数列的性质,单调性和最值,证明方法

题型一：根据数列性质解题

【例1】（1）在等比数列{a n }中，a 1+a 2=324，a 3+a 4=36，求a 5+a 6的值；

（2）在等比数列{a n }中，已知a 3a 4a 5=8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值.

解析：（1由等比数列的性质知,a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列，则(a 3+a 4)2

=(a 1+a 2)(a 5+a 6).

∴a 5+a 6=4.（2）∵a 3a 5=a 24，∴a 3a 4a 5=a 34=8，∴a 4=2，又∵a 2a 6=a 3a 5=a 24，∴a 2a 3a 4a 5a 6=a 54=32. 【例2】等差{a n }的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.

解析：设等差数列{an}的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m 项.依题意，有S 奇=(m+1)am+1=216① ； S 偶=mam+1=192 ②

①÷②,得m m 1+=192216

，解得,m=8,

∴数列共有2m+1=17项，把m=8代入②，得a9=24,又∵a1+a17=2a9，

∴a17=2a9-a1=47，且d=917917--a a =823an=1+(n-1)×823=815

23-n (n ∈N*,n ≤17)

题型二：数列最值问题与单调性

【例1】已知一个正项等差数列前20项的和为100，那么147a a 最大值为

（ ） A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 解析：201111919191002010055222

S a d a d a d ⎛

⎫=⇒+=⇒+=⇒=- ⎪⎝⎭，所以， ()()7141119197761356513552222d d d d a a a d a d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2

4925254

d =-≤ 【例2】等差数列}{n a 中，22008a =，2008200416a a =-，则其前n 项和n S 取最大值时n 等于（ ）

A ．503

B ．504

C ．503或504

D ．504或505 解析：2120082008a a d =⇒+=，2008200411162007200316a a a d a d =-⇒+=+- 4d ⇒=-，所以，12012a =，所以，()()()1112012422n n n n n S na d n --=+

=+⨯- ()201221n n n =--220142n n =-，结合二次函数222014n S n n =-+的图象进行判定。 另解：20082004164a a d =-⇒=-，所以12310k k a a a a a +>>>>≥≥> ，数列

}{n a 为递减的等差数列，所以，把所有非负项都加起来可得到n S 的最大值。由

()2012412016

4n a n n =--=-，可知，当504n ≤时，数量的项非负，而50350400a a >=，，所以，503S 或504S 最大。

题型三：证明数列是等比或等差数列

1.定义法：在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列 在数列{}n a 中，若q a a n n =-1

（q 为常数），则数列{}n a 为等比数列 2.等差中项法： 212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列

3.看通项与前n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）

（1）若数列通项n a 能表示成b an a n +=（a ，b 常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列； 若通项n a 能表示成n

n cq a =（c ，q 均为不为0的常数）的形式，则{}n a 是等比数列

（2）若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成bn an S n +=2（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成A Aq S n n -=（A 、q 均为不等于0的常数，且1≠q ）的形式，则数列{}n a 是公比不为1的等比数列

【例1】（定义法）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，

3

21=a ，且满足211322++=+n n n a S S （*N n ∈）证明：数列{}n a 是等差数列 证明：由211322++=+n n n a S S 得21132)(2++=++n n n n a S a S 整理得121234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 223341221+--=++ ， n n n n a a a a 22331221+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a ，所以()231=-+n n a a ，即321=-+n n a a 所以{}n a 是首项为

32，公差为3

2的等差数列

【例2】（定义法）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S 125()n n S S n n *+=++∈N ，证明数列{1}n a +是等比数列； 解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+， 当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+，

又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．

故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+． 所以数列{1}n a +是等比数列．

【例3】（等差中项法）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，

其中A 、B 为常数 （1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列 解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851得B A +=⨯-⨯-1773 B A +=⨯-⨯2712182 解得：20-=A ，8-=B

（2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n

整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

即82028511--=--⋅++n S S a n n n n ① 又()()81202815122-+-=--++++n S S a n n n n ② ②-①得()20285151212-=--⋅-+++++n n n n a a a n a n 即()()20253512-=+--++n n a n a n ③ 又()()20752523-=+-+++n n a n a n ④