理论力学：第六章 点的运动学
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⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能) (减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
15
⑥ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 <2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零
lim ( t 0
r S
S t
)
lim
t 0
S t
lim t 0
r S
dS dt
dr dS
dS v
dt
10
三.点的加速度
a
dv dt
ddt(vτ
)
dv dt
τ
v
dτ
dt
d 2S dt2
τ
v ddτt
①切向加速度 a
----表示速度大小的变化
a
dv
dt
d 2S dt 2
②法向加速度 -----表示速度方向的变化
40
这就是B点的自然形式的运动方程。
19
B点的速度在切向上的投影
O
vt +s D at B
C
ω
s
φ θ an
R A R O'
ds π2
vt
dt
cos 2πt 20
B点的加速度 a 在切向的投影
at
dvt dt
π3 sin 2πt 10
-s
而在法向的投影
E
an
v2
π2 20
cos
2πt
2
引言
运动学的一些基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
⑤瞬时、时间间隔 ()t
( )t t2 t1
⑥运动分类
1)点的运动 2)刚体的运动
第六章 点的运动学
§6–1 点的运动矢量分析方法 §6–2 点的运动的直角坐标法 §6–3 点的运动的自然坐标法
§6-1 点的运动矢量分析方法
一.运动方程，轨迹
r OM 二.点的速度
r r (t)
v
Δltim0ΔΔtr
v
dr dt
ddxt i
dy dt
j
dz dt
k
v vxi vy jvzk
v vx2 vy2 vz2
c
os
(v i
)
vx v
c
os
(v j
)
v
y
v
c
os
(v k
)
vz v
7
三. 加速度.
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a
a2x a2 y a2z
c
os
(ai
)
ax a
8
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程 S=S (t)
9
2.自然轴系
二.点的速度
v
lim
t 0
r t
1
2
即an
v2
n
a
a
an
dv
dt
v2
n
a a2 an2 ,
arctg | a |
an
12
课堂自学.
①用柱坐标法给出点的运动方程。 柱坐标法方程
f1(t)
r f2 (t) z f3 (t)
②
dv dt
与
dv dt
有何不同?就直线和曲线分别说明。
dv dt
a
(直线.曲线都一样),
<6> 常数 (圆周运动)
<7> a 0 (匀速运动)
<8> a n 0 (直线运动)
<9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
14
④点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
答:<1>不一定. 速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)
<2> 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度
⑦切向加速度和法向加速度的物理意义？
答：a
dv dt
a
n
v2
表示速度大小的变化 表示速度方向的变化
16
⑧点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成 正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快， 还是越跑越慢？
解： S bta
v dS b常数
a
dv dt
0,
an
v2
b2
,
a
an
b2
dt
由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度
越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
17
例题
+s D B C
ωwk.baidu.com
s
O φθ R A R O'
-s E
销钉B可沿半径等于R的
固定圆弧滑道DE和摆杆的直
槽中滑动，OA=R=0.1 m。已
dr dt
r
三.加速度
a
Δltim0ΔΔvt
dv dt
d 2r dt 2
r
5
§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
x x(t)
y
y (t )
z z(t)
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
6
§6-2 点的运动的直角坐标法
二.点的速度
知摆杆的转角
π
sin 2πt
（时间以s计， φ以ra8d计），
试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时 的加速度。
18
解： 选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则
+s D B C
ω
s
O φθ R A R O'
-s E
s R
2
π sin 2πt
8
s 2R π sin 2πt
dv a dt
为速度的
大小变化率,在曲线中应为切向加速度
a
dv dt
。
13
③指出在下列情况下,点M作何种运动?
<1> a n 0 , a 常数 (匀变速直线运动)
<2> a 0, 常数
(匀速圆周运动)
<3> a 0 (匀速直线运动或静止)
<4> a n 0 , (直线运动)
<5> a 0, v 常数 (匀速运动)
0.1
π4 cos2 2πt 40
20
21
an
v
d
dt
v lim
t0
t
v lim (
t0
S
S t
)
v
2
lim
t0
S
(lim S dS v) t0 t dt
11
由图可知
|
||
'
|2|
|sin
2
2sin 2
当t
0时,S 0,sin
2
2
| |1于是
lim |
t0
S
2sin
| lim
t0
2
S
sin
lim (
t0
2
S
)
d
dS
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能) (减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
15
⑥ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 <2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零
lim ( t 0
r S
S t
)
lim
t 0
S t
lim t 0
r S
dS dt
dr dS
dS v
dt
10
三.点的加速度
a
dv dt
ddt(vτ
)
dv dt
τ
v
dτ
dt
d 2S dt2
τ
v ddτt
①切向加速度 a
----表示速度大小的变化
a
dv
dt
d 2S dt 2
②法向加速度 -----表示速度方向的变化
40
这就是B点的自然形式的运动方程。
19
B点的速度在切向上的投影
O
vt +s D at B
C
ω
s
φ θ an
R A R O'
ds π2
vt
dt
cos 2πt 20
B点的加速度 a 在切向的投影
at
dvt dt
π3 sin 2πt 10
-s
而在法向的投影
E
an
v2
π2 20
cos
2πt
2
引言
运动学的一些基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
⑤瞬时、时间间隔 ()t
( )t t2 t1
⑥运动分类
1)点的运动 2)刚体的运动
第六章 点的运动学
§6–1 点的运动矢量分析方法 §6–2 点的运动的直角坐标法 §6–3 点的运动的自然坐标法
§6-1 点的运动矢量分析方法
一.运动方程，轨迹
r OM 二.点的速度
r r (t)
v
Δltim0ΔΔtr
v
dr dt
ddxt i
dy dt
j
dz dt
k
v vxi vy jvzk
v vx2 vy2 vz2
c
os
(v i
)
vx v
c
os
(v j
)
v
y
v
c
os
(v k
)
vz v
7
三. 加速度.
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a
a2x a2 y a2z
c
os
(ai
)
ax a
8
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程 S=S (t)
9
2.自然轴系
二.点的速度
v
lim
t 0
r t
1
2
即an
v2
n
a
a
an
dv
dt
v2
n
a a2 an2 ,
arctg | a |
an
12
课堂自学.
①用柱坐标法给出点的运动方程。 柱坐标法方程
f1(t)
r f2 (t) z f3 (t)
②
dv dt
与
dv dt
有何不同?就直线和曲线分别说明。
dv dt
a
(直线.曲线都一样),
<6> 常数 (圆周运动)
<7> a 0 (匀速运动)
<8> a n 0 (直线运动)
<9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
14
④点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
答:<1>不一定. 速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)
<2> 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度
⑦切向加速度和法向加速度的物理意义？
答：a
dv dt
a
n
v2
表示速度大小的变化 表示速度方向的变化
16
⑧点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成 正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快， 还是越跑越慢？
解： S bta
v dS b常数
a
dv dt
0,
an
v2
b2
,
a
an
b2
dt
由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度
越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
17
例题
+s D B C
ωwk.baidu.com
s
O φθ R A R O'
-s E
销钉B可沿半径等于R的
固定圆弧滑道DE和摆杆的直
槽中滑动，OA=R=0.1 m。已
dr dt
r
三.加速度
a
Δltim0ΔΔvt
dv dt
d 2r dt 2
r
5
§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
x x(t)
y
y (t )
z z(t)
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
6
§6-2 点的运动的直角坐标法
二.点的速度
知摆杆的转角
π
sin 2πt
（时间以s计， φ以ra8d计），
试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时 的加速度。
18
解： 选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则
+s D B C
ω
s
O φθ R A R O'
-s E
s R
2
π sin 2πt
8
s 2R π sin 2πt
dv a dt
为速度的
大小变化率,在曲线中应为切向加速度
a
dv dt
。
13
③指出在下列情况下,点M作何种运动?
<1> a n 0 , a 常数 (匀变速直线运动)
<2> a 0, 常数
(匀速圆周运动)
<3> a 0 (匀速直线运动或静止)
<4> a n 0 , (直线运动)
<5> a 0, v 常数 (匀速运动)
0.1
π4 cos2 2πt 40
20
21
an
v
d
dt
v lim
t0
t
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t0
S
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2
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11
由图可知
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|2|
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2
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2
2
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S
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