应用多元统计分析-北大版-第三章

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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
一般地,设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立, 记
则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心 Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).
其中
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(习题3-4)
则
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
性质5 设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，则 E(W)＝nΣ. 证明:由定义3.1.4,知
~ Wp (n, ) W Z Z
1
d n
其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立.则
而A～Wp(n-1,Σ),且A与X相互独立.由定 义 3.1.5知
T (n 1)[ n ( X )] A [ n ( X )]
2 1
(n 1)n( X ) A ( X )
1 1 n( X ) S ( X )
应用多元统计分析
第三章 多元正态总体
参数的假设检验(一)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
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目 录( 一 )
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布 四、威尔克斯统计量
§3.2 单总体均值向量的检验及置信域 §3.3 多总体均值向量的检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α ＝1,…,n)相互独立，其中
又已知随机矩阵
W11 W X ( ) X ( ) W21 1
n
11 12 r 21 22 pr W12 r ~ Wp (n, ) W22 p r
性质2 关于自由度n具有可加性： 设Wi ～Wp(ni,Σ) (i＝1,…,k)相互独立，则
W ~ W (n, ),其中n n n .
i 1 i p 1 k
k
性质3 设p阶随机阵W～Wp(n,Σ), C是m×p常数 阵,则m阶随机阵CWC′也服从Wishart分布,即 CWC′～Wm(n,CΣC′).
=β.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
Wishart分布是一元统计中 2分布的推广
χ
.多元正态总体Np(μ,Σ)中,常用样本均值向 量X作为μ的估计，样本协差阵S＝A/(n-1) 作为Σ的估计.由第二章的定理2.5.2已给出 了X～Np(μ,Σ/n).S~?.
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
性质1 设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n)相互独立 ，则样本离差阵A服从Wishart分布，即
A ( X ( ) X )( X ( ) X ) ~ Wp (n 1, )
1
n
证明 根据第二章§2.5的定理2.5.2知
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第三章 多元正态总ห้องสมุดไป่ตู้参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心 t 分布和F分布
定义3.1.2
定义3.1.3
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
一元统计中，关于一个正态总体N(μ,σ2)的均 值检验中，检验H0：μ＝μ0时，检验统计量
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
设Xi ～N1(μi ,σ2)(i =1,...…,n),且相互独立，记

结论1
一般情况(μi ＝0，σ2 ≠1时),
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
当X(α)～Np(μα ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立时，非 中心参数
这里 其中p为随机矩阵W的阶数,n为自由度,一元统计 中的σ2对应p元统计中的协差阵Σ.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T 2分布的性质
性质1 设X(α) ～ Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 是来自p元 总体Np(μ,Σ)的随机样本, X和A分别为总体 Np(μ,Σ)的样本均值向量和离差阵,则统计量
T n(n 1)( X ) A ( X )
结论2 当μi≠0(i=1,…,n),σ2 =1时,X′X的 分布常称为非中心χ2分布. 定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从 n n个自由度,非中心参数 i2 的χ2分布，记为
2
i 1`
X X ~ (n, ), X X ~ ( )
在性质3 中只须取C＝a1/2 Ip，即得此结论.
② 设l′＝(l1,…,lp)，则 l´Wl＝ξ～ W1 (n,l´Σl), 即 ξ～σ2χ2(n) (其中σ2＝l´Σl). 在性质3中只须取C＝l´,即得此结论.
思考:试问随机阵W的对角元素Wii的分布？
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
一元统计中,参数μ ,σ 2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ 和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,乃至多个总体的检验问题。
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
2 n
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
则 Y Y
1

2
X X ~ (n, ), 其中
2
1

2

结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵, rk(A)= r,则二次型 X'AX/σ2～χ2(r) A2＝A(A为对称幂等阵). 特例:当A=In时, X I n X / 2 X X / 2 ~ 2 (n)
) D( Z ) n. E(W ) E( Z Z
1 1
n n
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T 2分布
一元统计中, 若X～N(0,1),～ χ2(n) ,X与 X 相互独立,则随机变量
A Z Z
n 1
而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互独立,由定 义 3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).
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§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
由于Wishart分布是χ2分布的推广,它具有χ2分 布的一些性质.
定义3.1.5 设X～Np(0,Σ),随机阵W～ Wp(n,Σ) (Σ0, n≥p),且X与W相互独立, 则 称统计量T2＝nX′W-1 X 为Hotelling T2 统 计量,其分布称为服从n个自由度的T2 分布, 记为T2 ～ T2 (p,n). 更一般地,若X～Np(μ,Σ) (μ≠0),则称T2 的分布为非中心Hotelling T2 分布，记为 T2 ～ T2 (p,n,μ).
否定域为{|T|＞λ}，其中λ满足： P{|T|＞λ}=α(显著性水平).
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
当否定H0时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率＝P｛“以真当假”｝ ＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0｝ ＝显著性水平α. 当H0相容时，可能犯第二类错误，且 第二类错误的概率＝P｛“以假当真”｝ ＝P｛|T|≤λ|μ=μ1 ≠μ0 ｝ 此时检验统计量T～t(n-1,δ),利用非中心 t分 布可以计算第二类错误β的值.
1 1
n
n
d
由定义3.1.4有:
Y Y ~ W
1 n m
(n, CC), 故CWC ~ Wm (n, CC).
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§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
特例：
① aW～Wp(n,aΣ) (a＞0，为常数).
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1
证明 因 W Z Z ~ Wp (n, )
1
几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质 d n
其中 Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立. 令Yα=CZα,则Yα～Nm(0,CΣC′). 故
CZ Z C CWC Y Y
2 1
n( X )S ( X )
1
~ T ( p, n 1)
2
事实上,因
1 X ~ N p ( , ), 则 n ( X ) ~ N p (0, ). n 24
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T 2分布的性质


W X (2 )
1
n
X (1) X (1) , , X ( n ) X X ~ 2 2 (n). X 1n n1 12 (n)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p元正态总体,样本协差阵S＝A/(n-1) 及随机矩阵A(离差阵)的分布是什么? 设X(α) (α＝1,…,n)为来自Np(0,Σ)的随机样本, 考虑随机矩阵 X (1) n W X ( ) X ( ) X (1) , , X ( n ) X X pn n p 1 X (n) 的分布.当p=1时，

t
下面把 t
2
nX
2
n
~ t (n).

nX 1 X 的分布推广到p元总体.
设总体X～Np(0,Σ)，随机阵W ～ -1 2 Wp(n,Σ),我们来讨论T ＝nX'W X的 分布.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T 2分布
推广到p维正态总体时，随机矩阵W的分布是 什么? 定义3.1.4 设X(α) ～Np(0,Σ) (α＝1,…,n)相 n 互独立，则称随机矩阵 W X X X X ( ) ( )
1
的分布为Wishart分布(威沙特分布)，记 为W～Wp(n,Σ). n 2 2 2 W X ~ (n) , 即 显然p=1时 ( )
作为σ 的估计，而且知道
n 1 2 2 s ( X X ) 一元统计中，用样本方差 (i ) n 1 i 1 2
1

2
(X
i 1
n
(i )
X ) ~ (n 1)
2 2
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都 是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验 统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于 以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分 析所涉及的假设检验问题的基础.