高二数学逆矩阵的概念
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文--
(8)
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按克拉默法则，若| A | ≠ 0 ，则由（7）可解出 即x1 , x2 , … . , xn可用y1 ,y2 , … , yn 线性表示 为：
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线性变换(9)称为线性变换(7)式的逆变换。
若把( 9 ) 的系数矩阵记为B，则(9 ) 也可写成
X=BY
(10)
定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这 个结论反过来也成立。请看下面的定理2。
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定理2 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且 证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E，
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由定理1和定理2可得：矩阵A是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。
当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 奇异阵。
推论 若 AB=E（或 BA=E），则B=A-1。 证 因为|A| |B| = | E | ＝1故，| A | ≠ 0， 因而 A-1存在， 于是 B=E B=（A -1A）B=A-1（AB）= A-1E=A-1。
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注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。
例如
故A可逆。
需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。
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例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ，
即
X = A-1 CB-1 。
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解
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矩阵的运算小结
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
逆矩阵
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２Ａｍ）１＝（Ａｍ）１（Ａ２）１（Ａ１）１.2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）=λ；4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）；5、=；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。
例１、求矩阵Ａ＝２２３１１０１２１的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ１存在设Ａ１＝ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３，由定义知Ａ１Ａ＝Ｅ，∴２２３１１０１２１ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３＝由矩阵乘法得２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１ｘ２１ｘ１２ｘ２２ｘ１２ｘ２３ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３＝由矩阵相乘可解得ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝１；ｘ１２＝４ｘ２２＝５ｘ３２＝６；ｘ１３＝３ｘ２３＝３ｘ３３＝４故㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ１＝１ＡＡ，其中Ａ为伴随矩阵。
1-6-1 逆矩阵的基本概念
１－６ 逆矩阵１－６－１ 逆矩阵的基本概念序：数的乘法有单位元１：对每一个数ａ，有１ａ＝ａ１＝ａ。
倒数：对数ａ，如果存在数ｂ，使得ａｂ＝ｂａ＝１，说ａ有倒数，ｂ为ａ的倒数，记为ｂ＝a1＝1-a 。
有倒数的条件：ａ有倒数⇔ａ≠０。
除法：若ａ≠０，ａｘ＝ｂ有唯一解ｘ＝a b ＝1-a ｂ＝ｂ1-a ，叫ａ除ｂ的商。
矩阵乘法有单位元Ｅｎ：对每一个ｎ阶矩阵Ａ，有ＥＡ＝ＡＥ＝Ａ。
一、可逆矩阵和逆矩阵定义1.12［Ｐ５３］设Ａ为ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ （＊）则称Ａ为可逆矩阵，Ｂ为Ａ的逆矩阵。
若不存在使（＊）式成立的方阵Ｂ，则称Ａ为不可逆矩阵。
说明：（１）如果ＡＢ＝ＢＡ，必有Ａ、Ｂ是同阶方阵。
［只对方阵谈可逆性］ k m n S B A ⨯⨯有意义⇒ｎ＝ｍn s k m A B ⨯⨯有意义⇒ｋ＝ｓk m n S B A ⨯⨯＝n s k m A B ⨯⨯⇒ｓ＝ｍ，ｋ＝ｎ综上所述，得ｓ＝ｍ＝ｋ＝ｎ，即Ａ、Ｂ为同阶方阵。
（２）存在可逆矩阵。
如：Ｅ是可逆矩阵，其逆矩阵为Ｅ（因为ＥＥ＝Ｅ）。
数ｋ≠０，ｋＥ是可逆矩阵，其逆矩阵为ｋ－１Ｅ，因为（ｋＥ）（ｋ－１Ｅ）＝Ｅ，（ｋ－１Ｅ）（ｋＥ）＝Ｅ。
（３）存在不可逆矩阵。
如： 零矩阵不可逆［因为０Ａ＝Ａ０＝０］Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0201不可逆。
证明１：Ｐ５４ ８——１４行。
（了解） 证明２：因为A ＝０，所以Ａ不可逆。
（掌握）（４）若（＊）式成立，则Ａ、Ｂ互为逆矩阵。
［逆矩阵的唯一性］如果Ａ有逆矩阵，必是唯一的，记为1-A ；于是Ａ1-A ＝1-A Ａ＝Ｅ。
证明：设Ｂ，Ｃ都是Ａ的逆矩阵，有ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，ＡＣ＝ＣＡ＝Ｅ。
于是得到 Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ。
二、ｎ（ｎ≥２）阶方阵Ａ的伴随矩阵*A 及其性质定义1.13［Ｐ５４］ｎ（ｎ≥２）阶方阵Ａ的伴随矩阵*A 为：Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211−−−−−−→−或列的代数余子式作行行的代数余子式作列*A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式，ｉ、ｊ＝１，２，……，ｎ。
逆矩阵
对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是
唯一的（如果有的话）.
需要解决的问题是： • （1）在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ • （2）如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
二、逆矩阵的性质
性质 1 若方阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵是唯一的.
性质 2 若方阵 AB E, 则 A, B 的均可逆，且
证明： A2 3 A 5E 0 ( A E )( A 4E ) 9E 所以A + E 可逆，且
1 ( A E ) 1 ( A 4 E ) 9
又因为
A2 3 A 5E 0 ( A E )( A 2E ) 3E
1 ( A E ) ( A 2E ) 3
1 5 的逆矩阵. 3 M12 6, M13 3,
M 21 4, M 22 3, M 23 2, M 31 9, M 32 7, M 33 4,
则
A11 1 * 1 A A A* A12 | A| A 13 M 11 M 12 M 13 M 21 M 22 M 23
A11 A12 * A A1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
定理1 若 | A | 0，则方阵A可逆，而且
1 * A A. | A| 1 1 推论1 若 | A | 0，则 | A | . | A|
1
元素 aij 的代数 余子式 Aij 位于 第 j 行第 i 列
1 n 而 B ，所以有 0 1 1 2 2 1 n 1 1 2n n A 2 0 1 0 1 0 1 0 1
逆矩阵
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4
2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1.2．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，假设A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，假设ad －bc ≠0，那么A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－122－3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240°sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，那么A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232－3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121＋32－321－32. 6．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，假设位置错误，那么得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.假设矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90°－sin －90°sin －90°cos －90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，那么ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[对应学生用书P32]1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值． 解：根据题意，得AA －1＝E ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以B 是A 的逆矩阵．4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32 12. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程． 解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。
2-5 逆矩阵
故 A A
1
= E = 1, 所以 A ≠ 0.
当 A ≠ 0时, 时 a11 a12 a1n A A21 An1 11 a a22 a2n A A22 An2 12 21 AA = a A + a A ++ a A = A 11 12 1n 1n 11 12 a a a A A A nn1A 1n+ an2 A nn+ 1n annnA = A 2 nn a1 n 2 n2 + nn
A A21 A31 3 1 11 A 1 1 ∴ A = = A A22 A32 = 4 A A 12 4 5 A A23 A33 13
2 3 1 5 = 0, 由于 B = 1 3 1 5 11
3 1 0 4 . 1 3
故 B不可逆 . 不可逆
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C = 2 0 , 设 A = 2 2 1 , B = 5 3 3 4 3 3 1
§2.5逆矩阵 逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有
aa 1 = a 1a = 1,
的逆）； （ 的倒数， 其中 a1 = 1 为 a 的倒数， 或称 a 的逆）； a
在矩阵的运算中，单位阵 相当于数的乘法运 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运 算中的1，那么对于矩阵 ， 算中的 ，那么对于矩阵A，如果存在一个矩阵 A1 使得
AA1 = A1 A = E,
A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵 的可逆矩阵或逆阵 逆阵. 则矩阵
二、逆矩阵的概念和性质
对于n 阶矩阵B, 定义 对于 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵
AB = BA = E , 使得 则说矩阵A是可逆的 并把矩阵B 称为A的逆矩阵. 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.
逆矩阵的概念
2.4.1逆矩阵的概念学习目标：1、通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在；2、会证明逆矩阵的唯一性和111)(---=B A AB 等简单性质，并了解其在变换中的意义； 3、会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵；4、会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。
活动过程：活动一：逆矩阵的意义背景：二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点),(y x 变换到点),(y x ''。
反过来，如果已知变换后的结果),(y x ''，能不能“找到回家的路（逆变换）”，让它变回原来的),(y x 呢？问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？ （1）以x 为反射轴的反射变换；（2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；（3）横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； （4）沿y 轴方向，向x 轴作投影变换；（5）纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x ＋2y ，y ）作切变变换。
思考：通过上述问题可以得到一个什么结论？结论：1、逆变换的含义：2、逆矩阵的定义：注：通常记可逆矩阵A 的逆矩阵为1-A 。
活动二：逆矩阵的简单性质例1 证明：若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的。
思考：对于任意的二阶矩阵M 满足什么条件时，它是可逆的？例2 证明：若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且111)(---=B A AB 。
并从几何变换的角度给予解释。
活动三：逆矩阵的求解例3：从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由。
（1）A=01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦； （2）B ＝120⎡⎢⎢⎣ 01⎤⎥⎦； （3）C ＝01⎡⎢⎣ -10⎤⎥⎦； （4）D ＝11⎡⎢⎣00⎤⎥⎦例4：求矩阵A ＝57⎡⎢⎣ 13⎤⎥⎦的逆矩阵变式训练：求二阶矩阵A ＝)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡bc ad d c b a 的逆矩阵例5：已知A ＝1⎡⎢⎣02⎤⎥⎦，B ＝10⎡⎢⎢⎢⎣ 121⎤⎥⎥⎦，求矩阵AB 的逆矩阵。
高等数学：2-3 逆矩阵
则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为A的逆矩阵.
命题 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明 若设B和C是A的逆矩阵， 则有
AB பைடு நூலகம் BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的。 因此将A的逆矩阵记作 A
求矩阵X使满足 AXB C .
解 若 A1 , B 1 存在，则用 A 1左乘上式，
B 1 右乘上式， 有 A1 AXBB 1 A1CB 1
即 X A1CB 1
1 2 3
1 0, A 2 2 1 2 0, B 5 3 3 4 3 A1 , B1都存在.
同理可得
A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
A11 A A12 A 13
A21 A22 A23
A31 2 6 4 A32 3 6 5 , 2 A33 2 2
AB E 或BA E
4. 逆矩阵的计算方法
2 初等变换法下一章介绍.
1 (1) 利用公式 A A ; A
1
五、作业
P.55. 10，11 (1)，22，23，24
2 2 2 1 2 1 2, 3, A13 2, A12 A11 3 4 3 3 4 3
同理可得
A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
A11 A A12 A 13
A21 A22 A23
逆矩阵
Solution : ⎡ 1 ⎢ 3 −1 A = ⎢− ⎢ 2 ⎢ 1 ⎣ −2 ⎤ ⎥ ⎡ 3 −1⎤ 5⎥ −1 −3 , B =⎢ ⎥, 2⎥ ⎣ −5 2 ⎦ 1 −1⎥ ⎦ 3
⎛a b⎞ 例2 已知 A = ⎜ ⎟ , 且ad − bc ≠ 0.求A－1 。 ⎝c d⎠
解 |A|＝ad－bc ≠0，故A可逆。 且易得
1 ⎛ d −b ⎞ A = ⎜ ⎟. ad − bc ⎝ −c a ⎠
−1
例3 设
⎡ 1 2 3⎤ ⎡1 3⎤ ⎢ 2 2 1⎥ , B = ⎡ 2 1⎤ , C = ⎢ 2 0 ⎥ , A=⎢ ⎢ 5 3⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 3 4 3⎥ ⎢3 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
例1 判定矩阵
⎡1 1 −1⎤ ⎢ 2 −1 0 ⎥ A=⎢ ⎥ ⎢1 0 1 ⎥ ⎣ ⎦
是否可逆。若可逆，求出其逆矩阵。 解 由于
1 1
故A可逆.
1 0
−1 0 = −4 ≠ 0 1
det A = 2 −1
−1 A1 1 = 0 A3 1 A22 A13 A3 3 1 = −1 1 = 1 2 = 1 1 = 2
0 1 6 2 − 3
−
⎡ ⎤ ⎢ 1 −5 1 0⎥ ⎥ r2 + 1 r3 ⎢ 2 1 ⎥ → ⎢0 0 1 − r1 − 2 r3 ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ 1 ⎢0 1⎥ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣ 1 ⎤ ⎡ −2 ⎥ ⎢1 0 0 3 ⎥ r1 + 5 r2 ⎢ 1 1⎥ → ⎢0 1 0 ⎢ 6 2⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎢0 0 1 1⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦
逆矩阵
a11
a12 L a1 n
| A |=
a21
a22 L a2 n LLL an 2 L ann
, Aij 为aij的代数余子式 ,
an1
A11 A21 L An1 A12 A22 L An 2 ∗ A = LLL A A2 n L Ann 1n
A的伴随矩阵 的
A
−1
A11 1 ∗ 1 A= = A12 | A | | A| A13
A21 A22 A23
A31 A32 = A33
2 − 1 − 5 1 2 10 − 2 2 7 −2 1
练习 ： 解：
再解P64例10的矩阵方程 例 的矩阵方程 再解
1 1 − 1 1 1 3 BA = = 1 0 3 0 0 3
0 1
定理 (P.78)
是可逆矩阵， 设A是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。 是可逆矩阵 则它的逆矩阵是唯一的。
证明:(同一法 证明 同一法 ) 有两个逆矩阵B和 设A有两个逆矩阵 和B1，即 有两个逆矩阵
2 1 A[ ( 3 I − A)] = I 思路: 思路 2 2 解 Q B = B, A = I + B
2 2
∴ A = ( I + B) = I + 2 B + B = I + 3 B 1 1 2 A[ ( 3 I − A)] = ( 3 A − A ) 2 2 1 = [ 3( I + B ) − ( I + 3 B )] = I 2
2 ⇒| A |≠ 0, Th→ A可逆 . .1 ⇒ 有 A−1 , 使得
A−1 A = AA−1 = I
1.4 逆矩阵
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
∗
1 − 3 3 1 4 . = −4 0 4 5 − 1 − 3
2 3 −1 由于 B = −1 3 5 = 0, 1 5 3
又因为
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
故 B不可逆 . 不可逆
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C = 2 0 , 设 A = 2 2 1 , B = 5 3 3 4 3 3 1
求矩阵X使满足 AXB = C .
2 1 = 1 ≠ 0, 解 ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, B = 5 3 3 4 3
例2 下列矩阵 A, B是否可逆 ? 若可逆 , 求出其逆 矩阵 .
1 2 3 A = 2 1 2 , 1 3 3
2 3 −1 B = −1 3 5 . 1 5 3
解
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 2= 0 − 3 −4 1 3 3 0 1 0
由 A 2 − A − 2 E = 0,
A−1
A− E =E 得A( A − E ) = 2 E ⇒ A 2 A− E ⇒ A = 1 ⇒ A ≠ 0, 故 A 可逆 . 2
1 ∴ A = ( A − E ). 2
−1
又由A − A − 2 E = 0
2.4逆矩阵
0 0 3
− 3 −1 , B2 1
1 0 = 0
B
0 0 1 0 0 0 0
3 = −1
0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0
− 5 2
0 0 0 0 0 3 −1
所以
0 0 0 0 0 − 5 2
* *
n
∴A · A =
*
A
n
A* = A 当A ≠ 0 ， 时
n−1
例2
1 A = 求 ( 2 A)−1 − 5 A* 阶矩阵， 设A为3阶矩阵， 为 阶矩阵 2
这是抽象矩阵求行列式的问题。 分析 这是抽象矩阵求行列式的问题。注意矩阵行列式满足的运算 规律以及矩阵之间的一些关系。 规律以及矩阵之间的一些关系。
1. 重要的结论
A1 A2 (1) O An
−1
=
A1−1
− A2 1
O −1 An
A1 A2 ( 2) N A n
−1
− An 1 N = − A2 1 −1 A 1
−1
=
1
λ
A−1.
证
要证矩阵 B为 A 的可逆矩阵 , 由定义只须验证 AB = E . 1 1 −1 (2 ) 因 (λ A )( A ) = (λ ) ( AA − 1 ) = E . λ λ 1 −1 故 ( λ A ) 可逆 , 且 ( λ A ) = A −1 λ
( 3 ) 因 ( AB ) ( B
= A 0 M 0 0 L 0 A L 0 = A I . 同理可得 A * A = A I . M M 0 L A
矩阵奇谭-0002-逆矩阵的本质就是倒数,逆矩阵,可逆矩阵的倒数
逆矩阵：可逆矩阵的倒数
逆矩阵是指对于一个可逆矩阵，存在另一个矩阵，使得该矩阵与原矩阵相乘等于单位矩阵。
换句话说，逆矩阵是原矩阵的倒数。
在数学上，逆矩阵是通过矩阵的逆运算规则计算得到的。
假设有一个可逆矩阵A，那么存在一个逆矩阵A-1，使得A-1A=E，其中E是单位矩阵。
逆矩阵的运算规则是：对于一个可逆矩阵A，它的逆矩阵A-1满足以下条件：
1.A-1AA=E
2.A（A-1）=E
需要注意的是，不是所有的矩阵都有逆矩阵。
对于不可逆的方阵，即没有逆矩阵的情况，它们的行列式为0或者不存在。
因此，在处理实际问题时，需要考虑所使用的矩阵是否可逆。
逆矩阵的应用非常广泛，例如在线性代数、线性方程组、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
通过逆矩阵，可以方便地进行矩阵的求逆运算，解决一系列实际问题。
ch3-8逆矩阵的定义
逆矩阵的定义在数的乘法中，如果常数a ≠0，则存在a 的逆a −1，使111a a aa--==故一元线性方程ax=b 解为: x = a −1b .对于方阵A ，是否也存在着“逆”？即是否存在一个同阶方阵B ,使?AB BA E ==一、逆矩阵的定义及求法定义对于n 阶方阵A , 如果存在一个同阶方阵B , 使(1)A B B A E ==则称A 是可逆的，并把B 称为A 的逆, 记为1.A -性质若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.A A 若设和是的可逆矩阵，B C A 则有,,E CA AC E BA AB ====可得EB B =()B CA =()AB C =.C CE ==所以的逆矩阵是唯一的,即A .1-==A C B 既然逆矩阵是唯一确定的，那么，如果能找到一个矩阵B ，满足AB=BA=E ，即找到了A 的逆矩阵B .1B A-= 在定义中, A , B 的地位是平等的, 即式(1)成立, 则B 也可逆, 且有112111diag(,,,)n A λλλ-=1212111diag(,,,)diag(,,,)n n λλλλλλ⋅例1设且求1diag (,,),n A λλ⋯=120,n λλλ≠1.A -解因为所以1212111diag(,,,)diag(,,,)n nE λλλλλλ=⋅=二、逆矩阵的计算公式定理方阵A 可逆的充要条件是|A |≠0,1*1A A A -=其中A *为矩阵A 的伴随矩阵.且当A 可逆时，因为A 可逆，即存在A −1，使1.AA E -=两边取行列式, 得111,A AAA E --===所以0.A ≠证必要性注：当|A |≠0时，A 称为非奇异矩阵(non-singular matrix)，否则称为奇异矩阵(singular matrix). 可逆矩阵就是非奇异矩阵．同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法．由伴随矩阵的性质知，**AA A A =.A E =因为0,A ≠故有11A A A A E A A**==所以，按逆矩阵的定义，即有11.A A A -*=充分性例2设, 试问：a ,b ,c ,d 满足什么条件时,a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭方阵A 可逆？当其可逆时，求其逆.时，A 可逆. 111.A A A ad bc b c d a -*⎛⎫== ⎝-⎪-⎭-0a b A ad bc c d ==-≠解当这时两换一除法3732524103A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪--⎝⎭例3求方阵的逆矩阵．373||252141030,A -=-=-≠--解所以A −1存在，且11A A A -*=1121311222321323331A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭11525,103A -==-21739,103A -=-=-而3173152A -==--331,A =-130,A =232,A =320,A =223,A =-122,A =-1591230.021A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭从而谢谢大家。
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