一阶常微分方程解法总结

页脚内容1

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程： ①、形如

)()(y g x f dx

dy

= 当0)(≠y g 时，得到

dx x f y g dy

)()

(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、

xy dx

dy

= 解：当0≠y 时，有

xdx y

dy

=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=

所以)(112

12

C x e C C e C y ±==为非零常数且

0=y 显然是原方程的解；

综上所述，原方程的解为)(12

12

为常数C e C y x =

②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M

当0)()(≠y N x P 时，可有

dy y N y Q dx x P x M )

()

()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）

x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x

页脚内容2

解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有

dx x x

dy y y 1

122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C

y x ；

当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。

⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如

)(x

y

g dx dy = 解法：令x y u =

，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx

du

x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x

y

f =。

②、形如

)0(),(≠+=ab by ax G dx

dy

解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=

，代入得到)(1u G b

a

dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。

③、形如

)(2

221

11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、

02

2

11=b a b a ，转化为

)(by ax G dx

dy

+=，下同①； 02、

022

1

1≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00

222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u

页脚内容3

得到，)()(

)(221

12211u v g u

v b a u v

b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(

xy v xy f dx dy x ==),(2

22),(x

y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++

以上都可以化为变量可分离方程。

例2.1、

2

5

--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u

u dx du 7

1+=

-

，有dx udu 7-= 所以)(722

为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72

22

为常数）

（C C

x y x =+--。

例2.2、

1

212+-+-=y x y x dx dy 解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ，令⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到

u

v

u v

v u v u du dv 21222--

=

--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)

1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有

)(2

)

1ln(ln 2为常数C C

t t u ++--=，所以有

页脚内容4

)(112

1C e C t

t C u ±=+-=

，，故代入得到)0(,3131313113

1

12

1

≠⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-++-

-

=+

C x y x y C x

（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dx

dy

x a =+（ 标准形式：

)()(x Q y x P dx

dy

=+ 解法：1、直接带公式：

))(()()()()()()(⎰

⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：

])()([)

(1

)(⎰+=

C dx x Q x x x y μμ，⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：

)()(x Q y x P dx

dy

=+，00)(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰

⎰=-

-

x x ds

s P ds

s P x x ds

s P ds

s P dt e t Q e

y y dt e t Q e

y t

x t

x x

x x

x 0

00

)()(00)()()())((

例3、1)1()

1(++=-+n x x e ny dx

dy

x 解：化简方程为：

n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1

)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx x n

dx x P x e e

x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ