复变函数第一章

复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
r
Pz x iy
x z, z x y,
张 长 华
y z,
z z z z2 .
2
o
x
x
复变函数与积分变换
如果 1 是其中一个辐角 ,
Argz 1 2kπ ( k为任意整数).
特殊地, 当 z 0 时, z 0,
张 长 华
辐角不确定.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y x 0, z 0 辐角的主值 arctan x , π x 0, y 0, 2, arg z arctan y π , x 0, y 0, x x 0 , y 0. π,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
6*、复球面表示------
将扩充复平面中 z
| z |
的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的
点建立一一对应关系。
复数的各种表示可相互 转换，在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算。
i 7 i 4 i 3 i;
……
i 8 i 4 i 4 1;
一般地，如果n是正整数, 则
i 4 n 1,
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i 4 n 1 i ,
i 4 n 2 1,
i 4 n 3 i .
复变函数与积分变换
复数的代数运算
Complex Analysis and Integral Transform
z z 2 yi 2i Im(z),
y
y
z z | z |2 [Re(z)]2 [Im(z)]2
z
o
y
x
z
x
张 长 华
复变函数与积分变换
性质:
Complex Analysis and Integral Transform
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
o x
x
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z2
z1 z2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
（4） 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
o
y
z2
z1 z2
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
共轭复数的性质 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z ,
若 z x iy, 则 z x iy.
例2 解
计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积.
N
P
x
S Z y
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
欧拉资料
Leonhard Euler
Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia
z1
x
( 2) z1 z2 z1 z2 .
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
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z1
z x iy
x
o
z x iy
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3、三角（或极坐标）表示---

集合相等
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
arg(z1z2 ) arg(z1 ) arg(z2 ) 2k
z1 arg( ) arg(z1 ) arg(z2 ) 2k z2
z n r n[cos( n ) i sin( n )]
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
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y
o
x
x
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
(1)此时的坐标面（称为 复平面）与直角坐标
y
y
r θ
P( x, y)

复数的乘积
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z1 r1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2

模和辐角
张 长 华
Arg(z1z2 ) Arg(z1 ) Arg(z2 ) z1 Arg( ) Arg(z1 ) Arg(z2 ) z2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
§1.1 复数及其运算
Fra Baidu bibliotek
一、复数的概念
1、产生背景




张 长 华
16世纪，意大利学者卡当（Cardan）第一个把负数的平方 根写进公式。笛卡尔称为“虚数”，欧拉“纯属虚幻”。 1747年法国数学家达朗贝尔指出，按多项式四则运算，这 种数的结果总是形式的。 1730年，棣莫弗公式，1748年欧拉公式，并创作了i作为 虚数单位。 复平面的表示，并与向量对应，理论逐渐完备。
张 长 华
y (其中 arctan ) 2 x 2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
（3） 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致. y
y
z2 z1
o
z1 z2
z2 z1
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Complex Analysis and Integral Transform
三、复数的运算
1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。 2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、 指数式。按多项式的运算方法进行， 并将 i 2 1 代入。 另外，我们所熟知的代数运算在复数域中依然成立。
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
张 长 华
z
的实部（real part）与虚部(imaginary part)。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z x iy

（1） 当 x 0, y 0 ，则 z iy 称为纯虚数 。 当 x 0, y 0 时，则 z x 为实数，虚部为0的 复数可以看成实数。 全体实数是全体复数的一部分。 复数是实数 的推广。 虚部不为0的复数称为虚数。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform

（3）共轭复数
z x iy x iy 称为z的共轭复数。
记为 z x iy 是一一对应的关系。例：
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、定义：形如
z x iy
x Re( z), y Im( z)
z x iy 的数称为复数，其中 i 1 称为虚单位，x, y 为任意实数,且记
z
x Re(z ), y Im( z ) 分别称为
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform

（2）复数的相等
z1 x1 iy1
z2 x2 iy2
z1 z2 x1 x2 , y1 y2

张 长 华
所以，复数为0意味着什么呢？ 两个复数是否可以简单比较大小？
二、复数的表示法
1、(复平面上的)点表示-----用坐标平面上的点(1806高斯 ） 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对 (x ,y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 用来表示复数, 面.
y
z x iy
( x, y)
( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
结论： 两个共轭复数 z , z 的积是一个实数.
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z z 2 x 2 Re( z)
大学数学教程
复变函数与积分变换
主讲
丁然
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
第一章
1.1 1.2 1.3 1.4
复数与复变函数
复数及其运算 复平面上的曲线和区域 复变函数 复变函数的极限和连续性
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
虚数单位的特性:
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
5
i 3 i i 2 i; i i i i;
4 1
i i i 1; i 6 i 4 i 2 1;
z x iy r (cos i sin ) 由 x r cos , y r sin
4、指数表示——z rei
欧拉公式
i
y 得 r | z | x y , arctan x
2 2
e cos i sin
z x iy
5、代数表示-----张 长 华
( 2) z z;
( 3) z z Re( z ) Im( z ) ;
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
平面的区别与联系。
(2)复数z x iy与点（x,y）构成 一一对应关系，复数z=x+iy 由（x,y）唯一确定。
张 长 华
x
x
为了方便，复平面复平面中不区分点和复数。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2. 向量表示-------（1）复数的模(或绝对值)
（2）复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
Complex Analysis and Integral Transform
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
说明
任何一个复数 z 0有无穷多个辐角,
那么 z 的全部辐角为