研究性课题分期付款中的有关计算例题解析

研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析

【例1】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？

解析 先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：

第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；

第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；

第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； ……

第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11． 于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ，

A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11

=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)

第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；

第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；

第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．

三年后，取出的本利和为：

A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ．

解：设每存一年的本利和为A ，

则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)

三年后取出的本利为y ，

则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2

=A(1＋1.06＋1.062)

=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)

=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212

--..

≈193(元)

答：三年后取出本利共193元．

说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．

【例2】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？

解 第一年余下的基金为

1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32

321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭

⎪x x

依此类推，得

a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x

a =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭

⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金达到2000万元，令

a 5=2000

于是得关于消费基金x 的方程：

1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭

⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得

3211323222433225

554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32

x =10002000x =1000·×－×

211 16179 32

16 211179

32

x=1000

x=1000×

∴××

x≈424

答：每年约扣除消费基金424万元