概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。

其在实际中的应用。

关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。

它是一种“定性”类型的概念。

为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。

称这种变数为随机变数。

本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。

它是一个普通的函数。

成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。

更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。

称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。

一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。

确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。

如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。

因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。

从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。

（3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值得概率都是1n ，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。

一个离散型均匀分布可以用一个正整数n 及n 个不同的常数12,...,a a 来确定。

定义1.2 若随机变量X 的概率分布为{0}1,{1}P X p P X p ==-== 其中01p ，则称X 服从参数为p 的（0-1）分布。

（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。

例如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。

定义1.3 若随机变量X 的概率分布为(){}(1),0,1,...,k kn k nX k C p p k n -==-= 其中1n ≥为正整数，01p ，则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作~(,)X B n p由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n 重伯努利试验中发生的概率为 p .在研究某事件A 发生的概率时，我们对事件A 所在的试验进行独立重复观察，统计出事件A 发生的次数n μ。

这里n μ是一个随机变量，它就服从二项分布。

另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。

在二项分布中，如果1n =，那么只能取0或1，这是显然有01p p =-， 1p p =抛掷均匀硬币的例子中，随机变量η 的分布列为它就是（0-1）分布当2p =时的特例。

定义1.4 若随机变量X 的概率分布为{},0,1,2,...!kP X k e k k λλ-===其中0λ为常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作~()X P λ.泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。

事实上，泊松定理表明，当n 很大时，p 很小，np 适中时，(,)B n p 分布就近似于()P λ分布，其中np λ=。

由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。

由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。

定理 1.1 （泊松定理） 在n 重贝努力试验中，事件A 在一次实验中出现的概率为n p （与实验总数n 有关），如果当n →∞时，n np λ→（0λ常数），则有lim (;,),0,1,2,...!kn n b k n p e k k λλ-→∞==证明 记n n np λ=，则(;,)(1)kn k n n n n b k n p p p k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)...(1)1!kn kn n n n n k k n n λλ---+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12111...11!n kk n n k k n n n n λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于任一固定的k ，显然有lim k k n n λλ→∞=lim 1lim 1nnnn kn knn n n n e n n λλλλλ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭还有11lim 1...11n k n n →∞-⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而lim (;,)!kn n b k n p e k λλ-→∞=对任意k （0,1,2,...k =）成立，定理得证。

2 连续性随机变量分布以上对离散型随机变量做了一些研究，下面将要研究另一类十分重要而且常见的随机变量——连续型随机变量定义2.1 若()ξω是随机变量，()F x 是它的分布函数，如果存在函数()p x ，使对任意的，有()()xF x p y dy -∞=⎰则称()ξω对连续型随机变量，相应的()F x 为连续型分布函数，同时称()p x 是()F x 的概率密度函数或简称为密度。

由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数()p x 必具有下述性质：（1）()0p x ≥（2）()1p x dx ∞-∞=⎰定义2.2 若随机变量X 的概率分布为2()22(),(,(0))x a x a σϕσ--=都是常数为密度连续型分布，称这种分布为正态分布,记作2~(,)X N a σ 下面验证()x ϕ是一个密度函数。

因为这时为显然，此外还可以验证有22()2()1x x dx e dx μσϕ--∞∞-∞-∞==⎰为此，可令x y μσ-=，则222()22x y edx edy μσ--∞∞--∞-∞=这时有22222222221212y x y x y edy edx edye dxdyππ∞∞∞----∞-∞-∞+∞∞--∞-∞⎛⎫=⋅⎪⎪⎭=⎰⎰⎰⎰⎰现在作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩这时，变换的雅可比式J r =，而 22221r r erdr e ∞--∞-∞=-=⎰所以有2222220011122y r edy e rdr d πθππ∞∞---∞⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是()1x dx ϕ∞-∞=⎰这说明给出的的确是一个密度函数，这个密度函数成为正态密度。

正态分布是德国数学家和天文学家棣莫弗于1733 年在求二项分布的渐进公式时得到的． 棣莫弗－ 拉普拉斯中心极限定理表明正态分布是二项分布的极限分布． 正态分布2()N μσ，的密度函数曲线是钟型曲线，它的“钟型”特征与实际中很多随机变“中间大，两头小”的分布规律相吻合． 人的各种生理指标，一个班的一次考试成绩，测量的误差等均服从或近似服从正态分布．在许多实际问题中，遇到的随机变数是受到许多互不相干扰的随机因素的影响的，而每个个别因素的影响都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的。

例如，电灯泡的耐用时数（寿命）受到原料，工艺，保管条件等因素的随机变动的影响，而这些因素的波动在正常情况下是互不干扰的，且，每一个都不起决定性作用，又，可以认为是可以叠加的。

在概率论的极限理论中可以证明：具有上述特点的随机变数一般都可以认为服从正态分布。

二项分布，泊松分布和正态分布（或称高斯分布）时概率论中最重要的分布，在实际理论中有着广泛的应用。

本文从三中分布的区别与联系出发，采用实例计算及比较方法，以达到较准确选择合适的分布解决实际问题为目的，对三种分布进行进一步探讨。

一、三种分布的区别1.定义不同:以每个分布的定义为切入点,阐明定义特征。

二项分布B(n,p)、泊松分布P(λ)和正态分布N(μ,σ2)的分布规律分别由它们的参数确定,并且三种分布的数字特征均值及方差是用不同的参数来描述。

因此,区别参数的意义是深刻理解定义的关键。

2.随机变量的取值范围不同:二项分布的随机变量取值是有限个,泊松分布的随机变量取值是无穷可列,它们属于离散型的。

正态分布的随机变量取值无穷不可列,充满某一区间,属于连续型的。

3.适用的条件不同:二项分布用于描述只有“成功”与“失败”两种试验结果的数学模型。

例如:某个学生做n 道数学题,每道题的结果只有“对”与“错”,若每题做对的概率已知,则可利用二项分布求出做对k 道题的概率;泊松分布适用于描绘大量重复试验中稀有事件(飞机意外坠落、高楼突然倒塌等);正态分布用于一个随机变量由大量相互独立的偶然因素之和构成,每个因素所起的作用对总的来说很微小。

例如:某校2002级3000名学生的数学考试分数,受每个学生考分的影响,但每个学生的考试分数对总的分数影响不大,所以,考试分数服从正态分布。

二、三种分布之间的联系尽管三种分布有许多不同点,但它们之间还有着相互的联系。

在n 次贝努力试验中,二项分布的极限是泊松分布,我们可以用二项分布逼近泊松分布。

反之,也可以用泊松分布近似具有较大n 的二项分布,即若已知泊松分布P(λ),可用二项分布B(n,λ/n)去逼近它;若已知二项分布B(n,p),可用泊松分布P(λ)近似二项分布,其理论根据是近似公式:()(1)!k k kn k ne C p p λλκ---≈ （1）这里要求n 较大，p 较小，np λ=。

正态分布是二项分布的极限分布，当n 较大时，可用正态分布近似二项分布，其近似公式为：()(1)k k n k n C p p --≈（2）若~(,)n B n p η，则有12{}n P k k η≤≤≈Φ-Φ （3）从上面可以看到，泊松分布和正态分布都是二项分布的极限分布，在满足一定条件下都能近似二项分布。

在实际中，利用这种关系有时能够带来很多方便，从而简化计算。

三、三种分布在实际中的应用三种分布在实际中有广泛的应用。