工程制图换面法
土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
土木工程制图讲义换面法篇
b 影m1n1=MN, 且m1n1⊥c1d1。
d b
.
H X1V1
A
d1 ●
a1≡b●1≡m1
M CN
BD a1●m1b
.
●n1
c1 V1
n1
1
d1
c1●
m1n1⊥c1d1
小结
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：如 的垂果直把两线平平，面面那内垂么的直该一需平条满面直足则线什变变么换换条成成件新新？投投影影面面
的垂直面。
作图方法：
一在般平位面置内直取线一变条换成投影面垂直线c， 需经几V1 次变换？
能投否影只面进平行一线次，变经换一？ V
次换面后变换成新投
d
空间及投影分析 交叉二直线间的距离即是它们之间公 垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新 投影面垂直线时，公垂线必为该投影面的 平行线，反映实长，且与另一直线投影垂 直，据此可确定公垂线位置。
例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。
m b
a
d n
X
V H
c m
b
ac
nd
B M
A m1 b1 H1 a1
如何求出两平行直线间距离？ 4.逆变换返回，求出公垂线
的投影；
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB 为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
建筑制图--_换面法详解
投影面的垂直线
Байду номын сангаас
正平线 变换哪一个投影面？
二、一般位置直线的两次变换
将一般位置直线变为投影面的垂直线，需经过两次换面
6.4 平面的换面
一、平面的一次换面
1. 一般位置平面可以变为投影面的垂直面 作图要点：新投影 轴垂直于平面内的 正平线。
一、平面的一次换面
2. 投影面垂直面可变为投影面平行面
铅垂面 变换V面 (1) 在适当的位置画出新轴X1平行于 abc (2) 求出ΔABC各点的新投影并连线
c
d a
b
X
O
b
d
c a
直线与平面的
交点
换面法的基本概念
如能将与投影面处于一般位置的几何元素变为与投影
面处于特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。
可选取新投影面V1代替V面 让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面
体系替换原来的投影面体系
使空间几何元素对新
投影面体系处于有利
于解题的特殊位置的
实长
6.2 点的换面
一、点的一次变换 1.变换V面
在V/新H称投为影旧面投体新影系投面中影体，到系V新1，面轴V垂的1/直H距于称离H为等面新于，投旧a影1投’a面影垂体到直系旧于即轴Xa11的轴’a距x1=离a’，ax
一、点的一次变换 2.变换H面
1. 作出新轴X1 2. 过b’ 作b’b1垂直于X1轴 3. 量取b1bx1=bbx，b1
为所求
二、点的两次变换
(1) 通过一次变换求得a1 ‘
(2) 在适当的位置画出第二
次换面的新轴X2 (3) 过a1’作a1’a2垂直于X2 轴,量取a2ax2=aax1,得a2
机械制图－第三章基本体及其表面交线－换面法-工程
机械制图－第三章基本体及其表面交线－换面法-工程2.6.1 换面法的概念概念：空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法，。
例2-12：如图所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向V1 面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平面的实形。
2.6.2点的投影变换1、新投影面的选择新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。
（2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。
2、点的一次换面根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。
变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。
（1）变换V面，即V／H→V1／H如图，a、a′ 为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。
V1与H 的交线 X1为新的投影轴。
由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′ ，而水平投影仍为a（2）变换H面，即V／H→V／H1用H1代替H组成新投影面体系V／H1，由于V面不变，所以点到V面的距离不变，工程《机械制图－第三章基本体及其表面交线－换面法》(https://)。
即a1a x1 = aa x = y坐标。
3、点的二次换面点的二次变换的原理和方法与第一次变换基本相同，只是将作图过程重复一次，但要注意新、旧体系中坐标的量取，作图方法：★2.5.3 平面上的直线和点1、平面上的点：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。
在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。
如图2－42所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。
制图—03换面法
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影 面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新 的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体 向新投影面进行投射。
被替换 的投影面
被替换 的投影
V
b' B b1'
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1 /H投影体系中，AB// V1 。
a
V
b
A
V1a1
b1
B
作图：a
XV H
b b
a Hb
a .
H
X新1V1投影a●1轴 的位b●1置？
换H面行吗？ 不行！
与ab平行。
将投影面的平行线变换为投影面的垂直线？
功用:一次换面后可用于求点与直线、两直线间的距离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
X
V H
a
b2● b . a1b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HV X1
1
●c1
X2轴的位置？ 与其平行
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
例 3 已知直 线AB与 CDE平面
平行，且相 距20mm，
e' XHV d' c
b'
求直线AB的 水平投影。
ax1
.
H V1 X1
更换H面
X1H V
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
机械制图教程第13讲-换面法-工程
机械制图教程第13讲-换面法-工程课题：1、换面法的概念2、点的投影变换3、直线的投影变换4、平面的投影变换5、换面法投影变换应用举例课堂类型：讲授教学目的：1、讲解换面法的投影变换规律2、讲解换面法的四个基本作图方法教学要求：1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践教学重点：换面法的四个基本作图方法教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图）教具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线”；“将一般位置直线变换成投影面垂直线”；“将一般位置平面变换成投影面垂直面”；“将一般位置平面变换成投影面平行面”，。
教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。
教学过程：一、复习旧课结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。
二、引入新课题在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。
通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形、距离、夹角等。
换面法就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，以达到简化解题的目的。
三、教学内容（一）换面法的概念1、概念图2－49 换面法的原理空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。
2、举例如图2－49所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向V1 面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平面的实形。
（二）点的投影变换点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。
工程制图(换面法)
b
b H X1V1
O O1
a1 (b1)
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
精品课件
b1
V1
a1
X1
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
V
a2b2 b H2
a
BA
ax
2 V1
第四章 换面法 第一节 概述 第二节 投影变换
精品课件
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
精品课件
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正平面
精品课件
正垂面
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
c2 d2
精品课件
例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。
C
b
T
S
g
B
a
X
V H
a
k d
t2
a2 D H2
c g
c
b
O d O1
k k1
d1
b2
O2 c2
(k2)(d2)
距离
a2
g2
C2(s2) (d2)
H X1
V1
c1 a1
工程制图全册复习要点
点和直线§1-1投影知识1, 中心投影法1、平行投影法（正投影法斜投影法）§1-2点的投影一个形体是由多个侧面所围成，各侧面又相交于多条侧棱，各侧棱又相交于多各顶点，则只要把这些点的投影画出来，再连成线就可作出一个形体的投影。
所以，点是形体的最基本元素。
且点的投影规律是线, 面, 体的投影基础。
一, 点在三投影面体系中的投影1, 点的直角坐标及三面投影的关系”’到W面的距离’”到V面的距离’”到H面的距离2, 三投影面体系中点的投影规律（1）a’a在同一条投影连线上，垂直于X轴。
这两个投影都反映A点的X 坐标。
a’a⊥X轴（2）a’a”在同一条投影连线上，垂直于Z轴。
这两个投影都反映A点的Z 坐标。
a’a”⊥Z轴（3）点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。
这两个投影都反映A点的Y坐标。
”二, 两点的相对位置1、对于两个点在空间就有相对位置的问题了。
（1）对V面投影时，靠近V面的为后，远离V面的为前。
H, W面投影可反映出其前后关系。
（2）对H面投影时，靠近H面的为下，远离H面的为上。
V, W面投影可反映出其上下关系。
（3）对W面投影时，靠近W面的为右，远离W面的为左。
V, H面投影可反映出其左右关系。
三, 重影点当空间两点处于特别位置，即两点恰好在同一条投影线上，此时两点在同一投影面上的投影重合，这时称两点为该投影面的重影点。
四, 投影轴和投影面上点的投影小结：1, 作空间一个点的投影①利用坐标值②利用点到投影面的距离③利用两点间的相对位置。
2, 点的投影方向：自上向下, 自前向后, 自左向右3, 推断重影点的可见性：前遮后, 上遮下, 左遮右§1-2直线的投影一, 直线的投影图从几何学知道，直线是无限长的。
直线的空间位置可由线上随意两点的位置确定，即两点定一线，在次要作直线投影只要作两个点的投影即可。
二, 各类直线的投影特性1, 投影面平行线特点：平行某一投影面，倾斜其他投影面。
第三讲 换面法 课件(共20张PPT)《 土木工程制图》同步教学(哈工大版)
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
换面法的应用举例（二）
➢ 总结
① 求线段实长、平面实形 ② 求空间两平行线间距离 ③ 求交叉二直线距离 ④ 求点到直线距离 ⑤ 求点到平面距离
⑥ 求线面交点、面面交线 ⑦ 求两平行平面间距离 ⑧ 求平面对投影面倾角 ⑨ 求二面角
换面法— 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 原来的投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利解题的位置。
换面法概述
➢ 换面规则
V
X H
V1 X1
V
H1
V1
X
H
X1
一次换面
两次换面
换面法的基本原则： 1、新投影面必须垂直于一个原投影体系中不变的投影面。 2、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的特殊位置。
第三讲 换面法
汇报人姓名
汇报日期
➢ 换面法的内容
换面法概述
1 掌握换面法的基本原理和换面法作图方法和投影 变换规律。
2 掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对 投影面的倾角基本作图方法。
3 掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和 度量问题。
换面法概述
➢ 换面法的基本概念 ′
′
′
′
′
′
V/H 体系变为V1/H 体系
XVH
点的换面
a a1
ax1 ax2
a1′
点的两次换面作图——换V面和H面（交替换面）
直线的换面
➢ 把一般位置直线变为投影面平行线
b1′
α a1′
A a
V b′
作图过程：
b′
B a′
b1′
清华大学工程制图换面法
２、 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
b1
2013-2-3
X1
16
c1 b1
例5 求铅垂面 ABC的实形。 o
a1
作图要点： 新投影轴平行 于平面的积聚性投 影线。
2013-2-3 17
３、把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 d c2
实形
o
d
d
30
小结——本讲基本要求
重点：换面法的原理及作图方法。
2013-2-3
31
a1
o
b1
2013-2-3
10
2、把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1 b
a1 b1
o
b
2013-2-3 11
３、把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 V1 a1
X1
2013-2-3
12
３、把一般位置直线变为投影面垂直线
o
a2 b2
2013-2-3
13
三、平面的投影变换
１、把一般位置平面变为投影面垂直面 例3 将一般位置平面ABC变换为投影面 的垂直面，并求其正面倾角 。
被更换的投影面V
建立新投影 面的原则？
新的投影面V1 新投影面的选择原则： 1、新投影面必须与空间几 何元素处于有利于解 题的位置； 2、新投影面必须垂直于原 有的一个投影面。
5
不变的投影面H V/H 体系变为V1/H 体系
2013-2-3
一、点的投影变换
1.点的一次变换
V1 a1
点的投影变换规律：
例10 已知点M到平面 ABC的距离为30，求m’。
b’
土木工程制图-换面法篇教学提纲
a1
ax2 .
a'1
H1 V1 X2
四、换面法的四个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
作图：
b
a V
b
V1
A
a'1
b'1 B
a
a
XV H
b
a.
H
X1 V1
●
●
a'1
b'1
Hb
X1
新投影轴的位置？
⒉ 更换两次投影面
新投影体系的建立
先把V→V1，
V1H，得到中间新投影体系:
X1 V—1 H
再把H→H1， H1 V1，得到新投影体系: X2 —VH11
V a
ax
X
X2
a1
H1
ax2
V1
O
A
a'1
a ax1
H
X1
按次序更换
作图方法
a
X
V H
ax
a ax1 .
H X1 V1
作图规律
a1a'1 X2 轴 a1ax2 = aax1
b
c
d.
b
H X1
V1
b'● 1
α a'1●d'1c● '1
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次变换能否实现？
一次换面,
把一般位置平面变换成投影面垂直面； 为什么？
二次换面，把投影面垂直面变换成投影面平行面。
作图方法：
工程制图(换面法)
V1
X
V H
a2
a
a1
a
A
a2
X1 a
精选ppt
a1
15
精选ppt
16
四、基本作图
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
V a
X
O
H
b O1
a
H
b1
X1 V1 a1
实长
精选ppt
17
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V b a
V1
O a1 (b1) O1
第四章 换面法 第一节 概述 第二节 投影变换
精选ppt
1
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
精选ppt
2
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正平面
精选ppt
正垂面
3
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
23
4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面
空间分析： 如果两把平平面面垂内直的需一满足条什直么线条变件换？成新投影面
的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面
。 作图方法：
在平面内取 一条投影一面般平位行置线直，线 V 变经换一成次投换影面面后垂变直换线成， 需新则能经投该否几影平只次面面进变的变行换垂成一？直新次线投变，影换？ a
《工程制图》换面法
d e
N
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
b1
X1
作图过程
c1 b1 a1
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2
e2 c2
e1 e
d
e
d
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 d c2 实形
（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2） 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的 距离。
点在V/H1体系中的投影 a1
a1
3． 点的两次变换
a2 a2
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 例题2 例题3
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
三、点的投影变换规律
1．点的一次变换
2．点的投影变换规律
3．点的两次变换
1．点的一次变换
V1
a1
X1
V1
a1
a1
2． 点的投影变换规律
dLeabharlann （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 例题4 例题5
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面 例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
[例题1]
制图—03换面法
由在几投何影定图理中知, ：两两平面角的为交两线平垂面直同于时投与影第面三时平，面则垂两直平相面交
时垂所直得于两该交投线影之面间，的它夹们角的。投影积聚成直线，直线间的夹角为
所求。
d
b
a
a1 ●
d● 1
X
V H
c a
c●1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
ax1
.
H V1 X1
更换H面
X1H V
1
a1
. ax1
a ● a1
XV ax H
a
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂
线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投
影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V a
ax
X
H
a2
2
ax2
V1
A
a
a1
ax1
按次序更换
H
X1
先把V面换成平面V 1， V1H，得到中间新投影体系:
这时它的投影m1n1 =MN,
且m1n1⊥c1d1。
A M
CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。
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X
a2 H2
X2 ax2
V1
A
a1
a
ax1
H
X1
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系:
按次序更换
X1
—V1 H
X2
—V1 H2
点的两次变换
a
V1 V
X H
a2 a
a1
a
a2 A
a1 X1 a
四、基本作图
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
三、点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
一在般平位面置内直取线一变条换投成影投面影平面垂 V 直行线线，，需经经一几次次换变面换后？变换成新投影
面的垂直线，则该平面变成新投影
面的垂直能面否。只进行一次变换？
a
d b A
思考： 若变换H面，需在面内取什么位置直
X
线？
a
正平线！
c
D B
d b H
V1 C c’1
a’1d’1
c
b’1
X1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
d
a
c
V
X
H
d
b
a
O O1
c
H
X1
a1
d1(c1)
b1
V1
X2 H2
c2
O2
b2
a2
实形
例题1：
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
H2 k2
A T
B a2(b2) (t2)
k
t
b
a
V X
H
O1 k
a1
k1
t1
b1
V1
X2 H2
k2
距离
O a
t
b
H V1 X1 O2
a2(b2) (t2)
例题2：
a c
V X
b d
a
V X
H
d
b
a
c
a
b b
a1
提示
a2 b2 b1
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。
作图：
c● a
n ●
m ●
d ●
b
M
N
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影面时，MN平行
于投影面，这时它的投影m’1n’1=MN,且 m’1n’1⊥c’1d’1。
a
a1 V
X H
H
a
求新投影的作图方法
更换V面
V X
H
a
ax
a
ax1 .
H P1 X1
更换H面
● a’1 XV H
X1 P1 H
a1
. ax1
a
ax a
作图规律：
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替 的投影到原投影轴的距离。
⒉点的两次变换
新投影体系的建立
例题11： 求点S到平面ABC的距离
a s' s
a
b d c
b d c
k1 s1
例12：已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
b
k
d
a c
e
b
a
k
d
c
n n
例13： 求点到平面ABC的距离
b X
b
a c
k c
k
a
d O
c 1
k 1 d
b 1 d 1
X1
a 1
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
V X
H a
c
m ● ● n
请注意各点的投影如何返回 ？
求m点是难点。
d
b .
d’1 ●
a’1≡b’1≡m’1
●
. ●n’1
H V1 X1
c●’1
A
M CN
D B a1m1b1
c1 P1
n1
d1
圆半径=MN
例7：已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。 a1
b1 c1
e1 d1
b b1'
e1´
c1'
例10：已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
a
V X
H
a
15 b2
b
e1
e
d
c
a2 e2
d2
c2
b ed
c
题10： 已知两直线AB//CD且相间距离为10 d b
c
b
a
a X
c
V X
H d
b
c
b
a
a a1 c1
a2 (b2)
b1 d1
R=10 c2((d2)
60°
回？
●b
.
●
. a’●1b’1
● c2
c
如何解？
思考：
H X1
V1
●
H2
c1 V1 X1
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。
例题9： 已知等腰 三角形ABC的底
边为AB，试用换面法求出等腰 三角形ABC的正面投影。
c'
b'
V X
H c
a
a' e
a1'
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b a X
b1 V1
O O1
B
a1
b
A
X1
aH
a V X
H
b
O
b O1
a
H
b1
X1 V1 a1
实长
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V b a
V1
a1 (b1) O
O1
a
V X
H a
a X
b X1
H
b
b
H X1 V1
O O1
a1 (b1)
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
b1 V1 a1
X1
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
b H2 a
a2b2
BA
X2 ax2
V1 b’1
a’1
b
a
H
X1
作图：
b
a V X H
a H1 X1 V1 a’●1
求具有公共边BC的△ABC 和△BCD的夹角。
C
B
D
A
c2 (b2)
H2
a2
d2
d a
b
XV H a
b
O1 c2 (b2) O2
d b2
c
O c
H X1 V1
c2
a2
d2
d2
a2
H2
V1 X2
例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
T
V X
H
g
B
a c
g a
c
H
X1
V1
k
d
O b
d O1
k
d1
k1
三、基本原理 1. 点的一次变换：
V
V1
H
H
a
V X
a ax
AO
a1V 1
H
a
O1
X1 ax1
V
X H
ax
O
a
O1
ax1
变换规律： 1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。
H X1 V1
a1
V a
X A a
点在V/H1体系中的投影 a1
c' a'
e'
b'
V X
d' c
H
a
e
d
b
例8: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60°），因此需将AB 与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
作图：
c ●
几个解？
a V X H
a
两个解！
d
b
●a2
D点的投影如何返
d
d2 b2● ●
A a
V c C
b a
X
实形 a1
V c1
b1
B
b H
V a
b X
b H
X1
c O
a (c) O1
c
b
a
V1
把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
b
a XV
H b
a H X1 V1 a1
c
O c
O1
A a
V c C
b a
a1
V c1
b1
B
X c1
b H
实形 b1
6.把一般位置平面变换成投影面的平行面 b