《勾股定理》教学设计1

勾股定理

主题解读：

（1）课标比较

2011版：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

实验版：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

新版更注重知识的生成过程，注重学生从无到有的体验。

（2）不同版本教材的比较

人教版：

北师大版：华师版：

三个不同版本都突出了探索勾股定理的过程，人教版还原了几何勾股定理的历史原貌，体现了欧式几何的思想.华师版和北师版均从直角三角形三边的数量关系上寻找勾股定理，符合中国的数学思想与方法.

（3）在数学史上的发展轨迹

勾股定理是一个古老的数学问题，起源于实际测量和计算，只要有文明的地方，就有勾股定理的存在形式.从勾股定理的发现和证明的历史发展看，定理有其实际应用价值且蕴含了丰富的数学思想，如特殊到一般、归纳猜想、转化和数形结合的思想。古代中国和古希腊人对定理的证明也彰显了东西方不同的数学文化和精神.不同的是，东方以中国为代表的称勾股定理，体现直角三角形三边数的运算规律，以西方希腊为代表的毕达哥拉斯定理，体现直角三角形三边的几何规律，这从他们的叙述就能看出来，并且从证明的角度，也体现了文化上的差异.但是，在中国，梅文鼎集东西方文化的大成，给予了融汇东西的证明方法.

而随着数学的进一步发展，勾股定理成为了余弦定理的特殊形式，并在三维或n维空间存在勾股定理的推广.并且随着非欧几何的产生，勾股定理在这些学科中具有相似的表现形式

（4）课程内容的纵向发展轨迹

勾股定理在小学阶段呈现的是数的计算以及特殊的直角三角形—等腰直角三角形的面积计算.进入中学以后，随着无理数及平方根的引入，以及欧式几何深入学习，学生可以逐渐理解代数下222a b c +=的运算以及演绎逻辑下的推理，开始进行系统的定理学习与简单应用.随后，学生还要在高中进行余弦定理的进一步学习，体会斜三角形转化为直角三角形的数学思想。如果进入大学，还要体验三维空间或n 维空间的勾股定理的形式，甚至在数学系，还要学习非欧几何的勾股定理形式.

（5）课程内容的横向联系

勾股定理作为一个阶段性知识点的载体，可以作为代数形式的发展，一是从元的个数形式的发展，如2222a b c d ++=等等四元二次等式的研究；二是从次数增加的形式的发展，如n n n

a b c +=的整数解. 教学目标

（1）结合阅读材料，通过课前查找资料，课本自学，了解勾股定理的表述与证明；

（2）通过网络平台交流学习心得、提出问题，掌握勾股定理的证明方法；

（3）通过与历史对话，体会数学大家的数学智慧.

教学重点与难点

教学重点：勾股定理的不同证明

教学难点：从历史与文化的背后，理解勾股定理，并提出问题.

教学内容：

请同学们带着以下几个问题，认真阅读所给资料，并查阅其它相关资料，尝试回答这些问题和提出你的问题。

1．勾股定理是怎么叙述的？《几何原本》中毕达哥拉斯定理是怎么叙述的？

2．请试图说明赵爽、刘徽如何证明勾股定理？

3．请试图说明毕达哥拉斯、欧几里得如何证明勾股定理？

4．除了阅读材料外，你还了解到哪些勾股定理的证明方法？请你详细介绍. 5．根据东西方不同的证明方法，请试图说明东西方数学文化上的差异.

6．上到王公大臣，下到平民百姓，古今中外，人们都喜欢研究勾股定理，勾股定理为什么影响这么广泛？

7．你阅读完所给材料，有什么问题与想法同大家交流？你能依据勾股定理提出一个数学方面的问题吗？

一．不同文明的勾股定理

在我国最古老的数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话.译文：从前周公问商高：“我私下听说你善于演算，请问远古者包牺氏（传说中的人物）对整个天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由台阶而上，地不能用尺寸来量，请问相关的数据是怎样产生的？”商高“……在对矩形（长方形）沿对角线对折时，会产生短边（勾）长为3，长边（股）长为4，斜长（弦）为5的直角三角形的比率。”故有人称之为“商高定理”。

在中国数学家赵爽（字卿，东汉末吴国人）是最早证明勾股定理的人，赵爽利用把一个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，给出了勾股定理的详细证明。具体证明为：每个

直角三角形的面积为1

2

ab，中间的得小正方形的面积为2

()

a b

。他是世界上第一个最先用形

数结合方法得到勾股定理的人，“赵爽弦图”是后世证明的先导，就是把图形作适当的分割、移、补、拼、凑，显示出图形之间的数量关系，如图：

刘徽用了“青朱出入图”为代表的证明，不用文字说明，不用数学符号推理，只要一看图形，勾股定理的证明便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，也被称为“无字证明”，即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来（出），移到以弦为边的正方形的空白区域内（入），结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题.

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理, 因为在西方, 一般都认为这个定理最早是由希腊数学家毕达哥拉斯给出证明的,。但是西方有据可查最早给出勾股定理证明的是伟大的希腊数学家欧几里德。在欧几里德的名著《原本》中的第一篇第47个命题就是勾股定理, 书中用面积的方法给出了这个定理的严格证明, 按照普洛克鲁斯的看法这个证明应归功于欧几里得本人。

一般认为拼补证明方法对于中国古代几何学发展起了颇为重要的作用（如同我们已经看到的），而希腊人则更愿意使用有时并不很直观的演绎风格的证明。不过，仔细考察《原本》的内容，特别是结合后世研究对照来看，古希腊数学家对于拼补问题同样有着浓厚的兴趣。

二．勾股定理的其它证明

（1）梅文鼎(1633 一1721 ) , 安徽宣城人 . 精于天文、数学 . 他不仅对我国古代数学有深刻的了解和研究, 而且还研究了由徐光启和意大利人利玛窦1607年合译的欧几里得《几何原本》( 前六卷) , 对中西数学的联系有自己独特的见解 . 梅文鼎认为我国传统的勾股算术(代数的)与《几何原本》(演绎的)虽然形式上不同, 而它们的理论是可以会通的. “

（2）在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

三．勾股定理的发展与推广

勾股定理在三维空间上的推广：人们在空间构造一个三棱锥，使得三棱锥组成三个侧面的三条侧棱互相垂直，并获得它们平面面积的平方和关系。另外，勾股定理在n维空间上也可以进行推广.

勾股定理是联系数学和几何的桥梁，是数形结合的原始定理，人们用图形去研究数、用数去研究图形的开始，也是数形结合的真正体现。它的运用导至了无理数的发现，人们还造出了非常美丽的毕达哥拉斯树。