《导数与微分》PPT课件

x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
导数与微分
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
Leabharlann Baidu
2
y

2 c os(x
定理1 如果u 、v都是x的可导函数，则函数
y u v 也是x的可导函数，
y ' (u v)' u ' v '
可以推广到有限多个函数的代数和。
在x 0处，要求 lim f ( x) lim f ( x) f (0) 3
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 2x 3) 3
x0
x0
lim f ( x) lim (ax b) b f (0) 3
x0
x0
在x

0处可导，必须f
'
(0)

f ' (0)
f
'
(0)

lim
x0
f ( x) f (0)
x2 2x 3 3
lim
2
x0
x0
x0
f
'
(0)

lim
x0
ax b 3 x0

lim
x0
ax x

a

a

2
导数与微分
§2-2 导数的运算法则 一、导数的四则运算
x0 x x0
x
记为：y' xx0 f ' (x0 ) y' ( x0 )
dy dx xx0
变化率：函数在点 x0 的变化速度。
定义2：导函数的概念： 如果函数f(x) 在区间 (a,b) 内都可导，则区间 (a,b) 内每一点
x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函 数 f(x) 在区间 (a,b) 内对 x 的导函数derived function。
log
a
(1

x
)
x x
x
y'
(loga
x)'

1 x
log
a
e

1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
(ln x)' 1 x
导数与微分
例：用导数定义求导数。
f ( x) ax2 b(a, b是常数)，x x0
解：f
' ( x0 )

lim [a( x0
x 0
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
导数与微分
lim y
x0
lim y x lim y lim x
x0 x
x0 x x0
导数与微分
２、 质量非均匀分布的细杆线密度 已知质量m=m(x),求某点的线密度。
( x0 )

lim
x 0

lim
x0
m x
抽象为数学概念： 平均变化率：y 当 x 0 时的极限称为x0
处的导数。 x
导数与微分
导数 derivative 定义1 p24
lim y lim f (x0 x) f (x0 )

x)2 b] (ax02 x
b)

2ax0
f ( x) x , x x0
解：f
' ( x0 )

lim
x 0
x0 x x
x0 1 2 x0
设f ' ( x0 )存在，A表示什么。
lim f ( x0 x) f ( x0 ) A
x 0
导数与微分
第二章
导数与微分
导数与微分 §２-１导数的概念
导数与微分１
一、导数的定义 问题的提出
１、变速直线运动的速度 已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时 速度。

(t0
)

lim
t 0
S lim
t0 t
lim S(t0 t) S(t0 )
t 0
t
y' C' 0
导数与微分
例5：幂函数 y x n （n为正整数）的导数
y (x x)n xn [xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 L (x)n ] xn 2!
y nxn1 n(n 1) xn2 x (x)n1
x
解：A lim x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ' ( x0 )
导数与微分
求a,
b的值，使函数

x
2

2x

3 __
x

0
ax b ______ x 0
在(, )内连续、可导。
解：在(, 0)、(0, ), f ( x)为多项式，连续、可导。
f
' (x0 ) 0 0
逆命题不成立。
例：例3 p24 结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条 件。即可导一定连续，连续不一定可导。
三、导数的基本公式 ：
导数与微分
例4：常数函数的导数 y C
设自变量增量 x ，恒有 y C C 0
则 y 0
x
因此 lim y lim 0 0 x0 x x0

x)
sin
x 2
x
2 x
导数与微分
y' (sin x)' lim y cosx x0 x
(cos x)' sin x
例6：对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数
y

log a
(1
x ) x
导数与微分
y x

1 x
导数与微分
左导数和右导数
lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 )
f ' ( x0 )
lim
x 0
f (x0 x) f (x0 ) x
f ' ( x0 )
f’(x0) 存在的充分必要条件是左右导数存在 并相等。
导数与微分
几何意义：f ' (x0 ) 是曲线在点 (x0 , y0 ) 的切线斜率。
物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加 速度、电流、角加速度、感应电动势等。
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
导数与微分
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。