2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABI

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答

案）

一、解答题

1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：球的半径为R ==

设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14

即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.

2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：

πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x

=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，

故所求特解为 1(π1cos )y x x

=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x

='+-== . 解：2

2323d 3ln x x x x c x

--=--+⎰ 2

2

223323d 23

+3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以x =1,y =0代入上式，得12e

c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

.

3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．

解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t

=⎧⎨=⎩，t ：0→π2

()()

()()

π2022π

2

0π2220

22d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222L

W kx x ky y ka t t kb t b t t k b a t t

k b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)

4．设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：

(1)沿圆周221,0x y z +==；

解：2π

(2)沿圆周()2

251,0x y z -+==.

解：2π

5．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。

6．求下列齐次方程的通解：

(1)0xy y '-=;

解：d d y y x x =+令 d d d d y y u u u x x x x

=⇒=+ 原方程变为

d x x = 两端积分得

ln(ln ln u x c =+

u cx

y cx x +=+= 即通解为：

2y cx =

d (2)ln d y y x y x x =;