四随机变量的数字特征答案
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计第三版课后习题答案
概率论与数理统计第三版课后习题答案概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。
而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章概率论的基本概念1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是13/52=1/4。
第二章随机变量及其分布1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0<x<1，求k的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于0<x<1，有∫f(x)dx=∫kxdx=1，解得k=2。
2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ce^(-x)，其中x>0，求c的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于x>0，有∫f(x)dx=∫ce^(-x)dx=1，解得c=1。
第三章多维随机变量及其分布1. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2-2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞<x,y<∞，求常数σ1、σ2和相关系数ρ之间的关系。
答：由二维正态分布的性质可知，对于-∞<x,y<∞，有∫∫f(x,y)dxdy=1，解得σ1σ2√(1-ρ^2)=1。
2. 设随机变量(X,Y)服从二维均匀分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(b-a)(d-c)，其中a<x<b，c<y<d，求常数a、b、c、d之间的关系。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
第四章随机变量的数字特征
（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分 收敛，则
证明略。
【例4-10】已知（X，Y）的分布律为 求:(1)E（2X+3Y）;(2)E（XY）. 解 （1）由数学期望定义知
【例4-11】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求:(1)E(X+Y)；(2)E(XY)； (3)P{ X+Y≤1}. 解：
求E（X） 解 E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2
【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数 分别记为X，Y，它们的分布律分别为
试比较他们成绩的好坏。 解 我们分别计算X和Y的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。 这意味着，如果进行多次射击，甲所得 分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均 值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。
（1） 0-1分布 设X的分布律为 其中0＜P＜1,则X的方差D(X)=P(1-P). 因为 而 故 （2）二项分布 设X～B(n,p) 则有DX=np（1-p） （3）泊松分布 设X～P （λ），则有DX= λ
（4）均匀分布 设X～U(a,b),则有
（5）指数分布 设
(6)正态分布 可以证明，若
下表是六种常见分布的期望和方差的结果. 要求大家熟记下面公式.
【例4-18】 若X～U(a,b)且EX＝3，DX=1/3， 求：a,b及X的概率密度f(x) 解：
【例4-19】已知随机变量X服从二项分布，且 E(X)=2.4，D(X)=1.44，求二项分布的参数n，p. 解：因为E(X)=np，D(X)=npq， 由已知E(X)=2.4，D(X)=1.44，np=2.4， npq=1.44， 得q=0.6，p=0.4，n=6 【例4-20】已知（X，Y）的分布律为
第四章随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征」、选择题1 .X 为随机变量，E(X) = —1,D(X)=3，则 ERxfao = ( D ) A. 18B.9C.30D. 322.设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为A. 0B.1/2C.2D. 13. ( X,Y )是二维随机向量，与C OV (X ,Y )=0不等价的是(D ).C. D (X _Y )= DX DYD. X 与 Y 独立4. X,Y 独立，且方差均存在，则D(2X -3Y) =( C ). A. 2DX -3DY B. 4DX -9DY C.5.若X,Y 独立，则(C ). A. D(X -3Y) = DX -9DY B. C. E {[ x-EX ][Y -EY ]} =0 D.6.若Cov(X,Y)=0,则下列结论中正确的是(C ). A. X,Y 独立 B. D(XY)=DX DYC. D(X Y)=DX DYD.D(X-Y) = DX-DY7. X,Y 为两个随机变量,且 E[(X -EX )(Y -EY)] =0,则 X,Y( D ).A.独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8. 设D(X Y^DX DY,则以下结论正确的是(A ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C.6y=1 D.•一 1f (x, y)e" y),0 :::x ：：： ：：,0 ：：：则 E(XY)=(D).A. E(XY)二 EX EYB.D(X Y)二 DX DY4DX 9DY D. 2DX 3DYD(XY) = DX DY P{Y 二 aX b} = 19. 下式中恒成立的是（C ）.C. Cov(X,aX b)=aDXD.10. 下式中错误的是(D ). A. D(X Y)二 DX DY 2Cov(X,Y) B. Cov(X,Y)二E(XY) — EX EY1C.Cov(X,Y) [D(X Y) - DX - DY]2D. D(2X -3Y)=4DX 9DY -6Cov(X,Y) 11.下式中错误的是（B ).A. EX 2 = DX (EX)2B. D(2X 3) =2DXC.E(3Y b) =3EY bD.D(EX) = 012.设X 服从二项分布，EX 二 2.4,DX二1.44,则二项分布的参数为（A ）.A.n = 6, p = 0.4 B. n = 6, p = 0.1C. n = 8, p 二 0.3D.n = 24, p = 0.113.设X 是一随机变量,EX ",DX 八2,二0,则对任何常数C,必有（D ）. A.E(X -c) = EX -C 2B. E(X _c)2 = E(X _ J )2C. E(X -c)2: DX D.E(X -c)2 一二 2M.XS,则鵲=(B )A. nB.1 - pC.pD.11 - pA. E(XY)二 EX EYB. D(X _Y)二 DX DY D(X 1) = DX 115.随机变量X 的概率分布律为P{X 二k} = 1 ,k =1,2,||(, n,则D(X) =n(B ).17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为 0,方差为1，贝U( X, Y )的概率密度为(A )18. X 服从［0,2］上的均匀分布,则DX=( B ). A.1B.1C.1D.12361219. X ~ N(0,1),Y = X 3,贝U EY=( C ).A. 2B. 3Vn C. 0D.〈n4320.若丫 =X1 X 2,X i ~N(0,1),i =1,2,则(A ).A. EY=0B. DY=2C. 丫〜N(0,1)D. 丫〜N(0,2) 21.设 xLb( n,p),Y_N(・点2)，则(B ). A. D(X Y)二 np(1-p)二2 B. E(X Y)二 np - J22.将n 只球放入到 M 只盒子中去，设每只球落在各个盒中是等 可能的，设X 表示有球的盒子数，则EX 值为(A ).A. 1?(n 2 1)B.卩2")1C. 12(n 1)2D. (n-1)21216. 随机变量X~f(x )」1：e0,4 A. - 1 B.104 10 14X 0,则 E(2X 1)=( C ).x _0C. 21D. 20A.1心2)f(x,y) 一 e 2B.2兀C. 1 严)2f (x,y F e D.f(x, y)(x 2 -y 2)1x 2 4y 2f(x,沪勿「丁C. E(X 2 Y 2) = n 2p 2D. D(XY) = np(1 - pF 2-21A. M[1-(1 -)n] B.MX 服从参数为23.已知 n 1、nn! B. M[1 一()] D. nMMM n■ '的泊松分布，且E[(X -1)(X -2)^1,则■).A. 124.设 X i1D. 丄24,X 2 , X 3相互独立，其中X 1服从［0,6］上的均匀分布，X 2B.-2C.服从正态分布N(0,22),X 3服从参数为3的泊松分布，记丫 = Xi -2X 2 3X 3,则 DY=( B ).A. 14B.46C.20D. 925.设X 服从参数为1的指数分布,则E(X e^X )=( D ). 1 D. 电 33为随机变量,EX ",DX = ；2,则P{| X 」|_3「}满足A. 1B.0C.26.设(A A. < 927.设).<1 3X,Y 独立同分布 B.1 1--D.一丄93，记U = X -Y,^ X Y,贝y U 与V 满足C.D. A. 28.EX i A. C. 29. ).不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D.相关系数为0设随机变量 X 1,x,|2ix 相互独立，且= 1,DX j =2(i =1,2,川,10)，则下列不等式正确的是(C ).10P{Z Xi -^4 >1-i=1 10P{5： X i —10 < 号 K 1 —20Ei =1B.利用正态分布有关结论10P{S X i -im ::} -1-10P{2； X i —10 CE }兰1 —20EiT」X -2)2(x 2 -4x 4)e2dx =(A ).30.设（X,Y ）服从区域D =｛（ x,y ）：0< x, y < a ｝上的均匀分布,则E|X -丫|的值为（C ）.32.某班有n 名同学，班长将领来的学生证随机地发给每个人「-1, X ：： 033.设X 服从区间［-1,2］上的均匀分布，丫二0, X=0,则DY=（1, X 0A. 2B. 1C.833934.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品，价值10元；疵点数大 于1不多于3的为二等品，价值8元;3个以上者为废品，则产品 的废品率为（B ）. A. -B.1 - § C. 1」 D. 3e3e 2e_5_ 2e35.接上题，任取一件产品，设其价值为X,则EX 为（A ）.A. 1B.0C.2D. -1 A. 0 B.C. D.31. 1a 4下列叙述中正确的是 (D ).A.D (JEX)=1DXB.貸 ~N(0,1)C. EX 2 =(EX)2D. EX 2 二 DX (EX)2A. 1设X 表示恰好领到自己学生证的人数，则EX 为（A ）. n （n 1） 2B.C.D.n -1 n).CD. 1A. 763eB.兰C.3e9D. 636.设X ~ f (x)=丿 '2x, 01x<J,以Y 表示对X 的三次独立重复观0, ■-其他察中“ X 兰1 ”出现的次数，则 DY=( A).A . 9 B.16 C. -D.41694337.设(X,Y)为连续型随机向量，其联合密度为f (x,y),两个边缘概率密度分别为f x (x)与f Y (y),则下式中错误的是(D ). *-be—-be -beA. EX xf X (x)dxB.EX xf(x, y)dxdy—o -be -be o—-be -beC. EY 2y f (x, y)dxdy D. E(XY)xyf X (x) f Y (y)dxdyJO-O0 --O0二、填空题2/e2 .已知离散型随机变量 X 可能取到的值为： -1 , 0, 1，且E(X) = 0.1,E X ) 0,贝U X 的概率密度是 ____________ . _______3. 设随机变量X~N(・/2)，则X 的概率密度f(x)二 __________________EX 二 ____ ； DX 二 若Y =-^^-，贝U Y 的概率密度 f(y)二EY = ______ ； DY 二4. 随机变量X 〜N(=4),且E(X 2)=5 ,则X 的概率密度函数 为5.若随机变量X 服从均值为3，方差为匚2的正态分布，且P(2 VX £4)=0.3 贝U P(X V2)=______6 .已知随机变量X 的分布律为：1 .随机变量X 服从参数为，的泊松分布，且 D(X) =2，贝U p 〈X =1/ =则E(x)= 7/4 _____ , D(X)=121/48, E(_2X 1)= -5/2 .7 .设DX =4,DY =9, P X Y =0.5,则D(2X —3Y)= ________________ .618. 抛掷n颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为35/12 . ___________9. 设随机变量X和Y独立，并分别服从正态分布N(2, 25)和N(3,49)，求随机变量Z =4X -3Y 5的概率密度函数为10. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E ( X2) = 18.4 .11. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望 E (Z) = 4 .。
人教B版(2019)选修第二册突围者第四章第二节课时4随机变量的数字特征
人教B 版（2019）选修第二册突围者第四章第二节课时4随机变量的数字特征学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个口袋中有5个大小相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中任取2个球，用X 表示取出球的较大号码，则EX 等于（ ） A ．4B ．5C ．3D ．4.52．随机变量X 的分布列如表，若E (X )=2，则D (X )=（ ）A ．65B ．43C ．54D ．323．小智参加投篮比赛，比赛规则为投中1次得1分，投不中扣1分．已知小智投篮的命中率为0.5，记小智投篮3次后的得分为ξ，则()D ξ=（ ） A ．0.375B ．0.75C ．1.5D ．34． “四书”是《大学》《中庸》《论语》《盂子》的合称，在中国思想史上产生过深远影响．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有4名同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4名同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生人数的数学期望为（ ） A ．12B ．1C ．23D ．25．设随机变量(),X B n p ，且X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则（ ）A ．4n =，0.6p =B ．6n =，0.4p =C ．8n =，0.3p =D ．24n =，0.1p =6．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ7．利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是A ．A 1B ．A 2C ．A 3D ．A 48．有甲、乙两名学生，经统计，他们在参加同一智力竞赛时，各自的成绩为80分、90分、100分的概率如下表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两名学生的成绩不相当，且甲的较稳定B ．甲、乙两名学生的成绩不相当，且乙的较稳定C ．甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定D ．甲、乙两名学生的成绩相当，但乙的较稳定 9．若X 是离散型随机变量，()123P X x ==，()213P X x ==，且12x x <，若4()3E X =，2()9D X =，则12x x +的值为（ ） A ．53B ．73C ．3D ．11310．已知随机变量8ξη+=，若(10,0.4)B ξ，则()E η，()D η分别是( )A ．4和2.4B ．2和2.4C ．6和2.4D ．4和5.611．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中2,3,4i =）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量i ξ（其中2,3,4i =），则有（ ）A ．()()()24323E E E ξξξ+<B ．()()()24323E E E ξξξ+>C ．()()()24323E E E ξξξ+<D ．()()()24323E E E ξξξ+>二、解答题12．已知在某公司年会上，甲、乙等6人分别要进行节目表演，若采用抽签的方式确定每个人的演出顺序（序号：为1，2，，6），求：（1）甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两人之间的演出节目的个数ξ的分布列、数学期望与方差．13．袋中有20个除标号不同外其他完全相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n （1n =，2，3，4）个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． （1）求ξ的分布列、数学期望和方差；（2）若a b ηξ=+，()1E η=，()11D η=，试求a ，b 的值．14．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中男同学5名，女同学3名．为了活动的需要，要从这8名同学中随机选出3名去执行一项特殊任务，记其中男同学的人数为X ．（1）求去执行任务的同学中有男有女的概率； （2）求X 的分布列及数学期望和方差．15．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到奖券1张，每张奖券的中奖概率为12，且每张奖券是否中奖是相互独立的，若中奖，则商场返回顾客现金100元某顾客现购买单价为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张． （1）设4张奖券中中奖的张数为ξ，求ξ的分布列；（2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（单位：元），用ξ表示η，并求η的数学期望和方差．16．已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，η． （1）求ξ，η的分布列；．（2）求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术．17．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由. 18．1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府将8月1日作为中国工农红军成立纪念日．中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，根据答题情况确定参赛学生．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为23，A，B两名学生对每个问题回答的正确与否都是相互独立的．设学生A答对题数为X，学生B答对题数为Y，若让你投票选择参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．19．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望()E X.20．记A，B两个投资项目的利润率分别为1x和2x，根据市场分析，可知1x和2x的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，1 y 和2y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润（单位：万元），求()1D y ，()2 D y ． (2)将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，(100)x -万元投资B 项目()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时()f x 取得最小值．三、多选题21．已知随机变量X 的分布列为则下列结论正确的是（ ）A ．()13E X =-B ．()143E X +=-C ．()2327D X =D ．()315D X +=22．一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则（ ） A ．随机变量X 服从二项分布 B ．随机变量X 服从超几何分布 C ．()327P X ==D ．()85E X =23．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ没有最值C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12四、双空题24． 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．X 表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数，则E (X )＝________，方差D (X )＝________.五、填空题25．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为23，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X 为该毕业生得到面试机会的公司个数．若()1012P X ==，则()D X =______．参考答案1．A 【分析】由题意知随机变量为2，3，4，5，计算出相应的概率，运用公式计算结果即可. 【详解】解：由题意知随机变量为2，3，4，5， ()2511210P X C ===， ()1225213105C P X C ====，()13253410C P X C ===，()1425425105C P X C ====，故113223454105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属于基础题. 2．D 【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a ，b 的方程组，解出a ，b 的值, 再利用方差公式可求出()D X 的值. 【详解】由分布列的性质以及期望公式可得 1()242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 解得 14a b ==所以2221113()(12)(22)(42)2442D X =-+-+-=故选：D3．B 【分析】根据题意可得ξ的取值可能为3,3,1,1--，分别求出对应的概率，进而可得ξ的取值可能为1,3，分别求出对应的概率列出分布列，计算数学期望进而可得方差. 【详解】由题意得：ξ的可能取值是3,3,1,1--， 3(3)(3)0.50.125P P ξξ===-==，2333(1)(1)C 0.5300.375.5P P ξξ-⨯======，所以ξ的取值范围是1,3，()()()1110.37520.75P P P ξξξ===+=-=⨯=，()()()3330.12520.25P P P ξξξ===+=-=⨯=，ξ分布列为：故()10.7530.25 1.5E ξ=⨯+⨯=，()22(1 1.5)0.75(3 1.5)0.250.75D ξ=-⨯+-⨯=．故选：B. 4．B 【分析】由排列组合的知识结合古典概型概率公式可得X 取0，1，2，4时的概率，再由期望公式即可得解. 【详解】记抽到自己准备的书的学生人数为X ，则X 可能值为0，1，2，4，则1344C 33(0)A 8P X ⨯===，1444C 21(1)A 3P X ⨯===， 244411(2)4C P X A ⨯===，4411(4)24P X A ===，则3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 5．B 【分析】结合二项分布的期望和方差的公式得到方程组，解方程组即可求出结果. 【详解】由题意，得 2.4np =，(1) 1.44np p -=，∴10.6p -=，∴0.4p =，6n =． 故选：B. 6．A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确． 7．C 【分析】根据表中的数据，求解各自的均值1234,,,A A A A ，比较大小，即可得到结论. 【详解】由题意A 1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7. A 2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5. A 3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7. A 4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6. ∵A 3的均值最大,∴选方案A 3. 【点睛】本题主要考查了数学期望（均值）的应用，其中明确数据的数学期望（均值）的计算公式和熟记的均值的含义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力. 8．C 【分析】计算出()E X 、()D X 、()E Y 、()D Y 的值，比较()E X 与()E Y 、()D X 与()D Y 的大小，即可得出结论. 【详解】()800.2900.61000.290E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22280900.290900.6100900.240D X =-⨯+-⨯+-⨯=，()800.4900.21000.490E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()()22280900.490900.2100900.480D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，()()E X E Y ∴=，()()D X D Y <，∴甲与乙成绩的均值一样，甲成绩的方差较小，因此甲．乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定． 故选：C. 9．C 【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式列出方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：12214()333E X x x =+=，∴2142x x =-， 又221242412()33339D X x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12x x <，∴11x =，22x =，∴123x x +=．故选：C. 10．A 【详解】100.4100.44100.40.6 2.4B E D ξξξ∴=⨯==⨯⨯=～（，），，， 8848 2.4E E D D ηξηξηξ=-∴=-==-=，（），（）故选A ． 11．B 【分析】分别求出2i =、3i =、4i =时()i E ξ，再一一判断即可； 【详解】解：当2i =时，2ξ的可能情况为0,3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()21515P ξ==，()22315P ξ==，()2121201151515P ξ==--= 所以()221121135015151515E ξ=⨯+⨯+⨯= 当3i =时，3ξ的可能情况为0,3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()31515P ξ==，()233363151515C P ξ==+=，()316801151515P ξ==--=所以()36182335015151515E ξ=⨯+⨯+⨯=当4i =时，4ξ的可能情况为3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()41515P ξ==，()4114311515P ξ==-=， 所以()41144753151515E ξ=⨯+⨯= 对于AB ：()()24114710522151515E E ξξ+=+⨯=，()32369331515E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+>，故A 错误，B 正确；对于CD ： ()()2411476922151515E E ξξ+=⨯+=，()32369331515E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+=，故CD 错误；故选：B12．（1）45 ；（2） 分布列见解析； 4()3E ξ=，14()9D ξ=．【分析】（1）设A 表示“甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲，乙两人的演出序号均为偶数”，再由()1()P A P A =-求解即可；（2）由题意ξ的取值范围为{}0,1,2,3,4，求出各个取值的概率，得到分布列，进而即可求出数学期望与方差 【详解】（1）设A 表示“甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲，乙两人的演出序号均为偶数”，故232614()1()1155A P A P A A =-=-=-=．（2）ξ的取值范围为{}0,1,2,3,4，则22265A 1(0)A 3P ξ===，22264A 4(1)A 15P ξ===，22263A 1(2)A 5P ξ===，22262A 2(3)A 15P ξ===，22261(4)15A P A ξ===所以ξ的分布列为所以141214()01234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222144414241414()0123433153531531539D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．13．（1）分布列见解析； 3()2E ξ=，11()4D ξ= ；（2） 22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩． 【分析】（1）求出ξ的可能取值，进而根据古典概型的概率公式求出对应的概率，即可得到相应的分布列，进而根据期望和方差的概念即可求出结果；（2）根据期望和方差的性质得到2()()D a D ηξ=和()()E aE b ηξ=+，进而解方程组即可求出结果. 【详解】（1）ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 故101(0)202P ξ===,1(1)20P ξ==,21(2)2010P ξ===, 3(3)20P ξ==,41(4)205P ξ===, 故ξ的分布列为所以111313()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222313131333111()0123422220210220254D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由2()()D a D ηξ=，得211114a ⨯=，即2a =±． 又()()E aE b ηξ=+，所以当2a =时，3122b =⨯+，得2b =-； 当2a =-时，由3122b =-⨯+，得4b =．所以22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩．14．（1） 4556；（2） 分布列见解析；期望为158；方差225()448D X =．【分析】（1）结合古典概型的概率公式以及概率的加法公式即可求出结果；（2）求出X 的可能取值，分别求出相应的概率，进而求出求X 的分布列及数学期望和方差. 【详解】（1）去执行任务的同学中有男有女的慨率为122153533388C C C C 151545(1)(2)C C 562856P X P X =+==+=+=．（2）X 的取值范围为{}0,1,2,3，035338C C 1(0)C 56P X ===，125338C C 15(1)C 56P X ===，21533815(2)28C C P X C ===，3053385(3)28C C P X C ===； 故X 的分布列为故X 的数学期望11515515()0123565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或3515()88E X ⨯==）， 方差222215115151515155225()0123856856828828448D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．（1）答案见解析 ；（2） 2300100ηξ=-， ()2100E η=，()10000D η=． 【分析】（1）由题意，ξ服从二项分布，从而可得ξ的分布列；（2）由二项分布的期望和方差公式可得()E ξ和()D ξ，又2300100ηξ=-，根据公式即可求解()E η和()D η． 【详解】解：（1）每张奖券是否中奖是相互独立的，∴14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴441()C 2i P i ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭(0,1,2,3,4)i = ∴ξ的分布列为（2）14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1()422E ξ=⨯=，11()4122D ξ=⨯⨯=．又由题意可知2300100ηξ=-，∴()(2300100)2300100()230010022100E E E ηξξ=-=-=-⨯=，2()100()10000D D ηξ==．16．（1）答案见解析 ；（2） ()9.2E ξ=，()8.7E η=，()0.96D ξ=，() 1.21D η=；甲比乙的射击技术好． 【分析】（1）由题意先求出a ，再由随机变量ξ，η的意义得到相应的分布列；（2）由（1）中的分布列，利用期望与方差的公式求出期望与方差，结合期望与方差的含义即可求解 【详解】（1）依题意，有0.530.11a a +++=，解得0.1a =． 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙击中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2-++=， ∴ξ，η的分布列分别为（2）由（1）可得()100.590.380.170.19.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，()100.390.380.270.28.7E η=⨯+⨯+⨯+⨯=，2222()(109.2)0.5(99.2)0.3(89.2)0.1(79.2)0.10.96D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， 2222()(108.7)0.3(98.7)0.3(88.7)0.2(78.7)0.2 1.21D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．由于()()E E ξη>，说明甲平均击中的环数比乙高， 又()()D D ξη<，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，∴甲比乙的射击技术好．17．（1）16；（2）乙方案，理由见解析.【分析】设甲方案检测的次数{1,2,3,4,5}X ∈，记乙方案检测的次数{2,3}Y ∈，（1）记两种方案检测的次数相同为事件A ，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解；（2）分别求得随机变量X 和Y 的期望，结合期望的大小，即可求解. 【详解】由题意可设甲方案检测的次数是X ，则{1,2,3,4,5}X ∈，记乙方案检测的次数是Y ，则{2,3}Y ∈， （1）记两种方案检测的次数相同为事件A ，则()()()111212,23,363636P A P X Y P X Y ===+===⨯+⨯=，所以两种方案检测的次数相同的概率为16.（2）由11(1)(2)(3)(4),(5)63P X P X P X P X P X ==========，所以1111110()12345666633E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，122(2),(3)1333P Y P Y ====⨯=，则128()23333E Y =⨯+⨯=，因为()()E X E Y >，所以采用乙方案. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 18．选择投票给学生A ；理由见解析． 【分析】根据古典概型运算公式求出随机变量X 的数学期望和方差，结合二项分布的定义求出随机Y 的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】选择A 学生理由如下： X 的取值范围为{}1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，3436C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=由题意知23,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2()323E Y =⨯=，212()3333D Y =⨯⨯=所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，由此可见，学生A 与学生B 的平均水平相当，但学生A 比学生B 的成绩更稳定，所以选择投票给学生A ． 19．（1）96625；（2）第一种方案；（3）详见解析 【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果. 【详解】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则()2011005P A == 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴恰好抽到2个礼品果的概率为：()22244196255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：()1342165488481618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯== ()20E ξ>∴从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3则()36310106C P X C ===；()2164310112C C P X C ===；()12643103210C C P X C ===；()343101330C P X C ===X ∴的分布列如下：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.20．(1)()14D y =；()212D y = ；(2)()f x 的最小值3，此时=75x ． 【分析】(1)首先求出1y 和2y 的分布列，再求出每个分布列的数学期望，然后通过离散型随机变量的方差公式计算即可；(2)通过已知条件表示利用新的方差表示函数()f x ，然后结合(1)中答案和方差的性质，再利用二次函数性质，求解即可. 【详解】(1)由题意，可知1y 和2y 的分布列分别为∴()150.8100.26E y =⨯+⨯=，()220.280.5120.38E y =⨯+⨯+⨯=，∴()221(56)0.8(106)0.24D y =-⨯+-⨯=，()2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312D y =-⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：()14D y =，()212D y =. (2)由题意可知，12100()100100x x f x D y D y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由(1)中所求方差以及方差的性质可知()()2212100()100100x x f x D y D y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1675)3100x =-+， 故当75x =时，()f x 取得最小值3． 故答案为：()f x 取得最小值3，此时75x =. 21．AD 【分析】求出()E X 、()D X 的值，可判断AC 选项的正误，利用均值和方差的性质可判断BD 选项的正误. 【详解】()()11111012363E X =-⨯+⨯+⨯=-，()()11443E X E X +=+=，故A 正确，B 错误；()22211111151013233369D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()3195D X D X +==，故C 错误，D正确. 故选：AD. 22．BCD 【分析】由题意知随机变量X 服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可 【详解】由题意，知随机变量X 服从参数为10，4，4的超几何分布，即(10,4,4)X H ~，故A 错误，B 正确；随机变量X 的取值范围为{}0,1,2,3,4，464101(0)14C P X C ===，13464108(1)21C C P X C ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C 4(3)C 35P X ===，444101(4)20C P X C ===，故18341812341421()7352105E X ，故C ，D 正确． 故选：BCD ． 23．AD 【分析】根据分布列的性质求得12b =，102a ≤≤，求出()E ξ关于a 的表达式，可判断AB 选项的正误；求出()D ξ关于a 的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD 选项的正误. 【详解】由题意知，21b a b a b -++==，即12b =，又0102a a ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，则102a ≤≤，所以()()113022,222E b a b a a ξ⎡⎤=⋅-++=+∈⎢⎥⎣⎦，A 对；()222211112024112221224222D a a a a a a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫⨯⨯⎭⎝ ⎝⎭⎪⎭211442a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，又102a ≤≤，所以当14a =时，()D ξ有最大值12，当0a =或12时，()D ξ有最小值14. 故选：AD.24．1.8 0.72 【详解】由题意知，日销售量不低于100个的频率为(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，且X ～B (3,0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8， 方差D (x )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 25．1318【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，求出乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率得出分布列及期望，从而求得方差． 【详解】答案第15页，共15页 由()1012P X ==，知211(1)312p ⨯-=，得12p =， 由题意知X 为该毕业生得到面试的公司个数，则X 的可能取值是0，1，2，3，221111(1)1132322P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111113223⎛⎫+⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 2112111115(2)1132232232212P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2(3)3P X ==⨯21126⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以11515()01231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以221515()0112333D X ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22551513231236318⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：1318。
(完整版)概率论第三章第四章习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布
n
解:(1)P{X n} P{X n,Y m}
m0
n e14 (7.14)m (6.86)nm
m0
m!(n m)!
e14 n
n! (7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!
e14 (7.14 6.86)n 14n e14 , n 0,1,2,
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第三章 多维随机变量及其分布
(3)P{Y m | X 20} C2m0 0.51m0.4920m , m 0,1,2, ,20.
P{Y m | X n} Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
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第三章 多维随机变量及其分布
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
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第四章 随机变量的数字特征
U 的密度函数为
nun1, x (0,1),
fU (u)
0,
其他.
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
E(U )
ufU (u)du
e14 (7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e
1414n n!
Cnm
7.14 14
m
6.86 14
nm
Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
cxey ,0 x y ,
智轩考研数学红宝书2010精华习题完全解答---概数第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征精华习题一、填空题1． 设二维随机变量()(), ~01; X Y U x y x <<<，32Z X =+，则DZ _____=。
2．3于456123 （Ｃ）Ｄ(ＸＹ)<Ｄ(Ｘ)Ｄ(Ｙ) （Ｄ）()(E E X E YY =ç÷èø［ ］ 4．设二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）服从222{(,)|}D x y x y a =+£上的均匀分布，则（Ａ）Ｘ和Ｙ不相关，不独立。
（Ｂ）Ｘ和Ｙ相互独立。
（Ｃ）Ｘ和Ｙ相关。
（Ｄ）Ｘ和Ｙ均服从() , a a -上的均匀分布。
［ ］5．已知随机变量()~0, 1X N ，随机变量2Y X =，则Ｘ与Ｙ（Ａ）相关且不独立 （B ）不相关且独立（C ）不相关且不独立 （D ）相关且独立 [ ]三、解答题1．设,X Y 是两个离散随机变量，可能的取值为1, 1X =-；1, 0, 1Y =-；0.2;EX = 0.25;EY ={P 23 4．52Y6第四章 随机变量的数字特征精华习题完全解答二、填空题1．设二维随机变量()(), ~01; X Y U x y x <<<，32Z X =+，则DZ _____=。
【解】设A =“每次检验调整设备”，Y =“10件产品中所发现的次品数”，则()~10, 0.1Y B ，()~4, X B p (){}{}{}()()()()()01019011010210110.10.90.10.90.2640.26 1.04; 140.260.740.75p P A P Y P Y P Y C C EX np DX np p ==³=-=-==--===´==-=´´=4．设随机变量Ｘ的分布函数0,1,0.2,10,()0.6,01,1, 1.x x F x x x <-ìï-£<ï=í£<ïï³î(||)____,E X =则 (||)_____.D X =5 61()()()()22222E E X E X D X m m m m m s s ìïí-=-+-=-+=éùïëûî2．设随机变量Ｘ和Ｙ相互独立，均服从()0, 1U ，则服从相应区间或区域上均匀分布的是（Ａ）2X （Ｂ）Ｘ＋Ｙ （Ｃ）Ｘ－Ｙ （Ｄ）（Ｘ，Ｙ） ［ ］【解】选()D 。
天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解.doc
第 4 章随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于E( X ) E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数n= 6 , p= .4、已知X服从(x ) 1 e x2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.5、设X的分布律为X 1 0 1 2P 1 1 1 1 8 4 2 8则 E(2X 1) 9/4 .6、设X ,Y相互独立，则协方差cov( X ,Y ) 0 .这时， X ,Y 之间的相关系数XY 0 .7 、若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是P Y aX b 1 .8、XY是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数，当XY 0时，X与Y 不相关，当| XY | 1 时，X 与 Y 几乎线性相关 .9、若D(X) 8, D(Y ) 4 ，且X ,Y相互独立，则 D (2X Y ) 36 .10、若a, b为常数，则D (aX b) a2 D ( X ) .11、若X ,Y相互独立，E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .12、若随机变量X 服从[0,2 ]上的均匀分布，则E( X )π.13、若D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，D ( X Y ) 37 .14、已知E( X ) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 30 .15、若随机变量X 的概率密度为e x x 0，(x)x，则 E(2X ) 20 0E (e 2 X ) 1/3 .二、计算题1、五个零件中有 1 个次品，进行不放回地检查，每次取 1 个，直到查到次品为止。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数，我们知道分布函数全面地描绘了随机变量的统计特性.但是在实际问题中，一方面由于求分布函数并非易事；另一方面，往往不需要去全面考察随机变量的变化情况而只需知道随机变量的某些特征就够了.例如，在考察一个班级学生的学习成绩时，只要知道这个班级的平均成绩及其分散程度就可以对该班的学习情况作出比较客观的判断了.这样的平均值及表示分散程度的数字虽然不能完好地描绘随机变量，但能更突出地描绘随机变量在某些方面的重要特征，我们称它们为随机变量的数字特征.本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩.第一节 数学期望1.数学期望的定义粗略地说，数学期望就是随机变量的平均值.在给出数学期望的概念之前，先看一个例子.要评判一个射手的射击程度，需要知道射手平均命中环数.设射手A 在同样条件下进展射击，命中的环数X 是一随机变量，其分布律如下：表4-1由X 的分布律可知,假设射手A 共射击N 次,根据频率的稳定性,所以在N 次射击中,大约有0.1×N 次击中10环,0.1×N 次击中9环,0.2×N 次击中8环,0.3×N 次击中7环,0.1×N 次击中6环,0.1×N 次击中5环,0.1×N 次脱靶.于是在N 次射击中，射手A 击中的环数之和约为10×0.1N +9×0.1N +8×0.2N +7×0.3N +6×0.1N +5×0.1N +0×0.1N .平均每次击中的环数约为N1〔10×0.1N +9×0.1N +8×0.2N +7×0.3N +6×0.1N +5×0.1N +0×0.1N 〕 =10×0.1+9×0.1+8×0.2+7×0.3+6×0.1+5×0.1+0×0.1 =6.7〔环〕.由这样一个问题的启发，得到一般随机变量的“平均数〞，应是随机变量所有可能取值与其相应的概率乘积之和，也就是以概率为权数的加权平均值，这就是所谓“数学期望的概念〞.一般地，有如下定义：定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k k =1,2,…， 假设级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，那么称级数∑∞=1k k kp x为随机变量X 的数学期望〔Mathematical expectation 〕，记为E 〔X 〕.即E 〔X 〕=∑∞=1k k kp x. 〔4.1〕设连续型随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕，假设积分⎰+∞∞-x x xf d )(绝对收敛，那么称积分⎰+∞∞-x x xf d )(的值为随机变量X 的数学期望，记为E 〔X 〕.即E 〔X 〕=⎰+∞∞-x x xf d )(. 〔4.2〕数学期望简称期望，又称为均值.例4.1 某商店在年末大甩卖中进展有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X 的数学期望. 解每次摇奖摇出的奖金额X 是一个随机变量，易知它的分布律为因此，E 〔X 〕=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134+10×0.1+1×0.885=5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额缺乏6元.这个值对商店作方案预算时是很重要的.例4.2 按规定，某车站每天8点至9点，9点至10点都有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间互相独立.其分布律为一旅客8点20分到车站，求他候车时间的数学期望.解 设旅客候车时间为X 分钟，易知X 的分布律为表4-4在上表中p k 的求法如下，例如P {X =70}=P 〔AB 〕=P 〔A 〕P 〔B 〕=1/6×3/6=3/36，其中A 为事件“第一班车在8:10到站〞，B 为事件“第二班车在9:30到站〞，于是候车时间的数学期望为E 〔X 〕=10×3/6+30×2/6+50×1/36+70×3/36+90×2/36=27.22〔分钟〕.例4.3 有5个互相独立工作的电子装置，它们的寿命X k 〔k =1，2，3，4，5〕服从同一指数分布，其概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.00,0,1/x ,x x θθe〔1〕 假设将这5个电子装置串联起来组成整机，求整机寿命N 的数学期望；〔2〕 假设将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M 的数学期望.解 X k 〔k =1，2，3，4，5〕的分布函数为F 〔x 〕=⎩⎨⎧≤>--.0,0,0,1/x x x θe〔1〕 串联的情况由于当5个电子装置中有一个损坏时，整机就停顿工作，所以这时整机寿命为N =min{X 1，X 2，X 3，X 4，X 5}.由于X 1，X 2，X 3，X 4，X 5是互相独立的，于是i=min{X 1，X 2，X 3，X 4，X 5}的分布函数为F N 〔x 〕=P {N ≤x }=1-P {N ＞x }=1-P {X 1＞x ，X 2＞x ，X 3＞x ，X 4＞x ，X 5＞x }=1-P {X 1＞x }·P {X 2＞x }·P {X 3＞x }·P {X 4＞x }·P {X 5＞x }=1-［1-)(1x F X ］［1- )(2x F X ］［1-)(3x F X ］［1-)(4x F X ］［1-)(5x F X ］ =1-［1-F 〔x 〕］5=⎪⎩⎪⎨⎧≤>--.0,0,0,15x x xθe 因此N 的概率密度为f N 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,55x x xθθe那么N 的数学期望为E 〔N 〕=55)(5θθθ==-∞+∞-∞+∞-⎰⎰x xx x xf xN d ed〔2〕 并联的情况由于当且仅当5个电子装置都损坏时，整机才停顿工作，所以这时整机寿命为M =max{X 1，X 2，X 3，X 4，X 5}.由于X 1，X 2，X 3，X 4，X 5互相独立，类似可得M 的分布函数为F M 〔x 〕=［F 〔x 〕］5=⎪⎩⎪⎨⎧≤>--.0,0,0,)1(5x x x θe因此M 的概率密度为f M 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤>---.0,0,0,]1[54x x x x θθθe e于是M 的数学期望为E 〔M 〕=.60137)1(5)(0max θθθ=-=-∞+∞-∞+⎰⎰x xx x xf xd e d 这说明：5个电子装置并联联接工作的平均寿命要大于串联联接工作的平均寿命.例4.4 设随机变量X 服从柯西〔Cauchy 〕分布，其概率密度为f 〔x 〕=)1(12x +π，-x <x <+∞， 试证E 〔X 〕不存在.证 由于,)1(1)(2⎰⎰+∞∞-+∞∞-∞=+=x x xx x f x d πd 故E 〔X 〕不存在.2.随机变量函数的数学期望在实际问题与理论研究中，我们经常需要求随机变量函数的数学期望.这时，我们可以通过下面的定理来实现.定理4.1 设Y 是随机变量X 的函数Y =g 〔X 〕〔g 是连续函数〕. 〔1〕 X 是离散型随机变量，它的分布律为P 〔X =x k 〕=p k ，k =1，2，…，假设kk kpx g ∑∞=1)(绝对收敛，那么有E 〔Y 〕=E ［g 〔X 〕］=kk kpx g ∑∞=1)(. 〔4.3〕〔2〕 X 是连续型随机变量，它的概率密度为f 〔x 〕，假设⎰+∞∞-x x f x g d )()(绝对收敛，那么有E 〔Y 〕=E ［g 〔X 〕］=⎰+∞∞-x x f x g d )()(. 〔4.4〕定理4.4的重要意义在于当我们求E 〔Y 〕时，不必知道Y 的分布而只需知道X 的分布就可以了.当然，我们也可以由的X 的分布，先求出其函数g 〔X 〕的分布，再根据数学期望的定义去求E ［g 〔X 〕］，然而，求Y =g 〔X 〕的分布是不容易的，所以一般不采用后一种方法.定理4.1的证明超出了本书的范围，这里不证.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情形. 例如，设Z 是随机变量X ，Y 的函数，Z =g 〔X ，Y 〕〔g 是连续函数〕，那么Z 也是一个随机变量，当〔X ，Y 〕是二维离散型随机变量，其分布律为P {X =x i ，Y =y j }=p ij 〔i ，j =1，2，…〕时，假设∑∑ijijiipy x g ),(绝对收敛，那么有E 〔Z 〕=E ［g 〔X ，Y 〕］=∑∑ijijiipy x g ),(. 〔4.5〕当〔X ，Y 〕是二维连续型随机变量，其概率密度为f 〔x ，y 〕时，假设⎰⎰+∞∞-+∞∞-yx y x f y z g d d ),(),(绝对收敛，那么有E 〔Z 〕=E ［g 〔X ，Y 〕］=⎰⎰+∞∞-+∞∞-y x y x f y z g d d ),(),(. 〔4.6〕特别地有E 〔X 〕=⎰⎰+∞∞-+∞∞-y x y x xf d d ),(=⎰+∞∞-.)(x x xf X dE 〔Y 〕=⎰⎰+∞∞-+∞∞-y x y x yf d d ),(=⎰+∞∞-.)(y y yf Y d例4.5 设随机变量X 的分布律为表4-5求E 〔X 〕，E 〔-2x +1〕.解 由〔4.5〕式得E 〔X 2〕=〔-1〕2×18+02×14+22×38+32×14=318， E 〔-2X +1〕=［-2×〔-1〕+1］×18+［-2×0+1］×14+［-2×2+1］×38+［-2×3+1］×14= -74. 例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a ，b ］内，求球体积的数学期望.解 设随机变量X 表示球的直径，Y 表示球的体积，依题意，X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-.,0,,1其他b x a a b球体积Y =361X π，由〔4.6〕式得 E 〔Y 〕=x a b x X E ba d ππ-=⎰161)61(33=).)((24)(6223b a b a x x a b ba++=-⎰πd π例4.7 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 〔吨〕服从区间[2000，4000]上的均匀分布.假设售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但假设销售不出而囤积于仓库，那么每吨需保管费1万元.问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？ 解设预备这种商品y 吨〔2000≤y ≤4000〕，那么收益〔万元〕为g 〔X 〕=⎩⎨⎧<--≥.),(3,,3y X X y X y X y那么 E [g 〔X 〕]=⎰⎰-⋅=+∞∞-40002000200040001)()()(x x g x x f x g d d=[]⎰⎰+--40002000320001)(320001y y x y x x y x d d =)1047000(1000162⨯-+-y y . 当y =3500吨时，上式到达最大值.所以预备3500吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为8250万元.例4.8 设二维随机变量〔X ，Y 〕在区域A 上服从均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线x +2y=1所围成的三角区域，求E 〔X 〕，E 〔Y 〕，E 〔XY 〕. 解 由于〔X ，Y 〕在A 内服从均匀分布，所以其概率密度f 〔x ，y 〕=⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∉∈=∉∈.),(,0,),(,1,),(,0,),(,1A y x A y x A y x A y x A 的面积 E 〔X 〕=12(1)001(,)d d d d d d ;3x Axf x y x y x x y x x y +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰E 〔Y 〕=2122(,)d d d d d d ;3y Ayf x y x y y x y y y x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰E 〔XY 〕=;61)1(2),()1(2010210⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-==x x x x y y x x y x y x xyf d d d d d3.数学期望的性质下面讨论数学期望的几条重要性质.定理4.2 设随机变量X ，Y 的数学期望E 〔X 〕，E 〔Y 〕存在. 1°E 〔c 〕=c ，其中c 是常数； 2°E 〔cX 〕=cE 〔X 〕；3°E 〔X +Y 〕=E 〔X 〕+E 〔Y 〕；4°假设X ，Y 是互相独立的，那么有E 〔XY 〕=E 〔X 〕E 〔Y 〕.证 就连续型的情况我们来证明性质3°、4°，离散型情况和其他性质的证明留给读者. 3°设二维随机变量〔X ，Y 〕的概率密度为f 〔x ，y 〕，其边缘概率密度为f X 〔x 〕，f Y 〔y 〕，那么E 〔X +Y 〕=⎰⎰+∞∞-+∞∞-+y x y x f y x d d ),()(=⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-+y x y x yf y x y x xf d d d d ),(),(=)()()()(Y E X E y y yf x x xf Y X +=+⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d .4°又假设X 和Y 互相独立，此时f 〔x ，y 〕=f X 〔x 〕f Y 〔y 〕，故E 〔XY 〕=⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-=y x y f x xyf y x y x xyf Y X d d d d )()(),(=).()()()(Y E X E y y yf x x xf Y X =⋅⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d性质3°可推广到任意有限个随机变量之和的情形；性质4°可推广到任意有限个互相独立的随机变量之积的情形.例4.9 设一电路中电流I 〔安〕与电阻R 〔欧〕是两个互相独立的随机变量，其概率密度分别为g 〔i 〕=⎩⎨⎧≤≤.,0,10,2其他i i h 〔r 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,30,92其他r r试求电压V =IR 的均值.解 E 〔V 〕=E 〔IR 〕=E 〔I 〕E 〔R 〕=2392)()(303102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-r r i i r r rh i i ig d d d d 〔伏〕. 例4.10 设对某一目的进展射击，命中n 次才能彻底摧毁该目的，假定各次射击是独立的，并且每次射击命中的概率为p ，试求彻底摧毁这一目的平均消耗的炮弹数.解 设X 为n 次击中目的所消耗的炮弹数，X k 表示第k -1次击中后至k 次击中目的之间所消耗的炮弹数，这样，X k 可取值1，2，3，…，其分布律见表4-6.表4-61X =X 1+X 2+…+X n .由性质3°可得E 〔X 〕=E 〔X 1〕+E 〔X 2〕+…+E 〔X n 〕=nE 〔X 1〕. 又 E〔X 1〕=,111pkpq k k =∑∞=- 故 E 〔X 〕=pn . 4.常用分布的数学期望 〔1〕 两点分布 那么X 的数学期望为E 〔X 〕=0×〔1-p 〕+1×p =p .〔2〕 二项分布设X 服从二项分布，其分布律为P {X =k }=kn k k n p p --)1(C , 〔k =0,1,2,…,n 〕，〔0<p <1〕.那么X 的数学期望为E 〔X 〕=∑∑==----=-nk nk k n k kn kknp p k n k n kp p k 0)1()!(!!)1(C=[]∑=----------nk k n k p pk n k n np)]1()1[(1)1(!)1()1()!1()!1(,令k -1=t ，那么E 〔X 〕=[]∑-=------10])1[()1(!)1(!)!1(n t t n t p p t n t n np=np [p +〔1-p 〕]n -1=np .假设利用数学期望的性质，将二项分布表示为n 个互相独立的0-1分布的和，计算过程将简单得多.事实上，假设设X 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，X i 〔i =1,2,…,n 〕表示A 在第i 次试验中出现的次数，那么有X =1nii X=∑.显然，这里X所以E 〔X i 〕=p ,i =1,2,…,n .由定理4.2的性质3°有E 〔X 〕=∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i X E X E 11)( =np .〔3〕 泊松分布设X 服从泊松分布，其分布律为P {X =k }=λλ-e !k k， 〔k =0,1,2,…〕，〔λ>0〕.那么X 的数学期望为E 〔X 〕=∑∑∞=--∞=--=11)!1(!k k k kk k k λλλλλee,令k -1=t ，那么有E 〔X 〕=.!0λλλλλλλ=⋅=-∞=-∑e e ek tt .〔4〕 均匀分布设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，其概率密度函数为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-.,0,,1其他b x a a b那么X 的数学期望为E 〔X 〕=.2)(ba x ab x x x xf ba +=-=⎰⎰+∞∞-d d . 〔5〕 指数分布设X 服从指数分布，其分布密度为f 〔x 〕=⎩⎨⎧<≥-.0,0,0,x x x λλe那么X 的数学期望为E 〔X 〕=1()d e d x xf x x x x λλλ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰.〔6〕 正态分布设X ~N 〔μ,σ2〕，其分布密度为f 〔x 〕=222)(21σμσ--x e π，那么X 的数学期望为E 〔X 〕=22()2()d ed ,x xf x x x x μσ--+∞+∞-∞-∞=⎰令σμ-x =t ，那么E 〔X 〕=⎰∞+∞--+t t t d e π22)(21σμ 注意到t t d eπ⎰∞+∞--222μ=μ,t σt t d e π⎰∞+∞--2221=0，故有E 〔X 〕=μ.第二节 方 差1.方差的定义数学期望描绘了随机变量取值的“平均〞.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A ，B 两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X ，Y ，X ，Y 的分布律为：由于E 〔X 〕=E 〔Y 〕=9〔环〕，可见从均值的角度是分不出谁的射击技术更高，故还需考虑其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X 与它的平均值E 〔X 〕之间的离差｜X -E 〔X 〕｜的均值E ［｜X -E 〔X 〕｜］来度量，E ［｜X -E 〔X 〕｜］愈小，说明X 的值愈集中于E 〔X 〕的附近，即技术稳定；E ［｜X -E 〔X 〕｜］愈大，说明X 的值很分散，技术不稳定.但由于E ［｜X -E 〔X 〕｜］带有绝对值，运算不便，故通常采用X 与E 〔X 〕的离差｜X -E 〔X 〕｜的平方平均值E ［X -E 〔X 〕］2来度量随机变量X 取值的分散程度.此例中，由于E ［X -E 〔X 〕］2=0.2×〔8-9〕2+0.6×〔9-9〕2+0.2×〔10-9〕2=0.4， E ［Y -E 〔Y 〕］2=0.1×〔8-9〕2+0.8×〔9-9〕2+0.1×〔10-9〕2=0.2.由此可见B 的技术更稳定些.定义4.2 设X 是一个随机变量，假设E ［X -E 〔X 〕］2存在，那么称E ［X -E 〔X 〕］2为X 的方差〔Variance 〕，记为D 〔X 〕，即D 〔X 〕=E ［X -E 〔X 〕］2. 〔4.7〕 称)(X D 为随机变量X 的标准差〔Standard deviation 〕或均方差〔Mean square deviation 〕，记为σ〔X 〕.根据定义可知，随机变量X 的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.假设X 取值比较集中，那么D 〔X 〕较小，反之，假设X 取值比较分散，那么D 〔X 〕较大. 由于方差是随机变量X 的函数g 〔X 〕=［X -E 〔X 〕］2的数学期望.假设离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k ，k =1，2，…，那么D 〔X 〕=k k kp X E x∑∞=-12)]([. 〔4.8〕假设连续型随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕，那么D 〔X 〕=⎰+∞∞--.)()]([2x x f X E x d 〔4.9〕由此可见，方差D 〔X 〕是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定.根据数学期望的性质可得：D 〔X 〕=E ［X -E 〔X 〕］2=E ［X 2-2X ·E 〔X 〕+［E 〔X 〕］2］=E 〔X 2〕-2E 〔X 〕·E 〔X 〕+［E 〔X 〕］2=E 〔X 2〕-［E 〔X 〕］2.于是得到常用计算方差的简便公式D 〔X 〕=E 〔X 2〕-［E 〔X 〕］2. 〔4.10〕例4.11 设有甲，乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进展检验，结果如下表：其中X ，Y 分别表示甲，乙两种棉花的纤维的长度〔单位：毫米〕，求D 〔X 〕与D 〔Y 〕，且评定它们的质量.解 由于E 〔X 〕=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30， E 〔Y 〕=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30，故得D 〔X 〕=〔28-30〕2×0.1+〔29-30〕2×0.15+〔30-30〕2×0.5+〔31-30〕2×0.15+〔32-30〕2×0.1=4×0.1+1×0.15+0×0.5+1×0.15+4×0.1=1.1，D 〔Y 〕=〔28-30〕2×0.13+〔29-30〕2×0.17+〔30-30〕2×0.4+〔31-30〕2×0.17+〔32-30〕2×0.13=4×0.13+1×0.17+0×0.4+1×0.17+4×0.13=1.38.因D 〔X 〕＜D 〔Y 〕，所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比较均匀，故甲种棉花质量较好.例4.12 设随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+.,0,10,1,01,1其他x x x x求D 〔X 〕.解 E 〔X 〕=⎰⎰-++-11)1()1(x x x x x x d d =0，E 〔X 2〕=⎰⎰-++-12012)1()1(x x x x x x d d =1/6，于是 D 〔X 〕=E 〔X 2〕-［E 〔X 〕］2=1/6.2.方差的性质方差有下面几条重要的性质.设随机变量X 与Y 的方差存在，那么 1°设c 为常数，那么D 〔c 〕=0；2°设c 为常数，那么D 〔cX 〕=c 2D 〔X 〕； 3°D 〔X ±Y 〕=D 〔X 〕+D 〔Y 〕±2E ［〔X -E 〔X 〕〕〔Y -E 〔Y 〕〕］； 4°假设X ，Y 互相独立，那么D 〔X ±Y 〕=D 〔X 〕+D 〔Y 〕； 5°对任意的常数c ≠E 〔X 〕，有D 〔X 〕<E [〔X -c 〕2]. 证 仅证性质4°，5°. 4°D 〔X ±Y 〕=E ［〔X ±Y 〕-E 〔X ±Y 〕］2=E ［〔X -E 〔X 〕〕±〔Y -E 〔Y 〕〕］2=E ［X -E 〔X 〕］2±2E ［〔X -E 〔X 〕〕〔Y -E 〔Y 〕〕］+E ［Y -E 〔Y 〕］2 =D 〔X 〕+D 〔Y 〕±2E ［〔X -E 〔X 〕〕〔Y -E 〔Y 〕〕］.当X 与Y 互相独立时，X -E 〔X 〕与Y -E 〔Y 〕也互相独立，由数学期望的性质有E ［〔X -E 〔X 〕〕〔Y -E 〔Y 〕〕］=E 〔X -E 〔X 〕〕E 〔Y -E 〔Y 〕〕=0.因此有D 〔X ±Y 〕=D 〔X 〕+D 〔Y 〕.性质4°可以推广到任意有限多个互相独立的随机变量之和的情况.5°对任意常数c ，有E [〔X -c 〕2]=E [〔X -E 〔X 〕+E 〔X 〕-c 〕2]=E [〔X -E 〔X 〕〕2]+2〔E 〔X 〕-c 〕·E [X -E 〔X 〕]+〔E 〔X 〕-c 〕2=D 〔X 〕+〔E 〔X 〕-c 〕2.故对任意常数c ≠EX ,有DX <E [〔X -c 〕2].例4.13 设随机变量X 的数学期望为E 〔X 〕，方差D 〔X 〕=σ2〔σ＞0〕，令Y =σ)(X E X -，求E 〔Y 〕，D 〔Y 〕.解 E 〔Y 〕=[],0)()(1)]([1)(=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-X E X E X E X E X E X E σσσ D 〔Y 〕=.1)(1)]([1)(2222===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-σσσσσX D X E X D X E X D 常称Y 为X 的标准化随机变量.例4.14 设X 1，X 2，…，X n 互相独立，且服从同一〔0-1〕分布，分布律为P {X i =0}=1-p ,P {X i =1}=p , i =1,2，…，n .证明 X =X 1+X 2+…+X n 服从参数为n ，p 的二项分布，并求E 〔X 〕和D 〔X 〕.解 X 所有可能取值为0，1，…，n ，由独立性知X 以特定的方式〔例如前k 个取1，后n -k 个取0〕取k 〔0≤k ≤n 〕的概率为p k 〔1-p 〕n -k,而X 取k 的两两互不相容的方式共有knC 种，故P {X =k }=kn C p k 〔1-p 〕n -k , k =0，1，2，…，n ,即X 服从参数为n ，p 的二项分布. 由于E 〔X i 〕=0×〔1-p 〕+1×p =p ，D 〔X i 〕=〔0-p 〕2×〔1-p 〕+〔1-p 〕2×p =p 〔1-p 〕， i =1，2，…，n ，故有E 〔X 〕=.)(11np X E X E ni i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==由于X 1，X 2，…，X n 互相独立，得D 〔X 〕= ).1()(11p np X D X D ni i n i i -==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==3.常用分布的方差 〔1〕 〔0-1〕分布设X 服从参数为p 的0-1分布，其分布律为由例4.14知，D 〔X 〕=p 〔1-p 〕. 〔2〕 二项分布设X 服从参数为n ,p 的二项分布，由例4.14知，D 〔X 〕=np 〔1-p 〕. 〔3〕 泊松分布设X 服从参数为λ的泊松分布，由上一节知E 〔X 〕=λ，又E 〔X 2〕=E [X 〔X -1〕+X ]=E [X 〔X -1〕]+E 〔X 〕=∑∑∞=--∞=-+-=+-2220)!2(!)1(k k k kk k k k λλλλλλλee=λ2e -λ·e λ+λ=λ2+λ,从而有D 〔X 〕=E 〔X 2〕-[E 〔X 〕]2=λ2+λ -λ2=λ.〔4〕 均匀分布设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，由上一节知E 〔X 〕=2ba +，又 E 〔X 2〕=3222b ab a x a b x ba ++=-⎰d , 所以D 〔X 〕=E 〔X 2〕-[E 〔X 〕]2=12)()(41)(312222a b b a b ab a -=+-++.〔5〕 指数分布设X 服从参数为λ的指数分布，由上一节知.E 〔X 〕=1/λ，又E 〔X 2〕=222λλλ=⎰-bax x x d e ,所以D 〔X 〕=E 〔X 2〕-[E 〔X 〕]2=.112222λλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-〔6〕 正态分布 设X ~N 〔μ,σ2〕，由上一节知E 〔X 〕=μ，从而D 〔X 〕=[]⎰⎰∞+∞--∞+∞--=--d e πd x x x x f X E x x 222)(2221)()()(σμσμ令σμ-x =t 那么D 〔X 〕=)(22222222222⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--+-=t t t t t t t d eeπd eπσσ=)20(22ππ+σ =σ2.由此可知：正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别是该分布的数学期望和均方差.因此正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.再者，由上一章第五节例3.17知道，假设X i ~N 〔μi ,σi 2〕,i =1,2,…,n ，且它们互相独立，那么它们的线性组合c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n 〔c 1，c 2，…，c n 是不全为零的常数〕仍然服从正态分布.于是由数学期望和方差的性质知道：c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n ~⎪⎭⎫⎝⎛∑∑==n i ni i i i i c c N 1122,σμ.这是一个重要的结果.例4.15 设活塞的直径〔以cm 计〕X ~N 〔22.40,0.032〕，气缸的直径Y ~N 〔22.50,0.042〕，X ，Y 互相独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率. 解按题意需求P {X <Y }=P {X -Y <0}. 令Z =X -Y ，那么E 〔Z 〕=E 〔X 〕-E 〔Y 〕=22.40-22.50=-0.10, D 〔Z 〕=D 〔X 〕+D 〔Y 〕=0.032+0.042=0.052,即Z ~N 〔-0.10,0.052〕, 故有P {X <Y }=P {Z <0}=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<--05.010.005.0)10.0(005.0)10.0(Z P =Φ〔2〕=0.9772.第三节 协方差与相关系数对于二维随机变量〔X ，Y 〕，数学期望E 〔X 〕，E 〔Y 〕只反映了X 和Y 各自的平均值，而D 〔X 〕，D 〔Y 〕反映的是X 和Y 各自偏离平均值的程度，它们都没有反映X 与Y 之间的关系.在实际问题中，每对随机变量往往互相影响、互相联络.例如，人的年龄与身高；某种产品的产量与价格等.随机变量的这种互相联络称为相关关系，它们也是一类重要的数字特征，本节讨论有关这方面的数字特征.定义4.3 设〔X ，Y 〕为二维随机变量，称E {［X -E 〔X 〕］［Y -E 〔Y 〕］}为随机变量X ，Y 的协方差〔Covariance 〕，记为Cov 〔X ，Y 〕，即Cov 〔X ，Y 〕=E {［X -E 〔X 〕］［Y -E 〔Y 〕］}. 〔4.11〕 而)()(),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X ，Y 的相关系数〔Correlation coefficient 〕或标准协方差〔Standard covariance 〕，记为ρXY ，即ρXY =)()(),cov(Y D X D Y X . 〔4.12〕特别地，Cov 〔X ,X 〕=E {[X -E 〔X 〕][X -E 〔X 〕]}=D 〔X 〕， Cov 〔Y ,Y 〕=E {[Y -E 〔Y 〕][Y -E 〔Y 〕]}=D 〔Y 〕.故方差D 〔X 〕，D 〔Y 〕是协方差的特例.由上述定义及方差的性质可得D 〔X ±Y 〕=D 〔X 〕+D 〔Y 〕±2Cov 〔X ,Y 〕.由协方差的定义及数学期望的性质可得以下实用计算公式Cov 〔X ，Y 〕=E 〔XY 〕-E 〔X 〕E 〔Y 〕. 〔4.13〕假设〔X ，Y 〕为二维离散型随机变量，其结合分布律为P {X =x i ，Y =y j }=p ij ，i ，j =1，2，…，那么有Cov 〔X ，Y 〕=[][]∑∑--ijijiipY E y X E x )()(. 〔4.14〕假设〔X ，Y 〕为二维连续型随机变量，其概率密度为f 〔x ，y 〕，那么有Cov 〔X ，Y 〕=[][]⎰⎰+∞∞-+∞∞---y x y x f Y E y X E x d d ),()()(. 〔4.15〕例4.16 设〔X ，Y 〕的分布律为表4-120＜p ＜1,求Cov 〔X ,Y 〕和XY .解 易知X 的分布律为P {X =1}=p ,P {X =0}=1-p ，故 E 〔X 〕=p , D 〔X 〕=p 〔1-p 〕.同理E 〔Y 〕=p ,D 〔Y 〕=p 〔1-p 〕,因此Cov 〔X ,Y 〕=E 〔XY 〕-E 〔X 〕·E 〔Y 〕=p -p 2=p 〔1-p 〕， 而ρXY =1)1()1()1(),cov(=-⋅--=⋅p p p p p p DY DX Y X例4.17 设〔X ，Y 〕的概率密度为f 〔x ，y 〕=⎩⎨⎧<<<<+.,0,10,10,其他y x y x求Cov 〔X ，Y 〕.解 由于f X 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<<+,,0,10,21其他x x f Y 〔y 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<<+.,0,10,21其他y y E 〔X 〕=127)21(10=+⎰x x x d ，E 〔Y 〕=127)21(10=+⎰y y y d ，E 〔XY 〕=31)(10102101021010=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x xy y x y x y x y x xy d d d d d d因此 Cov 〔X ，Y 〕=E 〔XY 〕-E 〔X 〕E 〔Y 〕=144112712731-=⨯-. 协方差具有以下性质：1°假设X 与Y 互相独立，那么Cov 〔X ，Y 〕=0； 2°Cov 〔X ，Y 〕=Cov 〔Y ，X 〕； 3°Cov 〔aX ，bY 〕=ab Cov 〔X ，Y 〕；4°Cov 〔X 1+X 2，Y 〕=Cov 〔X 1，Y 〕+Cov 〔X 2，Y 〕. 证 仅证性质4°，其余留给读者.Cov 〔X 1+X 2，Y 〕 =E ［〔X 1+X 2〕Y ］-E 〔X 1+X 2〕E 〔Y 〕=E 〔X 1Y 〕+E 〔X 2Y 〕-E 〔X 1〕E 〔Y 〕-E 〔X 2〕E 〔Y 〕 =［E 〔X 1Y 〕-E 〔X 1〕E 〔Y 〕］+［E 〔X 2Y 〕-E 〔X 2〕E 〔Y 〕］ =Cov 〔X 1，Y 〕+Cov 〔X 2，Y 〕.下面给出相关系数ρXY 的几条重要性质，并说明ρXY 的含义.定理4.3 设D 〔X 〕＞0，D 〔Y 〕＞0，ρXY 为〔X ，Y 〕的相关系数，那么 1°假设X ，Y 互相独立，那么ρXY =0； 2°｜ρXY ｜≤1；3°｜ρXY ｜=1的充要条件是存在常数a ，b 使P {Y =aX +b }=1〔a ≠0〕. 证 由协方差的性质1°及相关系数的定义可知1°成立. 2°对任意实数t ，有D 〔Y -tX 〕=E ［〔Y -tX 〕-E 〔Y -tX 〕］2=E ［〔Y -E 〔Y 〕〕-t 〔X -E 〔X 〕〕］2 =E [Y -E 〔Y 〕]2-2tE ［Y -E 〔Y 〕］［X -E 〔X 〕］+t 2E ［X -E〔X 〕］2=t 2D 〔X 〕-2t Cov 〔X ，Y 〕+D 〔Y 〕=[])(),cov()()(),cov()(22X D Y X Y D X D Y X t X D -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. 令t =)(),cov(X D Y X =b ，于是D 〔Y -bX 〕=[][]).1)(()()(),cov(1)()(),cov()(222XY Y D Y D X D Y X Y D X D Y X Y D ρ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-由于方差不能为负，所以1-2XY ρ≥0，从而｜ρXY ｜≤1.性质3°的证明较复杂，从略.当ρXY =0时，称X 与Y 不相关，由性质1°可知，当X 与Y 互相独立时，ρXY =0，即X 与Y 不相关.反之不一定成立，即X 与Y 不相关，X 与Y 却不一定互相独立.例4.18 设X 服从[0,2π]上均匀分布，Y =cos X ,Z =cos 〔X +a 〕，这里a 是常数.求ρYZ .解 E 〔Y 〕=⎰⋅πd π2021cos x x =0, E 〔Z 〕= ⎰+πd π20)cos(21x a x =0, D 〔Y 〕=E {[Y -E 〔Y 〕]2}=21cos 21202=⎰πd πx x , D 〔Z 〕=E {[Z -E 〔Z 〕]2}=21)(cos 21202=+⎰πd πx a x , Cov 〔Y ,Z 〕=E {[Y -E 〔Y 〕][Z -E 〔Z 〕]}= a x a x x cos 21)cos(cos 2120=+•⎰πd π, 因此 ρYZ =.cos 2121cos 21)()(),cov(a a Z D Y D Z Y =⋅=⋅ ① 当a =0时，ρYZ =1，Y =Z ，存在线性关系；② 当a=π时，ρYZ =-1，Y =-Z ，存在线性关系； ③ 当a =2π或23π时，ρYZ =0，这时Y 与Z 不相关，但这时却有Y 2+Z 2=1，因此，Y 与Z不独立.这个例子说明：当两个随机变量不相关时，它们并不一定互相独立，它们之间还可能存在其他的函数关系.定理4.3 告诉我们，相关系数ρXY 描绘了随机变量X ，Y 的线性相关程度，｜ρXY ｜愈接近1，那么X 与Y 之间愈接近线性关系.当｜ρXY ｜=1时，X 与Y 之间依概率1线性相关.不过，下例说明当〔X ，Y 〕是二维正态随机变量时，X 和Y 不相关与X 和Y 互相独立是等价的.例4.19 设〔X ，Y 〕服从二维正态分布，它的概率密度为f 〔x ，y 〕=⨯-221121ρσσπ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------2222212121212)())((2)()1(21exp σμσσμμρσμρy y x x 求Cov 〔X ，Y 〕和ρXY .解 可以计算得〔X ，Y 〕的边缘概率密度为f X 〔x 〕=21212)(121σμσ--x e π，-∞＜x ＜+∞，f Y 〔y 〕=22222)(221σμσ--x e π，-∞＜y ＜+∞，故E 〔X 〕=μ1，E 〔Y 〕=μ2， D 〔X 〕=σ12，D 〔Y 〕=σ22. 而Cov 〔X ，Y 〕=⨯-=--⎰⎰+∞∞-+∞∞-22121121),()()(ρσπσμμy x y x f y x d dy x y x x y x d d ee-2112222121)1(212)(21)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡------∞+∞-∞+∞---⎰⎰σμρσμρσμμμ令t =⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1122211σμρσμρx y ，u =11σμ-x ，那么 Cov 〔X ，Y 〕=⎰⎰∞+∞-∞+∞---+-u t u tu t u d d e π2222122122)1(21σρσρσσ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∞+∞--∞+∞--t e u u t u d d e π22221222ρσσ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰∞+∞--∞+∞--t t u u t u d e d eπ222212221ρσσ =.2222121σρσσρσ=⋅πππ于是ρXY=ρ.这说明二维正态随机变量〔X ，Y 〕的概率密度中的参数ρ就是X 和Y 的相关系数，从而二维正态随机变量的分布完全可由X ，Y 的各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定.由上一章讨论可知，假设〔X ，Y 〕服从二维正态分布，那么X 和Y 互相独立的充要条件是ρ=0，即X 与Y 不相关.因此，对于二维正态随机变量〔X ，Y 〕来说，X 和Y 不相关与X 和Y 互相独立是等价的.第四节 矩、协方差矩阵数学期望、方差、协方差是随机变量最常用的数字特征，它们都是特殊的矩〔Moment 〕.矩是更广泛的数字特征.定义4.4 设X 和Y 是随机变量，假设E 〔X k 〕，k =1，2，…存在，称它为X 的k 阶原点矩，简称k 阶矩.假设 E ［X -E 〔X 〕］k , k =1，2，… 存在，称它为X 的k 阶中心矩.假设 E 〔X k Y l 〕, k ，l =1，2，… 存在，称它为X 和Y 的k +l 阶混合矩.假设 E {［X -E 〔X 〕］k ［Y -E 〔Y 〕］l } 存在，称它为X 和Y 的k +l 阶混合中心矩.显然，X 的数学期望E 〔X 〕是X 的一阶原点矩，方差D 〔X 〕是X 的二阶中心矩，协方差Cov 〔X ，Y 〕是X 和Y 的1+1阶混合中心矩.当X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =x i }=p i ，那么E 〔X k〕=∑∞=1i i kip x,E ［X -E 〔X 〕］k=1[()]kii i x E X p ∞=-∑.当X 为连续型随机变量，其概率密度为f 〔x 〕，那么E 〔X k 〕=⎰+∞∞-x x f x k d )(,E ［X -E 〔X 〕］k =⎰+∞∞--x x f X E x k d )()]([.下面介绍n 维随机变量的协方差矩阵.设n 维随机变量〔X 1，X 2，…，X n 〕的1+1阶混合中心矩σij =Cov 〔X i ，X j 〕=E {［X i -E 〔X i 〕］［X j -E 〔X j 〕］}, i ，j =1，2，…，n都存在，那么称矩阵Σ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n σσσσσσσσσ 212222111211 为n 维随机变量〔X 1，X 2，…，X n 〕的协方差矩阵. 由于σij =σji 〔i ，j =1，2，…，n 〕，因此Σ是一个对称矩阵. 协方差矩阵给出了n 维随机变量的全部方差及协方差，因此在研究n 维随机变量的统计规律时，协方差矩阵是很重要的.利用协方差矩阵还可以引入n 维正态分布的概率密度. 首先用协方差矩阵重写二维正态随机变量〔X 1，X 2〕的概率密度. f 〔x 1，x 2〕=221121ρσσ-π×.)())((2)()1(21exp 22222212211212112⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------σμσσμμρσμρx x x x 令X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x ，μ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21μμ，〔X 1，X 2〕的协方差矩阵为 Σ=.2121212122211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σσρσσρσσσσσσ 它的行列式｜Σ｜=σ12σ22〔1-ρ2〕,逆阵Σ-1=.121212122⎪⎪⎭⎫⎝⎛--σσρσσρσσ∑ 由于 〔X -μ〕T Σ-1〔X -μ〕= .),(12211212121222211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----μμσσρσσρσσμμx x x x ∑ =,)())((2)(1122222212211212112⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----σμσσμμρσμρx x x x , 因此〔X 1,X 2〕的概率密度可写成f 〔x 1,x 2〕=.)()(21exp 211⎭⎬⎫⎩⎨⎧----μ∑μ∑X X T π上式容易推广到n 维的情形.设〔X 1,X 2,…,X n 〕是n 维随机变量,令X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21, μ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(2121n n X E X E X E μμμ， 定义n 维正态随机变量〔X 1,X 2,…,X n 〕的概率密度为f 〔x 1,x 2,…,x n 〕=111exp ()().2(2T nX X πμμ-⎧⎫--∑-⎨⎬⎩⎭其中Σ是〔X 1,X 2,…,X n 〕的协方差矩阵.n 维正态随机变量具有以下几条重要性质: 1°n 维随机变量〔X 1，X 2，…，X n 〕服从n 维正态分布的充要条件是X 1，X 2，…，X n的任意的线性组合l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n服从一维正态分布.〔其中l 1,l 2,…,l n 不全为零〕.2°假设〔X 1，X 2，…，X n 〕服从n 维正态分布,设Y 1,Y 2,…，Y k 是X 1，X 2，…，X n 的线性函数，那么〔Y 1，Y 2，…，Y k 〕服从k 维正态分布.3°设〔X 1，X 2，…，X n 〕服从n 维正态分布，那么X 1，X 2，…，X n 互相独立的充要条件是X 1，X 2，…，X n 两两不相关.小结随机变量的数字特征是由随机变量的分布确定的，能描绘随机变量某一个方面的特征的常数.最重要的数字特征是数学期望和方差.数学期望E〔X〕描绘随机变量X取值的平均大小，方差D〔X〕=E{[X-E〔X〕]2}描绘随机变量X与它自己的数学期望E〔X〕的偏离程度.数学期望和方差虽不能像分布函数、分布律、概率密度一样完好地描绘随机变量，但它们能描绘随机变量的重要方面或人们最关心方面的特征，它们在应用和理论上都非常重要.要掌握随机变量的函数Y=g〔X〕的数学期望E〔Y〕=E[g〔X〕]的计算公式〔4.3〕和〔4.4〕.这两个公式的意义在于当我们求E〔Y〕时，不必先求出Y=g〔X〕的分布律或概率密度，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了，这样做的好处是明显的.我们常利用公式D〔X〕=E〔X2〕-[E〔X〕]2来计算方差D〔X〕，请注意这里E〔X2〕和[E〔X〕]2的区别.要掌握数学期望和方差的性质，提请读者注意的是：〔1〕当X1，X2独立或X1，X2不相关时，才有E〔X1X2〕=E〔X1〕·E〔X2〕；〔2〕设c为常数，那么有D〔cX〕=c2D〔X〕；〔3〕D〔X1±X2〕=D〔X1〕+D〔X2〕±2Cov〔X1，X2〕，当X1，X2独立或不相关时才有D〔X1+X2〕=D〔X1〕+D〔X2〕.例如：假设X1，X2独立，那么有D〔2X1-3X2〕=4D〔X1〕+9D〔X2〕.相关系数ρXY有时也称为线性相关系数，它是一个可以用来描绘随机变量〔X，Y〕的两个分量X，Y之间的线性关系严密程度的数字特征.当|ρXY|较小时X，Y的线性相关的程度较差；当ρXY=0时称X，Y不相关.不相关是指X，Y之间不存在线性关系，X，Y不相关，它们还可能存在除线性关系之外的关系〔参见第3节例4.18〕，又由于X，Y互相独立是指X，Y的一般关系而言的，因此有以下的结论：X，Y互相独立那么X，Y一定不相关；反之，假设X，Y不相关那么X，Y不一定互相独立.特别，对于二维正态变量〔X，Y，〕，X和Y不相关与X和Y互相独立是等价的.而二元正态变量的相关系数ρXY就是参数ρ.于是，用“ρ=0〞是否成立来检验X，Y是否互相独立是很方便的.重要术语及主题数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质方差标准差方差的性质协方差相关系数相关系数的性质X,Y不相关矩协方差矩阵分布名称分布律或概率密度期望方差参数范围两点分布P{X=1}=p, P{X=0}=q p pq 0<p<1q=1-p二项分布X~B〔n,p〕P{X=k}=knkknqpC〔k=0,1,2,…,n〕np npq 0<p<1q=1-pn为自然数习 题 四求E 〔X 〕，E 〔X 〕，E 〔2X +3〕.2.100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 1234.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，E 〔X 〕=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？5.设随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E 〔X 〕，D 〔X 〕.6.设随机变量X ，Y ，Z 互相独立，且E 〔X 〕=5，E 〔Y 〕=11，E 〔Z 〕=8，求以下随机变量的数学期望.〔1〕 U =2X +3Y +1； 〔2〕 V =YZ -4X .7.设随机变量X ，Y 互相独立，且E 〔X 〕=E 〔Y 〕=3，D 〔X 〕=12，D 〔Y 〕=16，求E 〔3X -2Y 〕，D 〔2X -3Y 〕.8.设随机变量〔X ，Y 〕的概率密度为f 〔x ，y 〕=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E 〔XY 〕.9.设X ，Y 是互相独立的随机变量，其概率密度分别为f X 〔x 〕=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y 〔y 〕=⎩⎨⎧>--.,0,0,)5(其他y y e 求E 〔XY 〕.10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X 〔x 〕=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y 〔y 〕=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求〔1〕 E 〔X +Y 〕;〔2〕 E 〔2X -3Y 2〕.11.设随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求〔1〕 系数c ;〔2〕 E 〔X 〕;〔3〕 D 〔X 〕.12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出〔取出后不放回〕，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E 〔X 〕和D 〔X 〕. 13.一工厂消费某种设备的寿命X 〔以年计〕服从指数分布，概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备假设在一年内损坏可以调换.假设售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台那么损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 14.设X 1，X 2，…，X n 是互相独立的随机变量，且有E 〔X i 〕=μ，D 〔X i 〕=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--ni i X X n 12)(11. 〔1〕 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；〔2〕 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ； 〔3〕 验证E 〔S 2〕=σ2.15.对随机变量X 和Y ，D 〔X 〕=2，D 〔Y 〕=3，Cov 〔X ,Y 〕=-1, 计算：Cov 〔3X -2Y +1，X +4Y -3〕.16.设二维随机变量〔X ，Y 〕的概率密度为f 〔x ，y 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤+.,0,1122其他y x ，π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是互相独立的.验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是互相独立的. 18.设二维随机变量〔X ，Y 〕在以〔0，0〕，〔0，1〕，〔1，0〕为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov 〔X ，Y 〕，ρXY . 19.设〔X ，Y 〕的概率密度为f 〔x ，y 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+.0,20,20),sin(21其他,y x y x ππ求协方差Cov 〔X ，Y 〕和相关系数ρXY . 20.二维随机变量〔X ，Y 〕的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数. 21.对于两个随机变量V ，W ，假设E 〔V 2〕，E 〔W 2〕存在，证明：［E 〔VW 〕］2≤E 〔V 2〕E 〔W 2〕.这一不等式称为柯西许瓦兹〔Couchy -Schwarz 〕不等式.22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F 〔y 〕. 〔2002研考〕 23.甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：〔1〕乙箱中次品件数Z 的数学期望；〔2〕从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 〔2003研考〕 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X 〔毫米〕服从正态分布N 〔μ,1〕，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，销售利润T 〔单位：元〕与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 〔1994研考〕25.设随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.〔2002研考〕26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i 〔i =1,2〕服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T 〔t 〕，数学期望E 〔T 〕及方差D 〔T 〕. 〔1997研考〕 27.设两个随机变量X ，Y 互相独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差. 〔1998研考〕 28.某流水消费线上每个产品不合格的概率为p 〔0<p <1〕，各产品合格与否互相独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已消费了的产品个数为X ，求E 〔X 〕和D 〔X 〕. 〔2000研考〕 29.设随机变量X 和Y 的结合分布在点〔0，1〕，〔1，0〕及〔1，1〕为顶点的三角形区域上服从均匀分布.〔如图〕，试求随机变量U =X +Y 的方差. 〔2001研考〕 30.设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若试求〔1〕X 和Y 的结合概率分布；〔2〕D 〔X +Y 〕. 〔2002研考〕 31.设随机变量X 的概率密度为f 〔x 〕=x-e 21，〔-∞<x <+∞〕 〔1〕 求E 〔X 〕及D 〔X 〕；〔2〕 求Cov 〔X ,|X |〕,并问X 与|X |是否不相关？〔3〕 问X 与|X |是否互相独立，为什么？ 〔1993研考〕 32.随机变量X 和Y 分别服从正态分布N 〔1，32〕和N 〔0，42〕，且X 与Y 的相关系数ρXY =-1/2，设Z =23YX +. 〔1〕 求Z 的数学期望E 〔Z 〕和方差D 〔Z 〕； 〔2〕 求X 与Z 的相关系数ρXZ ；〔3〕 问X 与Z 是否互相独立，为什么？ 〔1994研考〕33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数ρXY . 〔2001研考〕 Y X -1 0 10 10.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求X 和Y 的相关系数. 〔2002研考〕 35.对于任意两事件A 和B ，0<P 〔A 〕<1，0<P 〔B 〕<1,那么称。
第4章随机变量的数字特征
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（ 其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
） ．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
） ．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
） ．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（ ） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
） ．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =
概率论与数理统计习题册 第四章 答案
× (−1) j+1 3 j j
= ∞ (−1) j+1 × 2 = ∞ 2 = +∞
j =1
j j=1 j
∞
∑ 所以级数 x j p j 非绝对收敛，故由定义可知 X 的数学期望不存在。 j =1
四、有 3 只球、4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3，4.将球逐个独立地、随机地放入 4 只盒
子中去.以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小编码(例如， X = 3 表示第 1 号，第 2 号盒子
六、设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为 P( X = 1,Y = 10) = P( X = 2,Y = 5) = 0.5 ，试 求 ρ XY .
例 22)
************************************************************************
十二、一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假
设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和
0.5(千小时)，试求线路无故障工作时间 X 的数学期望．
30 30
30 30
P{Y = 4} = C41 = 4 , P{Y = 9} = C91 = 9
30 30
30 30
即 Y 的分布律为
Y
2
3
4
9
pk
2 30
15 30
4 30
9 30
所以 E(Y ) = 2 × 2 + 3× 15 + 4 × 4 + 9 × 9 = 73 . 30 30 30 30 15
f
(x)
=
⎧⎪⎨θ1
−
概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一 由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二 令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
概率论习题
第四章、随机变量的数字特征检测题一、单项选择题,在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在表格中。
错选、多选或未选均无分。
1.设离散随机变量X 的分布列为，则D （X ）＝（ ）A.0.21B.0.6C.0.84D.1.22．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( ) A.61B. 65C. 625 D.53.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（ ） A. 3B. 6C. 10D. 124.设二维随机向量（X,Y ）~N(μ1，μ2，ρσσ,,2221)，则下列结论中错误．．的是（ ） A.X~N （21,1σμ），Y~N （222,σμ）B.X 与Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0C.E （X+Y ）=21μ+μD.D （X+Y ）=2221σ+σ5.设随机变量X ，Y 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E （X+Y ）=（ ） A.61B.21 C.1D.26.设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A.D(X+c)=D(X)B.D(X+c)=D(X)+cC.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)7.设E （X ）=E （Y ）=2，Cov(X,Y)=，61-则E （XY ）=（ ） A.61-B.623C.4D.625 8.设随机变量X ～U(0，2)，又设Y=e -2X ，则E(Y)=( ). A. 21(1-e -4) B.41(1-e -4) C.41D. -41e -4 9．设（X ，Y ）为二维连续随机向量，则X 与Y 不相关．．．的充分必要条件是（ ） A ．X 与Y 相互独立B ．E （X ＋Y ）＝E （X ）＋E （Y ）C ．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）D ．（X ，Y ）～N （μ1，μ2，21σ，22σ，0）10．设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，21），则Cov （X ，Y ）＝（ ） A ．21 B ．3 C ．18D ．3611．已知二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为（ ）则E （X ）＝ A ．0.6 B ．0.9 C ．1D ．1.612.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ）A.1B.2C.3D.413.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=214.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ）A.1B.4C.5D.615.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.416．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8 B ．16 C ．28D ．44二、填空题,不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的)解：设表示一次抽检的 10件产品的次品数为1 —=.从而E ( X )=np =4X =的数学期望不存在. 解:3j—)不绝对收敛，由数学期望的定义知， X 的数学期望不存在.J求 E(X), E(X 2), E(3X 25).解 E (X )=(-2) +0 +2习题4-3 设随机变量 X 的分布律为P =P (调整设备)=P ( E >1)=1 — P ( E W 1)= 1 -[P ( E =0)+ P ( E =1)］查二项分布表因此X 表示一天调整设备的次数时4P ( X =1)= XX =, P ( X =2)=1 4P ( X =3)= XX =, P ( X =4)=X 〜巳4,. 4XX =2 4XX =P ( X =0)=XX习题4-2 设随机变量 X 的分布律为P X23j ，1,2,,说明X由于.13j (1)j 勺一P(X j(1)j1-)-，而级数2 j 1 j• 1 3j- 1)j1- P(X ( 1)j由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E(X2)=(-2) 2小2 小2+0 +2E(3X2+5)=[32 2 2(-2) +5] +[3 0 +5] +[3 2+5]如利用数学期望的性质, 则有E(3X2+5)=3E(X2)+5=3 +5=E(X)2 E(X ) E(3X22 0.4 020.3 0.30.2,习题求（1）Y22(2) 0.4 225) 3E(X ) 54-4 设随机变量2X; (2)Y e 2X0.3 2.8,13.4X的概率密度为f（X）的数学期望.(I)E( Y) E(2X) 2xf(x)dx2( 0dx2( xe 0 e x dx) 2e(II )E(Y) E(e 2X) 2x x .e e dx3x dx习题4-5 设（X,Y）的概率密度为f(x,y)求 E(X), E(Y), E(XY), E(X2 Y2).解各数学期望均可按照E[g（X, Y）]在有限区域G:｛（x,y）|0E(X)E(Y) 0,xe3xx 0,x 0dx)12y2, 0,y x 1, 其它g(x, y) f (x, y)dxdy 计算。
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概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征(一)一、选择题:1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 就是 [ B ] (A)X 的函数 (B)确定常数 (C)随机变量 (D)x 的函数2.设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则1()9E X -= [ C ] (A)919x x e dx +∞-∞⋅⎰ (B)919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ (C)1- (D)13.设ξ就是随机变量,()E ξ存在,若23ξη-=,则()E η= [ D ](A)()E ξ (B)()3E ξ (C)()2E ξ- (D)()233E ξ- 二、填空题:1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0、6 , 0、3 , 、01,则()E X = 0、52.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2(1)8()x f x +-=,则2(21)E X -= 93.设随机变量X 的概率分布2(3)E X X += 116/154.设随机变量X 的密度函数为2,则)= 0 三、计算题:1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求()E X 解:X 的可能取值为3,4,53511(3)10P X C ===, 23353(4)10C P X C === 24356(5)10C P X C ===133()345 4.510105E X =⨯+⨯+⨯= 2.设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它,求()E X解:11()2(1)3E X x x dx =⋅-=⎰3.设随机变量2~(,)X N μσ,求(||)E X μ- 解:222()22||||x y x y edy μσμ---∞∞--∞-∞-⎰22y ye dy ∞-==4.设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩,试求下列随机变量的数学期望。
(1) 21XY e -= (2)2max{,2}Y X = (3)3min{,2}Y X =解:(1)2013x x E Y e e dx +∞--=⋅=⎰() (2)2202()2x x E Y e dx xe dx +∞--=+⎰⎰2222232ee e ---=-+=+(3)2302()2xx E Y xe dx e dx +∞--=+⎰⎰2221321ee e ---=-+=-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征(二)一、选择题:1.已知()1,()3E X D X =-=,则2[3(2)]E X -= [ B ](A)9 (B)6 (C)30 (D)362.设~(,)X B n p ,则有 [ D ] (A)(21)2E X np -= (B)(21)4(1)1D X np p -=-+ (C)(21)41E X np +=+ (D)(21)4(1)D X np p -=-3.设ξ服从参数为λ的泊松分布,23ηξ=-,则 [ D ](A)()23()23E D ηληλ=-=- (B)()2()2E D ηληλ==(C)()23()43E D ηληλ=-=- (D)()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题:1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0、6 , 0、3 , 、01,则 ()D X = 0、452.设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞,则()D X = 2 3.随机变量X 服从区间[0,2]上的均匀分布,则2()[()]D X E X = 1/34.设正态分布Y2(3)y --,则()D X = 1/2三、计算题:1.设随机变量X 的可能取值为1,2,3,相应的概率分布为0、3 , 0、5 , 、02,求:21Y X =-的期望与方差;解:()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==2.设随机变量~(0,1)X N ,试求||E x 、||D X 、3()E X 与4()E X解:22||||x E X x dx -+∞-∞=⎰222x dx -+∞=⎰= 220|x -+∞==222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-2222()x E X dx -+∞-∞=⎰22x -+∞-∞=-⎰2222]x x xeedx --+∞+∞-∞-∞=-⎰ = 1所以 2||1D X =-π2332()xE X dx∞-=⎰= 02442()xE X dx∞-=⎰232x∞-=-⎰2223xdx∞-=⎰= 33.设随机变量X的分布密度为02()24ax xf x bx c x<<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它,已知3()2,(13)4E X P X=<<=,求:(1)常数A,B,C的值; (2)方差()D X; (3)随机变量XY e=的期望与方差。
解:(1)24022()()E X x axdx x bx c dx==⋅++⎰⎰323424022|||332a b cx x x=++856633a b c=++得8566233a b c++=3(13)4P X<<=得353224a b c++=()1f x dx+∞-∞=⎰得2621a b c++=所以解得11,, 1.44a b c==-=242220211(2)()(2)()(2)(1)(2)44D X x f x dx x x dx x x dx+∞-∞=-=-+--⎰⎰⎰23=242202111(3)()()(1)(1)444x x xE Y e f x dx xe dx x e dx e+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰2222221()()(())()[(1)]4xD YE Y E Y e f x dx e+∞-∞=-=--⎰222242220211111142424244()|[()][()]x x x x e x e e e =-+---- 422221111164()[()]e e =--- 2221(1)4e e =- 概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征(三)一、选择题:1.对任意两个随机变量X 与Y ,若EY EX XY E ⋅=)(,则 [ B ] (A)()()()D XY D X D Y = (B)()()()D X Y D X D Y +=+ (C)X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 不相互独立2.由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] (A)X 与Y 不相关 (B)(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ (C)X 与Y 相互独立 (D)相关系数1XY ρ=- 二、填空题:1.设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ,则(32)D X Y -= 132.设X 与Y 独立,且6)(=X D ,3)(=Y D ,则(2)D X Y -= 27 三、计算题:1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表: 试验证X 与Y 不相关,但X 与Y 不独立。
解:X的分布律为:X 1- 0 1P 0、375 0、25 0、375 Y 的分布律为:X 1- 0 1P 0、375 0、25 0、375103750025103750E X =-⨯+⨯+⨯=()()...103750025103750E Y =-⨯+⨯+⨯=()()...110125100125110125E XY =--⨯+-⨯⨯+-⨯⨯()()().().(). 01101250110125++⨯-⨯++⨯⨯().. = 00xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=⨯()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2.设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,求:(),()D X Y D X Y +- 解:(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=⨯⨯=()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=, ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=3.设~(0,4),~(0,4)X N Y U ,且X ,Y 相互独立,求:(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-解:()0,()4E X D X ==, 40()22E Y +==,244()123D Y ==,0xy ρ= 0)(=XY E ,416()()()433D X Y D X D Y +=+=+=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=4.设X ,Y 相互独立,其密度函数分别为21()0X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩0其它,(5)5()05y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩,求()E XY 解:3110022()2|33x E X x xdx =⋅==⎰ (5)555()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞---+∞=⋅=-+=⎰2()()()643E XY E X E Y ==⨯=5.(1)设随机变量23041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小,并求()E W 的最小值。
(2)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且有22(),()XYD X D Y =σ=σ,证明当222X Ya σ=σ时,随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
解:(1)22269W a X aXY Y =++2222226969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 22269[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2424144a a =-+2246364327()[()]a a a =-+=-+ 当3a =时,()E W 最小,最小值为108。
(2)要使随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立,则0()()()E WV E W E V -= 由于 222222()()()()(())(())E WV E W E V E X a Y E X a E Y -=--- 2()()D X a D Y =-222X Y a =σ-σ0=所以 222X Ya σ=σ。