[补充]惯量张量 理论力学
惯性张量
基础张量
给定曲线坐标 x a (a = 1,2,...n) 有：
x = x(x , x , …x )
∂x dx = dx a ∂xa
1
2
n
∂x xa = a ∂x
直接取为坐标基矢，现设有连续可微的单 值函数
x a ' = x a ' x1 , x 2 ,...x n
(
)
(a = 1,2,....n )
∂x x a = a xa ' ∂x
a'
这两式非常重要，为张量的核心 通过以上的铺垫现在可以给出张量的定 量定义
基础张量
x a 中，在空间任一点M 定义 在曲线坐标
给出一组数：
T
β1 ... β m α1 ...α n
αn β1 ' βm '
如果当曲线坐标变换时，它变为
T
β1 '...β m ' α1 '...α n '
[A × (B × C )]
ijk
i
= ε ijk Aj (B × C )k
m n ijk m n
= ε Ajε mnk B C = ε ε mnk Aj B C
i j = δ mδ nj − δ niδ m Aj B mC n
= AnC B − Am B C = [( A ⋅ C )B] − [( A ⋅ B )C ]
r =r
= x +y +z
2 2
2
当
i = k 代入可得
I11 = ∫∫∫ ρ x 2 + y 2 + z 2 − x 2 dV = ∫∫∫ ρ x 2 + y 2 dV
31第7章第三十一讲 惯量张量分析与应用
第七章转动惯量与惯量张量1. 转动惯量的概念与基本公式2. 惯量张量3. 惯量主轴4. 定轴转动刚体轴承的附加动反力3. 惯量主轴3.1定义3.2确定惯量主轴的几何法3.3确定惯量主轴的代数法3. 惯量主轴3.1定义3.2确定惯量主轴的几何法3.3确定惯量主轴的代数法3.1 定义（1）惯量主轴惯性积可正可负，还可以为零。
如果同时有I=I yz=0，则把与xz两个惯性积同时相关的Oz轴称为刚体上对于O的惯量主轴。
（2）主转动惯量（主惯量）刚体对惯量主轴的转动惯量。
3.1 定义（3）中心惯量主轴通过质心的惯量主轴（4）中心主惯量对中心惯量主轴的转动惯量3.2 确定惯量主轴的几何法（1）有对称轴定理1:均质刚体有对称轴，则此轴必为刚体的中心惯量主轴。
证明设对称轴为z轴，z必须通过质心C。
过C作Cxyz，则刚体内任一点质量为mi 坐标(xiy i z i)必有一对应点，对应点坐标为(－x i－y iz i)，由惯性积的定义知道I xz=I yz=0故z轴为惯性主轴。
3.2 确定惯量主轴的几何法定理2:中心惯量主轴必为该轴上任一点的惯量主轴。
3.2 确定惯量主轴的几何法（2）有对称面定理3:均质刚体如有对称面，则垂直于对称面的轴，必为刚体对其交点的惯量主轴。
I xz =I yz =0故z 轴为惯性主轴。
证明设z 轴为垂直于对称面之轴交对称面于O 点，Oxy 面与对称面重合，则任一质量为m i 点坐标(x i y i z i )必有一点(x i y i -z i )。
根据惯性积的定义3.2 确定惯量主轴的几何法（3）回转体定理4：均质回转体，其对称轴为z轴，则由z轴组成的任一直角坐标系Oxyz的各轴均为刚体对点O的惯量主轴。
证明取点O为z轴上任一点，作Oxyz。
则z轴为对点O的惯量主轴，又因过z轴的所有平面均为刚体的对称面，故由定理3可知，轴x、y也必为刚体对点的惯性主轴【例】已知均质薄板M 、a 求：惯量主轴及相应主惯量解：因板面是对称面,故z 轴为惯量主轴,又因x 轴为对称轴,则x 轴为惯量主轴,故y 轴也为惯量主轴。
工业设计概论 惯量张量
工业设计概论1. 惯量张量1.1 什么是惯量张量惯量张量是描述物体惯性特性的物理量，也被称为转动惯量或质量分布特征。
它可以用来描述物体在旋转运动中的稳定性和惯性。
惯量张量能够反映物体在不同方向上转动的惯性大小，它的大小和方向对于物体在空间中的旋转运动具有重要影响。
1.2 惯量张量的计算方法惯量张量通常通过物体的质量和几何结构来计算。
对于均匀物体，可以使用基础几何形状的惯量公式进行计算，然后通过平移和旋转的变换来得到物体特定方向上的惯量张量。
对于复杂的物体，可以使用积分的方法进行计算，将物体分解成许多微小的质量元，然后对每一个质量元进行惯量计算，并将所有质量元的贡献相加得到最终的惯量张量。
1.3 惯量张量的应用惯量张量在工业设计中有着广泛的应用。
在机械设计中，惯量张量可以用来评估机械结构的稳定性和动力学特性。
通过对机械系统不同方向上的惯量张量进行分析，可以确定其旋转的灵活性和稳定性，从而优化设计方案。
在汽车设计中，惯量张量可以用来评估汽车的操控性能和稳定性。
合理地分配汽车各个部位的质量，可以使汽车的惯量张量尽可能接近均匀分布，从而提高操控的稳定性。
2. 惯量张量的重要性2.1 惯量张量与物体运动稳定性的关系惯量张量可以用来评估物体在旋转运动中的稳定性。
一个物体的稳定性取决于其惯量张量的大小和方向。
当一个物体的惯量张量在不同方向上的分量相等时，它会更加稳定，旋转起来更加平稳。
相反，当一个物体的惯量张量在某些方向上明显大于其他方向时，它会出现不稳定的旋转，甚至会发生翻滚或倾斜现象。
2.2 惯量张量与设计优化的关系在工业设计中，合理地设计和分配物体的质量可以优化其惯量张量，从而改善物体的稳定性和性能。
通过调整物体的几何结构和质量分布，可以使惯量张量尽可能接近均匀分布，从而减小不稳定旋转的发生。
在机械设计中，通过优化物体的结构和材料选择可以改变惯量张量的大小和方向，从而提高机械系统的动力学性能和稳定性。
2.3 惯量张量在工业设计中的实际应用在工业设计中，惯量张量可以应用于各种领域。
高等数学1 惯量张量
高等数学1 惯量张量惯量张量（moment of inertia tensor）也被称为惯性张量或转动惯量张量，是描述刚体对转动的惯性特性的重要工具。
在高等数学中，学习惯量张量是研究刚体平衡和旋转动力学的基础。
本文将讨论惯量张量的定义、性质和应用。
1.定义：惯量张量是一个二阶张量，它既包含了刚体对于轴线转动的惯性分布信息，也体现了角动量和角速度之间的关系。
假设一个刚体绕坐标原点的轴线转动，那么惯量张量是由转动惯量乘以坐标轴的归一化因子构成的对称矩阵。
2.惯量张量的性质：（1）对称性：惯量张量是对称矩阵，这意味着任意两个轴之间的转动惯量是相等的。
对称性也意味着惯量张量的特征向量是垂直的，与对应的特征值相对应。
（2）变换性质：惯量张量在不同坐标系之间具有变换性质。
如果我们从某个坐标系切换到另一个坐标系，惯量张量的分量会按照坐标变换的规则进行变换。
（3）刚体的主轴：刚体的主轴是指与惯量张量的特征向量对应的轴线。
在主轴上，刚体的转动惯量最大；而在垂直于主轴的方向上，转动惯量最小。
刚体的主轴对于刻画刚体的稳定性和转动特性非常重要。
3.应用：（1）平衡和稳定性：惯量张量在平衡和稳定性问题中具有重要作用。
通过计算刚体的主轴和对应的转动惯量，我们可以判断刚体在不同轴线上的稳定性和平衡性。
（2）刚体的旋转运动：惯量张量也用于计算刚体的角动量和角速度之间的关系。
角动量是刚体在某一轴线上的转动惯量乘以角速度。
通过计算刚体的惯量张量，我们可以确定刚体的旋转周期、能量以及角速度的大小和方向。
（3）弹性力学：在弹性力学中，惯量张量的概念也被广泛应用。
它可以描述材料在应力作用下的抗扭性能，通过计算惯量张量的特征值和特征向量，可以得到材料的旋转刚度和扭转参数。
综上所述，惯量张量在高等数学中是研究刚体平衡和旋转动力学的重要工具。
它通过对刚体的转动惯量进行描述，帮助我们理解刚体的平衡性、稳定性以及角动量和角速度之间的关系。
同时，惯量张量也在弹性力学中发挥着重要的作用。
转动惯量详细资料大全
转动惯量详细资料大全转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI 单位为kg·m2。
对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
基本介绍•中文名：转动惯量•外文名：Moment of Inertia•表达式：I=mr2•套用学科：物理学•适用领域范围：刚体动力学•适用领域范围：土木工程基本含义,质量转动惯量,面积转动惯量,相关定理,平行轴定理,垂直轴定理,动力学公式,张量定义,实验测定,实验原理,实验内容,计算公式,对于细杆,对于圆柱体,对于细圆环,对于薄圆盘,对于空心圆柱,对于球壳,对于实心球体,对于立方体,对于长方体,基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的 ... 来进行测定，因而实验 ... 就显得十分重要。
转动惯量套用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
02-课件：5-2 转动惯量及惯性张量
ZZ
惯性矩、惯性积
□绕轴X、y和Z的质量惯性矩分别为
心=( y2 + z z)pdx = (y2 + z 2)dm
Iyy = J" (Z 2 + X 2 )Pd =肚(Z 2 + "枷
I
J=
3
+
y2
)pdv
=
JJJ m
(x2
+
y2
枫Q混m合矩(称为惯性积):
I xy
=
JJJvxy
Pdv
=
JJJm xydm
W\ Lz =
vyzPdv =
JJJm yzdmI zx=Fra bibliotekJJJ
zxpdv
=
JJJ zxdm
惯性张量和惯性矩阵 惯性张量与坐标系的原点和方位的选择有关。坐标轴平移或旋转
£ 后，惯性张量和惯性矩阵的各个元素会发生变化。设坐标系 C
I
£ 的原点设在刚体的质心，坐标系 刀的各轴与£ C —<•・
平行，根据平行轴理论，刚体相对于两坐标系的惯性矩和惯性
转动惯量及惯性张量
转动惯量的概念 物体质量为m ,半径为 r , F为切向力，N为扭矩
F = md dt
牛顿第二定律
（不考虑重力影响）。
B
门 、 。 dv d /
d
。 —— 虫 N
F
=
=
Fr
m——）=m=
mr
——
dt
r dt dt
N = Fr = mr2 =
迎 dt dt
转动惯量的概念
I = mr N 二=dIt
惯性张量
相对于给定的坐标系& ,可以用以上6个量组成一个矩阵勺 来表 示物体的质量分布特征，称为惯性张量。它可以被看成是对 — 个物体惯量的广义度量，和选取的坐标系有关。如果我们选取 坐标系的方位,使得各惯性积为零，则相对于这一坐标系,惯性 张 量是对角型。而此坐标系的各轴叫惯性主轴，相应的惯性矩叫 主惯性矩。
机械原理 惯量张量
机械原理惯量张量机械原理机械原理是研究机械运动和力学性质的一门学科，主要包括静力学、动力学、弹性力学、流体力学等方面。
它是研究物体在运动和静止状态下所受到的各种外力作用及其相互作用关系的科学。
惯量张量惯量张量是描述物体惯性特性的一个重要参数。
在三维空间中，一个刚体的惯量可以由一个3x3的矩阵来表示，这个矩阵就是惯量张量。
一、刚体的惯性刚体在不受外界作用时，保持静止或匀速直线运动。
当刚体发生转动时，需要施加一定大小和方向的扭矩才能改变其转动状态。
这种现象表明刚体具有惯性。
二、质心与角动量刚体在运动过程中，其质心总是沿着一条直线运动。
当刚体绕着某个轴旋转时，我们可以通过计算角动量来描述其旋转状态。
角动量L等于物体质点p在与轴垂直方向上距离r处的线性速度v与质点p到旋转轴的距离r的乘积。
三、惯量张量的定义惯量张量是描述刚体惯性特性的一个重要参数。
在三维空间中，一个刚体的惯量可以由一个3x3的矩阵来表示，这个矩阵就是惯量张量。
对于一个刚体而言，其惯量张量I可以表示为：I = [Ixx Ixy Ixz][Iyx Iyy Iyz][Izx Izy Izz]其中，Ixx、Iyy和Izz分别表示围绕x、y和z轴旋转时的转动惯量；Ixy、Ixz和Iyz则表示不同轴之间的耦合效应。
四、计算方法1.对于一个简单几何形状的物体，如球体或长方体等，可以通过公式直接计算出其惯量张量。
2.对于复杂形状的物体，则需要使用积分来计算其惯量张量。
具体来说，我们可以将物体分成无数个小块，并计算每个小块对于各个轴上转动惯量的贡献。
五、应用1.机器人运动控制在机器人运动控制中，需要精确地了解机器人各部分质心位置和转动惯量。
这样才能够设计出合适的控制算法，使机器人能够快速、准确地完成各种任务。
2.飞行器设计在飞行器设计中，需要精确地了解飞行器各部分质心位置和转动惯量。
这样才能够设计出合适的控制算法，使飞行器能够稳定、安全地飞行。
3.物理学研究惯量张量是描述刚体惯性特性的一个重要参数，在物理学研究中有着广泛的应用。
惯性张量
转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以I表示，SI单位为kg * m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。
对于一个质点，I = mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
对于一个有多个质点的系统，。
若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯量为I A。
在空间取点B，使得AB垂直于原本的轴。
那么如果以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d，则I B = I A + md2。
力距在直线运动，F = ma。
在旋转运动，则有τ= Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。
动能一般物件的动能是。
将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：得出，简化得。
如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。
惯性张量对于三维空间中任意一参考点Q 与以此参考点为原点的直角座标系Qxyz ，一个刚体的惯性张量是。
(1)这里，对角元素、、分别为对于x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。
设定为微小质量对于点Q 的相对位置。
则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为，，(2)。
而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为，，(3)。
导引图A如图 A ，一个刚体对于质心G 与以点G 为原点的直角座标系Gxyz 的角动量定义为。
这里，代表微小质量在Gxyz 座标系的位置，代表微小质量的速度。
因为速度是角速度叉积位置，所以，。
计算x-轴分量，相似地计算y-轴与z-轴分量，角动量为，，。
如果，我们用方程式(1) 设定对于质心G 的惯性张量，让角速度为，那么，。
(4)平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。
假若已知刚体对于质心G 的惯性张量，而质心G 的位置是，则刚体对于原点O 的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为，，(5)，，，(6)。
惯性张量
转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以I表示，SI单位为kg * m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。
对于一个质点，I = mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
对于一个有多个质点的系统，。
若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯量为I A。
在空间取点B，使得AB垂直于原本的轴。
那么如果以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d，则I B= I A+ md2。
力距在直线运动，F = ma。
在旋转运动，则有τ = Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。
动能一般物件的动能是。
将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：得出，简化得。
如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。
惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角座标系Qxyz ，一个刚体的惯性张量是。
(1)这里，对角元素、、分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。
设定为微小质量对于点 Q 的相对位置。
则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为，，(2)。
而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为，，(3)。
导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz 的角动量定义为。
这里，代表微小质量在 Gxyz 座标系的位置，代表微小质量的速度。
因为速度是角速度叉积位置，所以，。
计算 x-轴分量，相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为，，。
如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量，让角速度为，那么，。
(4)平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。
假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量，而质心 G 的位置是，则刚体对于原点 O 的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为，，(5)，，，(6)。
高等数学1 惯量张量
高等数学1 惯量张量
【原创实用版】
目录
1.惯量张量的概念
2.惯量张量的性质
3.惯量张量的应用
正文
一、惯量张量的概念
惯量张量是高等数学中的一个重要概念，主要用于描述刚体在空间中的运动状态。
惯量张量包括三个分量，分别是质量矩张量、动量张量和惯性张量。
质量矩张量描述了物体的质量分布情况，动量张量反映了物体的动量状态，而惯性张量则表示物体的惯性大小和方向。
二、惯量张量的性质
惯量张量具有以下几个重要性质：
1.齐次性：惯量张量的分量之间满足齐次性关系，即其中一个分量可以通过其他分量线性表示。
2.反对称性：惯量张量的分量之间满足反对称性关系，即对于任意一个分量，它的转置等于其他分量的负数。
3.张量积：惯量张量之间可以进行张量积运算，得到一个新的惯量张量。
张量积运算可以用于计算两个惯量张量之间的相互作用。
三、惯量张量的应用
惯量张量在物理学、力学和工程学等领域具有广泛的应用。
以下是惯量张量的一些应用实例：
1.计算刚体的质心：通过计算质量矩张量的主惯性轴，可以得到刚体
的质心位置。
2.计算力矩：利用动量张量可以计算力矩，进而分析物体受到的力矩是否导致转动。
3.碰撞检测：在计算机图形学中，惯量张量用于计算两个物体之间的碰撞。
通过比较两个物体的惯量张量之间的距离，可以判断它们是否发生碰撞。
4.机器人动力学：在机器人动力学中，惯量张量用于描述机器人的动态性能，包括质心、转动惯量等。
惯性张量-转动惯量[学习资料]
![惯性张量-转动惯量[学习资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/1d60027602020740be1e9bbc.png)
转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以I表示，SI单位为kg * m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。
对于一个质点，I = mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
对于一个有多个质点的系统，。
若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯量为I A。
在空间取点B，使得AB垂直于原本的轴。
那么如果以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d，则I B= I A+ md2。
力距在直线运动，F = ma。
在旋转运动，则有τ = Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。
动能一般物件的动能是。
将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：得出，简化得。
如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。
惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角座标系Qxyz ，一个刚体的惯性张量是。
(1)这里，对角元素、、分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。
设定为微小质量对于点 Q 的相对位置。
则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为，，(2)。
而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为，，(3)。
导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz的角动量定义为。
这里，代表微小质量在 Gxyz 座标系的位置，代表微小质量的速度。
因为速度是角速度叉积位置，所以，。
计算 x-轴分量，相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为，，。
如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量，让角速度为，那么，。
(4)平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。
假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量，而质心 G 的位置是，则刚体对于原点 O 的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为，，(5)，，，(6)。
惯性张量
转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆),通常以I表示,SＩ单位为kg＊ｍ２,可说就是一个物体对于旋转运动得惯性。
对于一个质点,Ｉ = mｒ2,其中ｍ就是其质量,r就是质点与转轴得垂直距离。
对于一个有多个质点得系统,。
若该系统由刚体组成,可以用无限个质点得转动惯量与，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为ｍ得物件，以某条经过A点得直线为轴，其转动惯量为I A。
在空间取点B，使得AB垂直于原本得轴。
那么如果以经过B、平行于原本得轴得直线为轴,AＢ得距离为d,则I B = ＩA + ｍｄ2。
力距在直线运动，Ｆ = ma。
在旋转运动，则有τ= Iα,其中τ就是力矩,α就是角加速度。
动能一般物件得动能就是。
将速度v与质量ｍ,用转动力学得定义取代:得出,简化得。
如果一个人坐在一张可转动得椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前,转动得速度将突然增加,因为转动惯量减少了。
惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点得直角座标系Ｑxyz ，一个刚体得惯性张量就是。
(1)这里,对角元素、、分别为对于x－轴、y－轴、z-轴得惯性矩。
设定为微小质量对于点 Q 得相对位置。
则这些惯性矩,可以精简地用方程式定义为,，(2）。
而非对角元素,称为惯性积, 可以定义为,,(3)。
导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心Ｇ与以点G 为原点得直角座标系Gxｙz 得角动量定义为。
这里, 代表微小质量在 Gxyz 座标系得位置, 代表微小质量得速度。
因为速度就是角速度叉积位置,所以，。
计算ｘ-轴分量,相似地计算ｙ-轴与 z-轴分量，角动量为,，。
如果,我们用方程式(１) 设定对于质心Ｇ得惯性张量 ,让角速度为 ,那么,。
(4）平行轴定理平行轴定理能够很简易得，从对于一个以质心为原点得座标系统得惯性张量，转换至另外一个平行得座标系统。
假若已知刚体对于质心Ｇ得惯性张量，而质心G 得位置就是 ,则刚体对于原点Ｏ得惯性张量,依照平行轴定理,可以表述为，,(5）,,,(６）。
多刚体组合体的惯量张量
多刚体组合体的惯量张量吕毅宁1目录多刚体组合体的惯量张量 (1)理论方法 (1)多刚体组合体惯量张量的MATLAB 计算程序 (3)1. 理论方法对于多个刚体刚性连接形成的单个刚体，即多刚体刚性组合体，可视为特殊的多刚体系统，采用多刚体力学中的相关概念和方法求解其惯性参数。
以刚体上某一点O 为坐标原点建立连体坐标系。
设多刚体系统中的某质点v P 的质量为v m ，其相对于O 点的矢径为v ρ。
则系统相对于O 点的惯量张量可通过下面的公式计算得到：∑-=vv v v v m )(2ρρE ρJ如果某连体基以刚体质心为坐标原点，另一连体基的三个坐标轴方向与之都相同而只是坐标原点的位置不同，则刚体在两个坐标系下的惯量张量满足平行移轴关系：)(2C C C C m ρρE ρJ J -+=下面以包含两个刚体的多刚体刚性组合体为例，给出求解其惯性参数的方法。
对于包含多个刚体的多刚体刚性组合体，可以通过分步骤地多次实施下面的求解方法求解其惯性参数。
首先，通过测量得到两个刚体部分的质量i m 和质心位置iC O )2,1(,=i ，就可以计算出整个刚体的质量m 和质心位置C O 。
21m m m +=mm m C C C )(2211O O O +=1 吕毅宁：*********************.cn然后，分别测量得到刚体的两个部分相对于以其自身的质心为原点的某连体基的惯量张量)2,1(,=i iC J 。
就可以计算出刚体系统相对于以质心为原点的连体基的惯量张量J 。
21J J J +=)2,1(),(2=-+=i m iC iC iC i iC i ρρE ρJ JiC C iC O O ρ-=)2,1(,=i2.多刚体组合体惯量张量的MATLAB计算程序function [mt,xc,J]=sumofJ1(m1,x1,J1c,m2,x2,J2c)%Solving combinatory rigid-body inertial parameters of two digid body %units;%input data units convention: m Kg; x mm; J Kg.m^2;%temporary input data;m1=231.1;x1=[ -367.127909 12.326682 105.797098];J1c=[17.70964250037791 18.48821290734195 18.11118260182349;18.48821290734195 16.41579683606009 6.83322956132983;18.11118260182349 6.83322956132983 15.55719337462858];m2=91.2;x2=[562.339965 -23.307787 -18.991260];J2c=[1.008047 0.759788 -0.643099; 0.759788 6.641947 -0.059607;-0.643099 -0.059607 7.016648];%J1c=J1c.*(1.0e6);J2c=J2c.*(1.0e6);m=m1+m2;xc=(x1.*m1+x2.*m2)./m;J1=Jic2Ji(J1c,m1,x1,xc);J2=Jic2Ji(J2c,m2,x2,xc);J=(J1+J2)./(1.0e6);if(nargout==0)clc;fprintf('\nm= %f, \nxc= %f %f %f',m,xc);fprintf('\nJ=\n');fprintf(' %f %f %f\n',J);return;endif(nargout==1)mt=J;endfunction Ji=Jic2Ji(Jic,mi,xi,xc)E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];Ji=(xi-xc)'*(xi-xc);Ji=Jic+mi.*(sum((xi-xc).*(xi-xc)).*E-Ji);function Jic=Ji2Jic(Ji,mi,xi,xc)E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];Jic=(xi-xc)'*(xi-xc);Jic=Ji-mi.*(sum((xi-xc).*(xi-xc)).*E-Jic);。
概率论与数理统计 惯量张量
概率论与数理统计惯量张量一、什么是惯量张量惯量张量是描述物体旋转惯量特性的数学工具。
在物理学和工程学中，惯量是指物体对于受力产生旋转运动的难易程度。
对于一个物体的任意方向的旋转运动，其转动惯量都会不同，而描绘这些旋转运动的物理特性的就是惯量张量。
二、惯量张量的定义在空间中，一个刚体通过一个坐标系原点来进行旋转运动。
对于一个物体的旋转运动，其角动量矩阵由一个3x3的对称矩阵来描述，即惯量张量。
三、惯量张量的性质惯量张量具有以下性质： 1. 对称性：惯量张量是一个对称矩阵，即I_ij = I_ji。
2. 实数性：惯量张量的元素都是实数。
3. 正定性：惯量张量是正定矩阵。
四、计算惯量张量的方法计算惯量张量的方法主要有以下两种： 1. 刚体的密度函数法：根据刚体的密度分布，通过积分计算得出。
2. 分块计算法：根据刚体的几何形状，将刚体分为若干个分块，然后计算每个分块的惯量张量，再根据平行轴定理得到刚体的惯量张量。
五、惯量张量的应用惯量张量在物理学和工程学中有广泛的应用，包括但不限于： 1. 刚体力学：用于描述刚体的旋转运动。
2. 动力学：与角速度、角加速度等相关联，用于描述物体的角动量和角动力学。
3. 机械工程：用于设计和控制旋转机械系统。
4. 光学：用于描述光学器件的方向性和强度。
六、惯量张量的计算示例以一个长方体为例，计算其惯量张量。
已知长方体的质量为m，长为a，宽为b，高为c，惯量张量可以表示为：I_xx = (1/12) * m * (b^2 + c^2)I_yy = (1/12) * m * (a^2 + c^2)I_zz = (1/12) * m * (a^2 + b^2)其中，I_xx、I_yy、I_zz分别表示围绕x轴、y轴和z轴的惯量。
七、总结惯量张量是描述物体旋转惯量特性的数学工具，在物理学和工程学中有广泛的应用。
通过计算惯量张量，可以了解和预测物体的旋转运动特性。
惯量张量的计算方法主要有密度函数法和分块计算法。
机械原理 惯量张量
机械原理与惯量张量的基本原理惯量张量的概念惯量张量（inertia tensor）是描述物体对转动的惯性特性的数学工具，用于描述物体在空间内固有的转动惯性。
它是一个二阶张量，表示了转动对于不同轴线的分布情况。
在三维空间中，惯量张量通过一个3x3的矩阵来表示。
对于一个质量分布均匀、形状简单的物体，惯量张量的计算可以通过对物体的质量和几何形状的积分来得到。
对于一个已知形状的物体，可以通过相应的公式计算出惯量张量的值。
惯量张量的意义惯量张量刻画了物体围绕不同轴线旋转的难易程度。
具体而言，惯量张量的特征值和特征向量可以提供一些非常重要的信息：1.特征值：惯量张量的特征值代表了物体围绕不同轴线旋转的惯性大小。
较大的特征值对应着围绕该轴线旋转的抗性较大，意味着物体围绕该轴线的转动相对困难；而较小的特征值对应着围绕该轴线旋转的抗性较小，意味着物体围绕该轴线的转动相对容易。
2.特征向量：惯量张量的特征向量代表了物体围绕不同轴线转动的方向。
特征向量是归一化的，可以表示为一个单位向量。
特征向量的方向指示了围绕该轴线转动的方向，而特征值大小与该方向上的转动惯性有关。
惯量张量的特征值和特征向量对于运动物体的稳定性分析、控制设计等具有重要的意义。
惯量张量的计算对于一个给定形状的物体，可以通过相应的公式计算出惯量张量的值。
以下是几个常见形状的物体的惯量张量计算公式：1.点质量（Point Mass）：对于一个在空间中的点质量，其惯量张量为一个对角矩阵，其对角线元素为质量与距离主轴的平方的乘积。
2.杆（Rod）：质量分布均匀、长度为L、质量为m的杆，其惯量张量可以通过公式计算得到：I xx=112mL2, I yy=I zz=112m(L2+W2)3.连续物体（Continuous Object）：对于一个质量分布连续且形状复杂的物体，可以通过对物体的质量和几何形状的积分来计算其惯量张量。
具体计算方法需要利用到微分学和积分学的知识，涉及到三重积分的计算。
§11-2刚体定点运动的角动量和动能惯量张量
§11-2 刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量刚体定点运动的动力学问题. 应用质点系的三个普遍定理, 必须先解决刚体动量、 角动量、 动能的计算问题. 即使用分析力学方法处理, 也有赖于这一问题的解决(动能).刚体的动量c v m P =.一、刚体做定点运动时对定点的角动量的计算 定点O , 角速度为ω . 刚体中第i 个质点的质量为i m 速度为i v 位矢为i r . 则刚体对O 点的角动量为 i i i v m r L ×=∑)(i i i r r m ××=∑ω)]([2ωω ⋅−=∑i i i i r r r m其中符号∑表示对刚体中所有质点取和.为了进行投影计算, 建立任意坐标系Oxyzk j i z y x ωωωω++=k z j y i x r i i i i ++=i z x m y x m z y m L i i i z i i i y i i i x ])([22∑∑∑−−+=ωωωj z y m z x m x y m i i i z i i i y i i i x ])([22∑∑∑−++−+ωωωk y x m y z m x z m i i i z i i i y i i i x ])([22∑∑∑++−−+ωωω现引入符号∑+=)(22i i i xx z y m I ∑==i i i yx xy y x m I I ∑+=)(22i i i yy z x m I i i i zy yz z y m I I ∑== ∑+=)(22i i i zz y x m I ∑==i i i xz zx x z m I I k I I I j I I I i I I I L z zz y zy x zx z yz y yy x yx z xz y xy x xx ][][][ωωωωωωωωω+−−+−+−+−−=zz yy xx I I I ,,分别称为刚体对x 轴、 y 轴、 z 轴的转动惯量, zx yz xy I I I ,,称为惯量积, 统称为惯量系数.z zz y zy x zx z zyz y yy x yx y zxz y xy x xx x I I I L I I I L I I I L ωωωωωωωωω+−−=−+−=−−=(1) 惯量系数决定于刚体质量对坐标系的分布.刚体--连续体, 所以取和--积分∫∫∫∫∫∫∫∫==+=+=z y x xy m xy I zy x z y m z y I xy xx d d d d d d d )(d )(2222ρρ简化之一: 采用与刚体固连的动坐标系, 刚体质量相对于它的分布不随时间改变, 6个惯量系数将成为常数. 坐标系与参考系不一致! (2) 角动量L 和角速度ω 间存在线性变换关系.只要给出一个ω , 通过这种变换机制就可求得一个新的矢量L , 其大小和方向都不同于原来的 ω , 这种线性变换称为仿射变换.k I I I jI I I i I I I L z zz y zy x zx z yz y yy x yx z zz y xy x xx ][][][ωωωωωωωωω+−−+−+−+−−=可写成矩阵形式−−−−−−= z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x I I I I I I I I I L L L ωωω 9个惯量系数组成的矩阵是一个二阶张量I ,刚体定点运动对定点的角动量的表达式为ω ⋅=I L运算方法与矩阵运算方法相同. 另外, 也可将张量写成并矢形式,.zz zy zx yz yyyx xz xy xx I k k I j k I i k I k j I j j I i j I k i I j i I i i I +−−−+−−−= 并矢由两个矢量并列组成, 如k j i i B A ,,等, 两个矢量间无运算符号. 它的运算规则是以相邻的两个矢量按矢量运算规则进行运算, 如一个并矢与一个矢量的点积为)()(C B A C B A ⋅=⋅, B A C B A C )()(⋅=⋅B A B A B A zk y j x i )()()()(⋅∇=⋅∇=⋅∂∂+∂∂+∂∂二、惯量张量我们用由9个惯量系数组成的惯量张量−−−−−−=zz zy zx yz yy yx xz xy xx I I I I I I I I I I 描述定点运动刚体的惯性.张量与矩阵不同, 矩阵元是单纯的数, 不随坐标变化而不同, 张量则不同, 为了使张量不随描述它的坐标系不同而变化, 张量的元素就必须满足一定的坐标变换规则. 正如矢量一样, 矢量本身不因坐标系而改变, 而它的投影必须满足一定的坐标变换规则. (*请自学)若惯量张量的元素满足关系ji ij I I =, 这样的张量称为对称张量.惯量张量是描述刚体绕某一定点运动的惯性的物理量, 因此, 惯量张量应属于刚体某一点的.三、惯量主轴 L 表达式能否进一步简化, 取决于惯量张量I 能否简化.可以证明通过适当选择坐标系可使惯量张量对角化, 即使所有惯量积为零. 这样的坐标系称为该点的主轴坐标系. 对主轴坐标系, 惯性张量成为321000000λλλ 321,,λλλ代表刚体对主轴坐标系的z y x ,,各轴的转动惯量, 即.,,321zz yy xx I I I ===λλλ 此时= z y x zz yy xx z y x I I I L L L ωωω000000 (A) 即 k I j I i I L z zz y yy x xx ωωω++= (A) k j i ,,为主轴坐标系各轴的单位矢量, z y x ωωω,,为角速度在该坐标系上的投影.寻找主轴坐标系属于求本征值和本征矢量问题. 主轴坐标系的每一个轴称为该固定点的主轴,从(A)式看出: 若角速度沿某一主轴方向, 则角动量的方向也沿此方向, 即有ωλ =L (B)λ为正的比例系数.我们把(B)式作为主轴的另一定义: 若刚体绕过定点某轴以角速度ω 转动, 而刚体对该点的L与ω 方向相同, 则此轴就是该点的惯量主轴. 将(B)式展开得0)(=−−−z xz y xy x xx I I I ωωωλ0)(=−−+−z yz y yy x yx I I I ωωλω (C) 0)(=−+−−z zz y zy x zx I I I ωλωω这组齐次的线性方程组有非零解的条件为()()()0=−−−−−−−−−λλλzz zy zx yz yy yxxz xy xx I I I I I I I I I 称为特征方程, 它为λ的三次方程, 根据由张量元组成的矩阵是实对称矩阵, 此特征方程具有3个实根， 它们是321,,λλλ, 称为本征值. 分别将本征值代回(C)式求出与之相应的角速度矢量z y x ωωω,,为相应的本征矢量, 它们的方向即3个主轴方向. 3个本征值就是刚体对3个主轴的转动惯量, 也称主转动惯量.以上所述是寻找本征值和本征矢量的一般数学步骤和方法, 研究多自由度系统的小振动问题时已学习过了, 这里不再重复.对均匀对称的刚体, 从刚体质量分布的对称性分析容易找出惯量主轴.让我们先从ωλ =L 导出某轴为轴上某点的惯量主轴的充分必要条件. 以此点为原点, 以此轴为x 轴建立直角坐标系(z y ,轴方向任意), 并设刚体以角速度ω 绕此轴转动, 则 k I j I i I L zx xy xx ωωω−−=可见0,0====∑∑i i i zx i i i xy z x m I y x m I是ω //L 的充分必要条件. 根据此条件, 我们能做出这样的重要结论:(1)匀质刚体的对称轴是轴上各点的惯量主轴 证明: 以对称轴任一点O 为原点, 对称轴为z 轴建立坐标系Oxyz . 若有一点()i i i z y x ,,, 则必有另一点()i i i z y x ,,−−.()()00=−+=−+i i i i i i i i i i i i y z m y z m x z m x z m00====∑∑i i i yz i i i xz y z m I x z m I 所以z 轴为O 点的惯量主轴. 也是轴上各点的惯量主轴.(2)与匀质刚体的对称面垂直的轴, 是轴与对称面交点的惯量主轴.(3)若坐标系的两个轴是惯量主轴, 则第三轴也是惯量主轴.(4)匀质刚体若有旋转对称轴, 则以旋转对称轴为一轴的坐标系是主轴坐标系. 若选用与刚体固连的主轴坐标系, 则L为最简单表达式(I 对角化, 且元为常量.) k I j I i I L z zz y yy x xx ωωω++=匀质刚体若有旋转对称轴, 则可选用以旋转对称轴为一轴的坐标系(不必固连)进行简化.四、刚体做定点运动时的动能()()∑∑∑∑×⋅=×⋅=⋅==i i i i i i i i i i i v m r r v m v v m v m T ωω212121212 所以L T ⋅=ω21当利用主轴坐标系时k I j I i I L z zz y yy x xx ωωω++=()22221z zz y yy x xx I I I T ωωω++= 其中z y x ωωω,,为角速度在主轴坐标系上的投影, zz yy xx I I I ,,为3个主转动惯量.刚体定点运动时的动能还可写成以下形式 ωωωωωωL L L T 212121=⋅=⋅= ()222121i i i i r m v m T ×==∑∑ω 22])sin ([21ωαi i i r m ∑=22221)(21ωωρI m i i ==∑ ωωI L =I 为刚体对瞬时轴的转动惯量. 此二公式与刚体定轴转动的动能公式形式相同.五、惯量椭球阐明惯量张量的意义及与其相关的几何关系.先研究刚体对过定点的任一个轴的转动惯量的表达式. 以刚体固定点为原点建立Oxyz 坐标系,过O 点的l 轴的方向余弦为()γβα,,, 则刚体对轴的转动惯量为2i i l m I ρ∑= ])cos ([22i i i i r r m θ−=∑])([22l r r m i i ⋅−=∑ ])([2222i i i i i i i z y x z y x m γβα++−++=∑考虑到1222=++γβα, 最后得到 ()()()222222222γβαi i i i i i i i i l y x m x z m z y m I +++++=∑∑∑ γαβγαβi i i i i i i i i x z m z y m y x m ∑∑∑−−−222 即γαβγαβγβαzx yz xy zz yy xx l I I I I I I I 222222−−−++= 此式还可写成 l I l I l ⋅⋅=反映了转动惯量随轴的方向变化而改变的规律. 说明只要知道固定点的惯量张量, 过此点的任何轴的转动惯量都可求得, 因而更明确地说明惯量张量是描述刚体绕一点的转动惯性的物理量. [L T ⋅=ω21ωω ⋅⋅=I 21222(21z zz y yy x xx I I I ωωω++= )222x z zx z y yz y x xy I I I ωωωωωω−−−]用几何图象直观地描述转动惯量随轴方向分布的情况, 在l 轴上取一长为R 的线段OP , 并令R 与该轴的转动惯量有如下关系l I R 1=过定点O 有无穷多的轴,这些线段末端(P 点)的坐标为γβαR z R y R x ===,,将γβα,,解出代入γαβγαβγβαzx yz xy zz yy xx l I I I I I I I 222222−−−++= 考虑到l I R 1=, 所以, 这些线段末端的坐标应满足以下方程 1222222=−−−++zx I yz I xy I z I y I x I zx yz xy zz yy xx 这是一个二次曲面方程. 因转动惯量为有限值, 线段长度R 不能是无穷大, 所以此曲面只能是椭球面. 因它反映转动惯量分布情况, 故称为惯量椭球. 此方程是对原点对称的, 固定点处于椭球的中心.说明以下几点:(1) 对刚体中不同固定点, 有不同的惯量椭球, 与惯量张量一样, 惯量椭球也是属于刚体中某一点的.(2) 椭球一定存在3个对称轴, 若以它们为坐标轴, 则椭球方程化为标准形,1222=++z I y I x I zz yy xx此时，3个惯量积都为零, 可见惯量椭球的3个对称轴就是固定点的3个互相垂直的主轴. 不管刚体形状如何特殊, 对任一点总能找到至少一套相互垂直的主轴.如果yy xx I I =, 则惯量椭球是一个旋转椭球, 此时过O 点在xy 平面内的任何一根轴都是O 点的惯量主轴; 如果,zz yy xx I I I == 则惯性椭球变成圆球, 此时过O 点沿任何方向的轴都是O 点的惯量主轴. (3)利用惯量椭球可把L 和ω 方向间的关系直观地表达出来: 设ω 与惯量椭球相交于P 点, 则此时L 的方向将沿椭球面上P 点的法线方向.在主轴坐标系Oxyz 中, 椭球面方程为()01,,222=−++=z I y I x I z y x f zz yy xx设椭球面上P 点的坐标为()111,,z y x , 已知该点的法线方向n e 平行于函数()z y x f ,,在P 点的梯度方向()()k z I j y I i x I gradf zz yy xx z y x P 111,,2111++= 因为 → OP //ω , 可写成)(111k z j y i x k OP k ++== → ω111,,kz ky kx z y x ===ωωω或k z k y k x z y x ωωω===111,,得()()L kk I j I i I k gradf z zz y yy x xx z y x P 22111,,=++=ωωω 从而L e n //. 只有ω 方向沿惯量主轴时, L 才与ω 平行.例题 1 一匀质薄圆盘能绕其中心O 做定点转动, 其质量为m , 半径为R . 已知某瞬时圆盘绕过中心与盘面成o 30角的轴以角速度ω 转动. 试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能, 以及圆盘对此轴的转动惯量.解 以过O 点并垂直于盘面的轴为z 轴, 由角速度与z 轴构成的平面与盘面的交线为x 轴. 由对称性可知, 这样建立的坐标系是主轴坐标系.由题设知: 241mR I I yy xx ==, 221mR I zz =,°=30cos ωωx ,°==60cos ,0ωωωz y . 所以, 圆盘对O 点的角动量为 k I j I i I L z zz y yy x xx ωωω++=k mR i mR °°+=60cos 2130cos 4122ωω角动量与盘面的夹角α为°≈==4932arctan arctan x z L L α 可见角动量的方向与角速度方向不一致.圆盘的动能为()22222222216521811632121ωωωωωωmR mR mR I I I T z zz y yy x xx ⋅= +=++=可知圆盘对该瞬时轴的转动惯量为2165mR I l =. 也可用另法求此转动惯量k mR i mR ωω224183+=()()222222221654121434160cos 30cos mR mR mR I I I I I I zz xx zz yy xx l =+=+=++=°°γβα。
如何理解理论力学中的惯性张量？
如何理解理论力学中的惯性张量？在理论力学的广袤领域中，惯性张量是一个重要但颇具挑战性的概念。
要深入理解惯性张量，首先得从物体的转动运动说起。
当我们考虑一个物体的平动时，质量是描述物体惯性的关键因素。
质量越大，改变其平动状态就越困难。
然而，当物体发生转动时，情况就变得更为复杂，此时惯性张量登场了。
惯性张量本质上是一个描述物体在转动时惯性特性的数学工具。
想象一个简单的刚体，比如一块不规则形状的木板。
如果我们要让它绕不同的轴转动，所需要施加的力矩大小是不一样的。
这是因为物体的质量分布对于不同的转动轴是不均匀的。
为了更准确地描述这种不均匀性，我们引入了惯性张量。
惯性张量是一个二阶张量，通常用一个 3×3 的矩阵来表示。
这个矩阵中的元素取决于物体的质量分布以及所选的坐标轴。
那么，这些矩阵元素具体代表什么呢？以一个二维的简单例子来说明。
假设我们有一个长方形的薄板，质量均匀分布。
如果我们选择薄板的两条对称轴作为坐标轴 x 和 y，那么惯性张量矩阵中的元素 Ixx 表示薄板对于绕 x 轴转动的惯性，Iyy 表示绕 y 轴转动的惯性，而 Ixy （以及 Iyx，它们在这种情况下相等）则反映了绕 x 轴和绕 y 轴转动之间的耦合关系。
对于更复杂的三维物体，情况也是类似的，只是坐标轴变成了 x、y 和 z 轴，相应地有 Ixx、Iyy、Izz、Ixy、Iyz 和 Izx 等元素。
理解惯性张量的一个关键在于认识到它是与坐标轴的选择相关的。
不同的坐标轴选择会导致惯性张量矩阵的元素发生变化。
但这并不意味着物体的惯性特性发生了改变，只是我们描述它的方式不同而已。
在实际应用中，惯性张量有着广泛的用途。
例如，在机械工程中，设计旋转部件时需要考虑惯性张量，以确保系统的稳定性和性能。
在航空航天领域，飞行器的姿态控制也离不开对惯性张量的精确计算。
让我们通过一个具体的例子来进一步感受惯性张量的作用。
假设有一个不规则形状的机械零件，我们需要知道它在特定转动情况下的惯性特性。
惯性张量
转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆),通常以I表示,SＩ单位为kg＊ｍ２,可说就是一个物体对于旋转运动得惯性。
对于一个质点,Ｉ = mｒ2,其中ｍ就是其质量,r就是质点与转轴得垂直距离。
对于一个有多个质点得系统,。
若该系统由刚体组成,可以用无限个质点得转动惯量与，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为ｍ得物件，以某条经过A点得直线为轴，其转动惯量为I A。
在空间取点B，使得AB垂直于原本得轴。
那么如果以经过B、平行于原本得轴得直线为轴,AＢ得距离为d,则I B = ＩA + ｍｄ2。
力距在直线运动，Ｆ = ma。
在旋转运动，则有τ= Iα,其中τ就是力矩,α就是角加速度。
动能一般物件得动能就是。
将速度v与质量ｍ,用转动力学得定义取代:得出,简化得。
如果一个人坐在一张可转动得椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前,转动得速度将突然增加,因为转动惯量减少了。
惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点得直角座标系Ｑxyz ，一个刚体得惯性张量就是。
(1)这里,对角元素、、分别为对于x－轴、y－轴、z-轴得惯性矩。
设定为微小质量对于点 Q 得相对位置。
则这些惯性矩,可以精简地用方程式定义为,，(2）。
而非对角元素,称为惯性积, 可以定义为,,(3)。
导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心Ｇ与以点G 为原点得直角座标系Gxｙz 得角动量定义为。
这里, 代表微小质量在 Gxyz 座标系得位置, 代表微小质量得速度。
因为速度就是角速度叉积位置,所以，。
计算ｘ-轴分量,相似地计算ｙ-轴与 z-轴分量，角动量为,，。
如果,我们用方程式(１) 设定对于质心Ｇ得惯性张量 ,让角速度为 ,那么,。
(4）平行轴定理平行轴定理能够很简易得，从对于一个以质心为原点得座标系统得惯性张量，转换至另外一个平行得座标系统。
假若已知刚体对于质心Ｇ得惯性张量，而质心G 得位置就是 ,则刚体对于原点Ｏ得惯性张量,依照平行轴定理,可以表述为，,(5）,,,(６）。
数据结构与算法 惯量张量
数据结构与算法惯量张量惯量张量是一个与物体运动状态有关的重要概念。
它描述了一个物体在空间中运动时所具有的不同方向上的惯性大小。
本文将介绍惯量张量的基本概念、性质以及使用方法，并解释其在物理学、机器学习等领域中的应用。
惯量张量的基本概念在物理学中，物体运动状态的描述要涉及到物体的质量、速度、角速度等信息。
其中，质量是一个重要的物理量，它反映了物体的惯性大小。
当物体在不同的方向上运动时，它的受力情况也会不同，因此物体在不同方向上的惯性也会不同。
为了描述物体在不同方向上的惯性大小，人们引入了惯量张量的概念。
惯量张量是一个矩阵，它描述了一个物体在不同方向上的惯性大小。
具体而言，一个物体的惯量张量为一个3×3的实对称矩阵，其中每个元素反映了物体在不同方向上的惯性大小。
惯量张量的性质惯量张量具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解惯量张量的作用。
首先，惯量张量是实对称矩阵。
这意味着惯量张量的每个元素在矩阵中对称分布，即可以通过矩阵的对角线翻转得到相同的矩阵。
这个性质很重要，可以帮助我们简化惯量张量的计算。
其次，惯量张量是正定矩阵。
这意味着惯量张量的整个矩阵是一个正数且不为零的矩阵，因此它具有正定矩阵的所有性质。
具体来说，惯量张量的行列式必须大于零，而每个元素的特征值也必须大于零。
惯量张量的使用方法惯量张量在物理学、机器学习等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，惯量张量可以用于描述刚体运动状态、旋转运动等。
在机器学习中，惯量张量可以用于处理图形识别、语音识别等领域。
具体而言，惯量张量可以被用来计算刚体的角加速度和角动量。
对于一个刚体，其角加速度和角动量分别与其惯量张量相关联。
因此，我们可以通过计算惯量张量来了解刚体的运动状态。
同时，惯量张量也可以用于处理机器学习问题。
在图形识别等任务中，我们可以通过计算图像的惯量张量来提取图像的特征，并据此进行分类判别。
在语音识别等任务中，我们可以同样利用惯量张量来提取声音特征，从而实现语音的识别和识别。
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张量方程在任何坐标系中同性 既 Li k Iik 如果在笛卡儿坐标系中成立 则 Li k Iik 在任何坐标系中都成立 这样惯性张量在非欧空间（宇宙）中同样适用
在笛卡儿坐标下验证结果
在笛卡儿坐标下： i i r r i i
r r
x y z
2 2
2
T
1 '... m ' '... n '
则称这一组数为在M点的一个n阶协变、m阶 逆变的张量
度规张量
张量的度规
2
, 都为求和指标 共为9项
ds g dx dx e e dx dx
同理
ds g dx dx g dx dx g dx dx
ijk
ijk
{
符号的基本性质
ijk
i k
ijk
符号的基本性质
k i m j n j m i n
i i k ijk
mnk
A B ijk Ai B j ek
求和约定
求和约定
A B
i 1 n
3
张量的优越性
在浩瀚的宇宙中，空间再也不是欧式空 间，因而许多定理方法在弯曲的时空下 无能为力 在由欧式空间转化为非欧空间过程中， 张量的性质保持不变，张量的优越显露 无疑 在研究非欧空间物体的转动惯量时，惯 量张量可以原分不动地直接使用
附言
参考书目
杨维纮 《力学》 中国科学技术大学 吕盘明 《张量算法简明教程 》 中国科 学技术大学 论文中的教材指杨维纮教授的《力学》
得： L
r r dV
A
r r r r dV
A
证明
现用张量的方法 i 把 L 在 x 上分解
得：
L r rm r rk d V
i i m i k A
又
i i k
k
证明
x xa a xa ' x
a'
这两式非常重要，为张量的核心 通过以上的铺垫现在可以给出张量的定 量定义
基础张量
a x 定义 在曲线坐标 中，在空间任一点M
给出一组数：
T
1 ... m 1 ... n
n 1 ' m '
如果当曲线坐标变换时，它变为
1 ... m x x x x 1 ' ... n ' 1 ... m T 1 ... n x x x x 1
I12 I 21 xydV I13 I 31 xzdV
A
I 23 I 32 yzdV
A
结论
与教材上惯性张量在笛卡儿坐标的分量相 同 i k i 可得出 L Ik 在任何坐标系下都成 立 既在非欧空间（宇宙）中成立 显示了张量方程的优越性 给出了在解决非欧空间中转动惯量问题时 可以使用惯量张量方法的原因
当
i k 代入可得
I11 x y z x dV x y d V
2 2 2 2 2 2 A A
在笛卡儿坐标下验证结果
同理可得：
I 22 x z d V
2 2 A
I 33 x y d V
2 2 A A
它的反函数：
x a x a x1' , x 2' ,...x n'
a 1,2,....n
x xa ' a ' x
也是连续可微的单值函数，得：
x x x , x ,...x
1' 2'
n'
基础张量
得下面曲线坐标局部标架基矢之间的变 换法则
x a xa ' a ' xa x
2
g , g , g , g
都是二阶度规张量
张量的商法则
若已知： L 为张量 M 为任意张量 且存在 M T L
可得
T
也为一张量
关于A×B×C的证明
用张量的方法证明
A B C
ijk
i
ijk A j B C k
m n ijk m n
n
n为哑指标可被换为任何字母 此为爱因斯坦的贡献
An B Am B
n
m
基础张量
张量的定性定义 一个向量是由直角坐标系中的三个分量 所确定的而三个分量都是数量 由此可见向量是由三个数量所确定的. 在现实世界中，有的物理量需要大于三 个的数量才能确定 从而提出张量的概念. 张量有零阶张量 （表量），一阶张量（矢量），二阶张 量等等
一物体A 对O点的动量矩为
z
A
L r vdV
dV 为微元体积
A
(1)
v 为速度
A 为物体
r
为任一点的失径（ M 点）
r
y
M
为密度函数 为角速度
x
证明
z
r v
为一个矢量
A
L 矢量dV
A
矢量
r
M
A为一刚体 可得
v r
(2) x
证明
由（1）（2）式可
基础张量
给定曲线坐标 x a (a = 1,2,...n) 有：
x = x(x , x ,…x )
x dx dxa xa
1
2
n
x xa a x
直接取为坐标基矢，现设有连续可微的单 值函数
x a' x a' x1 , x 2 ,...x n
a 1,2,....n
基础张量
证明
为任意矢量 L 为一矢量
根据张量的商法则
r
A
i m k m
r r rk d V
i
定为张量且为二阶张量 定义
I r rm r rk dV
i k i k m i A
结论
则 Iik为二阶张量
L I
i k
i 为张量方程 k
惯量张量的推广
A j mnk B C mnk A j B C
i m nj ni mj A j B mC n
AnC B Am B C A C B A B C
n i m n i
j
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证明
惯量张量推导与推广
附：张量基础
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已经了解张量初步知识
不知道何为张量
一些符号与约定
i 关于 k
ijk
ijk
符号
符号
i k
定义为 符号
i k
{
0 1
ik ik
ijk
ijk
定义为
1 ijk为顺序既 123 ， 231 ， 312 1 ijk为倒序既321 ， 213 ， 132 0 ijk为其它情况既ijk中有两个一样
代入得
L r r r rk d V
i k i m k m i k A
r r r rk d V
k i m k m i A
证明
分析此式
i
k
L r r r rk d V
i m k m i A
在刚体中 A中任意一点的角速度 都相同 既 可为任意矢量