第5章第3节等比数列
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第三节 等比数列
[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1
a n
=q (n ∈N *,q 为非零常数).
(2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫作a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇒a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab .
2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.
(2)前n 项和公式:S n =⎩⎨⎧
na 1(q =1
),
a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q
1-q (q ≠1).
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *).
(2)若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k ;
(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n ,{a 2n },
{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n (λ≠0)仍然是等比数列;
(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +
k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为
q k .
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( )
(3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
(4)数列{a n }的通项公式是a n =a n ,则其前n 项和为S n =a (1-a n
)
1-a
.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{a n }的公比为-1
2,则
a 1+a 3+a 5a 2+a 4+a 6的值是( )
A .-2
B .-12 C.12
D .2
A [a 1+a 3+a 5a 2+a 4+a 6=a 1+a 3+a 5
-12
(a 1+a 3+a 5)
=-2.]
3.(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中,a n >0,a 1+a 2=6,a 3=8,则a 6=( )
导学号:664849
A .64
B .128
C .256
D .512
A [设等比数列的首项为a 1,公比为q ,则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 1+a 2=a 1+a 1q =6,a 3=a 1q 2=8,解
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=2,
q =2或⎩⎨⎧
a 1=18,q =-23
(舍去),所以a 6=a 1q 5=64,故选A.]
4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.
27,81 [设该数列的公比为q ,由题意知,
243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.
∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]
5.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =__________.
6 [∵a 1=2,a n +1=2a n ,
∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 又∵S n =126,∴2(1-2n )1-2
=126,解得n =6.]
等比数列的基本运算
(1)(2017·陕西质检(二))已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若
S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( )
A.1
3 B .-13 C.19
D .-19
(2)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于__________.
(1)C (2)2n -1 [(1)设等比数列的公比为q ,则由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 1q 2=10a 1,则q 2=9,又因为a 5=a 1q 4=9,所以a 1=1
9.
(2)设等比数列的公比为q ,则有⎩⎨⎧
a 1+a 1q 3=9,
a 21·q 3=8,
解得⎩⎨⎧
a 1=1,
q =2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1=8,q =1
2.
又{a n }为递增数列,∴⎩⎨⎧
a 1=1,q =2,
∴S n =1-2n 1-2=2n
-1.]
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用.
2.在使用等比数列的前n 项和公式时,应根据公比q 的情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思想简化运算.
[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项和S 3=21,则公比q 的值为( )
导学号:664850
A .1
B .-12
C .1或-1
2
D .-1或1
2
(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若27a 3-a 6=0,则S 6
S 3
=__________.
导学号:664851
(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q 2=7, ①
a 1+a 1q +a 1q 2=21, ②
②÷①得
1+q +q 2
q 2=3. 整理得2q 2-q -1=0, 解得q =1或q =-1
2.
(2)由题可知{a n }为等比数列,设首项为a 1,公比为q ,所以a 3=a 1q 2,a 6=a 1q 5,所以27a 1q 2=a 1q 5,所以q =3,由S n =a 1(1-q n )1-q ,得S 6=a 1(1-36)
1-3
,S 3=
a 1(1-33)1-3,所以S 6S 3=a 1(1-36
)1-3·1-3
a 1(1-33)
=28.]