祁阳二中高三理科数学周考

祁阳二中高三理科数学周考
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{(,)lg },{(,)}A x y y x B x y x a ====，若A B =∅，则是实数a 的取值范
围是（ ）
A. 1a <
B. 1a ≤
C. 0a <
D. 0a ≤
2.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈为虚数单位）
的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 3.执行如图所示的程序框图,输出的M 值是 （ ）
A ．2
B ．1-
C ．
1
2
D ．2- 4.命题“x R ∃∈，使得()f x x =”的否定是 （ ） A. x R ∀∈,都有()f x x = B.不存在x R ∈,使()f x x ≠ C. x R ∀∈都有()f x x ≠ D. x R ∃∈使()f x x ≠
5.已知等比数列{}n a 的前n 项积记为n ∏，若3488a a a =，则 9∏= ( ) A.512 B.256 C.81 D.16
6.如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是 ( )
B
A
x
x
7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A. ()sin f x x x =+ B. cos ()x f x x =
C. ()
cos f x x x = D.3()()()22
f x x x x ππ
=--
x
8.已知1F 、
2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点
一点P 与点2F 关于直线bx
y a
=
对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A.
B. C. D. 2
9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ),且当x ∈[0,1]时，其图象是
四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )= |x e x
|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
10.已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当
(1,2)x ∈时取极小值，则221
()(3)2
b c ++
-的取值范围是 （ ）
A.
B. C. 37(,25)4 D. (5,25)
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答)
11.在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为 .
12.∀x ∈R ，且x ≠0，不等式|x ＋1
x
|>|a －5|＋1恒成立，
则实数a 的取值范围是
13.如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝2，BC ＝6， ∠CAB ＝120°，则∠AOB 对应的劣弧长为 . (二)必做题(14～
16题)
14.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为________.
15.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积为____________.
俯视图
侧视图
正视图
16.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2
(),()(1)sin 22,[21,22)2n
n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨
⎪-++∈++⎪⎩
，若数列{}m a 满足*(
)()2
m m
a f m N =∈,且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -=_____________. 【答案】8042 【解析】
试题分析：20142006S S -=20072008200920102011201220132014a a a a a a a a +++++++.因为
20072007(
)250122a f ==+⨯+，2008(1004)2502a f ==⨯，
20092009(
)25022a f ==⨯，2010(1005)125022a f ==-+⨯+，
2011250222a =-
+⨯+，20122503a =⨯，201325032
a =+⨯，2014125032a =-+⨯+.所以20142006S S -=8042.
考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想. 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量)sin ,)62(sin(x x m π
+
=，)sin ,1(x =，2
1
)(-⋅=x f . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =,1()2
2
A
f =, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.
18．（本小题满分12分）
袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为
5
12
．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面
ABCD ，
E 、
F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，2PA =.
（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；
（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值.
20．（本小题满分13分）
设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π
的
直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.
（Ⅰ）求椭圆D 的方程；
（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,
若CE EM λ=, 求λ的取值范围；
（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值.
P
F
E
A B
D
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． DABCA DCBBD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.ρcos θ＝2 3.12.(4,6) 13.
22π 14. 2
3
15．9 16．②③ 三、解答题：
16. （本小题满分12分） 解: （Ⅰ）2
1
sin )6
2sin()(2-
++
=x x x f π
11cos 21
2cos 2222x x x -=
++-x 2sin 2
3=……………………4分 所以()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
.……………………5分 （Ⅱ）由1()22A
f =和x x f 2sin 23)(=得
: sin A =……………6分
若cos 3
A =
，而C C C A sin 36cos 33)sin(+=+
又C C A cos 2)sin(3=+,所以C C sin 2cos =
因为π<<C 0，所以3
6cos =C
若cos A =
，同理可得：cos C =，显然不符合题意，舍去. …9分
所以sin sin()3B A C C =+==……………………10分 由正弦定理得
:sin sin a B
b A
=
=……………………12分
17．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为2
29
n C C …2分
由题意知229512
n C C =，化简得2
300n n --=．
解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分
故袋中原有白球的个数为6……………………6分 （Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. 2(1)3P X ==
； 361
(2)984P X ⨯==
=⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161
(4)987684
P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.
所以取球次数X 的概率分布列为：
……………10分
所求数学期望为211110()12343414847
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=…………………12分 18．（本小题满分12分）
(Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点， 所以EF ∥PB ……………………2分 因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………4分 （Ⅱ）因为=1EA EB AB == 所以60ABE ∠= 又因为E 为BD 的中点
所以ADE DAE ∠=∠
所以2()180BAE DAE ∠+∠=
得90BAE DAE ∠+∠=，即BA AD ⊥……………6分 因为=1EA EB AB ==
，所以AD =分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系
所以1(1,0,0),(0,0,2),(0,
(,222
B D P F E
则133
(1,0,2),(0,3,2),(,
,0),(0,2PB PD AE AF =-=-==………8分 设1111(,,)n x y z =、222
2(,,)n x y z =分别是面PBD 与面AEF 的法向量
则1
11120
20
x z z -=⎧⎪
-=
，令1n =
又2222
010
2y z x y +=⎨⎪=⎪⎩，令2(2n =-……………11分
所以1212
12
11
cos ,19
n n n n n n ⋅=
=
……………12分 21．（本小题满分14分）
解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c 由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=
因1F 到直线AB 的距离为3,所以有
31
333=+--c
c ,解得3=c ……………2分
所以有32
22==-c b a ……①
由题意知:
4222
1
=⨯⨯b a ,即2=ab ……② 联立①②解得:1,2==b a
所求椭圆D 的方程为1422
=+y x ……………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为14
22
=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λ
λ
λ
λ
+=
+-
=∴1,111m
y x ……………7分
又E 是椭圆D 上的一点,则
1)1(4
)1(22
=+++-
λ
λλ
m 所以04)
2)(23(2
≥++=
λλm
解得：2
3
λ≥-或2λ≤- ……………9分
（Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q
根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k
由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2
214182k
k x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k
+ 所以线段PQ 的中点坐标为,418(2
2k k +-)4122
k k
+ (1)当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴 于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=
由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………11分 (2) 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +
-=+x k k k (1
4122)4182
2k k + 因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点 令0=x ,得:2
416k k
t +-
=
于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=
由4)41()11516(4)(22
22411=+-+=---=⋅k k k t y t x NQ NP ,解得:714
±
=k 代入2416k k
t +-
=,解得: 5
142±=t 综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5
14
2±
=t . ……………14分。