第5章第3节等比数列

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第三节 等比数列

[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.

1.等比数列的有关概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1

a n

=q (n ∈N *,q 为非零常数).

(2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫作a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇒a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab .

2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.

(2)前n 项和公式:S n =⎩⎨⎧

na 1(q =1

),

a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q

1-q (q ≠1).

3.等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *).

(2)若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k ;

(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫

1a n ,{a 2n },

{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n

b n (λ≠0)仍然是等比数列;

(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +

k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为

q k .

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( )

(3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )

(4)数列{a n }的通项公式是a n =a n ,则其前n 项和为S n =a (1-a n

)

1-a

.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{a n }的公比为-1

2,则

a 1+a 3+a 5a 2+a 4+a 6的值是( )

A .-2

B .-12 C.12

D .2

A [a 1+a 3+a 5a 2+a 4+a 6=a 1+a 3+a 5

-12

(a 1+a 3+a 5)

=-2.]

3.(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中,a n >0,a 1+a 2=6,a 3=8,则a 6=( )

导学号:664849

A .64

B .128

C .256

D .512

A [设等比数列的首项为a 1,公比为q ,则由⎩⎪⎨⎪⎧

a 1+a 2=a 1+a 1q =6,a 3=a 1q 2=8,解

得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1=2,

q =2或⎩⎨⎧

a 1=18,q =-23

(舍去),所以a 6=a 1q 5=64,故选A.]

4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.

27,81 [设该数列的公比为q ,由题意知,

243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.

∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]

5.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =__________.

6 [∵a 1=2,a n +1=2a n ,

∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 又∵S n =126,∴2(1-2n )1-2

=126,解得n =6.]

等比数列的基本运算

(1)(2017·陕西质检(二))已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若

S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( )

A.1

3 B .-13 C.19

D .-19

(2)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于__________.

(1)C (2)2n -1 [(1)设等比数列的公比为q ,则由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 1q 2=10a 1,则q 2=9,又因为a 5=a 1q 4=9,所以a 1=1

9.

(2)设等比数列的公比为q ,则有⎩⎨⎧

a 1+a 1q 3=9,

a 21·q 3=8,

解得⎩⎨⎧

a 1=1,

q =2或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1=8,q =1

2.

又{a n }为递增数列,∴⎩⎨⎧

a 1=1,q =2,

∴S n =1-2n 1-2=2n

-1.]

[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用.

2.在使用等比数列的前n 项和公式时,应根据公比q 的情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思想简化运算.

[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项和S 3=21,则公比q 的值为( )

导学号:664850

A .1

B .-12

C .1或-1

2

D .-1或1

2

(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若27a 3-a 6=0,则S 6

S 3

=__________.

导学号:664851

(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q 2=7, ①

a 1+a 1q +a 1q 2=21, ②

②÷①得

1+q +q 2

q 2=3. 整理得2q 2-q -1=0, 解得q =1或q =-1

2.

(2)由题可知{a n }为等比数列,设首项为a 1,公比为q ,所以a 3=a 1q 2,a 6=a 1q 5,所以27a 1q 2=a 1q 5,所以q =3,由S n =a 1(1-q n )1-q ,得S 6=a 1(1-36)

1-3

,S 3=

a 1(1-33)1-3,所以S 6S 3=a 1(1-36

)1-3·1-3

a 1(1-33)

=28.]

相关文档
最新文档