北师大版数学选修1-1教案：第3章-导数的概念及其几何意义-参考教案
【K12小初高学习】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.k12小初高学习小初高学习精英学习计划页脚内容 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数的概念及其几何意义 参考教案
3.2 导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的基本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±'3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．二．基础训练1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( )A.0>aB.0≥aC.a<0D.0≤a2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根 4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断: q x () = -2⋅cos x ()- 2 - ②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．三．典型例题例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．（I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点． 例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
北师大版数学-选修1-1 第3章 3.2导数的概念与几何意义习题导学案
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章 3.2导数的概念与几何意义习题导学案 北师大版选修1-11. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t ∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度；Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04.若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）A 、6B 、18C 、54D 、815.设函数)(x f 可导，则x f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim0=（ ） A 、)1(f ' B 、)1(31f ' C 、不存在 D 、以上都不对 6.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为10.高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.11. 一质量为3k g 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.1. 已知曲线22y x 上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2。
北师大版数学高一北师大版选修1-1教案 3.3 计算导数2
3.3 计算导数教学过程： 一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数 根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y∆→∆→∆'==-=-∆5.函数()y f x==因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以lim x y ∆→'=推广: 若*()()n y f x x n Q ==∈,则1()n f x nx -'=注:这里n 可以是全体实数. 6. 基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '=⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺ '=由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
【K12教育学习资料】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1.例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.中小学资料学习永无止境 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
高中数学选修1-1北师大版 导数的概念及其几何意义 学案
§2 导数的概念及其几何意义1．函数在一点处的导数设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，则函数值y 关于x 的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的______，通常用符号______表示，记作：____________________________________________________________________________.预习交流1利用导数求切线方程与以前利用方程组的解求切线方程的方法有何关系？2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的____________，这是导数的几何意义．预习交流2下列说法中正确的是__________．①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在．答案：1．固定的值 导数 f ′(x 0) f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f(x 1)－f(x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx预习交流1：提示：利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法，以前的方法仍可使用，但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置，是曲线局部的性质，而切线与曲线未必只有一个公共点，并且与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线，故以前的方法要慎用．2．切线的斜率 预习交流2：③ 解析：因为函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在这一点处切线的斜率，f ′(x 0)不存在，并不能说明在这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线斜率不存在，即若在这一点处的切线斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．一、导数的概念的应用求函数y ＝－3x 2在点x ＝1处的导数．思路分析：问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从而利用定义求函数在此点处的导数．1．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．求函数y ＝x 2＋ax ＋b 在点x ＝0处的导数．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：①对x 0给出改变量Δx ，得到相应的函数值的改变量Δy ；②确定函数在x 0处的平均变化率；③利用“无限逼近”思想，即Δx 趋于0时，求得导数．二、导数的实际意义的应用已知球的体积V 是半径r 的函数：V(r )＝43πr 3，若函数在r ＝4处的导数是V ′(4)＝64π，试解释其实际意义．思路分析：利用运动变化的观点分析函数中变量之间的关系，可知随着半径r 的增大，体积V 也随之增大，所以题中的导数的实际意义可以理解为球体的膨胀率．1．若汽车行驶的里程s 与时间t 构成函数s ＝s (t )，行驶的速度v 与时间t 构成函数v ＝v (t )，且在t 0时的导数值分别为s ′(t 0)，v ′(t 0)，则其表达的意义是汽车在t 0的( )A ．平均速度，瞬时速度B ．瞬时速度，加速度C ．平均速度，加速度D ．加速度，瞬时速度2．建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．导数可以描述事物的瞬时变化率，如效率、增长率等，在应用于实际问题时，要结合实际背景，利用运动变化的观点恰当分析该点处的导数值的意义．三、导数的几何意义的应用求曲线f (x )＝1x－x 在点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程． 思路分析：利用常规方法较难解决，则可以利用导数先求得切线斜率，再求切线方程．1．若点A (1,2)是函数y ＝f (x )图像上一点，且f ′(1)＝－1，则图像在点A 处的切线方程为__________________．2．求曲线f (x )＝x 3＋x 在x ＝2处的切线方程．只有在曲线方程可看成函数解析式时才能利用导数来求切线方程，否则不能利用导数求解．求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的步骤为：①利用导数求得曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)；②利用点斜式写出直线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．答案：活动与探究1：解：当x 从1变到1＋Δx 时，函数值y 从－3变到－3(1＋Δx )2，函数值y 关于x 的平均变化率为：f(1＋Δx)－f(1)Δx ＝－3(1＋Δx)2－(－3)Δx ＝－6－3Δx ，当Δx 趋于0时，平均变化率趋于－6，所以f ′(1)＝－6.迁移与应用：1．B 解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 f(1＋Δx)－f(1)Δx ＝lim Δx →0 a(1＋Δx)－a Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ，∴a ＝2.2．解：当x 从0变到Δx 时，函数值y 从b 变到(Δx )2＋a Δx ＋b ，函数值y 关于x 的平均变化率为：f(Δx)－f(0)Δx ＝(Δx)2＋a Δx ＋b －b Δx ＝Δx ＋a ，当x 趋于0，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于a ，所以f ′(0)＝a .活动与探究2：解：V ′(4)＝64π表示球的体积在r ＝4时，其瞬时变化率即“膨胀率”为64π，也就是说保持这一膨胀率，半径每增加1个单位，球体的体积就增加64π个单位．迁移与应用：1．B 解析：路程关于时刻的导数值为该时刻处的瞬时速度，而速度关于时刻的导数值为该时刻处的加速度．2．解：Δy Δx ＝f(100＋Δx)－f(100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋100＋Δx －1010Δx＝110＋110(100＋Δx ＋10)，当Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105万元/m 2，即f ′(100)＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2时，成本增加的速度为1 050元/m 2，也就是说当建筑面积为100 m 2时，每增加1 m 2的建筑面积，成本就要增加1 050元．活动与探究3：解：∵Δy ＝14＋Δx －4＋Δx －⎝⎛⎭⎫14－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋Δx －14－(4＋Δx －2)＝－Δx 16＋4Δx －Δx4＋Δx ＋2，∴ΔyΔx ＝－Δx16＋4Δx －Δx4＋Δx ＋2Δx ＝－116＋4Δx－14＋Δx ＋2.令Δx 趋于零，可知函数在x ＝4处的导数为f ′(4)＝－516，即函数在点P 处切线的斜率为－516，因此切线的方程为y ＋74＝－516(x －4)，即5x ＋16y ＋8＝0.迁移与应用：1．x ＋y －3＝0 解析：由导数的几何意义知，函数图像在点A 处切线的斜率为－1，由点斜式写出方程即可．2．解：∵Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3＋2＋Δx －10＝(Δx)3＋6(Δx)2＋13ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋13，令Δx趋于零，可知函数f (x )＝x 3＋x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝13，即函数在点(2,10)处切线的斜率为13，因此切线的方程为y －10＝13(x －2)，即y ＝13x －16.。
【小初高学习】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.小初高教育K12资源 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义学案
导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。
只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。
2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。
对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数应用 参考教案
复习总结：导数应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a xx log ,ln ,,,cos ,sin的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x在x=x 0处的导数解)())((limlim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x=[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数. 解y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ， 则切线的斜率k='y |x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ． 所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x）的解析式解 ∵f （x ）的图象过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+ ∴b=0，d=0.②∴f （x ）=ax 4+cx2∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④由③④得a=25，c=29-∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案(1)
导数的概念和几何意义一、教学目标(一)知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2．通过函数图象直观了解导数的几何意义.（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念的理解.四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f （x ）；（2）f （x+d ）－f （x ）；（3）dx f d x f )()(-+； （4）当d 趋于0时，dx f d x f )()(-+趋于一个确定的常数. 师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.（二）探求新知1.增量、变化率的概念 对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从x 0变化为x 1时，相应的函数值有y 0变为y 1，其中x 1－x 2叫做自变量x 的增量，记为△x ， y 1－y 0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△y ，则).()(01x f x f y -=∆xy ∆∆叫做函数的变化率（或函数)(x f 在步长为△x 的差商）.★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2．导数定义设函数)(x f 在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数)(x f 在x=x 0处的导数或微商，记做)('x f . 上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f . 这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f . 简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★)('x f 也是关于x 的函数，叫做函数)(x f 的导函数.3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）令△x →0，差商→)(0'x f .4．导数的几何意义函数)(x f y =在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （x 0，)(0x f ）处的切线的斜率)(0'x f .5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度.（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要.解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t ），即排污量相同，但是考虑到一开始 有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有 010*********)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2 投石入水，水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图），计算：（1）半径r 从a 增加到a+h 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率.分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。
《导数的概念及其几何意义》教案1(北师大版选修1-1).doc
导数的概念及其几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：%1.创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数在x=x。
附近的变化情况，导数r（x）的几何意义是什么呢？%1.新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当乙（％./'（x〃））（〃 = 1,2,3,4）沿着曲线/（X）趋近于点P（XO ,/（XO））时，割线P4的变化趋势是什么？我们发现，当点P沿着曲线无限接近点P即Ax-0时，割线PP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线pr称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线尸4的斜率如与切线 阿的斜率k 有什么关系?⑵切线P7的斜率*为多少?容易知道，割线PR 的斜率是kn=K*E ,当点己沿着曲线无限接近点尸时，幻无 限趋近于切线PT 的斜率比，即k = lim /任J *）二,佻）=广（X 。
）A —o Ax说明：（1）设切线的倾斜角为那么当△*-（）时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线 的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x = X 。
处的导数・（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义： 函数》顼W 在x=xo 处的导数等于在该点（x 0,/（x 0））处的切线的斜率, 即广（0=lim 川。
+奇）-/氐）小0 ^->o Ax说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1 求出P 点的坐标；%1 求出函数在点与处的变化率广3。
数学北师大版选修1-1导学案-3-2导数的概念及几何意义
§3.2导数的概念及其几何意义【学习目标】1.知道导数的概念以及导数和瞬时变化变化率的关系；2.会求函数在某点处的导数；3.知道导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。
一、知识记忆与理解【自主预习】阅读教材P60-P63，完成下列问题 1.导数的概念定义：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值y 关于x 的平均变化率为 Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋于一个__________，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的__________，也称为函数y ＝f (x )在x 0点的________。
记法：函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号()0'x f 表示，记作()0'x f ＝______________＝__________________.2.导数的几何意义导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x 0处的导数()0'x f ，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的________．【预习检测】 1、求函数x y =在1=x 处的导数。
2、利用导数定义求函数212+=xy 在1=x 处的切线方程。
二、思维探究与创新【问题探究】1、导数的概念及应用探究一：建造一栋面积为x 平方米的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．变式训练1：一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s ＝－2t ＋3，求s ′(1)，并解释它的实际意义．整理 反思2、利用导数几何意义求切线方程探究二: 已知曲线y ＝13x 3上一点P （2，38）,求：(1)在点P 处的切线的斜率； (2)在点P 处的切线方程。
变式训练2:直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－x 2＋1相切，求a 的值及切点的坐标．【总结归纳】1、利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤：“一差、二比、三取极限”（1）求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率ΔyΔx ：＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ； （3）求f ′(x 0)＝limΔx →0Δy Δx. 2、利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下：（1）求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； （2）根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).三、技能应用与拓展【当堂检测】1、若函数f (x )在x ＝a 处可导，则当h 无限趋近a 时，f (h )－f (a )h －a为( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f ′(h )D ．f (h )2、已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 值为( )A ．1B ． 2C ．－1D ．03、已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则当x 趋近于0时，f (x ＋1)－f (1)2x趋向________．4、曲线y ＝x 2－x ＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为________.【拓展延伸】在曲线y ＝4x2上求一点P ，使曲线在点P 处的切线平行于直线y ＝x ＋1.整理 反思。
高中数学北师大版选修1-1教案：第3章 导数与函数的单
导数与函数的单调性一、 学习目标1．会从几何直观探索并了解函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力.二、 学习重、难点灵活应用导数研究与函数单调性有关的问题，并能运用数形结合的思想方式．三、 学习进程1．温习增函数、减函数的概念：一般地，设函数y=)(x f 的概念域为A ，若是对于概念域A 内某个区间I 上的任意两个自变量的值21x x 、，当21x x <时，（1）若都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间I 上是（2）若都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间I 上是2．函数的单调性与导数的关系（1）设函数y=)(x f ，若在某区间上恒有0)(>'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数，若在某区间上恒有0)(<'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数， 若是在某区间恒有0)('=x f ，那么)(x f 在该区间为常值函数.即由0)(>'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间，由0)(<'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间.（2）若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递增⇒ ； 若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递减⇒ .例1．肯定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数.例2．求32287y x x =-+的单调区间.例3．肯定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.变式：讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．1、 当堂反馈1．肯定下列函数的单调区间：（1）3)(x x x f -= （2）31232)(23+-+=x x x x f（3）x x x f cos sin )(+= （4）)3()(2-=x x x f2．证明：x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数.五、小结反思。
3.2.1--2.2导数的概念 几何意义 教案(高中数学选修1-1北师大版)
§2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念2．2导数的几何意义●三维目标1．知识与技能：通过对大量实例进行分析，了解导数概念的实际背景，知道函数的瞬时变化率就是导数，理解导数的概念及其几何意义．2．过程与方法：通过实例，理解导数在曲线的切点上和运动学中的实际含义和应用，能求函数在某一点的导数及简单函数的导数．3．情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会导数在实际问题中的作用，提高学习兴趣，感受导数在物理学、解析几何中的应用．●重点难点重点：导数的概念．难点：导数的几何意义的理解．引导学生从学习过的瞬时变化率过渡到导数的学习，理解导数的概念，结合初中学习过的圆的切线通过画图来认识导数的几何意义．●教学建议本节内容是建立在平均变化率、瞬时变化率的基础上来定义导数的，教学时引导学生体会、认识由平均变化率到瞬时变化率，由瞬时变化率到导数的过程．在讲授导数几何意义时可以借助信息技术来让学生观察、体会用割线趋近切线，让学生意识到数形结合思想，从而掌握导数的几何意义．●教学流程创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，掌握导数的概念及几何意义 通过例1及变式训练，使学生掌握用定义法求导数的基本方法 通过例2及变式训练，使学生掌握切线方程的求法 通过例3及互动探究，使学生掌握导数在实际问题中的应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正女子跳台在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v，通过平均速度v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．(1)怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？(2)当Δx趋于0时，函数f(x)在(x0，x0＋Δx)上的平均变化率即为函数f(x)在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？(3)函数f(x)在x0点的瞬时变化叫什么？【提示】(1)先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度v，当Δt趋于0时，平均速度就趋于运动员在t0时刻的瞬时速度．(2)当Δx趋于0时，x0＋Δx就无限接近于点x0，这样(x0，x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点x0处的瞬时变化率．(3)函数f(x)在x0点的导数．设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝f（x1）－f（x0）x1－x0＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝错误！未指定书签。
2020-2021学年北师大版数学选修1-1学案：3.2 导数的概念及其几何意义 Word版含解析
2 导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第32页一、导数的概念1．定义：设函数y ＝f (x )，当自变量x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，也称为y ＝f (x )在x 0点的导数．2．记法：函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .二、与导数相关的概念 1．平均变化率与导数 平均变化率 导数表达式Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxf ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx几何意义曲线y ＝f (x )上过两点(x 0，f (x 0))和(x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的割线的斜率曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率图示2.切线的定义如表中图，当Δx 趋于零时，点B 将沿着曲线y ＝f (x )趋向于点A ，割线AB 将绕点A 转动，最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．[疑难提示]利用导数的几何意义求过某点的切线方程的步骤(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行或是y 轴；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[想一想]1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗？提示：导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关．[练一练]2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率答案：C3．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量之比B．一个函数C．一个常数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案：C4．已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为()A．1B．0C．－1 D．2解析：∵二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B.答案：B授课提示：对应学生用书第33页探究一 导数概念的理解[典例] (1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)设f ′(a )＝3，求lim Δx →0f (a ＋3Δx )－f (a －Δx )2Δx的值．[解析] (1)∵f (x )＝x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴ΔyΔx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx )2－12Δx (1＋Δx ＋1) ＝Δx Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1.当Δx →0时，Δy Δx →12，∴f ′(1)＝12.(2)∵lim Δx →0f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝3，∴lim Δx →0 f (a ＋3Δx )－f (a －Δx )2Δx＝lim Δx →0 f (a ＋3Δx )－f (a )＋f (a )－f (a －Δx )2Δx＝32lim Δx →0 f (a ＋3Δx )－f (a )3Δx ＋12lim Δx →0 f (a －Δx )－f (a )－Δx＝32f ′(a )＋12f ′(a )＝2f ′(a )＝6.1．解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N ＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 2．利用导数定义求函数y ＝f (x )在某点处的导数的步骤： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)当Δx 趋于0时，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx .1．一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数，y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解析：因为Δy Δt ＝f (2＋Δt )－f (2)Δt ＝3(2＋Δt )－3×2Δt ＝3，所以f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔt＝3.f ′(2)＝3的意义是：水流在2 s 时的瞬时流量为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1 s ，水管中流过的水量为3 m 3.2．利用导数的定义求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解析：Δy ＝[1(1＋Δx )2＋2]－(11＋2) ＝1(1＋Δx )2－1＝－2Δx －(Δx )2(1＋Δx )2 Δy Δx ＝－2－Δx (1＋Δx )2， 当Δx →0时，ΔyΔx＝－2，∴函数y ＝1x2＋2在x ＝1时的导数为－2.探究二 导数几何意义的应用导数几何意义的应用—⎪⎪⎪⎪—求切线方程—求切点坐标—求参数—综合应用3．(1)求曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程；(2)求过点A (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程． 解析：(1)∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x 在点(－2，－1)处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝li m Δx →0 1－2＋Δx＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.(2)∵当x ＝3时，f (3)＝32＝9， ∴点(3,5)不在曲线y ＝x 2上， 设切点为A (x 0，y 0)，即A (x 0，x 20)， 则过点A 的切线斜率 k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0，∴过点A 的切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即2x 0x －y －x 20＝0，又∵点(3,5)在切线上，∴6x 0－5－x 20＝0，即x 20－6x 0＋5＝0，∴x 0＝1或5，∴切点为(1,1)或(5,25)，∴切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.4．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：(1)平行于直线y ＝x ＋1； (2)垂直于直线2x －16y ＋1＝0； (3)倾斜角为135°.解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝4(x 0＋Δx )2－4x 20＝4x 20－4(x 0＋Δx )2x 20(x 0＋Δx )2＝－8x 0Δx －4(Δx )2x 20(x 0＋Δx )2， ∴Δy Δx ＝－8x 0－4Δx x 20(x 0＋Δx )2，∴当Δx 无限趋近于0时， Δy Δx 无限趋近于－8x 30，即f ′(x 0)＝－8x 30. (1)因为切线与直线y ＝x ＋1平行．∴由导数几何意义知f ′(x 0)＝1，即－8x 30＝1，∴x 0＝－2，y 0＝1.即P (－2,1)． (2)∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直，∴有f ′(x 0)·(－2－16)＝－1，∴－8x 30·18＝－1，∴x 0＝1，y 0＝4，即P (1,4)．(3)∵切线倾斜角为135°，∴f ′(x 0)＝tan 135°＝－1，∴－8x 30＝－1，∴x 0＝2，y 0＝1，即P (2,1)．5．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 解析：(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋ΔxΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.∴y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，解得b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， ∴所求三角形的面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋223×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 6.如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f (t )＝4t －2t 2的图像，试根据图像，描述、比较曲线f (t )在t 0、t 1、t 2附近的变化情况．解析：(1)当t ＝t 0时，曲线f (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以在t ＝t 0附近曲线比较平坦．几乎没有升降．(2)当t ＝t 1时，曲线f (t )在t 1处的切线l 1的斜率f ′(t 1)<0，所以在t ＝t 1附近曲线下降，即函数f (t )在t ＝t 1附近单调递减．(3)当t ＝t 2时，曲线f (t )在t 2处的切线l 2的斜率f ′(t 2)<0，所以在t ＝t 2附近曲线下降，即函数f (t )在t ＝t 2附近也单调递减．由图像可以看出，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，说明曲线f (t )在t 1附近比在t 2附近下降得缓慢．因对导数的概念理解不透彻致误[典例] 已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________.[解析] lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 [f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2]＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. [答案] 8[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，解决此类问题关键是变形分母中x 的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为 c lim Δx →0f (x 0＋kΔx )－f (x 0)kΔx(c ，k 为常数且kc ≠0)的形式．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 疑难解析：导数概念
有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。
函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。
如果0lim →∆x xy ∆∆不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →∆x x y ∆∆存在，则称此极限值为函数在该点的导数。
2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件：①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→∆0lim x x y ∆∆及其右极限+→∆0lim x x y ∆∆都存在；③-→∆0lim x x y ∆∆=+→∆0lim x xy ∆∆，即左右极限相等。
三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。
3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)．4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： ①．函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量．②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '．③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．5．导数与连续的关系：若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．下面用两个例题说明这个问题．例1 求证：若函数在点x 0处可导，则函数)(x f 在点x 0处连续． 证明：∵函数)(x f 在点x 0处可导，∴在点x 0处有： 0lim x x →[)(x f －)(0x f ] =0lim →∆x y ∆=0lim →∆x (x y ∆∆·x ∆) =0lim →∆x x y ∆∆·0lim →∆x x ∆=)(0x f '·0 = 0， ∴0lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数)(x f 在点x 0处连续． 例2 求证：函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在x 0处不可导． 证明：∵①)0(f = 0；②-→∆0lim x | x | =+→∆0lim x | x | =0lim →∆x | x | = 0 ；③0lim →∆x )(x f =)0(f ． ∴)(x f = | x |在点x 0= 0处连续．① 又∵函数)(x f = | x |在点x 0= 0及其附近有意义； ②x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00=x f x f ∆-∆+)0()0(=x x f ∆∆)(=x x ∆∆||=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆-∆=∆∆0.10,1＜x xx x ＞x x ； ③-→∆0lim x xy ∆∆=－1，+→∆0lim x x y ∆∆=1，即0lim →∆x x y ∆∆不存在，所以)(x f = | x |在点x 0= 0处不可导．综上所述，函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在在x 0处不可导． 综上，函数y =)(x f 在点x 0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：)(x f 在点x 0处有定义，不一定在x 0处连续；但)(x f 在点x 0处连续，一定在点x 0处有定义，即)(x f 在点x 0处有定义是)(x f 在点x 0处连续的必要而不充分的条件。
高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练1利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则() A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于() A ．－4B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 梳理lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理(1)点P 处 (2)li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1解∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2解(1)k ＝li m Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →04Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3解lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4解因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究解由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4解设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练 1．C2.C3.D4.2 5．解因为lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
2019-2020年高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 疑难解析：导数概念
2019-2020年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第3章疑难解析：导数概念一、导数相关概念1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。
函数y =在x点可导是在x点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。
如果不存在，称函数在x点不可导；若存在，则称此极限值为函数在该点的导数。
2．y =在x点可导有以下三个条件：①y =在x点处及其附近有意义；②左极限及其右极限都存在；③=，即左右极限相等。
三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。
3．导函数y =与原来的函数y =有相同的定义域(a，b)．4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别：①．函数在一点处的导数y=是一个常数，不是变量．②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数y =在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数y=．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =的导函数y =．③．函数y =在点x处的导数y=就是导函数y =在点x = x处的函数值，即=|．5．导数与连续的关系：若函数y =在x处可导，则此函数在x处连续，但逆命题不成立，即函数y =在x处连续，未必在x处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．下面用两个例题说明这个问题．例1求证：若函数在点x处可导，则函数在点x处连续．证明：∵函数在点x处可导，∴在点x处有：[－] ==(·) =·=·0 = 0，∴=，即函数在点x处连续．例2求证：函数= | x |在点x= 0处连续，但在x处不可导．证明：∵①= 0；②| x | =| x | =| x | = 0 ；③=．∴= | x |在点x= 0处连续．①又∵函数= | x |在点x= 0及其附近有意义；②===== ；③=－1，=1，即不存在，所以= | x |在点x= 0处不可导．综上所述，函数= | x |在点x= 0处连续，但在在x处不可导．综上，函数y =在点x处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：在点x处有定义，不一定在x处连续；但在点x处连续，一定在点x处有定义，即在点x处有定义是在点x处连续的必要而不充分的条件。
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3.2 导数的概念及其几何意义
教学目标：
1．导数的概念及几何意义；
2．求导的基本方法；
3．导数的应用.
教学重点：导数的综合应用；
教学难点：导数的综合应用.
一.知识梳理
1．导数的概念及几何意义.
2．求导的基本方法
①定义法：()x f '=()()x
x f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±'
3．导数的应用
①求曲线切线的斜率及方程；
②研究函数的单调性、极值、最值；
③研究函数的图象形态、性状；
④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．
二．基础训练
1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( )
A.0>a
B.0≥a
C.a<0
D.0≤a
2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，
-上的最大值、最小值分别是 （ ）
A.1，-1
B.1，-17
C.3，-17
D.9，-19
3.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有
A 0个根
B 1个根
C 2个根
D 3个根 4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断: ①f(x)在(-2,0)上是减函数;
q x () = -2⋅cos x ()
-12
1-2
②x=-1时, f(x)取得极小值;
③x=1时, f(x)取得极小值;
④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.
其中正确的是
A ①②
B ②③
C ③④
D ②③④
5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是
A -3 B-1 C1 D3
6．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．
(I)用t 表示a ，b ，c ；
(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．
三．典型例题
例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．
（I ）求f(x)的极值；
（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点．
例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．
1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；
2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．
例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
①a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。
②若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。