2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABI
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)VQ
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列各极限：1y x y →→ 22001(2)lim ;x y x y →→+00x y →→00x y →→ 00sin (5)lim ;x y xy x →→ 222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.= (2)原式=+∞.(3)原式=01.4x y →→=- (4)原式=00 2.x y →→= (5)原式=00sin lim 100.x y xy y xy →→⋅=⨯= (6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== .解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.3．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--⎰； (3)()()1,221,1d d x y x x y -⎰沿在右半平面的路径； (4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x ∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是 ()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123P xy y y ∂=-∂，2123Q xy y x ∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xy y x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Q y x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABL
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．已知过去几年产量和利润的数据如下：解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[]621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组66621116611,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得29834402240034026320a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 a =0.884,b =-5.894 即 y =0.884x -5.894,当x =120时，y =100.186(310元).2．设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z ∂∂∂∂∂∂.解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，3．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+= 解得 121,3r r ==通解为 312e e x xy c c =+312e 3e x x y c c '=+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩故方程所求特解为 34e 2e xxy =+.00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24410r r ++= 解得 1212r r ==-通解为 1212()ex y c c x -=+22121e 22xx y c c c -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭由初始条件得 11221221102c c c c c =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 故方程所求特解为 12(2)ex y x -=+.00(3)4290,0,15;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24290r r ++= 解得 1,225r i =-± 通解为 212e(cos5sin 5)xy c x c x -=+22112e [(52)cos5(52)sin 5]x y c c x c c x -'=-+--由初始条件得 112120052153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩故方程所求特解为 23esin 5xy x -=.00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.解：特征方程为 2250r +=解得 1,25r i =±。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)WC
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．求旋转抛物面z = x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。
解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为2(1)3x y z d +--=,即求其在条件z = x 2+y 2下的最值。
设F （x ,y ,z ）=222(1)()3x y z z x y λ+--+-- 解方程组222(1)2032(1)2032(1)03x y z x y z F x x y z F y x y z F z x yλλλ+--⎧=-=⎪⎪+--⎪=-=⎪⎨⎪-+--=+=⎪⎪⎪=+⎩ 得12x y z ===1==2．若r =()()21,,,,3n r r f r r n r∇∇∇∇∇≥. 解：()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r rr -'∇=∇=∇=∇=∇=3．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;解：特征方程为 210r +=得 1,2r i =±对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得 3cos23sin 2sin 2A x B x x --=-得 10,3A B == 故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x =++.将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x =--+. 200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===. 解： 21090r r -+=121,9r r ==对应齐次方程通解为 912e e x x y c c =+令*2e x y A =,代入原方程求得 17A =-则原方程通解为 29121e e e 7x x x y c c =-++ 由初始条件可求得 1211,22c c == 故所求特解为 9211(e e )e 27x x x y =+-.4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+= 解得 121,3r r ==通解为 312e e x x y c c =+312e 3e x x y c c '=+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故方程所求特解为 34e 2e x x y =+.00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24410r r ++=。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)WI
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．(0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。
解：1cos ,sin ,2cos2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}1cos ,sin ,2cos 2t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =.且T ∥n ,故2cos 1cos sin 11tt t-==解得π2t=，相应点的坐标为π2⎛- ⎝.且{1T = 故切线方程为π11211x y -+-==法平面方程为π1102x y z -++--=即 π042x y ⎛⎫+-=+⎪⎝⎭.2．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．3．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22yQ x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22d d x x y yx y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．4．验证下列P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )： (1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5．求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x'+=++ 由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x-⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰ sin (3)cos e ;x y y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解： 22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为2d 12()d 2y y x x x x -=-- 11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)x x x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为 2222411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)224e ed 14e 4d 3(1)xxx x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰6．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向； (2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2= 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z2= 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d dcos cos cos ddπy x z y x zR Q Q PP Rsy z x yz xssaaΓ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++-⎪⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos,cos,cosαβγ==n．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0实际就是xOy 面上的圆x 2+y 2=9，z =0，取Σ：z =0，D xy ：x 2+y 2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d 3d d d d d d d d 000032d d d d π39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD y x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑7．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分； (4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s R x y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)AB
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．在第I 卦限内作椭球面2222221x y z a b c++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。
解：令222222(,,)1x y z F x y z a b c=++- ∵222222,,,x y z x y z F F F a b c === ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为000000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c-+-+-= 即 000222 1.x x y y z z a b c++= 切平面在三个坐标轴上的截距分别为222000,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为222222000000166a b c a b c V x y z x y z =⋅⋅⋅= 即求2226a b c V xyz=在约束条件2222221x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。
设 222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ⎛⎫Φ=+++- ⎪⎝⎭, 解方程组22222222220,20,20,1.x y z x yz a x xz b x xy c x y z ab c λλλ⎧Φ=+=⎪⎪⎪Φ=+=⎪⎨⎪Φ=+=⎪⎪⎪++=⎩得x y z ===故切点为，此时最小体积为222.6a b cV==2．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：ππ(1)sin20,1,1x xy y x y y=='''++===;解：特征方程为210r+=得1,2r i=±对应齐次方程通解为12cos siny c x c x=+令*cos2sin2y A x B x=+代入原方程并整理得3cos23sin2sin2A xB x x--=-得10,3A B==故通解为121cos sin sin23y c x c x x=++.将初始条件代入上式得11221121133c cc c-==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为11cos sin sin233y x x x=--+.200633(2)109e,,77xx xy y y y y==''''-+===.解：21090r r-+=121,9r r==对应齐次方程通解为912e ex xy c c=+令*2e xy A=,代入原方程求得17A=-则原方程通解为29121e e e7x x xy c c=-++由初始条件可求得1211,22c c==故所求特解为9211(e e)e27x x xy=+-.。
2019高数(下)试题及答案
,
1 ,
处
4 42
的切平面方程是 x y 2z 1 0 .
.
.
2
2
3. 交换积分次序 0 dx x f x, y dy
2
y
dy f x, y dx .
0
0
4.
对于级数
n
1 （ a＞ 0），当 a 满足条件 1an
5. 函数 y 1 展开成 x 的幂级数 2x
a 1 时收敛 .
为
xn
n 0 2n 1
.
.
（C） e 1(dx dy)
（D ） ex (dx dy)
4. 若级数 an x 1 n 在 x
n1
则此级数在 x 2 处（
1处收敛， ）
（ A ）敛散性不确定
（B）发散
（ C ）条件收敛
（ D ）绝对收敛
5. 微分方程 y xy x 的通解是（ ）
1 x2
（A） y e2 1
1 x2
（B） y e 2 1
计算三重积分 y zdxdydz，
其中 x, y, z 0 x 1, 1 y 1,1 z 2 ．
六、 ( 本题满分 8 分 ) 计算对弧长的曲线积分
e x2 y2 ds，
L
.
.
其中 L 是圆周 x2 y2 R2 在第一象限的部分． 七、 ( 本题满分 9 分 )
计算曲面积分 xdydz zdzdx 3dxdy，其中 是柱面
其起点为 1,2 ，终点为 2,3 ，
记I
xy2
1 dx
L
y
x2 y
x y2 dy
1．证明曲线积分 I 与路径 L 无关；
2．求 I 的值．
证明 1: 因为上半平面 G 是单连通域，在 G 内：
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)TR
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设11e x y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z x y z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x x x ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121e x y z y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂2．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2 ()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky y ka t t kb t b t tk b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)3．若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38π4．证明：场()()()()2,2,2yz x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数.解：略。
5．证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇解：略。
6．求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解： 22d d 3y y x x y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得 2d 2d 3u u u xx u +=-- 分离变量，得 233d d u x u u u x-=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x-= 得方程通解为 223y x cy -=以x =0，y =1代入上式得c =1.故所求特解为 223y x y -=. 1(2),2x x y y y y x='=+= . 解：设y ux =， 则d d d d y u u x x x=+ 原方程可变为 d d x u u x =积分得 21ln ln 2u x c =+. 得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.7．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量，得 2e d e d y x y x =。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)UB
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.2．指出下列各微分方程的阶数：(1) 2()20;x y'yy'x -+=一阶 (2) 20;x y''xy'y -+=二阶 (3) 220;xy'''y''x y ++=三阶 (4) (76)d ()d 0.x y x x y y -++=一阶3．把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z = 8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，}，单位向量为n 0={35，25}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos 5β=，cos γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1} 其方向余弦：cos α=，cos β=，cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分；(4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s Rx y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。
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2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答
案）
一、解答题
1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
解：球的半径为R ==
设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14
即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.
2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：
πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x
=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，
故所求特解为 1(π1cos )y x x
=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x
='+-== . 解：2
2323d 3ln x x x x c x
--=--+⎰ 2
2
223323d 23
+3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以x =1,y =0代入上式，得12e
c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．
解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t
=⎧⎨=⎩，t ：0→π2
()()
()()
π2022π
2
0π2220
22d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222L
W kx x ky y ka t t kb t b t t k b a t t
k b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)
4．设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：
(1)沿圆周221,0x y z +==；
解：2π
(2)沿圆周()2
251,0x y z -+==.
解：2π
5．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。
6．求下列齐次方程的通解：
(1)0xy y '-=;
解：d d y y x x =+令 d d d d y y u u u x x x x
=⇒=+ 原方程变为
d x x = 两端积分得
ln(ln ln u x c =+
u cx
y cx x +=+= 即通解为：
2y cx =
d (2)ln d y y x y x x =;。