相似三角形的判定与性质

比例线段
知识要点： 一、比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成
,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果
，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例
的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫
做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质：
(3)更比性质: 或 (4)合比性质:
(5)等比性质: 且
三、黄金分割 黄金分割的定义：
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）.
如果
AC
BC
AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的 比叫做黄金比，其中
618.0≈AB
AC
. 四、平行线分三角形两边成比例
平行线分三角形两边成比例的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。

1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或
基本图形(2): 若DE//BC，则或或或
基本图形(3): 若AC//BD，则或或或
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。

基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。

例1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。

例2、若, 求的值。

例3、如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。

例4、已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。

练习：
1、已知,求的值。

2、已知:如图,△ABC中,DE//BC。

AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长
3、已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。

4、已知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。

相似三角形与相似多边形的判定
知识点：
1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。

相似三角形的条件
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 ．
2． 对应相等，两三角形相似．
3．两对应边 且 相等，两三角形相似． 4．三边 ，两三角形相似．
5．如果一个直角三角形的一条斜边和一条直角边与另一个直角三角形的一条斜边和一条直角边 ，那么这两个直角三角形相似．
例1、如图，D 、E 两点分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE ∽△ACB
例2、如图所示，给出下列条件：
①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠； ③
AC AB
CD BC
=
； ④AB AD AC •=2． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
练习：
1、如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的高，则图中相似三角形的对数有
A.
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
2、如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．
判定ABC △∽ADE △的是（ ） A ．
AE AC AD AB = B ．DE
BC
AD AB =
C ．
D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠
-相似三角形的性质
相似三角形的性质
1．相似三角形的 相等，对应边 ．
2．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比 相似比． 3．相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 ．
例1、如图，已知DE BC ∥，5AD =，3DB =，9.9BC =，则
ADE
ABC
S S =△△ ．
例2、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于O 点，过点B 作BE CD ∥交CA 的延
长线于点E ．
求证：2OC OA OE =．
例3、在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，
（1）求
AD
AB
的值； （2）求BC 的长．
C
B
A
E
1
2
D
M
A
A
B
C
D E C
D
A
O
B
E
例4、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1)求证：△ADF ∽△DEC
(2)若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
练习：
1、在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积
是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ） A ．8，3 B ．8，6 C ．4，3 D ．4，6
2、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，
直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若1
3
AEG EBCG S S =△四边形，
则CF AD = ．
课后作业:
1、如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m
2、如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，如果要使
ABC DCA △∽△，
那么还要补充的一个条件是 （只要求写出一个条件即可）．
3、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若
1
3
AD AB =，DE ＝4，则BC =（ ）
A ．9
B ．10
C ． 11
D ．12
4、若
43x y =，则y x y
=+ ．
5、如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m 和6m ，小华的身高约为1.6m ，则旗
杆的高约为 m ．
6、△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，
BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ， 1) 求证：
BC
HG
AD AM = 2)求这个矩形EFGH 的周长.
A
D
C
B。