数列的性质,单调性和最值,证明方法
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
数列的概念和性质
数列的概念和性质数学中，数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列在代数学中有着广泛的应用，被用来描述各种数量之间的关系和规律。
理解数列的概念和性质对于数学学习的基础非常重要。
本文将详细介绍数列的概念、常见的数列类型以及数列的性质。
一、数列的概念数列（Sequence）是指按照一定规律排列的一系列数。
数列中的每个数称为该数列的项，其中第一个数称为首项，最后一个数称为尾项。
数列常用符号表示，例如：a₁，a₂，a₃，...，aₙ，其中“a”表示数列的项，“n”表示项数。
数列的规律可以通过给定的公式或通过对前一项进行变换来确定。
数列的规律包含了一个或多个参数，这些参数决定了数列项之间的关系和变化规律。
二、常见的数列类型1.等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称它为等差数列。
等差数列常用的符号表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中“a”表示首项，“d”表示公差。
等差数列的通项公式为：aₙ = a + (n-1)d，其中“aₙ”表示第n项，“a”表示首项，“d”表示公差。
2.等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称它为等比数列。
等比数列常用的符号表示为：a，ar，ar²，ar³，...，其中“a”表示首项，“r”表示公比。
等比数列的通项公式为：aₙ = a × r^(n-1)，其中“aₙ”表示第n项，“a”表示首项，“r”表示公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的常用表示为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，其中第一项和第二项为0和1，后面的项依次为前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₂ + fₙ₋₁，其中“fₙ”表示第n项。
三、数列的性质1.有界性数列的有界性指的是数列中的所有项都在一个范围内取值。
用定义证明极限的方法
用定义证明极限的方法极限是数学中重要的概念，用来描述函数在某一点附近的表现。
证明极限的方法一般分为数列极限与函数极限两种情况。
数列极限的定义是：设数列{An}在无穷区间（或是去除有限项之后的无穷区间）上有定义，则有：若存在常量a，使得对于任意给定的正数ε（ε> 0），都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε，那么我们称数列{An}以a 为极限，记为lim(An) = a。
要证明数列的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据数列的极限定义，对于任意给定的正数ε，都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε。
我们可以根据定义的表达式，推导出n 和a 之间的关系式，进而找到N 的表达式，以此来证明数列的极限。
2. 利用数列的性质进行证明：根据数列的性质，如单调性、有界性等，可以借助这些性质推导出数列的极限。
例如，如果数列是单调递增且有上界，则根据确界性质可以推出数列的极限存在且有上确界。
3. 利用比较定理进行证明：比较定理是常用的判定数列极限的方法。
如果数列{An}和数列{Bn}满足一定的条件（比如当n>N 时，有0 ≤An ≤Bn），且已知数列{Bn}的极限为a，则可根据比较定理推导出数列{An}的极限也为a。
函数极限的定义是：设函数f(x) 在点a 的某个去心领域内有定义，如果存在常数L使对于任何ε> 0，存在着一个对应于ε的δ> 0 使得当0 < x - a < δ时，有f(x) - L < ε，那么我们称函数f(x) 在x = a 处的极限为L，记为lim f(x) = L 或x→a f(x) = L。
要证明函数的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据函数的极限定义，我们可以推导出给定ε时的δ，进而得到函数的极限。
通常需要利用函数的性质和定义对符号进行推导和运算。
数列的极限性质与计算方法
数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。
本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。
通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。
一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。
1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。
数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。
2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。
数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。
3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。
数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。
二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。
1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。
例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。
2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。
如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。
3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。
例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。
总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。
通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。
在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
数列的单调性与有界性例题和知识点总结
数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。
理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。
一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。
如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。
二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。
如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。
三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。
解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。
当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。
令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。
所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。
例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。
解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。
数学中的数列与级数极限判定方法
数学中的数列与级数极限判定方法数学中的数列与级数极限判定方法是数学分析中的重要概念和工具。
数列是一系列有序的数字排列，而级数是将数列中的各项进行求和得到的数值。
在数学中，我们常常需要判定数列与级数是否收敛或发散，进而研究它们的性质与行为。
本文将介绍数学中常见的数列与级数极限判定方法。
一、数列极限判定方法1. 有界性判定法：一个数列若有上界或下界，则称它是有界的。
若一个数列既有上界又有下界，则该数列有界。
当一个数列有界时，我们可以通过观察上下界来猜测它的极限。
2. 单调性判定法：若数列的前一项与后一项之间满足一定的大小关系，即前一项小于后一项或前一项大于后一项，则称该数列是单调的。
对于单调数列，我们可以通过观察其单调性来判断其极限。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限判定中常用的方法之一。
当一个数列同时被两个极限为相等的数列夹在中间时，夹逼定理成立。
4. 收敛数列的四则运算法则：若两个数列收敛，它们的和、差、积、商（除数不为零）仍然收敛，并且极限满足相应的运算法则。
5. 隔项相除法：当数列中的每一项都可以表示为前一项与其后一项的商时，我们可以通过隔项相除法判断数列的极限。
二、级数极限判定方法1. 比较判别法：比较判别法是判断级数敛散性的常用方法之一。
对于正项级数，我们可以通过比较级数项与已知敛散的级数项来判断级数的敛散性。
2. 极限判别法：当级数的项可以表示为某个数列的通项时，我们可以通过判别该数列的极限来判断级数的敛散性。
3. 部分和判别法：对于级数的部分和序列，我们可以通过判断其收敛性来判断级数的敛散性。
4. 交错级数的判别法：交错级数是指级数中的项交替正负的级数。
对于交错级数，我们可以通过其交错性质和项的递减性来判断其极限。
5. 绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么该级数称为绝对收敛。
如果一个级数本身收敛，但绝对值级数发散，那么该级数称为条件收敛。
通过数列与级数的极限判定方法，我们可以更好地理解数学中的数列与级数，研究它们的性质与行为。
数列的通项公式与性质
数列的通项公式与性质数列是数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一组数。
数列可以用来描述各种现象和问题，它的通项公式和性质对于解决数学问题具有重要意义。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够用一个公式表示出数列中第n个数与n的关系。
通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意位置的数值，同时也能够帮助我们研究数列的性质。
常见的数列通项公式有等差数列和等比数列的通项公式。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
除了等差数列和等比数列，还存在其他类型的数列，如斐波那契数列、三角数列等。
这些数列的通项公式可以通过观察数列的规律或利用递推关系来得到。
二、数列的性质数列的性质是指数列中的一些特点或规律。
通过研究数列的性质，我们可以更好地理解数列的规律和特点，从而解决与数列相关的问题。
1. 数列的有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指数列中存在上界和下界，即数列中的所有项都在一个范围内。
无界数列是指数列中不存在上界和下界，即数列中的某些项可以无限增大或无限减小。
2. 数列的单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指数列中的每一项都大于或等于前一项，单调递减数列是指数列中的每一项都小于或等于前一项。
3. 数列的极限：数列的极限是指数列中的项随着项数的增加逐渐趋于某个固定的值。
极限可以是有限的，也可以是无限的。
当数列的极限存在且为有限值时，称该数列收敛；当数列的极限不存在或为无限值时，称该数列发散。
4. 数列的递推关系：数列的递推关系是指数列中的每一项与前一项之间的关系。
通过递推关系，我们可以根据数列中的前几项来计算后面的项，从而得到数列的通项公式。
三、数列的应用数列的通项公式和性质在数学中有广泛的应用。
它们可以用于解决各种数学问题，如求和、求极限、求最值等。
证明单调性的方法总结
证明单调性的方法总结在数学和统计学中，证明函数的单调性是一个非常重要的概念。
单调性是函数在自变量变化时的增减规律，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质。
本文将介绍几种常见的证明函数单调性的方法。
1. 导数法导数法是证明函数单调性最常用的方法之一。
假设函数f(x)在区间I上连续，并且在该区间内可导。
要证明函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，可以使用导数法。
具体步骤如下：1.求出函数f(x)在区间I上的导数f’(x)；2.根据导数f’(x)的正负情况判断函数f(x)的单调性。
如果导数f’(x)在区间I上恒大于零，则函数f(x)在该区间上单调递增；如果导数f’(x)在区间I上恒小于零，则函数f(x)在该区间上单调递减。
2. 函数值比较法函数值比较法是证明函数单调性的另一种常用方法。
假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在该区间内存在导数。
要证明函数f(x)在该区间上单调递增或单调递减，可以使用函数值比较法。
具体步骤如下：1.选取区间[a, b]上的任意两个不同的点x1和x2，其中x1 < x2；2.比较函数f(x1)和f(x2)的大小；•如果f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；•如果f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在区间[a, b]上单调递减；•如果f(x1) = f(x2)，则无法确定函数f(x)的单调性。
3. 二阶导数法在某些情况下，求函数的导数可能比较容易，但是判断导数的正负可能比较困难。
这时可以使用二阶导数法来帮助判断函数的单调性。
具体步骤如下：1.求出函数f(x)在区间I上的二阶导数f’’(x)；2.根据二阶导数f’’(x)的正负情况判断函数f(x)的单调性。
如果二阶导数f’‘(x)在区间I上恒大于零，则函数f(x)在该区间上为凹函数，即单调递增；如果二阶导数f’’(x)在区间I上恒小于零，则函数f(x)在该区间上为凸函数，即单调递减。
数列极限的概念及其性质证明
数列极限的概念及其性质证明数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列极限是数列理论中的核心概念之一，它描述了数列在无限项下的趋势和性质。
本文将探讨数列极限的概念及其性质证明。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项数趋向无穷大时，数列中的数值逐渐趋近于某个固定的值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，那么称数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞)an = a。
二、数列极限的性质证明1. 唯一性性质首先，我们来证明数列极限的唯一性性质。
假设数列{an}的极限既为a又为b，且a ≠ b。
根据极限的定义，我们可以取ε = |a - b|/2，那么存在正整数N1和N2，使得当n > N1时，有|an - a| < ε，当n > N2时，有|an - b| < ε。
考虑n > max(N1, N2)，那么根据三角不等式，有：|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| < ε + ε = |a - b|。
这与|a - b| < |a - b|矛盾，因此假设不成立，数列极限的唯一性得证。
2. 有界性性质接下来，我们证明数列极限的有界性性质。
假设数列{an}的极限为a，则存在正整数N，使得当n > N时，有|an - a| < 1。
令M = max{|a| + 1, |a1|, |a2|, ..., |aN|}，那么对于任意的n > N，有：|an| = |an - a + a| ≤ |an - a| + |a| < 1 + |a| ≤ |a| + 1 ≤ M。
因此，数列{an}是有界的。
3. 单调性性质最后，我们证明数列极限的单调性性质。
数列与级数的极限性质及计算方法
数列与级数的极限性质及计算方法数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论数列与级数的极限性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、数列的极限性质数列是由一系列有序的数所组成的，它们按照一定的规律排列。
数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。
数列的极限性质包括以下几个方面：1. 有界性：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么它是有界的。
具体来说，如果存在一个正数M，使得对于数列中的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么这个数列是有界的。
2. 单调性：数列的单调性指的是数列中的项按照一定的规律递增或递减。
如果数列的项递增，那么这个数列是递增的；如果数列的项递减，那么这个数列是递减的。
3. 收敛性：数列的收敛性是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。
如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。
二、数列的计算方法计算数列的方法主要包括以下几种：1. 递推法：递推法是指根据数列的前一项来计算后一项。
例如，Fibonacci数列就是通过递推法计算的，每一项都是前两项的和。
2. 通项公式：通项公式是指通过一个数学公式来计算数列的任意一项。
例如，等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。
3. 递归公式：递归公式是指通过数列的前几项来计算后一项。
例如，斐波那契数列的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
三、级数的极限性质级数是由一个数列的项相加而得到的。
级数的极限是指当级数的项数趋于无穷大时，级数的和趋于一个确定的常数。
级数的极限性质包括以下几个方面：1. 绝对收敛性：如果一个级数的各项都是正数，并且这个级数的部分和数列是有界的，那么这个级数是绝对收敛的。
2. 条件收敛性：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。
数列的概念与性质
数列的概念与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数字所组成。
数列的研究是数学中的一个重要分支，不仅应用于数学领域，也广泛应用于其他科学领域中。
本文将介绍数列的概念与性质，以帮助读者更好地理解数列的内涵和应用。
一、数列的概念数列是指将按照一定规律排列的数字按照一定的次序排成的一个序列。
数列中的每一个数字称为数列的项，而数列的次序就是项的位置。
数列常用字母表示，如$a_n$表示数列的第$n$个项。
数列可以是无限的，也可以是有限的。
无限数列是指数列的项数是无限多的，有限数列则是指数列的项数是有限多的。
数列的概念广泛运用在数学分析、微积分、代数学、概率论等各个数学学科中。
数列可以有不同的定义方式，最常见的定义方式是递推式。
递推式可以通过给定前几个项，然后根据一定的规律求得后续项，进而确定整个数列。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推数列，它的递推式为$a_1=1, a_2=1$，而后续项则通过前两项之和来获得。
二、数列的性质数列有许多重要的性质，下面将介绍其中的几个关键性质：1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指数列的所有项都在某个范围内，而无界数列则是指数列的项没有上限或下限。
有界数列通常可以通过确定数列的上下界来证明。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指数列的每一项都比前一项大，而单调递减数列则是指数列的每一项都比前一项小。
单调性通常可以通过比较数列的相邻项的大小来证明。
3. 极限性：数列的极限是指数列中的项随着项数的增加趋于某一固定值。
当数列的极限存在时，称为数列收敛；当数列的极限不存在时，称为数列发散。
数列的极限在微积分中有广泛的应用。
4. 递归性：数列可以通过递推式进行定义，递推式反映了数列中项与项之间的关系。
递归数列常常涉及到迭代算法和数学归纳法，是数学研究中的重要内容。
以上只是数列的一些基本性质，数列的研究还涉及到等差数列、等比数列、调和数列等特殊数列的性质，以及数列求和、数列极限、数列敛散判别等更深入的内容。
数学中的数列和三角函数知识
数学中的数列和三角函数知识一、数列知识1.数列的定义：数列是由一些按照一定顺序排列的数构成的序列。
2.数列的表示方法：–列举法：直接将数列中的各项写出来；–通项公式法：用公式表示数列中任意一项的值。
3.数列的分类：–整数数列：数列中的每一项都是整数；–有理数数列：数列中的每一项都是有理数；–实数数列：数列中的每一项都是实数。
4.数列的性质：–单调性：数列可以分为单调递增、单调递减或常数数列；–周期性：数列中存在周期性的重复项；–收敛性：数列的各项逐渐趋近于某一确定的值。
5.等差数列：数列中任意两项之差都相等的数列。
–定义：数列{a_n}中，如果对于任意的n，都有a_n - a_(n-1) = d，那么数列{a_n}就是等差数列，其中d为常数，称为公差。
–通项公式：a_n = a_1 + (n - 1)d–前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)6.等比数列：数列中任意两项的比值都相等的数列。
–定义：数列{a_n}中，如果对于任意的n，都有a_n / a_(n-1) = q，那么数列{a_n}就是等比数列，其中q为常数，称为公比。
–通项公式：a_n = a_1 * q^(n-1)–前n项和公式：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)（q ≠ 1）二、三角函数知识1.三角函数的定义：三角函数是用来描述直角三角形中角度与边长之间关系的函数。
2.基本三角函数：–正弦函数（sin）：sinθ = 对边 / 斜边–余弦函数（cos）：cosθ = 邻边 / 斜边–正切函数（tan）：tanθ = 对边 / 邻边3.特殊角的三角函数值：–sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3–sin45° = √2/2，cos45° = √2/2，tan45° = 1–sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3–sin90° = 1，cos90° = 0，tan90° = 无穷大4.三角函数的性质：–周期性：三角函数具有周期性，如sinθ和cosθ的周期都是2π；–奇偶性：sinθ和tanθ是奇函数，cosθ是偶函数；–单调性：三角函数在各自的定义域内具有单调性。
高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法
高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法法一 ：利用单调性 ①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二： 先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6n n n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解 （Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===-- ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132n n n T -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432+-++-+-+=n n n T ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T ④利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++ 因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+n n n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法① 分析法因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+n n . 即只要证明23)21)(12(<+n n . 只需要证明2423+>•n n . 即只要证明02423>--•n n 由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--•n n 成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立. 所以n T 存在最大值211=T . 方法② 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <. 则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+. 这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列{}n a 的通项公式9(1)()10n n a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤， 又∵n N +∈， ∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。
数列的概念及基本性质
数列的概念及基本性质数列是数学中非常重要的概念之一，它在许多数学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数列的概念及其基本性质，并探讨它在数学中的重要意义。
一、数列的概念数列是按照一定规则排列的一组数。
通常用{an}或{an}（n≥1）表示数列，其中an表示数列中第n个元素。
数列中的每个元素都有其特定的位置和值。
数列可以有无穷多项，也可以只有有限项。
当数列有无穷多项时，可以用递推公式或通项公式来表示数列中的每个元素。
递推公式指出每一项与前一项的关系，而通项公式直接给出第n项的表达式。
二、数列的基本性质1. 数列的有界性：一个数列称为有界的，当且仅当存在正数M，使得对于所有的正整数n，都有|an|≤M。
有界数列在许多数学问题中具有重要作用。
2. 数列的单调性：一个数列称为单调递增的，当且仅当对于所有的正整数n，都有an≤an+1。
一个数列称为单调递减的，当且仅当对于所有的正整数n，都有an≥an+1。
3. 数列的极限：数列中的元素可能会趋向于一个确定的值，这个值被称为数列的极限。
如果数列{an}的极限存在，记为lim（n→∞）an=L，其中L为实数。
若不存在这样的L，称数列为发散的。
4. 数列的公差：对于等差数列{an}，如果对于所有的正整数n，都有an+1-an=d，则d称为数列的公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
5. 数列的比率：对于等比数列{an}，如果对于所有的正整数n，都有an/an+1=q，则q称为数列的比率。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
三、数列的应用数列的概念及其基本性质在许多数学领域中都有广泛的应用。
下面以几个例子来说明数列的重要性：1. 等差数列：等差数列是最常见的数列之一，在代数学、几何学、物理学等领域中都有广泛应用。
例如，在物理学中，等差数列可用于描述匀速直线运动的位移、速度和加速度。
等差数列的性质还有利于解决一些数学问题。
2. 等比数列：等比数列也是一种常见的数列类型，经常出现在代数学、几何学和金融等领域。
用定义证明数列极限存在的步骤
收敛数列的有界性（定理2）
收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关系（定理3）
2
一、定义与定理
1.数列的有界性和单调性： (1)有界性: 若对数列 x n :M 0，使得： xn M n 1,2,3，
否则称数列x n 是无界的。 x n 是有界的； 则称数列
无界。
M 0, 总能找到 n0 , 使得 x n0 M . { x n }
正确理解数列极限 " N "定义： ① 0 的任意给定性。 是任意给定的正数，它是任意的， 但一经给出，又可视为固定的，以便依 来求出 N , 由于 0 的任意性，所以定义中的不等式 x n a 可以改为
x n a k ( k 0为常数） ;
xn a
n
或 x n a n .
如果数列没有极限 , 就说数列是 发散 的。
引例 割圆术 1 1 1 1, , ,... ,... 2 3 n
" N "定义： 0, N 0,当n N , 恒有 x n a , 则 lim x n a .
n
5
单调增加的或单调减少 的数列统称为 单调数列 。
4
2.数列极限的定义
定义： , 总存在正整数N , 对于任意给定的正数 不论它多么小
使得对于n N时的一切x n ,不等式：x n a 都成立, 则称常数a是数列x n 的极限, 或者称数列 x n 收敛于a,
记作
lim x n a ,
xn a 2 ;
1 , M为任意正整数）； x n a 等等。 （ M ② N的相应存在性。N依赖于 ，通常记作 N ( ), 但N并不是 唯一的，N ( ) 只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数 关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。 n N 时有 x n a ”是指下标大于N的无穷多项 ③ 定义中“当 x n都落在数 a 的 邻域内，即 n N , x n a , a . 也就是说
微专题 数列的单调性、最值和周期性
反思 感悟
要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要方法便是 求出该数列的前几项，通过观察得到，或者由递推公式发现规律.
分析通项(或递推)公式，多求出几项，找到规律.
一、数列单调性的判断
1－2x 例 1 已知函数 f(x)＝ x＋1 (x≥1)，构造数列 an＝f(n)(n∈N*).试判断数列的单 调性.
解 f(x)＝1x－＋21x＝－2＋x＋3 1. 方法一 ∵an＝－2＋n＋3 1(n∈N*)，an＋1＝－2＋n＋3 2， ∴an＋1－an＝n＋3 2－n＋3 1＝3nn＋＋11－nn＋－22＝n＋1－3n＋2<0. ∴an＋1<an. ∴数列{an}是递减数列. 方法二 设x1>x2≥1，则 f(x1)－f(x2)＝－2＋x1＋3 1－－2＋x2＋3 1 ＝x1＋3 1－x2＋3 1
例 3 已知数列{an}的通项公式为 an＝n97n＋1，n∈N*，则该数列是否有最大 项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由.
解 方法一 ∵an＋1－an＝(n＋1)·97n＋2－n·79n＋1＝79n＋1·7－92n，且 n∈N*， ∴当n>3，n∈N*时，an＋1－an<0； 当1≤n≤3，n∈N*时，an＋1－an>0. 综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增； 在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减. ∴存在最大项.
又 a3＝3×793＋1<a4＝4×794＋1，∴第 4 项为最大项. 方法二 假设an是数列中的最大项， 则有aann≥ ≥aann＋ －11， ， n≥2.
即n·79n＋1≥n＋1·79n＋2， n79n＋1≥n－179n，
∴nn≥≤7292，，
又∵n∈N*，故 n＝4.
数列知识点归纳及例题分析
数列知识点归纳及例题分析一、数列的概念：1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： 10,-3,8,-15,24,....... 221,211,2111,21111,......(3), (17)9,107,1,232.n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n nn注意：强调2,1≥=n n 分开,注意下标；n a 与n S 之间的互化求通项例2：已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2,11,32n n n S n ,求n a .3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大小项问题：单调性法；图像法（3）数列的周期性：注意与函数周期性的联系例3：已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531=a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列例4等差数列的判定或证明：已知数列{a n}中,a1＝错误!,a n＝2－错误!n≥2,n∈N,数列{b n}满足b n＝错误!n∈N．1求证：数列{b n}是等差数列；2求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明理由．1证明∵a n＝2－错误!n≥2,n∈N,b n＝错误!.∴n≥2时,b n－b n－1＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝1.∴数列{b n}是以－错误!为首项,1为公差的等差数列．2解由1知,b n＝n－错误!,则a n＝1＋错误!＝1＋错误!,设函数fx＝1＋错误!,易知fx在区间错误!和错误!内为减函数．∴当n＝3时,a n取得最小值－1；当n＝4时,a n取得最大值3.例5等差数列的基本量的计算设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn ,满足S5S6＋15＝0.1若S5＝5,求S6及a12求d的取值范围．解1由题意知S6＝错误!＝－3,a6＝S6－S5＝－8. 所以错误!解得a1＝7,所以S6＝－3,a1＝7.2方法一∵S5S6＋15＝0,∴5a 1＋10d 6a 1＋15d ＋15＝0, 即2a 错误!＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解,所以 Δ＝81d 2－810d 2＋1＝d 2－8≥0, 解得d ≤－2错误!或d ≥2错误!. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0, ∴5a 1＋10d 6a 1＋15d ＋15＝0, 9da 1＋10d 2＋1＝0.故4a 1＋9d 2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－2错误!或d ≥2错误!.例6前n 项和及综合应用1在等差数列{a n }中,已知a 1＝20,前n 项和为S n ,且S 10＝S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值；2已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25,求数列{|a n |}的前n 项和． 解 方法一 ∵a 1＝20,S 10＝S 15,∴10×20＋错误!d ＝15×20＋错误!d ,∴d ＝－错误!. ∴a n ＝20＋n －1×错误!＝－错误!n ＋错误!. ∴a 13＝0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,∴当n ＝12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋错误!×错误!＝130.方法二 同方法一求得d ＝－错误!.∴S n ＝20n ＋错误!·错误!＝－错误!n 2＋错误!n ＝－错误!错误!2＋错误!. ∵n ∈N,∴当n ＝12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12＝S 13＝130. 2∵a n ＝4n －25,a n ＋1＝4n ＋1－25,∴a n ＋1－a n ＝4＝d ,又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项,以4为公差的递增的等差数列． 令错误!由①得n <6错误!；由②得n ≥5错误!,所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项,公差为－4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则 T n ＝错误! ＝错误!例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ,且7453nnS n T n ,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . 先求an/bn n=5,13,35例9已知数列{}n a 中,113a =,当2≥n 时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-,则数列{}n a 的通项公式为 ()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥例10在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n+=++,则n a = .例1111a a -+是和的等比中项,则a +3b 的最大值为 2 . 例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_三、数列求和： 1倒序相加法如：已知函数1()()42x f x x R =∈+,求12()()()m mS f f f m m m =+++_________2错位相减法：{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是等比数列; 3裂项相消法：形如)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=4拆项分组法：形如n n n c b a ±=,如：n n n a 32+=,65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,21)1(n a n n ⋅-=-练习：1、数列1,211+,3211++,···,n+++ 211的前n 项和为 B A ．122+n n B ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n2、数列,,1617,815,413,211 前n 项和=n S ．3、数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11,则S 100＝_________________;4、设()111126121n S n n =+++++,且134n n S S +⋅=,则=n ．65、设*N n ∈,关于n 的函数21)1()(n n f n ⋅-=-,若)1()(++=n f n f a n ,则数列}{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________．答案：100．解答：])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+⋅-+⋅-=++=-,)12()1(+-=n n ,所以201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a100502=⨯=． 四、求数列通项式2ln n+1公式法：121+=+n n a a ,112++-=⋅n n n n a a a a ,121+=+n nn a a a 等 2累加法：形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-,且)(n f 不为常数 3累乘法：形如)2)((1≥⋅=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 4待定系数法：形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1型5转换法：已知递推关系0),(=n n a S f ⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n解题思路：利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n nn变化1已知0),(11=--n n a S f ；2已知0),(1=--n n n S S S f （6）猜想归纳法慎用练习：考点三：数列的通项式1、在数列{}n a 中,前n 项和842--=n n S n ,则通项公式=n a _______________3、已知数列的前n 项和n n S 23+=,则=n a _______________15122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩4、已知数列{}n a ,21=a ,231++=+n a a n n ,则 =n a )(,23*2N n nn ∈+5、在数列{}n a 中,1112,lg 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭*N n ∈,则n a ＝ .6、如果数列{}n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ，,则=n a ________________7、}{n a 满足11=a ,131+=+n n n a a a ,则n a =_______132n -8、已知数列{}n a 的首项12a =,且121n n a a +=-,则通项公式n a = 121n -+ 9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈,则通项公式n a =10、如果数列{}n a 的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是 DA ．)1(22++=n n a nB ．n n a 23⋅=C ．13+=n a nD ．n n a 32⋅=五、数列应用题： 等差数列模型1、一种设备的价格为450000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 ;30年2、在一次人才招聘会上,有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元； 乙公司：第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初同时被甲、乙公司录取,试问：1若该人打算连续工作n 年,则在第n 年的月工资收入分别是多少元2若该人打算连续工作10年,且只考虑工资收入的总量,该人应该选择哪家公司为什么精确到1元解：1设在甲公司第n 年的工资收入为n a 元,在乙公司第n 年的工资收入为n b 元 则2301270n a n =+,120001.05n n b -=⋅ 2设工作10年在甲公司的总收入为S 甲,在甲公司的总收入为S 乙由于S S >乙甲,所以该人应该选择甲公司.等比数列模型例 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据计划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年度减少51,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41;1设n 年内本年度为第一年总投入为n a 万元,旅游业总收入为n b 万元,写出n a 、n b 的表达式；2至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入精确到整数 参考解答：112511800511800511800800-⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n a2解不等式n n a b >,得5≥n ,至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.六、2017年高考题一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 2017年新课标Ⅰ 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为2. 2017年新课标Ⅱ卷理 我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.2017年新课标Ⅲ卷理 等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0．若632,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为4. 2017年浙江卷 已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0>d ”是“5642S S S >+”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件5.2017年新课标Ⅰ 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列⋯,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02,接下来的两项是102,2,再接下来的三项是2102,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 二、填空题将正确的答案填在题中横线上6. 2017年北京卷理 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ,22a b =_______.7.2017年江苏卷等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a =_______________．8. 2017年新课标Ⅱ卷理 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =, 则11nk kS ==∑． 9.2017年新课标Ⅲ卷理设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ,则=4a __． 三、解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10. 2017年新课标Ⅱ文已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ,等比数列}{n b 前n 项和为.2,1,1,2211=+=-=b a b a T n 1若533=+b a ,求}{n b 的通项公式； 2若213=T ,求3S . 11.2017年新课标Ⅰ文 记nS 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知.6,232-==S S1求{}n a 的通项公式； 2求n S ,并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列; 12. 2017年全国Ⅲ卷文设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=…1求数列{}n a 的通项公式； 2求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和；13.2017年天津卷文已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=． 1求{}n a 和{}n b 的通项公式； 2求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 14.2017年山东卷文已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.1求数列{}n a 的通项公式；2{}n b 为各项非零等差数列,前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T15. 2017年天津卷理已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.1求{}n a 和{}n b 的通项公式； 2求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 16. 2017年北京卷理 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅,其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数． 1若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列； 2证明：或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,nc M n>；或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．17.2017年江苏卷对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”．1证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；2若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明：{}n a 是等差数列． 18.本小题满分12分已知}{n x 是各项均为正数的等比数列,且.2,32321=-=+x x x x Ⅰ求数列}{n x 的通项公式；Ⅱ如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点)1,(,),2,(),1,(11211+⋯++n x P x P x P n n 得到折线121+⋯n P P P ,求由该折线与直线11,,0+===n x x x x y 所围成的区域的面积n T .19.2017年浙江卷已知数列}{n x 满足：).)(1ln(,1*111N n x x x x n n n ∈++==++证明：当*N n ∈时,1n n x x <<+10； 22211++≤-n n n n x x x x ； 3212121++≤≤n n n x .。
证明数列单调性的方法
证明数列单调性的方法证明数列的单调性是数列分析中的一个重要内容。
下面我将介绍三种常用的方法：数学归纳法、导数法和递归法。
首先，我们来讨论数学归纳法。
数学归纳法是一种证明自然数的性质的常用方法。
假设要证明数列a1, a2, ..., an单调递增，即a1 ≤a2 ≤ ... ≤an。
我们可以通过数学归纳法的步骤来证明。
步骤一：首先证明当n=1时，数列成立。
即证明a1 ≤a2。
步骤二：假设当n=k时，数列成立，即a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak。
步骤三：证明当n=k+1时，数列也成立。
即证明a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak+1。
由步骤二可知，a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak，再考虑ak+1与ak之间的关系。
由于数列单调递增，我们知道ak+1 ≥ak。
结合步骤二的假设，可以得到a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak+1。
因此，数列单调递增成立。
另一种证明数列单调性的方法是导数法。
导数法适用于数列中的连续函数。
假设数列a1, a2, ..., an中的元素都是连续函数f(x)的取值，且f(x)的导数存在。
我们可以通过求f(x)的导数，来判断数列的单调性。
如果f'(x) > 0，则数列单调递增；如果f'(x) < 0，则数列单调递减。
这是因为，根据导数的定义，f'(x)代表了函数f(x)在x点的变化率。
当导数大于零时，函数增长；当导数小于零时，函数减小。
最后，我们来讨论递归法。
递归法适用于数列中的递归表达式。
假设数列满足如下递归表达式：a1 = c，其中c为常数。
an = f(an-1)。
其中f(x)是一个数值函数。
我们可以通过递归法证明数列的单调性。
首先，我们可以通过计算数列前几项的数值来观察数列的单调性。
然后，我们通过数学归纳法证明数列的单调性。
步骤一：首先证明当n=1时，数列成立。
即证明a1 ≤a2。
步骤二：假设当n=k时，数列成立，即a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak。
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题型一：根据数列性质解题
【例1】（1）在等比数列{a n }中，a 1+a 2=324，a 3+a 4=36，求a 5+a 6的值；
（2）在等比数列{a n }中，已知a 3a 4a 5=8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值.
解析：（1由等比数列的性质知,a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列，则(a 3+a 4)2
=(a 1+a 2)(a 5+a 6).
∴a 5+a 6=4.（2）∵a 3a 5=a 24，∴a 3a 4a 5=a 34=8，∴a 4=2，又∵a 2a 6=a 3a 5=a 24，∴a 2a 3a 4a 5a 6=a 54=32. 【例2】等差{a n }的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.
解析：设等差数列{an}的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m 项.依题意，有S 奇=(m+1)am+1=216① ； S 偶=mam+1=192 ②
①÷②,得m m 1+=192216
，解得,m=8,
∴数列共有2m+1=17项，把m=8代入②，得a9=24,又∵a1+a17=2a9，
∴a17=2a9-a1=47，且d=917917--a a =823an=1+(n-1)×823=815
23-n (n ∈N*,n ≤17)
题型二：数列最值问题与单调性
【例1】已知一个正项等差数列前20项的和为100，那么147a a 最大值为
（ ） A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 解析：201111919191002010055222
S a d a d a d ⎛
⎫=⇒+=⇒+=⇒=- ⎪⎝⎭，所以， ()()7141119197761356513552222d d d d a a a d a d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2
4925254
d =-≤ 【例2】等差数列}{n a 中，22008a =，2008200416a a =-，则其前n 项和n S 取最大值时n 等于（ ）
A ．503
B ．504
C ．503或504
D ．504或505 解析：2120082008a a d =⇒+=，2008200411162007200316a a a d a d =-⇒+=+- 4d ⇒=-，所以，12012a =，所以，()()()1112012422n n n n n S na d n --=+
=+⨯- ()201221n n n =--220142n n =-，结合二次函数222014n S n n =-+的图象进行判定。
另解：20082004164a a d =-⇒=-，所以12310k k a a a a a +>>>>≥≥> ，数列
}{n a 为递减的等差数列，所以，把所有非负项都加起来可得到n S 的最大值。
由
()2012412016
4n a n n =--=-，可知，当504n ≤时，数量的项非负，而50350400a a >=，，所以，503S 或504S 最大。
题型三：证明数列是等比或等差数列
1.定义法：在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列 在数列{}n a 中，若q a a n n =-1
（q 为常数），则数列{}n a 为等比数列 2.等差中项法： 212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列
3.看通项与前n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）
（1）若数列通项n a 能表示成b an a n +=（a ，b 常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列； 若通项n a 能表示成n
n cq a =（c ，q 均为不为0的常数）的形式，则{}n a 是等比数列
（2）若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成bn an S n +=2（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成A Aq S n n -=（A 、q 均为不等于0的常数，且1≠q ）的形式，则数列{}n a 是公比不为1的等比数列
【例1】（定义法）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，
3
21=a ，且满足211322++=+n n n a S S （*N n ∈）证明：数列{}n a 是等差数列 证明：由211322++=+n n n a S S 得21132)(2++=++n n n n a S a S 整理得121234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 223341221+--=++ ， n n n n a a a a 22331221+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a ，所以()231=-+n n a a ，即321=-+n n a a 所以{}n a 是首项为
32，公差为3
2的等差数列
【例2】（定义法）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S 125()n n S S n n *+=++∈N ，证明数列{1}n a +是等比数列； 解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+， 当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+，
又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．
故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+． 所以数列{1}n a +是等比数列．
【例3】（等差中项法）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，
其中A 、B 为常数 （1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列 解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851得B A +=⨯-⨯-1773 B A +=⨯-⨯2712182 解得：20-=A ，8-=B
（2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n
整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n
即82028511--=--⋅++n S S a n n n n ① 又()()81202815122-+-=--++++n S S a n n n n ② ②-①得()20285151212-=--⋅-+++++n n n n a a a n a n 即()()20253512-=+--++n n a n a n ③ 又()()20752523-=+-+++n n a n a n ④
④-③得()()0225123=+-++++n n n a a a n 所以02123=+-+++n n n a a a
所以5231223=-==-=-++++a a a a a a n n n n ，又512=-a a 所以数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列
【例4】（看通项与前n 项和法）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，2
n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，也是等比数列
D.既不是等差数列，也不是等比数列
【例5】已知数列{}n a 的前n 项和3
12131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S ，则数列{}n a 是什么数列 解析：由数列前n 项和可知，数列{}n a 是等比数列，首项6
13121311=+⨯-=a ，公比21=q。