江苏省南京市溧水二高、秦淮中学2021届高三上学期期中联考数学(Word版答案)

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2021届江苏省南京市普通高中高三上学期期中考试考前训练数学试卷及答案解析

绝密★启用前江苏省南京市普通高中2021届高三年级上学期期中考试考前训练数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{{}221,650A x B y y y x ⎫=≥=-+≤⎬⎭，则=A B （） (]A.0,5 []B.0,5 (]C.0,3 []D.0,33．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D 0y ±= 4．函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2 C ．1(,1)2 D ．(1,2)5．函数22()()||x x f x e e ln x -=+的部分图象大致为( )A ．B ．C． D．6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有()A．36种B．30种C．24种D．20种7．知四边形ABCD是边长为2的正方形,P为平面ABCD内一点,则()()PA PB PC PD++的最小值为()A．1-B．2-C．4-D．6-8．已知直线1:0()l kx y k R+=∈与直线2:220l x ky k-+-=相交于点A,点B是圆22(2)(3)2x y+++=上的动点,则||AB的最大值为()A．B．C．5+D．3+二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

江苏省南京市秦淮区2021届高三上学期期中三校联考数学试卷(解析版)

江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（）【答案】B【考点】函数的图象【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ，如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。

2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题(解析版)

2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可．【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案，故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°，故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==，所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-，可得函数()g x 为非奇非偶函数，令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-；由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=，当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确；对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=，由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球，且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =，又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角，则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=，即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列，通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3，即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-，设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（），则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程；（2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++，则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-，又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-，当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>，所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值．【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。

江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2021届高三数学12月月考试题理.doc

江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2021届高三数学12月月考试题理考试时间：120分钟满分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．设集合{}{}20,11A x x B x x =-<<=-<<，则A B ⋃= ▲ ． . 2．已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲ ． 3．函数22()(log )1f x x =-的定义域为 ▲ .4．已知3sin()45x π+=，则sin 2x ＝ ▲ ． 5．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线，则k = ▲ . 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .7．已知函数(0)()1(0)xe xf x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2()(2)f x f x <-的解集为 _▲ .8．如图，在扇形AOB 中，4OA =，0120AOB ∠=,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ,若8OP OA ⋅=，则OC AP ⋅的值为_ ▲ ．9．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ．10.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 7tan A B = ,223a b c-= ，则c = ▲ ． 11．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2==BC AB ，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PQ PC 3=，则PAC ∆面积的最大值为_▲ ．12.已知椭圆22:14+=x E y ，椭圆E 内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，则这个平行四边形面积的最大值为 ▲ ． 13．若实数y x ,满足1222=-+y xy x ，则222252y xy x yx +--的最大值为__▲ .14.已知函数()3231,f x x x =-+ ()()()22504680x x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---≤⎩，若方程()()()00g f x a a -=>有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是__▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n .(1) 求B ；(2) 若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝33926，求a .16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ，PA ⊥PC ．点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点．（1）求证：FG ∥平面EBO ；（2）求证：PA ⊥BE ．17．（本小题满分14分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点,C D 分别落在直线BC 下方点,M N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP π∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程.ABCDFEPMN（第17题）yO A BCx19. （本小题满分16分）已知函数2()1ln ax f x x=+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的定义域及单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意正整数n ，当n ≥2时，22121n n n a b a n -+=+．（1）若(1)n n b =-，求222213511a a a a ++++的值；（2）若1n b =-，12a =，且数列{}n a 的各项均为正数．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N ，且2k ≥{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分) 已知矩阵A= 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a = ，求实数a ，b 的值.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线 l ：2ρsin （θ一4）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 2m 的值。

江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2021届高三数学上学期期中试题

江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2021届高三数学上学期期中试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数z 满足z i ＝1－3i ，其中i 为虚数单位，则z ＝ ▲ ．3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取2004．执行如图算法框图，若输入a ＝4，b ＝12，则输出a 5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞渐近线方程为y ＝±3x6．任取x ∈{－2，2，4}，y ∈{－1，1，2}与b ＝(x ，y )平行的概率为 ▲ ．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是 ▲ ．8．已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5＝8，a 7＝8，则a 1的值是 ▲ ．9．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0交于A ，B 两点，若CA ⊥CB ，则直线l 的斜率是 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且P (4，3)是α－π6终边上一点，则cos α的值是 ▲ ．12．实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是 ▲ ． 13．已知AB 是半径为3的圆M 的直径，点C 是圆周上除A ，B 外一点，若点P 满足PC →＝2CM →，则PA →·PB →的值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，－1＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b cos C ＝c sin B ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝27，a ＋b ＝10，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1；（2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．ED B 1A1C1CA17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，点C ，D 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线AC ，BD 交x 轴分别于点M ，N ，求证：OM →·ON →为定值．18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ．AB ，AD 的长分别为23m 和4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3．图1 图2 图3 图4 （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．y xO NMDC BA19．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2，g (x )＝ln x ，a ∈R ．（1）若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线恰与曲线y ＝f (x )相切，求a 的值；（2）不等式f (x )≥xg (x )对一切正实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）已知a ＜2，若函数h (x )＝f (x )＋ag (x )＋2a 在(0，2)上有且只有一个零点，求a 的取值范围．2021-2022度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0有一个属于特征值－2的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，（1）求矩阵A ；（2）若矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求A －1B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)上的动点，Q 为曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－ 22t ，y ＝4＋2 2t ，(t 为参数)上的动点，求线段PQ 的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 为正实数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32．APFE CBD【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AP ＝AB ＝1，F ，E分别是PB ，PC 中点．（1）求DE 与平面PAB 所成角的正弦；（2）求平面ADEF 与平面PDE 所成锐二面角的值．23．（本小题满分10分）2021年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为13，男球迷选择德国队的概率为25，记X 为三人中选择德国队的人数，求X 的分布列和数学期望.南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试高三数学参考答案 2021.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{2，3} 2．-3+i 3．80 4．12 5．2 6．13 7．－2 8．1 9．24510．±77 11．43－310 12．27 13．72 14．(－94，－2]∪(0，12] 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．解：（1）因为cos sin C c B =，由正弦定理可得：cos sin sin B C CB = 所以tanC =4分又因为()0,C π∈…………5分所以3C π=…………6分（2）因为2222cos c a b ab C =+-2()3a b ab =+-…………8分所以 24ab =…………10分所以 1sin 2ABCSab C ==14分 16．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 1AA //1BB ，所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =所以D 为1A B 中点，…………2分同理E 为1A C 中点，所以//DE BC …………4分又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ，所以//DE 11B BCC …………6分ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1ACC C C =， 1AC C C ⊂、平面11A ACC所以BC ⊥平面11A ACC …………12分又因为BC ⊂平面1A BC所以平面1A BC ⊥平面11A ACC …………14分17．解：（1）c a =，22b =…………2分解得：1a b c ===所以椭圆方程为：2212x y +=…………4分（2）设00(,)D x y ，00(,)C x y - 则AC l ：0011y y x x -=+-…………6分所以00(,0)1x M y -…………8分同理00(,0)1x N y +…………10分所以20201x OM ON y ⋅=-又因为220012x y +=，22002200212x x OM ON x y ⋅===---…………14分18．解：（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点1O ，2O ，交劣弧CD 于点E ， 1O E 的长即为拱门最高点到地面的距离．在2Rt O OC ∆中，23O OC π∠=，23CO =，所以21OO =，圆的半径2R OC ==．所以11225O E R O O OO =+-=．…………4分答：拱门最高点到地面的距离为5m ．（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．连接OB由（1）知，在1Rt OO B ∆中，221123OB OO O B =+=…………6分．以B 为坐标原点，水平直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系． ①当点P 在劣弧CD 上时，62ππθ<≤．由6OBx πθ∠=+，23OB =，由三角函数定义，得23cos ,23sin 66O ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则223sin()6h πθ=++． …………8分所以当62ππθ+=，即3πθ=时，h 取得最大值223+． …………10分②当点P 在线段AD 上时，06πθ≤≤．连接BD ，设CBD ϕ∠=，在Rt BCD ∆中，2227DB BC CD =+=则2321sin 727ϕ==，27cos 727ϕ==．由DBx θϕ∠=+，得(27cos(),27sin())D θϕθϕ++．所以 27sin()4sin 23cos h θϕθθ=+=+． …………13分又当06πθ<<时，4cos 23sin 4cos23sin3066h ππθ'=->-=>．所以4sin 23cos h θθ=+在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增．所以当6πθ=时，h 取得最大值5．因为，所以h 的最大值为．…………15分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m 。

江苏省南京市溧水二高、秦淮中学2021届高三上学期期中联考数学(解析Word版)

2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝[1，3)，N ＝(2，5]，则M ∩N ＝A ．[1，5]B ．(2，3)C ．[1，2)D ．(3，5]【答案】B【考点】集合的运算【解析】由集合的交集定义即可解出答案. 2．已知i 是虚数单位，设复数a ＋b i ＝2－i2＋i，其中a ，b ∈R ，则a ＋b 的值为A ．57B ．57-C ．51D ．51-【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意a ＋b i ＝2－i 2＋i ()()()5452222ii i i -=-+-=，则求得51541-=+-==b a b a ，，，故答案选D.3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有A ．20种B ．50种C ．80种D ．100种【答案】B 【考点】排列组合【解析】由题意可知到图书馆、食堂的志愿者选出4名或5名，根据分类计数原理可知，当选出4名同学时，为平均分配，即有3022222325=A A C C ；当选出5名同学时，可知一个地方为2名同学，一个地方为3名同学，则有20223325=A C C ，则每个地方至少去2名不同的安排方法共有30+20=50种，故答案选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里【答案】D【考点】文化题中数列的基础计算【解析】翻译为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程。

江苏省溧阳中学2021届高三上学期期初考试数学试题 Word版含答案

15.已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面是边长为2的正方形，且平面 .若四棱锥的体积为，则球O6.如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为____________，若M，N是线段上的动点，且，则的最小值为_____________.
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.（本小题满分12分）
已知函数， .
（1）若，求证：在恒成立；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：当时， .
江苏省溧阳中学2021届高三（上）期初考试数学答案
2020.8.28
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）若，，求的值；
（2）求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为菱形，与交于点G， .
（1）求证：平面平面；
（2）若，，E为的中点，求二面角的大小.
20.（本小题满分12分）
椭圆的一个顶点为，右焦点为F，且，且O为原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点C满足，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点，求直线的方程.
江苏省溧阳中学2021届高三（上）期初考试数学试卷
2020.8.28
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数为（）
A.-5B.5C.-10D.10

2021届江苏省南京市三校联盟高三年级上学期期中联考数学试题(教师版含答案)

绝密★启用前江苏省南京市三校（溧水二高、秦淮中学、天印中学）2021届高三年级上学期期中质量联考检测数学试题(教师版含答案)2020年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝[1，3)，N＝(2，5]，则M∩N＝(B) A．[1，5] B．(2，3) C．[1，2) D．(3，5]2．已知i是虚数单位,设复数a＋b i＝2－i2＋i,其中a,b∈R,则a＋b的值为(D)A．75B．－75C．15D．－153．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者,若每个地方至少去2名,则不同的安排方法共有(B)A ．20种B ．50种C ．80种D ．100种4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”你的计算结果是 (D)A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里5．若正数a 是一个不等于1的常数,则函数y ＝log a x 与函数y ＝x a(x ＞0)在同一个坐标系中的图象可能是(C)6．设a ＝0.32.1,b ＝2.10.3,c ＝log 0.32.1,d ＝log 2.10.3,则a ,b ,c ,d 的大小关系为(C) A ．a ＞b ＞c ＞d B ．d ＞c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c ＞d D ．b ＞a ＞d ＞c7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：x 2＋y 2＝9及圆C 内的一点P (1,2),圆C 的过点P 的直径为MN ,若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦,则(→AM －→BN )·→AB 的值为(B) A ．8 B ．16 C ．4 D ．4 38．设f (x )是定义在R 上的函数,g (x )＝f (x ＋1)．若函数g (x )满足下列条件：①g (x )是偶函数；②g (x )在区间[0,＋∞)上是增函数；③g (x )有一个零点为2,B DC。

003-2021江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题

南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷数学注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．公式：球体积343V R π=，随机变量ξ的方差221ni i i Vx p ξμ==-∑（）一、单项选择题：（本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()B A C R ⋂=A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<2.若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 A ．24 B ．36C ．48D ．644.如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（） A. 0.6076B. 0.7516C. 0.3924D. 0.24846.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为 A ．58-B ．18C ．14D ．1187.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logisic 模型：()()0.23531et K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I tK *=时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln193≈）（）A ．60B ．63C ．66D ．69 8.设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强10. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2 33，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则( )A. 渐近线方程为y ＝±3xB. 渐近线方程为y ＝±33x C. ∠MAN ＝60°D. ∠MAN ＝120°11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x A ωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点12.若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（）A. 若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B. ≥C. 若142a b +=，则92a b +≥ D. 若22ab b +=，则34a b +≥ 三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．) 13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.14.函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则12m n+的最小值等于__________. 15.已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________16.棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______.四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)17．在①cos 220B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()1111n n n b a a +=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布和数学期望．附：22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++，()n a b c d=+++．临界值表：20.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++． (1)当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； (2)当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值．22.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点。

江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2021届高三数学12月月考试题文.doc

江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2021届高三数学12月月考试题文一．填空： 1．已知集合则．2．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是． 3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b -等于． 4．公差不为零的等差数列{}n a 的第二、三及第六项构成等比数列，则642531a a a a a a ++++= ．5．函数()2()lg 5f x x =-的定义域是．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线()22102x y m m-=>6两条渐近线方程是．7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 .8．若函数x ax x x f -+=23)(在)2,1(∈x 上有极值，则实数a 的取值范围是． 92，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．10．已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是．11．已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为．12. 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈,若对一切n N +∈都有1n n a a +>，则1a 的取值范围是_____________．13．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率12e =，左焦点为F ，A 为左顶点，,B C 为上、下顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tan BDC ∠的值为____ . 14．已知对于一切,x y R ∈，不等式0218281222≥--+-+a y x xy xx 恒成立，则实数a 的取值范围是 _ .二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数()sin(4)sin(4)63f x x x ππ=-++（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间; （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移48π个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =在,0π⎡⎤-⎣⎦上的值域.16．如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点．(1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．17．已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围．PABCFE（第16题图）18．（本小题满分16分）如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和C 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）. （1）设MN 与AB 之间的距离为250(<≤x x 且)1≠x 米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数)(x S y =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)如图，已知椭圆22:14x O y +=的右焦点为F ，点,B C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求FBM ∆的面积；（2）①记直线,BM BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．20.（本题满分16分)已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”. （1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40n n n a a a -+-≤对任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。

2020-2021学年南京市溧水二中、三中等三校联考高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年南京市溧水二中、三中等三校联考高三上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−2,1，√2}，B={x|x2>2}，则A∩B=______．2.已知(a+i)i=−1−i，其中a为实数，i为虚数单位，则a=______．3.用分层抽样方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有300人，则该学校这三个年级共有人．4.如图的伪代码中，当n=5时执行后输出的结果是______ ．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为e，若点(2,√6)与点(e,2)都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为______6.向如图所示的正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形的每一个位置的可能性都是相同的，则芝麻落在三角形内的概率为______ ．7.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+3x+2，若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m−n的最小值为______．8.某地区原有森林木材存有量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为110a，设a n为第n年末后该地区森林木材存量，则a n=____．9. 从边长为10cm ×16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm 3．10. 使方程√8x −x 2−x −m =0有两个不等的实数解，则实数m 的取值范围是______ ．11. 在数学解题中，常会碰到形如“x+y 1−xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a ，b 是非零实数，且满足asin π5+bcos π5acos π5−bsin π5=tan 8π15，则ba = ______ ． 12. 圆C 1：x 2+y 2+2ax +a 2−4=0和圆C 2：x 2+y 2−2by +b 2−1=0相内切，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2+1b 2的最小值为______ ．13. 已知向量，则向量与的夹角的余弦值为． 14. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ≤0xlnx,x >0,g(x)=kx −1，若方程f(x)−g(x)=0在x ∈(−2,2)有三个实根，则实数k 的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．(1)若c =2，C =，且△ABC 的面积为，求a 、b 的值；(2)若sinC +sin(B −A)=sin2A ，试判断△ABC 的形状．16. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC ，点D 在线段AB 上，且平面B 1CD ⊥平面ABB 1A 1．(1)确定点D 的位置并证明；(2)证明：AC 1//平面B 1CD ．17. 已知点P(−2,1)在椭圆C ：x 2a 2+y 22=1(a >0)上，动点A ，B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率；(2)求△PAB 面积的最大值．18. (本小题满分15分) 如图，在半径为的圆形(为圆心)铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆上，点、在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长，圆柱的体积为．(1)写出体积关于的函数关系式，并指出定义域；(2)当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？最大体积是多少？19. 已知x 1，x 2是函数f(x)=x 2+mx +t 的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设T n =∑x 1n−r n r=0x 2r (n ∈N ∗).(1)用m ，t 表示T 1，T 2；(2)求证：T 5=−mT 4−tT 3；(3)求证：对任意的n ∈N ∗，T n ∈Z ．20. 已知函数，且。

江苏省南京市江宁区秦淮中学2021年高三数学文联考试题含解析

江苏省南京市江宁区秦淮中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．2 B．－1 C．1 D．－2参考答案：C2. 抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A．B．2C．2 D．1参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线标准方程可得其焦点坐标，进而由点到直线距离公式计算可得答案．【解答】解：抛物线的方程为y2=8x，焦点为（2，0），焦点到直线x﹣y=0的距离d==；故选：A．【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是求出抛物线的焦点坐标．3. 已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，1} C．{1} D．{1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1=lg10}={x|0＜x≤10}，∴A∩B={1，2}，故选：D．4. 已知偶函数满足，且在区间上为减函数，不等式的解集为() A．B．C． D .参考答案：【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】C 解析：解：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为-1＜log2x＜1或log2x＞-1，∴故选：C．【思路点拨】根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，转化为-1＜log2x＜1或log2x＞-1，即可求出不等式f（log2x）＞0的解集．5. 如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（）主视方向A B C D参考答案：D在长方体中, 三棱锥的左视图中，、、的射影分别是、、.所以选D.6. 如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A. B.C. D.参考答案：A7. 已知函数，若，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．参考答案：A 略 8. 已知集合，.则（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A 略9. 已知平面向量，若，则实数的值等于（）A ．B ．C ．D ．参考答案：A 略10. 已知,那么（） A ． B ．C ．D ．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的所有零点之和为参考答案：412. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．参考答案：13. 有下列命题：①若存在导函数，则；②若函数,则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是参考答案： ③14. 直线l ：ρcos θ=t （常数t＞0）与圆（θ为参数）相切，则t= ．参考答案：±1解答：解：直线l ：ρcos θ=t （常数t ＞0）化为x=t ，圆（θ为参数）化为x 2+（y ﹣1）2=1，∴圆心为C （0，1），半径r=1．∵直线l 与圆相切，∴，解得t=±1．故答案为±1．点评：熟练掌握极坐标方程化为普通方程、点到直线的距离公式和直线与圆相切的充要条件是解题的15. 设函数，若f （a ）=2，则实数a= ．参考答案：﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】将x=a 代入到f （x ），得到=2．再解方程即可得．【解答】解：由题意，f （a ）==2，解得，a=﹣1．故a=﹣1．【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函数，函数值的意义，从而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其他性质． 16. 已知，则的值为______________.参考答案：17. 定义:对于区间,则为区间长度.若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数的取值范围是 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2021届高三上学期期中联考数学解答题-解析版

2020-2021学年度第一学期南京三校联考高三期中三校联考数学试卷四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设函数()1cos sin 4cos 342+-=x x x x f ．（1）求()x f 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1=A f ，1=a ，求ABC ∆周长的取值范围．解：（1）因为()1322sin 22cos 3212sin 222cos 134++-=+-+⨯=x x x xx f 13262cos 4++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为162cos 1≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤-πx ，所以32513262cos 4323+≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+-πx ．所以，函数()x f 的值域为区间[]325,323++-．（2）由()1=A f ，得2362cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+πA ．因为A 为锐角，所以67626πππ<+<A ，所以6562ππ=+A ，即3π=A . 因为π=++C B A ，所以B C -=32π．由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，得B b sin 332=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-==B C c 32sin 332sin 332π，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++B B B B B c b a sin 21cos 23sin 332132sin sin 3321π ⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 21cos 23sin 233321πB B B . 因为ABC ∆为锐角三角形，所以20π<<B ，20π<<C ，即26232020πππππ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<B B B 所以3263πππ<+<B ，所以16sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ，即36sin 2113≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++<+πB ．所以ABC ∆周长的取值范围为区间(]3,13+.18．（本小题满分12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1211+=+n n a a ，②21+=+n n a a ，③12-=n n a S 中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的★_______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，对任意的*N n ∈，都有★_______；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0>n b ，n n n b b b 3212+=++，且11=b ，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．解：设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*N n ∈，都有n n n b b b 3212+=++，所以322+=q q ，解得1-=q 或23．因为对任意的*N n ∈，都有0>n b ，所以0>q ，从而23=q ．又11=b ，所以123-⎪⎭⎫⎝⎛=n n b ．显然，对任意的*N n ∈，0>n b ．所以，存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤，即kkn n b a b a ≤．记nn n b a c =，*N n ∈．下面分别就选择①②③作为条件进行研究．选①：因为对任意的*N n ∈，都有1211+=+n n a a ，即()22121-=-+n n a a ．又21=a ，即0121≠-=-a ，所以02≠-n a ，从而21221=--+n n a a ，所以数列{}2-n a 是等比数列，公比为21，得1212-⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n a ，即1212-⎪⎭⎫⎝⎛-=n n a所以1312--==n n n n n b a c ，从而()1231211--=++n n n n c c ．由()1221123121≥⇔≥⇔≤--+n n nn ，得：21c c =，当1≥n 时，n n c c <+1 所以，当1=n 或2时，n c 取得最大值，即nnb a 取得最大值．所以对任意的*N n ∈，都有1122b a b a b a n n =≤，即n n b a b a 11≤，n n b a b a 22≤，所以存在2,1=k ，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤．. 选②：因为对任意的*N n ∈，都有21+=+n n a a ，即21=-+n n a a ，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2．又11=a ，所以()12121-=-+=n n a n所以()032121>⎪⎭⎫⎝⎛-==-n n n n n b a c ，从而()()1231221-+=+n n c c n n ．由()()25521123122≥⇔≥⇔≤-+n n n n ，得：当2≤n 时，n n c c >+1；当3≥n 时，n n c c <+1所以，当3=n 时，n c 取得最大值，即nnb a 取得最大值．所以对任意的*N n ∈，都有33b a b a n n ≤，即n n b a b a 33≤．所以存在3=k ，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤.选③：因为对任意的*N n ∈，都有12-=n n a S ，所以1211-=++n n a S ，从而()n n n n n n n a a a a S S a 2212121111-=---=-=++++，即n n a a 21=+. 又011>=a ，所以0>n a ，且21=+nn a a ，从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12-=n n a .所以0431>⎪⎭⎫⎝⎛==-n n n n b a c ，从而1431<=+n n c c ，所以n n c c <+1，所以，当1=n 时，n c 取得最大值，即nnb a 取得最大值．所以对任意的*N n ∈，都有11b a b a n n ≤，即n n b a b a 11≤．所以存在1=k ，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n b a b a ≤.19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，⊥AM 平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．解:方法一：设a PA =．在四棱锥ABCD P -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,1,1C ，()0,1,0D ，()a P ,0,0．因为M 是侧棱PC 的中点，所以M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,21,21a所以⎪⎭⎫⎝⎛=2,21,21a AM ，()0,1,1-=BD ，()a BP ,0,1-=．（1）因为⊥AM 平面PBD ，即⊥AM 平面PBD ，所以0=⋅=⋅BP AM BD AM ．所以02212=+-a ，解得1=a ．所以1=PA ．（2）设平面AMD 的法向量为()z y x n ,,=．因为()0,1,0=，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21,21，由()⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00021000z x y z y x y AM取1=z ，得1-=x ，从而得到平面AMD 的一个法向量()1,0,1-=．PBC DAM （第19题）PB CD A Mxy z又()1,1,1--=，所以36322cos =⋅=⋅=CPn CP n CP n ．设PC 与平面AMD 所成角的为θ，则36cos sin ==CP n θ. 因此，PC 与平面AMD 所成角的正弦值为36．方法二：（1）设a PA =．连结AC ，交BD 于点O O ．连结PO ，与AM 交于点G ．在四棱锥ABCD P -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，所以2==BD AC ，O 是AC 的中点，所以22=AO ．因为⊥PA 底面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以AC PA ⊥．所以2222+=+=a AC PA PC ，21222+=+=a AO PA PO ．因为M 是侧棱PC 的中点，所以221212+==a PC AM ．因为⊥AM 平面PBD ，⊂PO 平面PBD ，所以PO AM ⊥，即OG AG ⊥．又AM ，PO 分别是PAC ∆的两条中线，所以G 是PAC ∆的重心．所以231322+==a AM AG ，2131312+==a PO OG ．在AOG ∆中，由222AO OG AG =+，得()21219129122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a a ，解得1=a ．即1=PA ．（2）取侧棱PB 的中点N ，连结MN ，AN ．由（1）知，PB PA =，所以PB AN ⊥. 由M 是侧棱PC 的中点，得BC MN //．因为AD BC //，所以AD MN //，即M ，N ，A ，D 四点共面．因为⊥PA 底面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以AD PA ⊥．又在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，而⊂AB 平面PAB ，⊂PA 平面PAB ，且A PA AB = ，所以⊥AD 平面PAB ．又⊂PB 平面PAB ，所以⊥AD 平面PAB ．因为⊂AN 平面AMD ，⊂AD 平面AMD ，且A AD AN = ，所以⊥PB 平面AMD ，即⊥PN 平面AMD ．所以PMN ∠就是PB 与平面AMD 所成的角．因为⊥PA 底面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以AB PA ⊥．因为1==AB PA ，所以2=PB ，即22=PN ．由（1）知2321==PC PM ．所以36sin ==∠PM PN PMN ．因此，PC 与平面AMD 所成角的正弦值为36． 20．（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布律；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个22⨯列联表：有()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ ，其中d c b a n +++=．临界值表（部分）为解：（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X ，则随机变量X 的可能值为0，1，2，3．因为()4250494603===C C C X P ，()21101493613===C C C X P ，()1452492623===C C C X P ，()2113491633===C C C X P ，所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的22⨯列联表进行整理，得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系．根据2χ公式，求得()2903.193120201436174022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ．因为当0H 成立时，“708.02≥χ”的概率约为40.0，“323.12≥χ”的概率约为25.0，所以有%60的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到%75．由于得到这个结论的把握低于%90，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒．21．（本小题满分12分）设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()x f 构成的集合： ①方程()0=-x x f 有实数解；②函数()x f 的导数()x f '满足()10<'<x f ．（1）试判断函数()4sin 2xx x f +=是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()x f 具有下面的性质：对于任意的区间[]n m ,，都存在[]n m x ,0∈x ，使得等式()()()()0x f m n m f n f '-=-成立，证明：方程()0=-x x f 有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0=-x x f 的实数解，求证：对于函数()x f 任意的R x x ∈32,，当112<-x x ，113<-x x 时，有()()223<-x f x f ．解：（1）函数()4sin 2x x x f +=是集合M 中的元素．理由如下： ①方程()0=-x x f ，即024sin =-xx ．显然0=x 是方程024sin =-xx 的实数解，因此，方程()0=-x x f 有实数解．②由于()4cos 21x x f +='，又1cos 1≤≤-x ，即434cos 2121≤+≤x ，所以()10<'<x f ．综上，函数()4sin 2xx x f +=是集合M 中的元素．（2）（反证法）由条件①知方程()0=-x x f 有实数解．假设方程()0=-x x f 有两个不相等的实数解α，β，不妨设βα<，则()αα=f ，()ββ=f ．由函数()x f 的性质知，存在[]βα,0∈x ，使得()()()()0x f f f '-=-αβαβ，即()()0x f '-=-αβαβ．又由条件②知()10<'<x f ，所以0=-αβ，即βα==，这与βα<矛盾．因此，方程()0=-x x f 有唯一实数解．（3）对任意的R x x ∈32,，当112<-x x ，且113<-x x 时，不妨设32x x ≤，则111321+<≤<-x x x x ．因为()10<'<x f ，所以()x f 在R 上是增函数，所以()()32x f x f ≤．令()()x x f x g -=，则()()01<-'='x f x g ，所以()()x x f x g -=是R 上的减函数，所以()()32x g x g ≥，即()()3322x x f x x f -≥-，所以()()()()2110112323=--+<-≤-≤x x x x x f x f ．因此，对任意的R x x ∈32,，当112<-x x ，且113<-x x 时，有()()223<-x f x f22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线C ：1123622=-x y 有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为24．（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点()m P ,0存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．解：（1）因为椭圆E 与双曲线C ：1123622=-x y 有共同的中心和准线，所以设椭圆E 的方程为()012222>>=+b a bx a y ．令22b ac -=，由题知3612362+=c a ，得c a 332=，2233c c b -=．由双曲线C 的方程1123622=-x y 得双曲线C 的渐近线的方程为x y 3±=．根据对称性，不妨设椭圆E 与渐近线x y 3=的交点为()11,y x A ，()22,y x B ．由⎪⎩⎪⎨⎧==-+xy c c x c y 313333222消去y ，整理得c c c x --=343922．所以cc c x x --=-34392221 ，所以()()cc c x x y y x x AB --=-+=-+-=3439431221221221．由24343942=--c c c ，得0381132=+-c c ，解得 3=c 或38，所以椭圆E 的方程为16922=+x y 或1832422=+x y ．（2）方法一：对于椭圆E ：()012222>>=+b a bx a y ，设过点()m P ,0的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，方程为m kx y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y b x a y 12222，消去y ，整理得01212222222=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a m a mkx x b a k ．由01411422222222222222≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=∆b a m b a k a m b a k a mk 得2222ba m k -≥ ．① 当0≠k 时，同理得22221b am k -≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即22221b a m k -≥．② 当0222≤-ba m ，即a m ≤时，满足①②的k 存在，所以a m ≤满足条件．当0222>-b a m ，即a m >时，满足①②的k 存在10222<-<⇔b a m ，即22b a m a +≤< 当0=k 时，0222≤-ba m ，即a m ≤，满足条件．综上，22b a m +≤，即m 的取值范围是区间[]2222,b a b a ++-．若椭圆C 的方程为16922=+x y ，则实数m 的取值范围是区间[]15,15-；若椭圆C 的方程为1832422=+x y ，则实数m 的取值范围是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3154,3154．方法二：对于椭圆E ：()012222>>=+b a bx a y ，设过点()m P ,0的两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x 轴；反之亦然．由平面几何知识知道：[]a a m ,-∈满足条件．当|m |＞a 时，设其中一条的斜率k ，显然k ＝0不满足条件，所以k ≠0，那么另一条的斜率为－1k．设其中一条直线的方程为m kx y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y b x a y 12222．消去y ，整理得01212222222=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a m a mkx x b a k ．由01411422222222222222≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=∆b a m b a k a m b a k a mk 得2222b a m k -≥ ．①同理得22221b am k -≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即22221b a m k -≥．② 因为0222>-b a m ，所以，满足①②的k 存在10222<-<⇔ba m ，即22b a m a +≤<．综上，22b a m +≤，即m 的取值范围是区间[]2222,b a b a ++-．若椭圆C 的方程为16922=+x y ，则实数m 的取值范围是区间[]15,15-；若椭圆C 的方程为1832422=+x y ，则实数m 的取值范围是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3154,3154．方法三：对于椭圆E ：()012222>>=+b a bx a y ，由于点()m P ,0在椭圆E 的长轴所在的y 轴上，所以，当点P 在椭圆E 的长轴上，即a m ≤时，显然满足条件．当点P 不在椭圆E 的长轴上，即a m >时，根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E 的过点()m P ,0的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点．当椭圆存在过点P 的两条互相垂直的切线时，PQ 与y 轴的夹角为︒45，从而与x 轴的夹角也为︒45．设一条切线的方程为m x y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y b x a y 12222．消去y ，整理得01211222222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a m a mx x b a ．由011142222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆a m b a a m ，得 01122222=++b a m b a ，解得22b a m +±=. 由椭圆的平面几何性质知道，当22b a m a +≤<时，满足条件．综上，m 的取值范围是区间[]2222,b a b a ++-．若椭圆C 的方程为16922=+x y ，则实数m 的取值范围是区间[]15,15-；若椭圆C 的方程为1832422=+x y ，则实数m 的取值范围是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3154,3154．。

江苏省南京市秦淮中学2021年高三数学文月考试题含解析

江苏省南京市秦淮中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点且与直线平行的直线方程是A．B．C．D．参考答案：D设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.2. 已知椭圆C：，的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，直线交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：的内心为，连接和，可得为的平分线，即有，，可得，即有，即有，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．3. 已知，则sinα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】采用两边平方，根据同角函数关系式和二倍角的公式可得答案．【解答】解：由，可得：（sin2+cos2﹣2sin cos）=即1﹣sinα=，∴sinα=．故选：A．4. 要得到函数的图象,可以将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B略5. 执行如图的程序，则输出的结果等于A. B. C. D.参考答案：C 【知识点】程序框图L1执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项a n===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：C．【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T的值．6. 执行如右图所示的程序框图，如输入，则输出的值为A.5B.C.9D.参考答案：D7. 已知函数，且，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由函数，可得，得到函数为偶函数，图象关于y轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数在上为单调递增函数，则函数在上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数，满足，所以函数为定义域上的偶函数，图象关于y轴对称，又当时，，由二次函数的性质可得，函数在上为单调递增函数，则函数在上为单调递减函数，又由，，，根据对称性，可得，即，故选A．8. 设向量，，给出下列四个结论：①；②；③与垂直；④，其中真命题的序号是 ( )A. ①B. ③C. ①④D. ②③参考答案：B9. 若与－都是非零向量，则“·=·”是“⊥（－）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C10. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3参考答案：C【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且 P（A）=0.65，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35．故选：C．【点评】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是▲ .参考答案：略 12. 设分别为的三个内角A ，B ，C 所对边的边长，且满足条件，则的面积等于.参考答案：略13. 中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.参考答案：375 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，则部件正常工作超过10000小时的概率为，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.故答案为：375【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题. 14. 已知（），f ’(x )为f (x )的导函数，f ’(1)=2，则a =参考答案：215. 已知正项等比数列{an}满足：，若存在两项am ，an 使得＝4a1，则的最小值为_________.参考答案：略16. 动圆的圆心的轨迹方程是 .参考答案：17. 已知函数,若，则实数的取值范围是________ 参考答案：略.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省金陵中学2021届高三数学上学期期中

金陵中学2021—2021学年度高三数学第一学期期中考试试题考前须知：考生答题前请认真阅读考前须知及各题答案要求。

1．本试卷包含填空题〔第1题—第4题〕、解答题〔第15题—第20题〕两局部。

本试卷总分值160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()1f x x =-的定义域为N ，那么M∩N= 。

2．复数z 满足〔1+2i 〕z=4+3i ，那么z= ．3．函数y=x 2—2x (x∈[0，3]的值域是4．5cos 3a =。

且a∈〔一2π，0〕，那么sin(a π-)= 。

5．在△ABC 中，3A=45°，B=75°，那么BC 等于。

6．直线12y x b =+是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，那么实数b 的值是。

7．一个算法的流程图如下图？假设输入的n 是100，那么输出值S 是。

8．集合A=(x ，y 〕|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，那么A ∩B=φ的概率为 .9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,0ω>,||2πϕ<)的图象如下图，那么，f(0)= 。

10．3()f x x ax =-在区间[1，+∞〕上是单调增函数，那么实数a 的最大值是。

11．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是。

12．向量1(1,1),(0,)5m n ==，设向量(cos ,sin )([0,]),()OA m OA n αααπ=∈⊥-且，那么tan α= 。

【秦淮中学2021届高三开学调研数学卷】江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题含答案

A、B、C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则
不同的派遣方案共有
A．24
B．36
C．48
D．64
4.如图，在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2BB1，P 为 B1C1 的中点.则异面直线 AC 与 BP 所成的角为（）
A. 90°
B. 60°
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18 记 Sn 是正项数列an 的前 n 项和， an +1是 4 和 Sn 的等比中项.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）记 bn
=
( an
1
+1) (an+1
+1)
，求数列bn 的前
n
项和 Tn
.
19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取 100 名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
A. 若 a 1， b 1，则 loga b + logb a 2
B. a2 + b2 2 a+b 2
C. 若 1 + 4 = 2 ，则 a + b 9
ab
2
D. 若 ab + b2 = 2 ，则 a + 3b 4
三、填空题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)
1.设 A = x x 1 ， B = x x2 − x − 2 0 ，则 (CR A) B =