微积分习题讲解与答案

习题8.1

1•指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程:

(3) x

2

y 4y (sin x)y = 0

⑷^P p= sin 2 r

d6

解(1)1阶非线性

(2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性

2•验证下列函数是否是所给微分方程的解

/八

、亠 sinx (1)

xy y = cosx, y =

x

(2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 • C" - x 2 (C 为任意常数)

(3)

y 2y ： y = 0, y 二 Ce x

(C 为任意常数)

(4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2

x

(C 1 © 为任意常数)

(5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy • y 2 =C (C 为任意常数)

(6)

(xy -x)y xy 2

yy 1

-2y = 0,

y = ln( xy)

xcosx — sinx sin x 亠

解⑴是，左=x

2

cosx =右 x x

(2) 是，左=(4 — X

2

)-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右

訥-x 2

(3) 是，左=Ce x

-2Ce x Ce x =0 =右

(4) 是，左=

G ：e i

x C 2 2e 2

x )-(「-g re 4

x C 2 -e 2

x ) i 2(Se 4

x C 2e»0

=右

2x — y

(5) 是，左=(x - 2y)

2x - y 二右

2

⑴ x(y ) -2yy xy = 0

2

(2) x y - xy y = 0

x — 2y

(6)是，左=(xy-x)

2xy2—xy3；2xy x^^

(xy-x) (xy-x)

y亠-2亠xy _ x xy _ x

2xy 2_xy3_2xy xy 2 (xy-x)2

(xy-x)2

=右

3•求下列微分方程的解

(3)

(1 y)dx -(1 -y)dy 二 0

解(1) dy = 2dx, y = 2x C (2)

y dx 二 cosxdx, y = sinx C 1

Jy"dx = f( si x + CJdx,y = _cox + Gx+C 2

1-y

-(1 + y)+2

(3)

dy 二 dx dy 二 dx

1+y

』1 + y

2

解得 -dy

dy 二 dx • 1 + y

即「y 2ln 11 y x C

dx

2 2 2

解得 ln(1 y ) = ln(1 x ) 6

4•已知曲线y 二f (x)经过原点，并且它在点 (x,y)处的切线的斜率等于 2x 2

，试求这条曲 线的方程。 解已知y —2x 2

又知曲线过原点，得C =

所求曲线方程为厂»

3

2

(y -2y)(xy — x)

=0

⑴餐2 ;

dx

⑵

d

4 二 cosx ； dx

(1 y 2

)x

2

(1 x )y

整理得

1 y 2

1 x 2

1. 用分离变量法求下列微分方程的解

⑴ y =4x 、y

2 2

(4) sec xtan ydx sec ytan xdy 二 0

整理得 tanx tany =C

1 2 1

x(1 x)dx 解得 y y

2 3

由于 y|x=0 = 0 贝V C =-3

2

—y 2x

原方程解为 2e = 3 - e 2. 求下列齐次方程的解

" y (1) xy = yin

x

习题8.2

匚dx_丄dy

-0

,

y |

x

- 1

(6)

y

- e y ,

y |

x

~ 0

2x-y 解（1） 1

——dy 二 4xdx

解得 y = (x

2

• C)2

dy dx

yiny

解得 y 二

e Cx 10—y

dy

二

10x dx 解得

-10_^10x C 即 10x

10」=C

2

sec y tany

dy

2

sec x .

dx tan x 解得 in |tan y - in |tan x | C 1

由于y|x£=1

则与】y

3

2

3

，解得

-x 3

3

e 今dy = j e 2x

dx 解得 -e

-y

1

2x

e C 2

(3) xy - y -、y

2

- x 2 = 0

x 2dy = (y 2

xy x 2 )dx

(2) xy‘- yin y = 0

⑶八10

x y

y(i y)dy 二 r 3 C

dy dx