即左连续又右连续 .
lim
x x0
三、函数定义和基本初等函数
1. f : A B的映射, 如果 B R, 则称 f 为函数.
2. 基本初等函数
常数函数 幂函 数 三角函数
y sin x
指数函数
y ax
yc
1
y x y x ( 0)
反三角函数
y arcsin x
对数函数
y loga x
定义4.1 （邻域） 称集合
对x1, x2满足，0 | x1 x0 | ,0 | x2 x0 | ,
都有 f ( x1 ) f ( x2 ) .
定义4.4:（函数的左右极限）
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
右极限
记作 lim f ( x) A 或 x x0
一切初等函数在其定义域内连续.
四、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
上述条件有一个不满足则函数不连续，称该点称 为函数的间断点。不同条件对应不同类型间断点.
x1
x)
2. lim x1
f (x)
lim
x1
f (x)
lim f ( x) lim cos x 0. 故f ( x)在x 1间断.
x1
x1
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2
当x 1时,
x
lim f ( x) lim cos 0.
x1
x1
2
lim f ( x) lim f ( x)
x1
x1
lim f ( x) lim( x 1) 0. 故f ( x)在x 1连续.
(1 cos x)
10 1 21 2
6
x 1, x 1
讨论f
(x)
cos
x
2
,
x
的连续性. 1
解 将f ( x)改写成
1 x, x 1
f
(x)
cos
x 2
,
1
x
1
x 1, x 1
显然f ( x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.
当x 1时,
lim
x1
f (x)
lim (1
U o ( x0; ) { x | 0 | x x0 | },
为点x0的去心邻域，或记为Uo ( x0 ).
定义4.2（函数极限） 设f ( x)在点x0的去心邻域，
o
U
'
(
x0
)内有定义，A为一个实数，若
对 0, ',当| x x0 | 时，有
| f ( x) A | ，
称x
x0时,
定理5.4 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,则
f ( x) g( x), f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
定理5.5 （复合函数）
若函数 g在t0处连续，f 在点 x0连续, 则 则复合函数 y f [g(t)]在点t0也连续. 注： 复合函数连续性比极限少了t0处取值的限制. 定义5.3 如果函数在开区间 I内任意一点都连续, 则称 f ( x)在开区间I上连续. 对闭区间I [a,b]， 若f ( x)在(a,b)上连续,且在a,b点分别右、左连续
则称函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续.
定理2 （反函数） 设f ( x)是在区间I [a,b]上 严格单调递增(递减)的连续函数 , 则f 1是区间f (I )上, 严格单调递增(递减)的连续函数 .
定理5.7 基本初等函数在定义域内是连续的.
根据初等函数的定义以及连续函数的四则运算及 复合函数的性质得：
lim x a a 0,b 0 x0 x b
又x=1为可去间断，故lim f ( x)存在 x1
1 b lim( x b) lim[ f ( x) ( x a)(x 1)]
x1
x1
lim f ( x) lim( x a)(x 1) 0
x1
x1
b1
8
研究函数
定义1.8（恒等映射） 设 f : A B可逆映射, f 1 : B A, 则
f 1 f (x) f 1( f (x)) x, x A. f 1 f I A f f 1( y) f ( f 1( y)) y, y B. f f 1 IB
IA, IB分别称为A,B上的恒等映射.
f (x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
二、连续函数的性质
根据函数极限的性质可以得函数连续的如下性质：
定理5.2 若f ( x)在x0连续, 则f ( x)在x0的某邻域内有界.
定理5.3 若f ( x)在x0连续, 且f ( x0 ) 0( 0),则
，当| x x0 | ,有f ( x) 0( 0).
设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
g(x) B
四、海涅定理和柯西定理
定理4.3 ( 海涅定理) 设函数f ( x)定义在U0( x0 ),
1 求函数y log( x1) (16 x2 )的定义域.
解 16 x 2 0, x 1 0, x 1 1,
x 4
x
1
x
2
1 x 2及2 x 4,
即(1,2) (2,4).
2
求 lim x2 3x 2 .
x2 x 2
解
x2 3x 2 lim
x2 x 2
lim ( x 2)(x 1)
f
( x)以A为极限,记为 lim x x0
f
(x)
A.
定义4.3（极限不存在的定义）
函数f ( x)在x0不以A为极限：0 0,对 0, x'满足0 | x' x0 | ,但 | f ( x) A | 0.
例2
证明f
(
x
)
x 0
x Q ,在(0， )处处不连续. xR\Q
证明 对任意x0 (0， ),若x0为有理数，则
一、函数连续的定义
定义5.1（连续函数定义）
设f：(a,b) R,若对 x0 (a,b),有
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
则称f ( x)在x0处连续.
" "定义 0, 0, 当 x x0 时,有 f ( x) f ( x0 ) .
定义5.2（函数左右连续定义）
函数连续性习题课
一、映射定义
定义1.1 设 A, B为两个集合,
如果f是一种规则，对x A, 在B中有唯一元素
A
B
f ( x)与之对应,
f
x
f (x)
称f是A到B的映射.
f :AB A叫做 f 的定义域, f ( x)称为x在 f 下的像.
定义1.2 (相等映射）
设f : A B,g : A B,若对x A,都有,
x2
x2
lim( x 1) 1. x2
证 | f ( x) 5 | 3 | x 2 |
要使 | f ( x) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |
3
于是
0
( )
3
当0 | x 2 | 时
恒有
| f ( x) 5 |
lim(3x 1) 5 x2
3 设x0＞0
f (x) g(x)
则称映射 f和 g相等，记为 f g.
定义1.3 (复合映射）
设f : B C,g : A B,
当x A1 g1(B)式定义映射 ( f g)( x) f ( g( x))
为映射 f，g 的复合映射 .
二、映射的分类
定义1.4（单射） f : A B, x, y A,如 x y, 则f ( x) f ( y). 则称 f 为单射.
解
4x2 3x 1
lim
x1
2x2
6x
4
lim(4x2 3x 1)
x1
lim (2 x 2
6x 4)
x 1
4(1)2 3(1) 1 12
8 2. 12 3
sin x x2 cos 1
5
求
lim
x0
x (1 cos x)x
解
sin x x cos 1
原式 lim x0
x
x
x1
x1
f ( x)在(,1) (1,)连续.
7 确定a,b的值，使f ( x) x b 有无穷 ( x a)( x 1)
间断点x 0,，有可去间断点x 1
解 因f(x)在x=0处为无穷间断，即
lim f ( x)
x0
0 lim 1 lim ( x a)( x 1) x0 f ( x) x0 x b
则，lim f ( x) A 的充分必要条件是： xa
{ xn } U0 ( x0 ) x0 , xn x0 ,都有
lim
n
f
( xn )
A.
注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系
定理4.4 ( 柯西收敛定理) 函数f ( x)定义在U0( x0 ),
则，lim f ( x) A 的充分必要条件是： 0, 0 xa
证 | x
证明
lim
x x0
x
x0
x0 |
| x x0 | x x0
| x x0 | x0
为使 | x x0 | ,只须| x x0 | x0
0 取 min{x0, x0 }
当0 | x x0 | 时 恒有
|
x
x0
|
|
x
x0 x0
|
4
求
lim
x1
4 2
x x
2 2
3x 1 . 6x 4