工程力学第6章 扭转解析

Me 从动轮
n
主轴
主动轮
叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要 研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工 作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一
特点：
圆截面轴（实心、空心）
a。
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即 该轮所传递的功率为
{P}kw
{M
e }Nm
{a }ra d
{t}s
103
{M e}Nm rad 103 s
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式
W W'
W 60N1000 60000 N
W m m 2n1 2nm
m 9549 P Nm 单位
n
若已知： n=300 r/min
30KW 40KW
70KW
1
2
3
M1
M2
M3
M1
9549
P n
9549 70 300
2228.1N
m
30
M2
9549 300
954.9N
m
M3
9549
40 300
第6章
（圆轴）扭转
本单元主要内容
# 扭转变形的特点 # 外力偶矩的计算 # 扭矩的计算 # 扭转剪应力的计算
工程中承受切应力的构件
传动传轴动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
❖ 工程实际中的扭转问题
❖ 扭转构件的受力特点：
❖ 构件两端受到两个在垂直
P
于轴线平面内的力偶作用，
P
❖ 这时任意两截面间有相对的角位移，这种角位移称为扭转角。
➢扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩与作 用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 ➢扭矩求解仍然使用截面法
扭转切应力由扭矩产生
扭矩正负规定：右手法则
6-2 扭矩的计算及扭矩图
Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t 秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角
例6-1 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功
率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C
x
mA
9549
NA n
9549 4 500
76.4Nm
mB
9549 NB n
9549 10 500
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
4.78
几何——直杆（轴） 非圆截面轴
外力——仅有轴横截面内的外力偶
内力——横截面上只有扭矩
变形——横截面绕轴线转动，任意两横截面产 生相对扭转角
扭转变形的特点
Mn A'
g
A
Mn
B
x
j
B'
圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用 力偶矩方向沿圆杆的轴线 横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转动
外力偶矩正负号的规定
离开截面
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
指向截面
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截 面为正，指向截面为负;或者说：让四个手指与扭矩Mt的 转向一致，大拇指伸出的方向与截面的外法线n方向一致 时， Mt为正，反之为负。
T(+)
T(-)
用截面法计算扭矩时，通常先假设扭矩为正，然后根 据计算结果的正负确定扭矩的实际方向。
计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e}Nm
{P}kw 103 2π{n} r
60
9549
{P}kw {n} r
m in
m in
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同， 而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。
外力偶矩的计算
输入功率：P(kW)
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
两力偶大小相等，转向相反。
❖
T
T
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力 偶Me作用下发生扭转。
Me
Me
薄壁杆件也可以
由其它外力引起
扭转。
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。
6.37
15.9
4.78
§6-2 薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力
6.2.1 薄壁圆筒扭转时的应力和变形
薄壁圆筒——通常指 r0 的圆筒
10
Me
m
Me
r0O
m
l
Me
m
T
m 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力
偶矩——扭矩(torque) T M e
薄壁圆筒的扭转
观察一个实验
将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分
191Nm
mC
9549 NC n
9549 6 500
114.6Nm
计算扭矩：
mA
x
MT1
MX 0
MX 0
MT1 mA 0
MT2
mc
AB段 BC段
MT1设为正的 MT2设为正的
MT1 mA 76.4Nm
MT 2 114 .6Nm
4、扭矩图 将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例题6-2 一传动轴如图，转速 n 300 r min；主动轮输 入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9103
N m
15.9
kN m
M2
M3
(9.55103
150 ) 300
Nm
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
6.37 103
Nm
6.37
kN m
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩
1273.2N
m
1、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
扭转轴的内力称为扭矩
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
来自百度文库
m
x
m
MT
MX 0 MT m 0
MT m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向
扭矩正负号： 离开截面为正 指向截面为负