2019-2020数学高考模拟试题(附答案)
2023年高中数学高考模拟试题3(附答案)
2023年高中数学高考模拟试题（附答案）姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、单选题(每题5分，共50分)1．(本题5分)（）A．B．C．D．2．(本题5分)已知集合，，则（）A．B．C．D．3．(本题5分)函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．34．(本题5分)已知数列为递减的等比数列，，且，，则公比为（）A．B． C.D．25．(本题5分)在中，已知，D为BC中点，则（）A．2B．C．D．6．(本题5分)函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．7．(本题5分)已知函数，则在上（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增8．(本题5分)如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．(本题5分)在中，，且，则（）A．2B．3C．D．10．(本题5分)已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题(共25分)11．(本题5分)定义在R上的奇函数，当x≥0时，（k为常数），则______．12．(本题5分)等差数列的前n项和为，若，则当取到最大值时n__________.13．(本题5分)已知不等式组表示的平面区域不包含点，则实数的取值范围是__________．14．(本题5分)已知双曲线的左右焦点分别是，直线与双曲线交于p，且，则双曲线C的离心率为______．15．(本题5分)设A是椭圆（φ为参数）的左焦点.p是椭圆上对应于的点，那么线段AP的长是________.如图，在斜三棱柱中，底面的正三角形，，侧棱过点的直线交曲线的垂线，垂足分别为、，判，使得四边形的对角线交于一定点18．(本题15分)已知等差数列的n前项和为，，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足，求数列的n前项和．19．(本题15分)已知在中，，，为内角A，B，C所对的边，，且．(1)求A与C；(2)若，过A作BC边的垂线，并延长至点D，若A，B，C，D四点共圆，求的CD长．20．(本题15分)已知函数．(1)当m＞0时，求函数f（x）的极值点的个数；(2)当a，b，c∈（0，+∞）时，恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单选题第1题第2题第3题第4题第4题A A C A D第6题第7题第8题第9题第10题C D C B B二、填空题第11题：-4；第12题：6；第13题：（-∞，3]第14题：√2；第15题：5。
2020届高考冲刺高考仿真模拟卷(七) 数学(理)(解析版)
2020高考仿真模拟卷(七)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖北荆门四校六月考前模拟)已知集合M ＝{x |x 2<1|，N ＝{y |y ＝log 2x ，x >2}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁R N )＝∅C ．M ∩N ＝UD ．M ⊆(∁R N )答案 D解析 由题意得M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y >1}，因为M ∩N ＝∅≠N ，所以A 错误；因为∁R N ＝{y |y ≤1}，M ∩(∁R N )＝{x |－1<x <1}≠∅，所以B 错误；因为M ∩N ＝∅≠U ，所以C 错误；因为M ＝{x |－1<x <1}，∁R N ＝{y |y ≤1}，M ⊆(∁R N )，所以D 正确．故选D.2．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( )A ．8－6iB ．8＋6iC ．－8＋6iD ．－8－6i答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)i ＝8＋6i.3．(2019·四川宜宾第三次诊断)设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥1B ．y ≤1C ．x －y ＋2≥0D ．x －3y －6≤0答案 C解析 作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A (3，－1)，B (0,2)，C (0，－3)．这样易判断x ≥1，y ≤1都不恒成立，可排除A ，B ；又直线x －3y －6＝0过点(0，－2)，这样x －3y －6≤0不恒成立，可排除D.故选C.5．在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA ＝CB ＝1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90°得向量CM→，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．12答案 C解析 如图，以CA ，CB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则CA→＝(1,0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，且CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →·CM →|CA →|＝－12＋01＝－12.6．(2019·湖南长郡中学考前冲刺)从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：A ．140B ．142C ．143D ．144答案 D解析 x －＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，所以方差为110×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．32 B ．24 C ．12 D ．6答案 B解析 因为(2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，所以a 2＝C 24·22＝24. 8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于( )A ．a N ＋1B ．a N ＋2C ．a N ＋1－1D ．a N ＋2－1答案 D解析 第一次循环：i ＝1，a 3＝2，s ＝s 3＝4；第二次循环：i ＝2，a 4＝3，s ＝s 4＝7；第三次循环：i ＝3，a 5＝5，s ＝s 5＝12；第四次循环：i ＝4，a 6＝8，s ＝s 6＝20；第五次循环：i ＝5，a 7＝13，s ＝s 7＝33；…；第N －1次循环：此时i ＋2＝N ＋1>N ，退出循环，故输出s ＝s N ，归纳可得s N ＝a N ＋2－1.故选D.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的周期为πB ．函数y ＝f (x －π)为奇函数C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称答案 C解析 观察图象可得，函数的最小值为－2，所以A ＝2， 又由图象可知函数过点(0，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2，即⎩⎨⎧3＝2sin φ，－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×5π4＋φ，结合12×2πω<5π4<34×2πω和0<φ<π.可得ω＝1415，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x ＋π3，显然A 错误；对于B ，f (x －π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1415(x －π)＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x －3π5，不是奇函数；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415×3π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＋π3≠0，故D 错误，由此可知选C.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．53C ．4D ．83答案 D解析 如图，该几何体可由棱长为2的正方体截得，其直观图如图所示，则该几何体的体积V ＝V ABE －DCF －V F －ADC ＝12×2×2×2－13×12×2×2×2＝83.11. 如图，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A ．13B ．23C ．223D ．2 2答案 C解析 设抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l 1：x ＝－1. 直线y ＝k (x ＋1)(k >0)恒过点P (－1，0)， 过点A ，B 分别作AM ⊥l 1于点M ，BN ⊥l 1于点N ， 由|AM |＝2|BN |，所以点B 为|AP |的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |， 点B 的横坐标为12，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)， 解得k ＝223.12．已知函数f (x )＝－8cos π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，则函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为( )A ．6B ．7C ．9D ．12答案 A解析 设函数h (x )＝，则h (x )＝＝的图象关于x ＝32对称，设函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，由π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝k π，k ∈Z ，可得x ＝12－k ，k ∈Z ，令k ＝－1 可得x＝32，所以函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，也关于x ＝32对称，由图可知函数h (x )＝＝的图象与函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 的图象有4个交点，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×32＝6.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，若4cos 2A 2－cos2(B ＋C )＝72，则角A ＝________. 答案 π3解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，即B ＋C ＝π－A ， ∴4cos 2A2－cos2(B ＋C )＝2(1＋cos A )－cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72， ∴2cos 2A －2cos A ＋12＝0，∴cos A ＝12， 又0<A <π，∴A ＝π3.14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x cm 的圆面，中间有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x cm 的正方形孔，油滴是直径0.2 cm 的球，随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体正好落入孔中的概率是________．答案 425π解析 因为直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x ＝(－2cos x )| π0＝4 cm 的圆中有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x ＝4π×π4＝1 cm 的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入孔中”的概率为P ＝S 正方形S 圆＝(1－0.2)2π×22＝425π. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝16，则双曲线C 的离心率为________．答案 52解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，所以2a ＝16，a ＝8， 设F (－c,0)，双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 可得|MF |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF ＝16，可得12ab ＝16，所以b ＝4. 又c ＝a 2＋b 2＝64＋16＝45，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的离心率为c a ＝52.16．(2019·贵州凯里一中模拟)已知函数f (x )＝e x 在点P (x 1，f (x 1))处的切线为l 1，g (x )＝ln x 在点Q (x 2，g (x 2))处的切线为l 2，且l 1与l 2的斜率之积为1，则|PQ |的最小值为________．答案2解析 对f (x )，g (x )分别求导，得到f ′(x )＝e x，g ′(x )＝1x ，所以kl 1＝e x 1，kl 2＝1x 2，则e x 1 ·1x2＝1，即e x 1 ＝x 2，x 1＝ln x 2，又因为P (x 1，e x 1 )，Q (x 2，ln x 2)，所以由两点间距离公式可得|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(e x 1 －ln x 2)2＝2(x 2－ln x 2)2，设h (x )＝x －ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－1x ，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以x ＝1时，h (x )取极小值，也是最小值，最小值为h (1)＝1， 所以|PQ |2的最小值为2，即|PQ |的最小值为 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若3S 3＝2S 2＋S 4，且a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由3S 3＝2S 2＋S 4，可得2S 3－2S 2＝S 4－S 3. 所以公比q ＝2，又a 5＝32，故a n ＝2n .4分(2)因为b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，6分 所以T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋29分 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－12n ＋4.12分18．(2019·安徽马鞍山一模)(本小题满分12分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，A 1B ⊥AC 1，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2.(1)求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；(2)若∠A 1AC ＝60°，在线段AC 上是否存在一点P ，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：∵AC ＝AA 1，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，连接A 1C ，则A 1C ⊥AC 1，又A 1B ⊥AC 1，且A 1C ∩A 1B ＝A 1，∴AC 1⊥平面A 1CB ，2分则AC 1⊥BC ，又∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .4分(2)以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，∠A 1AC ＝60°，∴C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (4，0,0)，A 1(2,0,23)．设线段AC 上存在一点P ，满足AP →＝λAC →(0≤λ≤1)，使得二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34，则AP →＝(－4λ，0,0)，BP →＝BA →＋AP →＝(4，－2,0)＋(－4λ，0,0)＝(4－4λ，－2,0)，A 1P →＝A 1A →＋AP →＝(2,0，－23)＋(－4λ，0,0)＝(2－4λ，0，－23)，CA 1→＝(2,0,23)，6分 设平面BA 1P 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎨⎧m ·BP →＝(4－4λ)x 1－2y 1＝0，m ·A 1P →＝(2－4λ)x 1－23z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2－2λ，1－2λ3，8分 又平面A 1PC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 由|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n | ＝|2－2λ|1＋(2－2λ)2＋(1－2λ)23×1＝34， 解得λ＝43或λ＝34，因为0≤λ≤1，所以λ＝34. 故在线段AC 上存在一点P ，满足AP→＝34AC →，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34.12分19．(2019·山东威海二模)(本小题满分12分)某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表：甲市场n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X (单位：吨)表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元)表示下个销售周期两市场的销售总利润．(1)当n ＝19时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (2)以销售利润的期望为决策依据，判断n ＝17与n ＝18应选用哪—个． 解 (1)由题意可知，当X ≥19时，T ＝500×19＝9500； 当X <19时，T ＝500×X －(19－X )×100＝600X －1900， 所以T 与X 的函数解析式为T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9500，X ≥19，600X －1900，X <19.3分由题意可知，一个销售周期内甲市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.2,0.5,0.3.设销售的利润不少于8900元的事件记为A ， 当X ≥19时，T ＝500×19＝9500>8900， 当X <19时，600X －1900≥8900， 解得X ≥18，所以P (A )＝P (X ≥18)． 由题意可知，P (X ＝16)＝0.3×0.2＝0.06； P (X ＝17)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23； 所以P (A )＝P (X ≥18)＝1－0.06－0.23＝0.71. 所以销售利润不少于8900元的概率为0.71.6分 (2)由题意得P (X ＝16)＝0.06， P (X ＝17)＝0.23，P (X ＝18)＝0.4×0.5＋0.3×0.3＋0.3×0.2＝0.35， P (X ＝19)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27， P (X ＝20)＝0.3×0.3＝0.09.8分①当n ＝17时，E (T )＝(500×16－1×100)×0.06＋500×17×0.94＝8464；10分 ②当n ＝18时，E (T )＝(500×16－2×100)×0.06＋(500×17－1×100)×0.23＋18×500×0.71＝8790.因为8464<8790，所以应选n ＝18.12分20．(2019·山东聊城二模)(本小题满分12分)已知以椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1＋2k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a 2＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，B (x 2，y 2)(x 2y 2≠0)， 则C (－x 1，－y 1)，k AO ＝y 1x 1，因为k AO ·k ＝1，所以k ＝x 1y 1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k2，6分所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12k ＝－y 12x 1，因为直线BC 的方程为y ＋y 1＝－y 12x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，由y 1≠0，得x ＝－3x 1，9分 所以M (－3x 1,0)，k 2＝y 1x 1＋3x 1＝y 14x 1，所以k 1＋2k 2＝－y 12x 1＋2×y 14x 1＝0.所以k 1＋2k 2为定值0.12分21．(2019·辽宁沈阳一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)2＋m ln x ，m ∈R . (1)当m ＝2时，求函数f (x )的图象在点(1,0)处的切线方程； (2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求f (x 2)x 1的取值范围．解 (1)当m ＝2时，f (x )＝(x －1)2＋2ln x ， 其导数f ′(x )＝2(x －1)＋2x ，所以f ′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)， 所以切线的方程为2x －y －2＝0.4分 (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋m x ＝2x 2－2x ＋mx，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程2x 2－2x ＋m ＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝m2，(*)又已知x 1<x 2，所以0<x 1<12<x 2<1，f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋m ln x 2x 1，将(*)式代入得f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋2x 2(1－x 2)ln x 21－x 2＝1－x 2＋2x 2ln x 2，8分令g (t )＝1－t ＋2t ln t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g ′(t )＝2ln t ＋1，令g ′(t )＝0，解得t ＝1e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 时，g ′(t )<0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(t )>0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增；所以g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－2e＝1－2e e ，因为g (t )<max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，g (1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0＝g (1)，所以g (t )<0. 所以f (x 2)x 1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2e e ，0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点M (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |. 解 (1)对于曲线C ：ρ＝4cos θsin 2θ，可化为ρsin θ＝4ρcos θρsin θ.把互化公式代入，得y ＝4xy ，即y 2＝4x ，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分(2)根据已知条件可知直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＋y ＝1，消去x 并整理得y 2＋4y －4＝0，7分 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4. 所以|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1×(－4)2－4×(－4)＝8.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． 解 (1)由f (x )－f (x ＋1)≤1可得 |2x －1|－|2x ＋1|≤1.所以⎩⎨⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎨⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎨⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，2分于是x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14.4分 所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.5分(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可． 由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2，8分 当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m的取值范围是(2，＋∞).10分。
2020年高考理科数学模拟考(一)
模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西模拟]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2) 答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1 答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i－2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3 答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 2 1－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1 ＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3] 答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z取得最大值，联立⎩⎨⎧x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1) C.83(4n －1) D.43(3n －1) 答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n －1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C.9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学诊断]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3] 答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2 答案：A解析：解法一 由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A＝－b2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2， 当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·郑州测试]在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32：1，则x 2的系数为________．答案：90解析：令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 35-r2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.14．在△ABC 中，若(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC→＝0，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423，∴b ＝423.18．(本小题满分12分)[2019·云南昆明一中模拟]某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平，在全校范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N (69,49)，现从该校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)估算该校50名学生成绩的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解析：(1)x －＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.(2)(0.008＋0.012)×10×50＝10(名)． (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4， 则P (X ≥90)＝1－0.997 42＝0.001 3. 0．001 3×20 000＝26，所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上．上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50＝4人． 随机变量X ＝0,1,2.于是P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝1)＝C 16·C 14C 210＝815，P (X ＝2)＝C 24C 210＝25.所以X 的分布列为X0 1 2 P13815215数学期望E (X )＝0×13＋1×815＋2×225＝45. 19．(本小题满分12分)[2019·合肥市质检]如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，连接AC ，如图，则△ACD 为等边三角形，又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B .。
2019年高考数学仿真押题试卷(十九)(含答案解析)
专题19 高考数学仿真押题试卷（十九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合[1A =-，1]，，则(AB = )A ．(0,1)B ．(0，1]C ．(1,1)-D ．[1-，1]【解析】解：(0,1)B =；．【答案】A ．2．已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解：设，，∴，∴，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2-，此点位于第四象限．【答案】D ．3．已知向量(1,3)a =，||3b =，且a 与b 的夹角为3π，则|2|(a b += )A ．5B C ．7D ．37【解析】解：由题可得：向量(1,3)a =，||2a =，所以，所以，．【答案】B ．4．已知函数，若，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，1]B ．[1-，2]C ．(-∞，2][1-，)+∞D ．(-∞，1][2-，)+∞【解析】解：函数，在各段内都是减函数，并且01e -=，，所以()f x 在R 上递减，又，所以，解得：21a -剟， 【答案】A ．5．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的(n )A ．50B ．53C ．59D ．62【解析】解：【方法一】正整数n 被3除余2，得32n k =+，k N ∈； 被8除余5，得85n l =+，l N ∈； 被7除余4，得74n m =+，m N ∈； 求得n 的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得，即输出n 值为53． 【答案】B ．6．已知函数，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以，即6m k ππ=+，k Z ∈，又0m >，所以当0k =时，m 最小为6π． 【答案】A ．7．已知命题p ：函数21()21x x f x -=+是定义在实数集上的奇函数；命题q ：直线0x =是13()g x x =的切线，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．p ⌝【解析】解：，即()f x 是奇函数，故命题p 是真命题，函数的导数，当0x =时，()g x '不存在，此时切线为y 轴，即0x =，故命题q 是真命题，则p q ∧是真命题，其余为假命题， 【答案】A ．8．已知双曲线的渐近线与相切，则双曲线的离心率为(= )A ．2B C D 【解析】解：取双曲线的渐近线by x a=，即0bx ay -=． 双曲线22221(x y a b-= 0a >，0)b >的渐近线与相切，∴圆心(2,0)到渐近线的距离d r =， ∴1=，化为2b c =，两边平方得，化为2234c a =．∴c e a =【答案】D ．9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由，解得7n =，频率为的音名是(#d )， 【答案】D ． 10．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：当0x <时，，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ． 【答案】A ．11．利用Excel 产生两组[0，1]之间的均匀随机数：(a rand = )，(b rand = )：若产生了2019个样本点(,)a b ，则落在曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为( ) A ．673B ．505C ．1346D ．1515【解析】解：由曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形的面积为，所以，则落在曲线1y =、y 0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为，【答案】A ．12．已知点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则12(x x = )A ．2B ．24pC ．2pD ．4【解析】解：不妨设(2,0)P -，过P 的切线方程设为(2)y k x =+， 代入抛物线方程得，又0k ≠，故124x x =．【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若整数x 、y 满足不等式组，则y z x =的最小值为 12． 【解析】解：整数x 、y 满足不等式组的可行域如图：三角形区域内的点(2,1)A 、(2,2)B 、(2,3)C 、(1,2)D ，AO 连线的斜率是最小值．则y z x =的最小值为：12． 故答案为：12．14．已知椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C 内切于点P ，则12PF F S= ．【解析】解：椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C内切于点P ， 可得1b c ==， 所以．故答案为：1．15．定义在R 上的函数()f x 满足，若，且(2)2gl n =-，则1()2g ln = ． 【解析】解：根据题意，，则，变形可得，，又由122ln ln =-，且，则，则；故答案为：4．16．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若，则m 的取值范围为．【解析】解：由O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心， 则点O 为三角形三边中垂线的交点， 由向量投影的几何意义有：，则， 所以则，由正弦定理得：，所以，所以2sin m A =， 又[3A π∈，)2π，所以m ∈2)，故答案为：，2)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC ABC ∆的面积；（2）若，4AD =，求CD 的长．【解析】解：（1）在ABC ∆中，，，解得BC ，∴．（2），∴，∴在ABC∆中，，∴，，∴CD=18．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：参考数据：【解析】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取（人)，从非示范性高中抽取（人)；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有（人)，且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．已知点(0,2)P，点A，B分别为椭圆的左右顶点，直线BP交C于点Q，ABP∆是等腰直角三角形，且35PQ PB=．（1）求C的方程；（2）设过点P 的动直线l 与C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点．当MON ∠为直角时，求直线l 的斜率． 【解析】解：（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则2a =，(2,0)B ， 设点0(Q x ，0)y ，由35PQ PB =，则065x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+， 则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得， ∴△，解得234k >， ，，当MON ∠为直角时，1OM ON k k =-，，则，解得24k =，即2k =±，故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角． 20．如图，在直三棱柱中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --，求AD 的长．【解析】解：（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，，BC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥． 又D 是1AA 的中点，AC AD =，且90CDA ∠=︒，，同理．，则1DC DC ⊥，1DC ∴⊥平面BCD ；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设AD h =，则(1D ，0，)h ，(0B ，1，0)，1(0C ，0，2)．由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取(1m =，0，0)为平面1BC C 的法向量． 设平面1DBC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则n BD ⊥且1n BC ⊥，，，∴，取1z =，得．由，解得12h =，即12AD =．21．已知函数在0x x =处取得极小值1-．（1）求实数a 的值； （2）设，讨论函数()g x 的零点个数．【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，，函数在0}x x =处取得极小值1-，∴，得01,1a x =-⎧⎨=⎩当1a =-时，()f x lnx '=，则(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1x ∴=时，函数()f x 取得极小值1-， 1a ∴=-（2）由（1）知，函数，定义域为(0,)+∞，，令()0g x '<，得0x <令()0g x '>，得x >()g x在上单调递减，在)+∞上单调递增，当x ()g x 取得最小值2eb -， 当02e b ->，即2eb >时，函数()g x 没有零点； 当02e b -=，即2eb =时，函数()g x 有一个零点；当02eb -<，即02e b <<时，g （e ）0b =>，g g ∴（e ）0<存在1x ∈)e ，使1()0g x =，()g x ∴在)e 上有一个零点1x设，则，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h ∴>（1）0=，即当(0,1)x ∈时，11lnx x>-， 当(0,1)x ∈时，，取{m x min b =，1}，则()0m g x >，，∴存在2(m x x ∈，，使得2()0g x =，()g x ∴在(m x 上有一个零点2x ，()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x ，综上可得，当2eb >时，函数()g x 没有零点； 当2eb =时，函数()g x 有一个零点； 当02eb <<时时，函数()g x 有两个零点． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足，点B 的轨迹为2C ．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为(2,)2π，求ABC ∆面积的最小值．【解析】解：（1）曲线1C 的参数方程为为参数），∴曲线1C 的普通方程为，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．设B 的极坐标为(,)ρθ，点A 的极坐标为0(ρ，0)θ， 则||OB ρ=，0||OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=，，08ρρ∴=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，2C ∴的极坐标方程为cos 4ρθ=（2）由题意知||2OC =，，当0θ=时，S ABC 取得最小值为2． [选修4-5：不等式选讲]． 23．已知函数的最小值为t ．（1）求实数t 的值； （2）若，设0m >，0n >且满足，求证：．【解析】解：（1），显然，()f x 在(-∞，1]上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，（1）2=-，2t ∴=-， 证明（2），，由于0m >，0n >，且1122m n+=，，当且仅当22n mm n=，即当12n =，1m =时取“=”， 故。
年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师
专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a <b <c ，故选A ．4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-， 得()()112211f x x f x x --<--， 即()()12F x F x <， 所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->， 所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e xf x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为 A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C.13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减； 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型. 17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为A ．(222,0⎤-⎦B ．(232,0⎤-⎦C ．222,0⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集， 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解，可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去）， 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===. 故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩， 所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ， 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时，()y f x ==()2211x y -+=，0y ≥； 当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故()2244211n k n n n ==++-，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。
(完整)2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑(一)(含解析)
2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑（一）一、选择题1.已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x +<,则A B =( ) A. {}21x x -<< B.{} 12x x x ≤≥或 C.{} 1x x < D.∅2.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．163.若复数z =（x 2－4）+（x +3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x =2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题：1P :若z 满足z C ∈，则 z z R ⋅∈;2P :若虚数(),a bi a R b R +∈∈是方程32 1 0x x x +++=的根，则a bi -也是方程的根: 3P :已知复数12,z z 则12z z =的充要条件是12z z R ∈: 4P ;若复数12z z >,则12,z z R ∈.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合{}{}2320,230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B ⋂= （ ）A ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A ∩B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2}8.已知p ：x R ∀∈，220x x a ++>；q ：28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞)B ．(－∞,3)C ．(1,3)D ．(－∞,1)∪(3,+∞)9.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.设集合{}2|670A x x x =--<，{}|B x x a =≥，现有下面四个命题： p 1：a R ∃∈，A B =∅；p 2：若0a =，则(7,)A B =-+∞； p 3：若(,2)R C B =-∞，则a A ∈；p 4：若1a ≤-，则A B ⊆． 其中所有的真命题为（ ） A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 411.已知命题P ：存在n R ∈，使得223()n nf x nx-=是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”.则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝12.已知集合M ={x |22194x y +=}，N ={y|132x y+=}，则M ∩N =A ．∅B ．{(3,0)，(2,0)}C ．{3,2}D ．[－3,3]13.设集合{}{}m B m A 2,2,42==，，若φ≠⋂B A ,则m 的取值可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.214.下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若p ，q 均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x15.已知A ，B ，C ，D ，E 是空间五个不同的点，若点E 在直线BC 上，则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BE 是异面直线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件16.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题17.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要D ．既不充分也不必要条件18.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的19.设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A ，B)::，A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足的集合对(A ，B)的总个数为m ，满足的集合对(A ，B)的总个数为n ，则的值为（ ）A.111 B.161C.221 D.29220.定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集的个数为 （） A ．23B ．24C ．26D ．3221.已知：集合2012,3,2,{1,A =}，A B ⊆，且集合B 中任意两个元素之和不能被其差整除。
2019-2020年高考(学业水平考试)数学试卷 含答案
2019-2020年高考（学业水平考试）数学试卷 含答案xx.1 一．填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.复数3+4i （i 为虚数单位）的实部是 ；2.若=3，则x= ；3.直线y=x-1与直线y=2的夹角为 ；4.函数=的定义域为 ；5.三阶行列式121004531--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6.函数的反函数的图像经过点（2,1），则实数a= ；7.在中，若A=，B=，BC=，则AC= ；8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 。
（结果用数值表示）9.无穷等比数列的首项为2，公比为，则的各项和为 ；10.若2+i （i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程的一个虚根，则a= ； 11.函数y=在区间[0,m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是 ； 12.在平面直角坐标系xOy 中，点A,B 是圆上的两个动点，且满足|AB|=，则的最小值为 ；二．选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）13.满足且的角属于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14．半径为1的球的表面积为 （ ）A. B. C.2 D.415.在的二项展开式中，的系数是（ ）A.2B.6C.15D. 2016.幂函数的大致图象是（ ）17.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.1B. 2C.（1，0）D.（0，2）18.设直线l 与平面平行，直线m 在平面上，那么（ ）A.直线l 平行于直线mB.直线l 与直线m 异面C.直线l 与直线m 没公共点D.直线l 与直线m 不垂直19.用数学归纳法证明等式)(223212*∈+=++++N n n n n 的第（ⅱ）步中，假设n=k 时原等式成立，那么在n=k+1时，需要证明的等式为（ ）A.)1()1(22)1(2232122+++++=++++++k k k k k kB.)1()1(2)1(223212+++=++++++k k k kC.)1()1(22)1(2)12(232122+++++=++++++++k k k k k k kD.)1()1(2)1(21223212+++=++++++++k k k k k ）（20.关于与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A.焦距相等，渐近线相同B.焦距相等，渐近线不同C.焦距不相等，渐近线相同D.焦距不相等，渐近线不相同21.设函数y=的定义域为R ，则“f （0）=0”是“y=f （x ）”为奇函数的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（ ）A. B.C. D.23.设单位向量和既不平行也不垂直，则非零向量，，有结论：①若，则；②若，则；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立24.对于椭圆：),0,(12222b a b a by a x ≠>=+，若点（）满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆内或上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部三．解答题：（本大题共5小题，共8+8+8+12+12=48分）25.如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为3，求异面直线与AC 所成角的大小；26.已知函数=，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值是x 的值。
【附3套模似卷】安徽省安庆市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(2)含解析.docx
安徽省安庆市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(2 )一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若不等式x2+ax + l>0对于一切恒成立，则。
的最小值是()5 。
A.0B. -2C.——D. -32【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论.解：不等式x2+ax+l>0对一切xG(0,上］成立，等价于a>-x-—对于一切-V e ［ 0,^-成立，2 x 12」Vy=-x--在区间f0,」］上是增函数x I 2_. L 1 ° 5・.—X--- S ---- 2 = ---X 2 2a>-—一2.la的最小值为-2故答案为C.2考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题2.已知函数/(x) = V^sinx + 〃zcosx,其图象关于直线x = ~对称,为了得到函数= \j3 + m2 cos2x的图象，只需将函数f(x)的图象上的所有点()A.先向左平移£个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变O兀 1B.先向右平移三个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的一，纵坐标保持不变6 2C.先向右平移;个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变JI 1D.先向左平移:个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的s，纵坐标保持不变【答案】D【解析】【分析】 由函数f ⑴的图象关于直线x = |对称，得秫=1,进而得/(A ) = A /3SIIU - + cosx = 2sin "+ § J = 2cos" - J,再利用图像变换求解即可【详解】由函数f(x)的图象关于直线x = |对称，得/ | =V3W , TT|象上的所有点“先向左平移5个单位长度，得v = 2COSX,再将横坐标缩短为原来的纵坐标保持不变, 得 g (X )=2cos2x ”即可.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题3. 函数y (x) = 2sin (6K + 9)(口>0,0<0<4)的部分图像如图所示，若AB = 5,点A 的坐标为(-1,2),若将函数f 3)向右平移m(m>0)个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为()【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出和们，即可求得f(x)的解析式，再通过平移变换函数图象关于 y 轴对称，求得"？的最小值. 【详解】由于AB = 5,函数最高点与最低点的高度差为4,3 in I即~ + —=右+冰，解得m = l,71所以 f (x) = J^sinx + cosx = 2sin| x + —=2cos x- —I 3g(x) = 2cos2x,故只需将函数f(x)的图1、TC所以函数f(x)的半个周期- = 3,所以T = - = 6^(o = -,2 co 3又 A (—1,2), Q 〈(p< 兀，则有 2sin —lx 三+ 0 =2,可得(p = —将函数f (x)向右平移m 个单位后函数图像关于J 轴对称，即平移后为偶函数, 所以"？的最小值为1, 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数 图象之间的变换关系，属于简单题目.“24.已知函数f(x)=< '+ 1,若关于x 的方程f(x)=kx —：恰有4个不相等的实数根，则实数kIn x, x 〉1 2的取值范围是()【答案】D 【解析】 【分析】由已知可将问题转化为：y=f(x)的图象和直线y=kx-|有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须 在直线y=kx —：的下方，即可求得：k>：；再求得直线y=kx —：和y=lnx 相切时，k=—；结合 图象即可得解.【详解】若关于x 的方程f(x) = kx-:恰有4个不相等的实数根，2则y=f(x)的图象和直线y=kx-|有4个交点.作出函数y=f(x)的图象，如图,5丸所以 /(.x) = 2sin 71571— X~\-------- 3 6=2sin71 71 71 — X~\ ----- 1——3 3 2=2cos §(_v +1),1 5g 1Akxl-->0,解得k>-. 2 2当直线y=kx—：和y=lnx相切时，设切点横坐标为m, [ 1 1. lnm + — 1 . r则k = 2 = , ・• m = Je .m m此时，k=L = *, f(x)的图象和直线y=kx--有3个交点，不满足条件，m e 2故所求k的取值范围是故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题. (1 、5D. -25. —1= + rnxA. 2【答案】C【解析】【分析】的展开式中r的系数是-10,则实数秫=(B. 1利用通项公式找到r的系数，令其等于一10即可. 【详解】二项式展开式的通项为⑶=C；(Q)J(*)r = 〃D 5 5 —r—— .22 ,令； = 5,得,=3,2 2=rn^Ctx5 = -10A-5 ,所以m3Cl = -10 ,解得m^-1.故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知点凡为双曲线。
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一）1.如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，2PD AB ，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证：EF PA ⊥；(2)求二面角D FG E 的余弦值.2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD 组合而成，AF AD ⊥，2AEAD .(1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD 的高h ，使得二面角C AF P 的余弦值是223.3.四棱锥P ABCD-中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为ADC∠为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PA⊥CD．（Ⅲ）求三棱锥P ABCD-的体积．4.如图，四棱锥S ABCD-满足SA⊥面ABCD，90DAB ABC∠=∠=︒．SA AB BC a===，2AD a=．（Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD．（Ⅱ）求证：CD⊥面SAC．SB A DMC BAPD5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ．6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．E DABC C 1B 1A 1DAB CEF P7.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::2:2:1AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC 所成角的正弦值为23，求PQ PD的值.8.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO . （1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若λ=2，求证：平面CDE ⊥平面CD 1O .9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD =︒∠，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP =︒∠，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ． （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等，求PMPD的值．10.如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ． （1）求1CGCC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值．A 1B 1C 1G F AB CEM F E CBAPD11.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF ∥平面PAB ．（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小． （Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由．12.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，CD AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，4AB =，2BC CD EA ED ====．Ⅰ证明：BD AE ⊥．Ⅱ求平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）的余弦值．DABCEPF DBCA13.己知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PA AB ==．60ABC ∠=︒，BC 、PD 的中点分别为E ，F ．（Ⅰ）求证BC PE ⊥．（Ⅱ）求二面角F AC D --的余弦值．（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．14.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ． （Ⅱ）求二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．DDABCEF15.如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值． （Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．16.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点,2,5,3,2AHPD PA AB AD HD===== . （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若F 是CD 上的点，且23FC FD ==，求二面角B EF C --的正弦值.MDABCP17.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，Q为AB 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求多面体ACED 的体积； （Ⅲ）求二面角A -DE -B 的正切值．18.如图1 ,在△ABC 中，AB =BC =2, ∠B =90°,D 为BC 边上一点，以边AC 为对角线做平行四边形ADCE ，沿AC 将△ACE 折起，使得平面ACE ⊥平面ABC ,如图2.(1)在图 2中，设M 为AC 的中点，求证:BM 丄AE ； (2)在图2中，当DE 最小时，求二面角A -DE -C 的平面角.19.如图所示，在已知三棱柱ABF -DCE 中，90ADE ∠=︒，60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，平面ABCD ⊥平面ADEF ，点M在线段BE 上，点G 是线段AD 的中点．（1）试确定点M 的位置，使得AF ∥平面GMC ； （2）求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值．20.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC =AB ，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）若22AB AP ==，求平面P AD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21.如图，五面体P ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，ABCD 为直角梯形，,2BCD PD BC CD π∠===1,2AD AP PD =⊥. （1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD ； （2）求二面角P -AB-C 的余弦值.22.如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt △SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，2AB =.现将△SAB沿AB 进行翻折，使得二面角S -AB -C 的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点E ，F 分别在线段SB ，SC 上. （Ⅰ）证明：BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B -AEC 的体积为四棱锥S -ABCD 体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.23.四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，,BC CD⊥060SDA SDC∠=∠=，AD DC=1122BC SD==，E为SD的中点.（1）求证：平面AEC⊥平面ABCD；（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，P A⊥AC，BA=BC=P A=2，二面角P-AC-B的大小为120°.（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.25.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，090=∠=∠BCD ABC ，AB CB DC PD PA 21====，E 是PB 的中点， （Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值.26.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，P A =2，PB =PD =22，E ，F ，G ，H 分别为棱P A ，PB ，AD ，CD 的中点．（1）求CD 与平面CFG 所成角的正弦值；（2）探究棱PD 上是否存在点M ，使得平面CFG ⊥平面MEH ，若存在，求出PDPM的值；若不存在，请说明理由．试卷答案1以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则 0,0,0D ，0,2,0A ，2,0,0C，0,0,2P ，1,0,1E ，0,0,1F ，2,1,0G .(1)∵0,2,2PA ，1,0,0EF，则0PA EF ，∴PA EF .(2)易知0,0,1DF，2,11FG， 设平面DFG 的法向量111,,m x y z ，则m DF m FG ，即1111020z x yz ，令11x ，则1,2,0m 是平面DFG 的一个法向量，同理可得0,1,1n 是平面EFG 的一个法向量，∴210cos ,552m n m nm n， 由图可知二面角D FG E 为钝角， ∴二面角D FG E 的余弦值为105.2.(1)证明：直三棱柱ADE BCF 中，AB 平面ADE ，所以：AB AD ，又AD AF ，所以：AD平面ABFE ，AD 平面PAD ，所以：平面PAD 平面ABFE .(2)由(1)AD平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，设正四棱锥P ABCD 的高h ，2AE AD ，则0,0,0A ，2,2,0F ，2,0,2C ，1,,1P h . 2,2,0AF，2,0,2AC，1,,1APh .设平面ACF 的一个法向量111,,m x y z ，则：1111220220m AF x y n ACx z ，取11x ，则111y z ，所以：1,1,1m .设平面AFP 的一个法向量222,,n x y z ，则222222200n AF x y n APx hy z ，取21x ，则21y ，21z h ，所以：1,1,1n h ，二面角C AF P 的余弦值是223，所以：211122cos ,3321m n h m n m nh ， 解得：1h .3.E ODPABC M（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，则O 是BD 中点， ∵在PBD △中，O 是BD 的中点，M 是PB 的中点， ∴PD MO ∥，又PD ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，∴PD ∥平面ACM ．（Ⅱ）证明：作PE CD ⊥，则E 为CD 中点，连结AE ， ∵底面ABCD 是菱形，边长为2，面积为，∴11sin 222sin 222S AD DC ADC ADC =⨯⨯⨯∠⨯=⨯⨯∠⨯=∴sin ADC ∠，60ADC ∠=︒， ∴ACD △是等边三角形， ∴CD AE ⊥， 又∵CD PE ⊥， ∴CD ⊥平面PAE ， ∴CD PA ⊥．（Ⅲ）11233P ABCD ABCD V S PE -=⨯=⨯．4.DABCSE（1）证明：∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB SA ⊥， 又∵90BAD ∠=︒， ∴AB AD ⊥， ∵SA AD A =， ∴AB ⊥平面SAD ， 又AB ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面SAD ． （Ⅱ）证明：取AD 中点为E ，∵90DAB ABC ∠=∠=︒，2AD a =，BC a =，E 是AD 中点， ∴ABCE ∠是矩形，CE AB a ==，DE a =，∴CD =，在ACD △中，AC，CD =，2AD a =， ∴222AC CD AD +=， 即CD AC ⊥，又∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD SA ⊥， ∴CD ⊥平面PAC ． 5.P F ECB AD（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又∵底面ABCD 为矩形， ∴BC CD ⊥， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）证明：∵PD DC =，E 是PC 中点， ∴DE PC ⊥，又平面PCD ⊥平面PBC ，平面PCD 平面PBC PC =， ∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥， 又∵EF PB ⊥，EF DE E =，∴PB ⊥平面EFD ．6.E A 1B 1C 1CBAD（Ⅰ）证明：连结1A B ， ∵D 是1AB 的中点， ∴D 是1A B 的中点，∵在1A BC △中，D 是1A B 的中点，E 是1A C 的中点， ∴DE BC ∥，又DE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ， ∴DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）证明：∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA AB ⊥， 又AB AC ⊥， ∴AB ⊥平面11ACC A ， ∵AB ⊂平面11ABB A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．7.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，C（1）(BD =-，(1,2)PC =-， ∵0BD PC •=∴BD PC ⊥（2）(1,AC =，(0,0,2)AP =，平面PAC 的法向量为(2,1,0)m =-(0,2)DP =，(1,0,0)AP =，平面DPC 的法向量为(0,2,1)n =--.2cos ,3m n m n m n•==•，二面角B PC D --的余弦值为3.（3）∵AQ AP PQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈ ∴(0,0,2)(0,2,2)(0,2,22)AQ t t t =+-=- 设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角2sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ•===• 2222223684332(22)tt t t t t =⇒=-++-，解得2t =（舍）或23. 所以，23PQ PD =即为所求.8.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA ,DC ,1DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0 得 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) .由D 1E ＝λEO ，则E ，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2．9.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中， ∵AB AC =，135BCD =︒∠，45ABC =︒∠， ∴AB AC ⊥，∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴EF AB ∥，∴EF AC ⊥，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP =︒∠， ∴PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， 又∵PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：∵M 为PD 的中点，F 为AD 的中点， ∴MF PA ∥，又∵MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MF ∥平面PAB ，同理，得EF ∥平面PAB ， 又∵MFEF F =，MF ⊂平面M EF ，EF ⊂平面M EF ，∴平面MEF ∥平面PAB ，又∵ME ⊂平面M EF ， ∴ME ∥平面PAB ．（Ⅲ）解：∵PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，∴AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(2,2,0)D -，(1,1,0)E ， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， ∴(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 设平面PBC 的法向量为(,,z)n x y =，则：n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =， ∴直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， ∴|cos ,||cos ,|ME m ME n <>=<>，即||||||||||||ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，∴|21|λ-=，解得λ=或λ=（舍去），故PM PD ．D10.（1）∵1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，∴1C F AG ∥，∵F 为1AA 的点，且侧面11ACC A 为平行四边形， ∴G 为1CC 中点， ∴112CG CC =． （2）证明：∵1AA ⊥底面ABC ，1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ， ∵E ，G 分别是BC ，1CC 的中点，∴(1,1,0)E ，(2,0,1)G ， ∴1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=， ∴1EG CA ⊥， ∴1EG AC ⊥． （3）设平面AEG 的法向量为(,,)n x y z =，则：0n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =-， ∴(1,1,2)n =--，由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =， ∴6cos ,6||||n m n m n m ⋅<>==-⋅由题意知二面角1A AG E --为钝角， ∴二面角1A AG E --的余弦值为．111.（Ⅰ）证明：过点F 作FH AD ∥， 交PA 于H ，连结BH ，如图所示，∵13PF PD =，∴13HF AD BC ==，又FH AD ∥，AD BC ∥，HF BC ∥， ∴四边形BCFH 为平行四边形， ∴CF BH ∥，又BH ⊄平面PAB ，CF ⊄平面PAB ， ∴CF ∥平面PAB ．z D（Ⅱ）解：∵梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥， ∴BC AB ⊥， ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，∴如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C ，(3,0,0)D ，(0,3,0)A ，(0,0,3)P ，设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =， ∵(3,3,3)PD =-，(0,0,3)BP =，∴00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，令1x =得(1,1,0)n =-，同理可得(0,1,1)m =， ∴1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，∵二面角B PD A --为锐角， ∴二面角B PD A --为π3． （Ⅲ）假设存在点M 满足题意，设(3,3,3)PM PD λλλλ=-， ∴(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+-，∵(0,3,3)PA =-，∴93(33)0PA CM λλ⋅=+-=，解得12λ=，∴PD 上存在点M 使得CM PA ⊥，且12PM PD =．12.Ⅰ∵BC CD ⊥，2BC CD ==，∴BD =，同理EA ED ⊥，2EA ED ==，∴AD =，又∵4AB =，∴由勾股定理可知222BD AD AB +=，BD AD ⊥， 又∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面AED ， 又∵AE ⊂平面AED ， ∴BD AE ⊥．Ⅱ解：取AD 的中点O ，连结OE ，则OE AD ⊥， ∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴OE ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结DF BD ∥，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(D ，(C -，E ，(DC =-，(2,0,DE =， 设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，∴平面CDE 的法向量(1,1,1)n =-， 又平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 设平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）为θ， 则1113cos |cos ,|3||||nn n n n n θ⋅=<>==⋅，∴平面ADE 和平面CDE． C13.（1）证明：连结AE ，PE ．∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥．又∵底面ABCD 是菱形，AB BC =，60ABC ∠=︒， ∴ABC △是正三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴AE BC ⊥．又∵PA AE A =，PA ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴BC PE ⊥．（2）由（1）得AE BC ⊥，由BC AD ∥可得AE AD ⊥． 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AE ⊥，PA AD ⊥．∴以A 为原点，分别以AE ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则(0,0,0)A，E ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，1,0)B -，C ，(0,1,1)F ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的法向量为(0,0,2)AP =． 又∵(3,1,0)AC =，(0,1,1)AF =． 设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则：AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z +==⎪⎩+，令1x =，则y =z ，∴(1,3,n =-． ∴21cos ,7||||AP n AP n AP n ⋅==． ∵二面角F AC D --是锐角， ∴二面角F AC D -- （3）G 是线段AB 上的一点，设(01)AG t AB t =≤≤． ∵(3,1,0)AB =-，∴,,0)G t -． 又∵(3,1,2)PC =-，(3,,2)PG t t =--． 设平面PCG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则：1100PC n PGn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111112020yz ty z-=--=+，∴1()n t t =-+， ∵AF ∥平面PCG ，∴AF n ⊥，0AF n ⋅=1)0t -=， 解得12t =． 故线段AB 上存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ，G 是AB 中点．14.（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥． ∵ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． 又DEBD D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）∵DA ，DC ，DE 两两重叠，∴建立空间直角坐标系D xyz -如图所示．∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB． 由3AD =，可知DZ =AF ，则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ．∴(0,BF =-，(3,0,EF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，(3,3,0)CA =-，∴cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅==．∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D -- （3）点M 线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t ，则(3,,0)AM t t =-．∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=，即4(3)20t t -+=，解得2t =，此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意．15.（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =， ∴BC ⊥平面PAB ． 又AM ⊂平面PAB ， ∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点， ∴AM PB ⊥． 又∵PBBC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos||||5AM nn AMAM n⋅⋅==∵二面角A PC B--为锐角，∴二面角A PC B--．（3）证明：设(,,)D v wμ是线段PC上一点，且PD PCλ=，(01)λ≤≤，即(2,,)(2,2,1)v wμλ-=-，∴22μλ=-，2vλ=，wλ=．∴(22,22,)BDλλλ=--．由0BD AC⋅=，得4[0,1]5λ=∈，∴线段PC上存在点D，使得BD AC⊥，此时45PDPCλ==．16.解：（1）证明：因为AB⊥平面PAD，所以PH AB⊥，因为3,2AHADHD==，所以2,1AH HD==，设PH x=，由余弦定可得，22221cos22x HD PH xPHDx HD x+--∠==⋅22221cos24x HA PH xPHAx HA x+--∠==⋅因为cos cosPHD PHA∠=-∠，故1PH x==，所以PH AD⊥，因为AD AB A=，故PH⊥平面ABCD.（2）以H为原点，以,,HA HP HP所在的直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则3139(2,3,0),(0,0,1),(1,,),(1,,0),(1,,0)2222B P E F C--，所以可得，3311(3,,0),(1,,),(2,0,),(0,3,0)2222BF BE EF FC=--=--=-=，设平面BEF的法向量(,,)n x y z=，则有：33002(1,2,4)30022x yBF nnzBE n x y⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩，设平面EFC的法向量(,,)m x y z=，则有：020(1,0,4)2030z EF m x m FC m y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，故17cos ,21n m n m n m⋅===⋅设二面角B EF C --的平面角为θ ，则sin 21θ=.17.解（Ⅰ）证明：∵DC ⊥平面ABC ，//BE DC ∴BE ⊥平面ABC ∴CQ BE ⊥ ①又∵2AC BC ==，点Q 为AB 边中点 ∴CQ AB ⊥ ②AB BE B =故由①②得CQ ⊥平面ABE（Ⅱ）过点A 作AM BC ⊥交BC 延长线于点M ∵,AM BC AM BE ⊥⊥ ∴AM ⊥平面BEDC ∴13A CED CDE V S AM -∆=sin33AM AC π==11212CDE S ∆=⨯⨯= ∴113A CED V -=⨯= （Ⅲ）延长ED 交BC 延长线于S ，过点M 作MQ ES ⊥于Q ，连结AQ 由（Ⅱ）可得：AQM ∠为A DE B --的平面角∵1//2CD BC ∴2SC CB == ∴SE ==1MC MS ==∵SQM ∆∽SBE ∆∴QM SM BE SE=∴1225QM=即55QM=∴3tan1555AMAQMQM∠===18.（1）证明：∵在中，，∴当为的中点时，∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如图，分别以射线，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，，，∵，，平面平面∴∴当且仅当时，最小，此时，设，平面，则，即∴令，可得，，则有∴∴观察可得二面角的平面角19.（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点． 连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ， 又PG ⊂平面MGC ，AF ⊄平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ， ∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BCME PE==， 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点． （2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥， 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，PG ⊂平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，∵60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，∴ADC ∆为正三角形，3GC =，∴(0,0,0)G ，3,0,0)C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ，∴(0,1,1)GE =，(3,0,0)GC =，设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =，则由10n GE ⋅=，10n GC ⋅=可得0,30,y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，则1(0,1,1)n =-，∵(3,1,0)CD =-BA =，且(0,1,0)A -，故3,2,0)B -，故(3,2,0)BG =-， 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14sin 7||||n BG n BG θ⋅==⋅．20.（Ⅰ）取PC 中点H ，连接、EH FH .∵E 为AB 的中点，ABCD 是菱形，∴//AE CD ，且12AE CD =，又F 为PD 的中点，H 为PC 的中点，∴//FH CD ，且12FH CD =，∴//AE FH ，且AE FH =，则四边形AEHF 是平行四边形，∴//AF EH .又AF ⊄平面PCE ，EH ⊂面PCE ，∴//AF 平面PCE .（Ⅱ）取BC 的中点为O ，∵ABCD 是菱形，AC AB =，∴AO BC ⊥，以A 为原点，,,AO AD AP 所在直线分别为,,z x y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则)()()3,1,0,3,1,0,0,2,0BCD -，)()313,0,0,0,0,1,,02OP E ⎫-⎪⎪⎝⎭，∴()333,1,1,,,022PC EC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,0AO =，设平面的法向量为()1,,n x y z =，则1100n PC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3033022x y z x y ⎧+-=⎪+=⎪⎩，令1y =-，则3,2x z ==，∴平面PCE 的一个法向量为)13,1,2n =-，又平面PAD 的一个法向量为()21,0,0n =.∴12121236cos ,|n ||n |4314n n n n ⋅<>===⋅++.即平面PAD 与平面PCE 621.解：（1）证明：取PD 的中点F ，连接,EF CF ， 因为,E F 分别是,PA PD 的中点，所以//EF AD 且12EF AD =， 因为1,//2BC AB BC AD =，所以//EF BC 且EF BC =，所以//BE CF , 又BE ⊄平面,PCD CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD .（2）以P 为坐标原点，,PD PA 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则13(0,0,0),3,0),(1,0,0),(1,0,1),(2P A D C B ， 13(0,3,0),(,1),(1,3,0)2PA AB AD ==-=-,设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30013002n PA yn AB x z ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令2x =，得(2,0,1)n =-， 同理可求平面ABD 的一个法向量为6(3,3,0)cos ,55n m m n m n m⋅=⇒===⨯，平面ABD 和平面ABC 为同一个平面， 所以二面角P AB C --.22.解：（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90°，则SA AD ⊥， 又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥； 在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=，又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒，即AC BD ⊥； 又ACSA A =，故BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B ABC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，故511215*********ABCD S ABCD E ABCABC S SAV V S h h --∆⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯梯形，故12h =，做点E 到平面ABCD 的距离为12.23.（1）E 为SD 的中点，01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC ∴===设O 为AC 的中点，连接,EO DO 则EO AC ⊥//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥又OD OA OC ==EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC∴面EAC ⊥面ABCD ………………6分（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC EF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥ FO CD ⊥）∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小设AD a =，则2aOF =32EF a = 3os OF c EFO EF <== 即BC 与ECD 3（亦可以建系完成） ………………12分24.解（Ⅰ）过点P 作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ， 连接AO 、CO ，则∠PCO 为所求线面角，,AC PA ⊥,AC PO PA PO P ⊥⋂=且，AC ∴⊥平面PAO .则∠P AO 为二面角P -AC -B 平面角的补角∴∠ 60=PAO ，又23PA =∴，，1sin 2PO PCO CO ∠== 030PCO ∴∠=，直线PC 与面ABC 所成角的大小为30°.（Ⅱ）过O 作OE BC ⊥于点E ,连接PE ，则PEO ∠为二面角P -BC -A 的平面角，AC ⊥平面PAO ,AC OA ⊥045AOE ∠=,设OE 与CA 相交于F 22OE EF FO ∴=+=+在PEO ∆中，3436tan 7222POPEO EO-∠===+则二面角P -BC -A 的正切值为4367-.25.解：（Ⅰ）如图，取PA 中点F ，连接FD EF ,，E 是BP 的中点，AB EF // 且AB EF 21=，又AB DC AB DC 21,//= ∴∴DC EF //四边形EFDC 是平行四边形，故得//EC FD又⊄EC 平面⊂FD PAD ,平面PAD//EC ∴平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ,连接PH ,因为PD PA =，所以AD PH ⊥平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，⊥∴PH 面ABCD ，HB ∴是PB 在平面ABCD 内的射影 PBH ∠∴是PB 与平面ABCD 所成角四边形ABCD 中，090=∠=∠BCD ABC ∴四边形ABCD 是直角梯形AB CB DC 21== 设a AB 2=，则a BD 2=在ABD ∆中，易得a AD DBA 2,450=∴=∠.22212222a a a DH PD PH =-=-=又22224AB a AD BD ==+ABD ∆∴是等腰直角三角形，090=∠ADBa a a DB DH HB 2102212222=+=+=∴ ∴ 在PHB Rt ∆中，5521022tan ===∠a aHB PH PBH（Ⅲ）在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连接PG ,则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故AB PG ⊥，所以PGH ∠是二面角D AB P --的平面角， 由a HA a AB 22,2==，又a HG HAB 21450=∴=∠ 在PHG Rt ∆中，22122tan ===∠a aHG PH PGH ∴ 二面角D AB P --的余弦值大小为.3326.（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA 2+AB 2=PB 2，PA 2+AD 2=PD 2， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，∵E ，F ，G ，H 分别为棱PA ，PB ，AD ，CD 的中点． ∴C （2，2，0），D （0，2，0），B （2，0，0）， P （0，0，2），F （1，0，1），G （0，1，0）， =（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。
2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。
2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。
已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。
6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。
设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。
e)。
11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。
现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
北京市朝阳区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
北京市朝阳区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题. 2．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴， ∴若：，，∴， 若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.3．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.4．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.5．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x …B ．{|112}<x x …C ．{|110}-<x x …D ．{|56}-<x x …【答案】C 【解析】 【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【详解】因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟，则*{|61}=-<A B x x …，所以*(*){|110}=-<B A B x x …. 故选:C. 【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.6．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ． 8．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 9．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π12【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果. 【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 10．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1， 所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 11．在复平面内，复数2iiz -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 【分析】化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i iz i i i i i--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．12．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)
江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列． （1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示： 试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ． （1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ． （1）证明：DB=DC ； （2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2， 且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0． 故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（ ） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016． 【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12， 由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列， 得到：2×10=2+S 2016﹣12， 解得S 2016=30． 故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1， 即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理． 【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率． 【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2， 设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc， 故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3， 即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0， 又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值． 【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2， 故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值． 【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ， 联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ； （2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ， 设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2）， 由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切． （2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增， 由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立， 即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞， 故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增， 在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减， 这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意． 综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ． （1）证明：DB=DC ； （2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。
【压轴卷】数学高考模拟试题附答案
又 PQ | OF | c ，| PA | c , PA 为以 OF 为直径的圆的半径， 2
A为圆心| OA | c ． 2
P
c 2
,
c 2
，又
P 点在圆
x2
y2
a2 上，
c2
c2
a2 ，即 c2
a2,
44
2
e2
c2 a2
2．
e 2 ，故选 A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，
C． 3 i
D． 3 i
5．将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子，每个盒子放一
个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( )
A．40 B．60
C．80 D．100
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数
14．函数
f
x
x2 2, x 0
的零点个数是________．
2x 6 lnx, x 0
15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2cm ，圆心角为 2 的扇形，则此圆锥的高为 3
________ cm .
a x 1 , x 1
16．已知函数 f (x) (x a)2
，函数 g(x) 2 f (x) ，若函数 y f (x) g(x) x 1
避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重
点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0， ]内的x0的值．
【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+ cos（wx）=2sin（wx+ ）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，
∴ =π，
∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+ ）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
当x＞1或x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣ ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（﹣ ）为极大值．
∵f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
2019年高考数学模拟考试题含答案解析
FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。
高三模拟考试数学试题(附答案)
高三数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，各题答案必需答在机读卡上。
1．已知集合M={x |x －a =0}，N={x |ax －1=0}，若M N=N ，则实数a 的值是（D ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－12．已知集合A B R ==，映射:f A B →满足 2()2f x x x =-+，若对于实数k B ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ D ）A ． 1k ≥B ．1k ≤C ．1k <D ．1k > 3．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ C ）A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x y B ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x4．已知F F 12，是双曲线1222=-y x 的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ A ） A. 42 B. 8C. 22D. 随α大小变化5．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ D ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．过点M （－2，4）作圆C ：25)1()2(22=-+-y x 的切线l ，l 1：023=++a y ax 与l 平行，则l 1与l 间的距离是（ A ）A.512 B.528 C.58 D.52 7．已知函数y =f （x ）是偶函数，y =g （x ）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x ∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式)()(x g x f ＞0的解集为（D ）A.（－3π，0）∪（3π，π）B.（－π，－3π）∪（3π，π） C.（－4π，0）∪（4π，π） D.（－π，－3π）∪（0，3π） 8．把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ B ） A ．y=2sin 2x B ．y=－2sin 2xC ．y=2cos （x +4π） D ．y=2cos （2x +4π） 9．在区间［－4，－1］上，函数f （x ）=－x 2+px +q 与函数g （x ）=x +x4同时取相同最大值，那么函数f （x ）在区间［－4，－1］上的最小值为CA.－10B.－5C.－8D.－3210．函数y =x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1,3],则点（a ，b ）的轨迹是图中的 （ A ） A ．线段AB 和线段ADB ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD11．若抛物线y =2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y =x +m 对称，且x 1·x 2=－21,则实数m 的值为 B A.21 B.23 C.25 D.2 12.定义运算a*b 为：a*b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a 则关于x 的函数f (x )=x 21*的取值范围是（ C ）A ．(]1,∞- B.（0，1） C. (]1,0 D.[1，+∞]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）各题答案必需填写在答题卡上（只填结果，不写过程）。
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2019-2020数学高考模拟试题(附答案)一、选择题1．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r2．2532()x x-展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80C ．40D ．-403．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙5．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)7．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A ．1B ．2C ．3D ．49．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知非零向量AB u u u v 与AC u u uv 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v 且12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能12．在[0,2]π内，不等式3sin x <的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．在ABC V 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C++=++________．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．18．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v的最小值为_______．20．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.三、解答题21．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,6π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为223sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程； （2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,05（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 用户编号 评分用户编号 评分 用户编号 评分用户编号 评分 12 3 4 5 6 7 8 9 1078 73 81 92 95 85 79 84 63 8611 12 13 14 15 16 17 18 19 2088 86 95 76 97 78 88 82 76 8921 22 23 24 25 26 27 28 29 3079 83 72 74 91 66 80 83 74 8231 32 33 34 35 36 37 38 39 4093 78 75 81 84 77 81 76 85 89用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”。
试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈）25．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且14EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.2．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.3．C解析：C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．5．B解析：B 【解析】 【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点. 【详解】圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．故选B 【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．7．D解析：D 【解析】 【分析】由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．9．D解析：D 【解析】 【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】由于1a >，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义11．C【解析】 【分析】AB AB u u u v u u u v和AC AC u u u vu u uv 分别表示向量AB u u u v 和向量AC u u u v 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v 表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC V 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v 可求出A ∠，即得三角形形状。