湖南省邵阳市选修2-1学案椭圆及其简单几何性质(3)

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高中数学选修2-1椭圆导学案

椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2. 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程焦点a 、b 、c 的关系探究点一椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；（2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，212121=⋅PF PF PF PF ，则21PF F ∆的面积为（） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是，它的方程是4．椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。

高中数学 2.2椭圆及其简单几何性质导学案新人教B版选修2-1

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质学习目标1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆的方程研究它的性质，画图．复习1：椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是．二、新课导学学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 1.图形：2.范围：x ： y ：3.对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称4.顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点（），（），（），（）；长轴--，其长为；短轴--，其长为；5.离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为离心率，记ce a=，且01e <<．当0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例当,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率： ce a == ．反思：b a 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．练一练练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； ⑷长轴长等到于20，离心率等于35．（5） .若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，求k 的值.三、总结提升学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．当堂检测1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（）． A ．3 B ．3或253 C2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．8．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率9．如图，求椭圆12222=+by a x ,(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积五、课堂小结我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法我的困惑。

数学苏教版选修2-1教案：2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含解析

2．2.2椭圆的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程．(教师用书独具)●教学建议本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次，●教学流程通过复习和预习，知道由对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究椭圆的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b，c，从而求出其标准方程．注意焦点位置的两种情形．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率或其范围的求解方法，求椭圆的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求椭圆的离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与椭圆位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长，弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会椭圆范围的应用，注意椭圆上点的坐标不是在整个实数范围内，解题时应作为一个隐含条件考虑，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．1．椭圆具有对称性吗？【提示】有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．2．可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？【提示】可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．3．椭圆方程中x，y的取值范围是什么？【提示】x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．4．当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？【提示】b越小，椭圆越扁．1．椭圆的简单几何性质当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆.求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【思路探究】化为标准方程→求a，b→求几何性质【自主解答】把已知方程化成标准方程x281＋y29＝1，于是a＝9，b＝3，c＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ca ＝223，焦点为F1(－62，0)，F2(62，0)，顶点为A1(－9，0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．将方程变形为y＝±1381－x2，根据y＝1381－x2算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：1．由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式．2．画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【解】把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 y ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．【思路探究】由几何性质→寻求a ，b ，c 关系→求a ，b →得方程【自主解答】 (1)由题意：∵2c ＝8，∴c ＝4. 又∵ca＝0.8，∴a ＝5，∴b 2＝9，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 225＋x 29＝1.(2)由题意：a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2， ∴解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1.又过点(2，－6)，因此有22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1. 由已知a ＝2b ，得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求的方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法．其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．2．当椭圆焦点位置不完全确定时，其标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y 轴上的情形．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 【解】 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴4a 2＝1，a ＝2，∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b2＝1，∴b ＝2,2a ＝2·2b ，∴a ＝4，∴方程y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23c ＝3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(1)(2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(2)已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值．【思路探究】(1)用a，c表示出AF1，F1B，依据AF1，F1F2，F1B成等比数列，建立a，c间的关系式．(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a，c间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径c≥b求解．【自主解答】(1)椭圆的顶点为A(－a,0)，B(a,0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以AF1＝a－c，F1B＝a＋c，F1F2＝2c.因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，即5c2＝a2，所以a＝5c，所以离心率为e＝ca ＝55.【答案】5 5(2)法一设PF1＝m，PF2＝n，∴m2＋n2＝4c2，又2a＝m＋n，∴4a2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)＝8c2.即：a2≤2c2，∴e＝ca≥22.∴e min＝22.法二设椭圆与y 轴上方交点为B .∵∠F 1BF 2≥90°，∴cos ∠F 1BF 2＝a 2＋a 2－4c 22a 2≤0，即：a 2≤2c 2.∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22. 法三以F 1F 2为直径的圆的方程为：x 2＋y 2＝c 2，由题意c ≥b ，∴c 2≥a 2－c 2，∴2c 2≥a 2，∴c a ≥22，∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22.1．求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a ，b ，c 的等式关系．2．求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a ，b ，c 间的不等关系，然后利用定义或列出关于e 的不等式进行求解，应注意e 还应受到0<e <1的限制．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【解析】在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝ca ＝57. 【答案】 57已知椭圆x 24＋y 2＝1，(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当m ＝2时，求直线被椭圆截得的线段长．【思路探究】联立，消y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝x ＋m 消去y 得，5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0(Ⅰ)．∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0， ∴－5<m <5，∴当－5<m <5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当m ＝2时，方程(Ⅰ)化为：5x 2＋16x ＋12＝0，设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝452.1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由Δ判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．【解】设x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2， ∴(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0， ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， ∴a 2＝3b 2，② 此时Δ>0，由①②得：a 2＝75，b 2＝25， ∴x 225＋y 275＝1.忽略椭圆的范围导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆的最远距离是7，求椭圆的标准方程．【错解】依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.所以当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 也有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，由此解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.【错因分析】错解中“当y ＝－12时，d 2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围．事实上，由于点(x ，y )在椭圆上，所以有－b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论．【防范措施】涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]；对于椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]．【正解】同错解得到d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.若b <12，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值，于是(7)2＝(b ＋32)2，从而解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.1．椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标．2．椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程．3．求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a ，b ，c 的相等或不等关系，从而得出关于e 的方程或不等式．4．直线与椭圆的位置关系，公共点个数利用Δ判别式，弦长问题利用弦长公式和韦达定理，解题主要是利用了转化思想和方程思想.1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________．【解析】∵x 2＋y 26＝1，∴焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，±6)．【答案】 (0，±6)2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e ＝________. 【解析】如图，△F 1B 2F 2为等边三角形， ∴∠B 2F 2O ＝60°， ∴e ＝c a ＝OF 2B 2F 2＝cos 60°＝12.【答案】 123．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于________．【解析】 ∵1－m 2＝14或1－2m ＝14，∴m ＝32或83.【答案】 32或834．椭圆经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率e ＝12，求椭圆的标准方程．【解】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、填空题1．(2013·厦门高二检测)椭圆x 24＋y 29＝1的离心率是________．【解析】 e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. 【答案】532．(2012·上海高考)已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则下列说法正确的是________．①C 1与C 2顶点相同； ②C 1与C 2长轴长相同； ③C 1与C 2短轴长相同； ④C 1与C 2焦距相等．【解析】由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.只有④正确．【答案】 ④3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2a 32a ＝18a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝81b 2＝72，因为焦点在x 轴上，所以所求椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.【答案】 x 281＋y 272＝14．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率为e ＝32，则其标准方程为________．【解析】依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. 【答案】 y 24＋x 2＝15．(2013·无锡高二检测)若椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m <9)的焦距为23，则m ＝________.【解析】 ∵0<m <9，∴9－m ＝(3)2，∴m ＝6. 【答案】 66．(2012·课标全国卷改编)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ， ∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 347．(2013·哈师大附中高二检测)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．【解析】 ∵|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴|PF 1→|·|PF 2→|≤(|PF 1→|＋|PF 2→|2)2＝a 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤e 2≤12， ∴33≤e ≤22. 【答案】 [33，22]图2－2－38．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2； ④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是________．【解析】由题图知a 1＋c 1>a 2＋c 2，故①错误．又a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ，故a 1－c 1＝a 2－c 2，即②正确．由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2.又a 1，a 2均大于0，故c 1a 2>a 1c 2，故③正确．显然④错误，故②③正确．【答案】 ②③ 二、解答题9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．【解】椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，∴点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， ∴OF ＝c ，OA ＝b . AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.10．已知椭圆C 的中心O 在原点，长轴在x 轴上，焦距为6，短轴长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(－5,0)作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求△ABO 的面积．【解】 (1)设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得c ＝3，b ＝4，a ＝5，所以椭圆C 方程为x 225＋y 216＝1.(2)不妨设A (－5,0)，直线AB 方程为：y ＝x ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5x 225＋y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝－4541y ＝16041.所以S △OAB ＝12OA ·|y B |＝12×5×16041＝40041.11．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【解】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.(教师用书独具)已知椭圆4x 2＋5y 2＝20的一个焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦长AB .【思路探究】求出焦点F 的坐标→求出直线l 的斜率→设直线l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解【自主解答】椭圆方程为x 25＋y 24＝1，a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1(不失一般性，设l 过左焦点)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，4x 2＋5y 2＝20，消去y ，得9x 2＋10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－109，x 1·x 2＝－53，AB ＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－109)2－4·(－53)＝2·8109＝1659.1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1<0，y 2>0)， (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2， y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

新人教A版(选修2-1)《椭圆的简单几何性质》word教案

学校：临清一中学科：数学编写人：杨晓辉审稿人：张林2.2.2椭圆的简单几何性质【教学目标】1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义。

2．初步利用椭圆的几何性质解决问题。

教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。

教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。

【教学过程】预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x ，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x 都有唯一的函数值y 与之对应，而方程中x 、y 的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．合作探究、精讲点拨。

探究一观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。

椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。

（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22b y ____ 1；即__≤≤y ___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线___________和__________围成的矩形里。

人教A版高中数学选修2-1教案椭圆的简单几何性质(三)

。
原点到直线的距离。
.
解法1：对两边平方整理得：
（*），
∵ ，，整理得：。
又，，从而的最大值为，
此时代入方程（*）得，。
所以，所求直线方程为：。
解法2：令，则。
当且仅Байду номын сангаас 即时，，此时。
所以，所求直线方程为
三、课堂小结：
四、作业：教师安排同步练习
教学后记：
教学用具
教学重点
直线与二次曲线的各种关系及求弦长
教学难点
把几何问题代数化，用代数运算来解决几何问题
教学步骤及要点：
一、复习
二、例1讲：教材P47面例7。
思考：直线与椭圆是否有交点？怎样判断？
练习：上例中，椭圆上的点到直线的最大距离是多少？
例2．已知椭圆的两个焦点为，，离心率为。
（1）求椭圆的方程；
科目
数学
课题
2.2.2椭圆的简单几何性质（三）
教学班级中级班
三
维
目
标
知识与
技能
1、通过例题让学生学会确定直线与二次曲线的各种关系；
2、通过例题让学生学会求弦长。
过程与
方法
通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力
情感态度与价值观
通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求
（2）设直线，若与椭圆交于P、Q两点，且∣PQ∣等于椭圆的短轴长，求的值。
思考：直线与椭圆相交时怎么求弦长？
练习：P48面第7题。此题是求焦点弦长，你还有其它方法吗？

选修2-1教案22-2椭圆的简单几何性质【3】

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2.2椭圆的简单几何性质第三课时：直线与椭圆的位置关系教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题.教学重、难点：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题.教学过程：（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法；（1）代数方法：消元，判断∆；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较.（二）新课讲解：1．椭圆与直线的位置关系的判定：例1．当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆221169x y +=相交？相切？相离？解：由221169y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222532161440x mx m ++-=， ∴22(32)425(16144)m m ∆=-⨯⨯-()2244925m =⨯⨯-3294(25)m =⨯-当0∆>，即55m -<<时，直线和椭圆相交；当0∆=，即5m =±时，直线和椭圆相切；当0∆<，即5m >或5m <-时，直线和椭圆相离.说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断.2．弦长问题：例2．求直线24y x =-被椭圆224199x y +=所截得的弦长. 解：（法一）由22244199y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得111422x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩或221422x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， ∴2=．（法二）设直线与椭圆的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22244199y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得281670x x -+=， ∴122x x +=，1278x x ⋅=， ∴弦长||2AB ==．说明：弦长公式2221212121||1()4k x x k x x x x +⋅-=+⋅+-⋅21ka∆=+，不仅适用于圆，也适用于椭圆及双曲线等二次曲线. 例3．已知椭圆2214520x y +=的左右焦点分别是1F 、2F ，过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若要使2ABF ∆的面积是20，求该直线方程.解：∵2(5,0)F ，∴可设AB 所在直线方程为x my =，由2214520x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：22(2045)9000m y +-=， ∴212||2045y y m -=+， ∴222121||||22045ABF S OF y y m ∆=⋅-=+，由2202045m =+得34m =±， ∴直线AB 的方程为34x y =±，即430x y ±=．说明：（1）此题要能注意到2ABF ∆是有公共边的两个2AOF ∆和2BOF ∆的面积之和，故只需构造关于y 的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和21||y y -；（2）设直线方程为x my =比设y kx =好，可避免讨论斜率不存在的情况.例4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，求AB 的取值范围.【代数运算、图形解释；引入通径的概念】点评：22b a 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，d b a≥22是AB 过焦点的充要条件。

高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

教学手段：计算机课件辅助教学。

五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。

湘教版高中数学选修2-1《椭圆的简单几何性质》教案2

椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.教学重点:椭圆的几何性质，通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法：讲授法课型：新授课一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二、讲授新课：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x 1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.]问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y )都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。

2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?（1）在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。

（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。

湘教版高中数学选修2-1 第二章2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学课件 (共13张PPT)优质课件

3、范围：椭圆位于直线x=± a和y= ± b所围成的矩形框内。
离心率对椭圆形状的影响（当a不变时）
b
a
或cb
的大小能刻画椭圆扁的程圆度吗？
例1：已知椭圆方程为16x2+25y2=400,求椭圆的长轴
和短轴长、焦点和顶点坐标，离心率。
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程
练习1： 1、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率和顶点坐标。
e c (0<e<1) a
(e越接近于1越扁)
a、b、c的关系 c2 a2 b2
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
|x|≤ b,|y|≤ a 同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c) 同前
同前
同前
练习2：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 ① 长轴长和短轴长分别为8和6. ②焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。 ③一焦点坐标为（－3，0）,一顶点坐标为（0，5）
2.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端
点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程
课后作业：已知椭圆 x2(m 3)y2m (m 0)的离心率
e
3 2
,
求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、
顶点坐标。
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执奇迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至努力提高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名太想改变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟纷开始早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医的一种浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合上，我就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们是1000前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感通乱忙乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力我了，为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你是90分，而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了，你，你现在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能倍，得分却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米，出水来了，而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力也是有终得到的结果只会是永远装不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来，挑出最再以此类推，排完手中所有的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转行新媒体第一位。而新媒体所需学习的技能又有很多，那怎么办呢？先挑自己有点底子的，有点基础的，把巩固持续加强。个人感觉自己写还是有点小基础的，所以就给自己一文字，加强文案方面的训练。而另外PS也是做运营的必备条件之一，所以在训练文案的同时，还得练习PS，给自己的要求是每天练习PS半小时。还有别的吗？不敢有了多了。一直很喜欢作家刘瑜的一段话：每当我一天什么也没干的时候，我就开始焦虑。每当我两天什么都没干的时候，我就开始烦躁。每当我三天什么都没干的时候，我三天什么都没干啊，我寝食难安……这正是我三个月前的真实写照。多年来，我已经养成一种习惯，绝不让任何一分钟死有余辜：我在堵车的时候听日语，在等人的，在任意两件事的衔接点那里扒出细缝，用来回邮件、回短信……我以为这就是所谓的勤奋，也心安理得地享受着同伴的钦佩。但我很快就发现，我的工作时间越来越情绪越来越焦躁，只要有十分钟的无作为，我就会变得非常慌张！而我的社交时间也不得不尽量地缩短，我甚至不再有功夫交朋友。更可怕的是，我的工�

2019-2020学年苏教版选修2-1 椭圆的简单几何性质学案

椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：椭圆方程中x ，y 的取值范围是什么？提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]．问题4：当a 的值不变，b 逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b 越小，椭圆越扁．(1)椭圆的简单几何性质：(2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，由图形易知当x ＝0时，|OP |取得最小值b ，此时P 位于椭圆短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |取得最大值a ，这时P 位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a 2＝b 2＋c 2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a －c (又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a ＋c (常称为远地距离)．第一课时椭圆的简单几何性质[例1] [思路点拨] 化为标准方程，确定焦点的位置及a ，b ，c 的值，再研究相应几何性质． [精解详析] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.[一点通] 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．若椭圆x2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A.32B.12C.22D.52解析：由椭圆方程知长轴长为2a ，短轴长为2， ∴2a ＝2×2＝4，∴a ＝2，∴c ＝ 22－12＝3，∴e ＝c a ＝32.答案：A2．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).[例(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a ，b ，c .[精解详析] (1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.[一点通] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1解析：由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1.答案：D4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e＝55，即55＝5a ，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.[例3] 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨] 通过已知条件MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°，得到Rt △MF 1F 2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a ，b ，c 之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a3，∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33. [一点通] 求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： (1)直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝ca求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围．5．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：∵A P ＝2PB ，∴|A P |＝2|PB |. 又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.答案：D6．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案：2－11．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案：D2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 解析：由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案：A3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 答案：C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.8.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF ＝2 2F B ，1AF ·AB ＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由2AF ＝22F B ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b2)．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由1AF ·AB ＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。

人教A版高中数学选修2-1教案：椭圆方程及几何性质

第1讲椭圆的标准方程及其性质一．教学目标：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想．二．教学重点,难点：1.重点：利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2.难点：会求简单的与椭圆有关的轨迹方程．(难点)三．教学方法：一学、二记、三应用. 四．知识梳理1．椭圆的定义：把平面内与两个定点12,F F 的(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距． 2、椭圆的定义应注意以下几点：当｜F 1F 2｜=2a 时，其轨迹为线段F 1F 2；当｜F 1F 2｜>2a 时，其轨迹不存在.只有当｜F 1F 2｜<2a 时，其轨迹才是椭圆。

椭圆的定义表达式为：｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a 〔其中｜F 1F 2｜<2a 〕 3．椭圆的标准方程x 2y2y 2x2〔1〕一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. 〔2〕一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.5.椭圆的几何性质与椭圆的位置、大小和形状的关系〔1〕椭圆的焦点决定椭圆的位置. 〔2〕椭圆的范围决定椭圆的大小. 〔3〕椭圆的离心率决定椭圆的形状.离心率越大，椭圆越“扁〞；离心率越小，椭圆越“圆〞。

〔4〕焦点三角形：椭圆上的点P 与焦点F 1，F 2假设构成三角形，则称△PF 1F 2为焦点三角形．焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系．〔5〕对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆的上重要的特殊点，在作图时应先确定这些点.五．课前测试：1．椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．92．假设F 1(3,0)，F 2(－3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A ．x 225＋y 216＝1B ．x 2100＋y 29＝1C ．y 225＋x 216＝1D ．x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝13．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A ．22B ．2－12C ．2－2D ．2－14．假设方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是__________．六．典例剖析：题型一椭圆定义的运用例1〔1〕判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( )〔2〕动点P (x ，y )的坐标满足x 2＋(y ＋7)2＋x 2＋(y －7)2＝16，则动点P 的轨迹方程为(3)(20xx·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为____________________．(4)(20xx·广东中山月考)椭圆C ：x 216＋y 28＝1，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，点P 在C 上且∠F 1PF 2＝π3，则△F 1PF 2的面积为________．(5)〔选讲提升〕(20xx·河南郑州三模)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．课堂小结：(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形〞，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．课堂练习1：〔1〕.(1)△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74C.72D.752题型二求椭圆的标准方程例2求适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点；〔2〕椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1课堂小结：求椭圆标准方程的2种常用方法是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1〔2〕．(20xx·长沙高三一模)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A ．x 22＋y 22＝1 B ．x 22＋y 2＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．y 24＋x 22＝1题型三求椭圆的几何性质例3 (1)(20xx·全国卷Ⅱ)F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13 D.14(2) (20xx·贵州质检)椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5〔3〕椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，假设△F AB 外接圆的圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫0，12(4)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为( )A ．1B ．23C ．4D ．43课堂小结：(1)求椭圆离心率的3种方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．③数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．(2)椭圆中有关范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式关系．课堂练习3：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，位于第一象限，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q →＝2QP →.假设F 1P →·F 2Q →＝0，则e 2＝( )A.2－1 B ．2－2C ．2－3D.5－2(2)中心为原点O 的椭圆的焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，假设∠OP A ＝90°，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎣⎡⎭⎫12，63D.⎝⎛⎭⎫0，22七．家庭作业：1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(20xx·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或74．(20xx·贵州六盘水模拟)点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，假设点P在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．125．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.236．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，假设椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－127．(20xx·安徽黄山一模)圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.8．(20xx·南充模拟)椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，假设|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是9．(20xx·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m取最大值时，点P 的坐标是．10．(20xx·湖南长沙望城第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．。

选修2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性质教案

2.2.2 椭圆的简单几何性质教学目标椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点，掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距，掌握离心率的定义及其几何意义，初步理解方程与几何性质间的联系。

教学重点椭圆的简单几何性质.教学难点椭圆的简单几何性质.（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）教学过程课题导入前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或)0(12222>>=+b a bx a y （焦点在y 轴上），接下来我们结合椭圆的标准方程研究椭圆有哪些几何性质。

我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式（板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y（焦点在x 轴上）（焦点在y 轴上）讲授新课几何性质我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程：12222=+by a x (a ＞b ＞0)进行讨论.在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。

我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质，1.范围：所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。

那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。

此时，你能说出椭圆的范围吗？这两组平行线所在的直线方程是？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？结论：椭圆的范围是-a ≤x ≤a; -b ≤y ≤b请大家思考：对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的，那么我们能否从函数的思想出发，对椭圆的范围进行分析呢？将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习，有助于我们理解知识与知识之间的本质联系，对我们的进一步学习是大有益处的. 2.对称性：你能从椭圆的图形上看出椭圆的对称性吗？我们怎样由椭圆的标准方程来研究椭圆的对称性？想一想，我们前面在函数中是怎样研究函数图像的对称性的？在函数里，我们讨论过对称性，如果以如果以-x 代x 方程不变，那么曲线关于y 轴对称，同理，以-y 代y 方程不变，那么曲线关于x 轴对称，如果同时以-x 代x ，以-y 代y 方程不变，那么曲线关于原点对称.我们来看椭圆的标准方程，以-x 代x ，或以-y 代y 或同时以-x 代x ,-y 代y ，方程怎样改变？所以椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.结论：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点：什么叫做椭圆的顶点？———椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书）由刚才我们所学的第二条性质，标准方程下的椭圆的对称轴是哪个？那么标准方程下的椭圆的顶点就在坐标轴上。

高中数学选修2《椭圆的几何性质》教案

椭圆的几何性质苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1【教学内容解析】1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中,,a b c的几何意义；2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生已有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立ba与椭圆圆扁程度的对应关系，再利用ba与ca的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】1.精心设置问题系列自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2.充分开展学生活动自主探究站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3.适时提炼思想方法自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1除了利用定义，你能根据椭圆方程2212516x y+=画出它的简图吗？【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法. 二、问题驱动合作探究问题2 一般地，以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例，你准备研究它的哪些性质？如何研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由.探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知22221(0)x y a b a b+=>>，求y x ,的取值范围.探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？方法提炼：图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点(,) (,)y P x y P x y '−−−→-轴也在曲线上⇒图形关于y 轴对称. 探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.二次函数2(2)1y x =--【设计意图】自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.例1：椭圆221259x y+=的长轴长为_______，短轴长为_________，顶点坐标是__________，_________.【学生活动】准确计算，熟练回答.【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能.探究4请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆221 259x y+=.【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆.【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.问题3 观察所画椭圆2212516x y+=和221259x y+=，它们在形状上有什么显著不同？问题3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？问题3.2 你能说出两个比221259x y+=更“扁”的椭圆吗？问题3.3 是不是方程中的,a b都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？问题3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？问题3.5 利用基本量,,a b c之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.并在探究过程中阐明以下事实：（Ⅰ）可行性：用比值ca和ba都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均相似.（Ⅱ）一致性：c a =；（Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景. 【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由b a 到ca符合学生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成概念的核心素养. 三、引导建构完善认知问题4 请你写出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.【学生活动】类比研究椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的方向、方法，自主归纳出了焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并体会到椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无关.【设计意图】通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解；另一方面，通过类比已有知识和方法，归纳得出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力. 四、典例剖析，深化理解例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；（2）长轴长为4，离心率为2；【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），加深对椭圆几何性质的应用和理解.【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与“数”的关系．五、总结提升形成体系结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？（1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；（2（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测及时反馈1. 椭圆22132y x +=的范围是_______________，顶点坐标为______________，离心率为___________.2. 已知椭圆的长轴长为，焦距为，则该椭圆的标准方程为___________.3. 椭圆2212x y +=与22143x y +=哪一个更“扁”一些？ 4. 试判断曲线2222=+-y xy x 的对称性.课后作业：1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本P37 习题2.2（2）1,2,4,5,8；3．选做题：已知)0(12222>>=+b a by a x ，求22y x +的最大值，并解释该结论的几何意义.。

高中数学2.1.2 椭圆的几何性质教案(3)(湘教版选修1-1)

第三课时椭圆的简单几何性质教学目标1、能利用椭圆中的基本量a 、b 、c 、e 熟练地求椭圆的标准方程2、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题3、培养理解能力，知识应用能力教学过程 1、复习回顾⑴说出椭圆x2/4＋y2＝1的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。

⑵求中心在原点，过点)2/3,1(P ，一条准线方程是043=-x 的椭圆方程。

1211673,142222=+=+y x y x⑶我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且A 、B 、F2在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星的运行轨道方程（精确到1km ）。

分析：几个概念的理解，坐标系的建立，由a ＋c ，a －c 求a 、b 、c 。

x2/77832+y2/77222=1 2、探索研究椭圆参数方程的推导以原点为圆心，分别以a 、b(a ＞b ＞0)为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹方程。

解：设点M 的坐标为(x,y)，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角。

取φ为参数，则⎩⎨⎧====ϕϕsin ||cos ||OB NM y OA ON x ，即⎩⎨⎧==ϕϕsi n c o sb y a x这就是点M 的轨迹的参数方程，消去参数φ后得到方程x2/a2＋y2/b2＝1，由此可知点M 的轨迹是椭圆。

点评：这道题给出了椭圆的一种画法。

大家想一想：画椭圆的方法有几种？ 3、反思应用例1 将椭圆方程x2/16＋y2/9＝1化为参数方程。

）＜是参数，πϕϕϕϕ20(sin 3cos 4≤⎩⎨⎧==y x例2 在椭圆x2＋8y2＝8上到直线l ：x －y ＋4＝0距离最短的点的坐标是______，最短距离是___。

数学苏教版选修2-1教案第2章3椭圆几何性质1

[目标要求]1．掌握椭圆的范围性、对称性、顶点、离心率等几何性质2．理解椭圆标准方程中a 、b 、c 及离心率e 的几何意义[重点难点]1．重点：椭圆的范围性、对称性、顶点、焦点、离心率的确定2．难点：基本量a 、b 、c 及e 的几何意义[典例剖析]例1：求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标，并尝试画出它们的图形．（1）400251622=+y x （2）13222=+y x例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴的长为16，离心率为21，焦点在y 轴上；（2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍．例3：（1）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（2）若椭圆19422=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值是（3）方程为13222=+-y xy x 的曲线关于对称[学习反思]1．长轴长、短轴长、焦距、离心率由a 、b 、c 确定，而顶点、焦点的坐标不仅取决于a 、b 、c 的值，还取决于椭圆的位置．2．对于椭圆)1(12222>>=+b a by a x 来说，a 、b 、c 是图中的BOF Rt ∆三边，（F 为焦点），且离心率e ∠=cos 3．椭圆的离心率)1,0(∈e ，0→e ，椭圆越接近于圆；1→e ，椭圆越扁平4．判断曲线的对称性，有如下结论：（1）以-x 代x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称．（2）以-y 代y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称．（3）以-x 代x ，同时-y 代y ，方程不变，则曲线关于原点对称．（4）以x 代y ，同时y 代x ，方程不变，则曲线关于直线y=x 对称．[巩固练习]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）6=a ，31=e ,焦点在x 轴上．（2）长半轴长为10, 53=e（3）3=c ，53=e ,焦点在y 轴上．（4）焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点距离为2,到右顶点距离为12．下列每组椭圆中，哪个更接近于圆？（1）1:c 36922=+y x 与2:c 1121622=+y x （2）1:c 36922=+y x 与2:c 110622=+y x3．画出图中椭圆焦点的位置，并说明画法及根据．【A 组题】1、椭圆12322=+y x 的焦点坐标是2、焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为54，则椭圆的标准方程为3、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是4、与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________5、已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率等于_______．6、我国载人航天飞船”神六”飞行获得圆满成功.已知飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200千米、350千米.则此飞船飞行的椭圆轨道的两焦点之间的距离为___________7、求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图：（1）16422=+y x （2）81922=+y x8、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆经过两点P （22-，0）、Q （0，5）；（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P （3，0）；（3）离心率等于0.8，焦距是8．【B 组题】1、方程x y x 5422=-表示的曲线关于对称2、关于椭圆192522=+y x 与125922=-+-k y k x （0<k<9）的关系正确的有①有相等的长、短轴 ②有相等的焦距③有相同的焦点 ④有相同的离心率3、已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率。

2.1.椭圆的简单几何性质-湘教版选修2-1教案

2.1.椭圆的简单几何性质-湘教版选修2-1教案1. 椭圆的定义椭圆是一个平面图形，它是一个固定点 F1 和 F2 与平面上所有点 P1 的距离的和相等的点 P 的集合，这个距离的和为2a。

我们称 F1 与 F2 分别为椭圆的焦点，a 为长轴的长度，它的一半b 为短轴的长度，两个焦点的距离为2c，有 a^2 = b^2+ c^2。

2. 椭圆的几何性质（1）椭圆的两条主轴椭圆有两条主轴，长轴是椭圆的最长轴，中心到末端的距离是 a，短轴是椭圆的最短轴，中心到末端的距离是 b。

（2）椭圆的中心椭圆的中心是两个焦点 F1 和 F2 的中垂线上的一点，这个点到椭圆上任一点的距离的平均值相等。

（3）椭圆的离心率椭圆的离心率是一个用以描述椭圆形状的常数，它的值为 e = c/a。

离心率 e表示椭圆形状的扁平程度，当 e = 0 时，椭圆为圆，当 0 < e < 1 时，椭圆为扁椭圆，当 e = 1 时，椭圆为长方形，当 e > 1 时，椭圆为超椭圆。

（4）椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理是指，如果一个点 P 在椭圆上，那么它到两个焦点 F1 和 F2的距离之差等于椭圆的长轴的长度，即 PF1 - PF2 = 2a。

（5）椭圆的切线和法线椭圆上任一点的切线是通过这个点的一条直线，它与椭圆相切于这个点。

椭圆上任一点处的切线是斜率唯一的。

椭圆的法线是垂直于切线且通过这个点的一条直线。

（6）椭圆的对称性椭圆有两条动轴，分别为长轴和短轴，动轴就是将椭圆两两对称的直线。

椭圆在它的动轴处是对称的。

（7）椭圆的面积椭圆的面积是πab。

（8）椭圆的周长椭圆的周长是C = 4a(E(e,π/2) - sin(E(e,π/2))), 其中E(e,π/2) 是椭圆的第二型完全椭圆积分。