10曲线积分和曲面积分教学材料
10曲线积分与曲面积分-2
线性性质.
∫∫∑ [k1 f (x, y, z) ± k2g(x, y, z)]d S = k1∫∫ f (x, y, z) dS ± k2 ∫∫ g(x, y, z) dS ∑ ∑
二,对面积的曲面积分的计算法
定理1: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续, 则曲面积分
z
其中, λ 表示 n 小块曲面的直径的
x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义: 定义: 设 ∑ 为光滑曲面, "乘积和式极限"
f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一
个有界函数, 若对∑ 做任意分割和局部区域任意取点,
记作
∫∫ f (x, y, z)d S
∑
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, ∑ 叫做积分曲面. 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为
xdS ; xdS ;
( 2000 考研 )
1
1
备用题 1. 已知曲面壳
质量 M . 解: ∑ 在 xOy 面上的投影为
的面密度
求此曲面壳在平面 z =1以上部分∑ 的
Dx y : x2 + y2 ≤ 2 , 故
M = ∫∫ d S = ∫∫
∑
3 1+ 4( x2 + y2 ) d xdy Dx y z
解
积分曲面 ∑:z = 5 y ,
投影域 : D xy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25 }
dS = 1 + z ′x + z ′y dxdy
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
曲线积分与曲面积分重点总结+例题教学文稿
曲线积分与曲面积分重点总结+例题第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法。
3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3. 第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n (∆s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )∆s i ;整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆==→∑),(lim 10ηξμλ. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n , 并用∆s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段∆s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ; 令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L),(⎰, 即 i i i n i L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(⎰是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L),(⎰μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广: i i i i n i s f ds z y x f ∆==→Γ∑⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定 ds y x f ds y x f ds y x f L L L L ),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+. 闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作 ds y x f L),(⎰. 对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c LL L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+; 性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(21⎰⎰⎰+=;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则⎰⎰≤LL ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有⎰⎰≤LL ds y x f ds y x f |),(||),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为 ⎰Lds y x f ),(. 另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为 dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=,曲线的质量为 ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()()]( ),([22. 即 ⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22. 定理 设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β),其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且ϕ'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分ds y x f L ),(⎰存在, 且 dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰(α<β).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L),(⎰=? 提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), dx x x x f ds y x f ba L ⎰⎰'+=)(1)](,[),(2ψψ. (2)若曲线L 的方程为x =ϕ(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L),(⎰=? 提示: L 的参数方程为x =ϕ(y ), y =y (c ≤y ≤d ), dy y y y f ds y x f dc L ⎰⎰+'=1)(]),([),(2ϕϕ. (3)若曲Γ的方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β),则ds z y x f ),,(⎰Γ=? 提示: dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ. 例1 计算ds y L ⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此 ⎰⎰'+=10222)(1dx x x ds y L ⎰+=10241dx x x )155(121-=. 例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解 取坐标系如图所示, 则⎰=Lds y I 2. 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7于是 ⎰=L ds y I 2⎰-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin ⎰-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α). 例3 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解 在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,于是 ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a )43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤:(1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。
第10章曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green ）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。
4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass ）公式和斯托克斯（Stokes ）公式并会计算两类曲面积分。
5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。
6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。
二、教学内容及学时分配：第一节 对弧长的曲线积分 2学时 第二节 对坐标的曲线积分 2学时 第三节 格林公式及其应用 2学时 习题课 2学时 第四节 对面积的曲面积分 2学时 第五节 对坐标的曲面积分 2学时 第六节 高斯公式 通量与散度 2学时 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 2学时 习题课 2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。
5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用第一节 对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。
2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mds z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
第十章曲线分与曲面积分
§3格林公式及其应用（Ⅱ）
一、已知 为某二元函数的全微分，求 的值。
二、计算 ，其中L是沿 从A（ ，- ）到
B（- ，- ）的曲线段。
三、试确定 的值，使 的值与路径无关，其中路径L与x轴不相交，并计算从（1，1）到（0，2）的积分值。
四、若曲线积分 的值与路径无关，且 求
习题课
一、在过点 的曲线族 中，求一条曲线L，使沿该曲线从 的曲线积分 的值最小。
二上从 的弧段。
四、设 在 平面上有一阶连续偏导数，又曲线积分
与路径无关，并且对任意 有：
求 。
§4对面积的曲面积分
必作习题
P190 1；2；4；6（2）（4）
第十章曲线积分与曲面积分
§1对弧长的曲线积分
必作习题
P158 1；2；3（1）（3）（5）（7）
必交习题
一、计算 ，其中L为圆周 ，直线 及 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。
二、计算 ，其中L为曲线 在相应于t从0到2的这段弧。
三、计算 ，L为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。
必交习题
一、填空题：
1．向量场 在点 处的散度 。
2．设 为 的模，则在 处有 。
二、计算 ，其中L为椭圆
，若从x轴正向看去，取逆时针方向。
三、求向量场 沿闭曲线L（从z轴正向看依逆时针方向）的环流量，其中 （c为常量），L为圆周 。
三、计算 ，其中 为球面 的上半球面的外侧，L是它的边界曲线， 。试用下列两种方法计算I
（1）高斯公式；（2）斯托克斯公式。
习题课
第十章：曲线积分与曲面积分
第十章：曲线积分与曲面积分本章知识点1、曲线积分2、第一曲面积分3、第二曲面积分4、两种曲面积分的联系5、各种积分的联系重点：1．两类曲线积分的概念及计算方法2．格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件3．两类曲面积分的概念及计算方法4．高斯公式难点：1．曲面积分的概念及计算方法2．斯托克斯公式第一节对弧长的曲线积分一、公式：=应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:2.函数在L上有定义，且连续。
公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：二、常用计算法：１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．２．对于平面曲线，可以用公式的变形．３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。
（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．三、公式推导及证明推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。
推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，（）；记d＝max（），为［］上的弧长，为［］上任意一点．求和：利用积分定义，由弧长公式：由中值定理：其中是由中值定理确定的［］上的一点，；于是：利用,,,的连续性，有：于是：右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义取极限：得公式：四、例题例1． 计算ds y L⎰，其中L 是抛物线上点O （0，0）与点B （1,1）之间的一段弧。
例2． 计算曲线积分ds z y x ⎰++Γ)(222，其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到2π的一段弧第二节 对坐标的曲线积分一、问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ． 公式的推导分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，（其中，是线段与的夹角）设，，是在x,y,z 三轴正方向的投影．则：做和：二．公式{}⎰⎰'+'=+βεψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)()(),([)()(),([),(),(三、 两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:例题： 例1：计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点A （1，－1）到点B （1,1）的一段弧 例2 计算⎰-+ydz x dy zy dx x 2233，其中是从点A （3,2，1）到点B （0,0，0）的直线段AB第三节 格林公式及其应用 一．格林(Green)公式:,其中:l 为光滑曲线,D 为平面单连通区域,l 为D 的边界. P,Q 在D 及l 上连续,并且有对x,y的连续偏导,右侧积分取区域正向,即延正向前进,区域在左边. 二．平面上曲线积分与路径无关的条件 三．二元函数的全微分求积四．例题例1 求椭圆θθsin ,cos b y a x ==所围成图形的面积A 例2 计算⎰⎰-dxdy e y2，其中D 是以O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角形闭区域 例3 验证：22yx ydxxdy +-在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数 第四节 对面积的曲面积分思想:与曲线积分类似,只不过分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段, 这里以微小切平面代替曲面.接下来是求和,取极限.一、公式:其中z=f(x,y)为曲面方程.也可写成,其中为法线与z 轴夹角.若s 为参数形式x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于,(其中所以公式可化为若记,,则公式亦可写为:.二、计算方法:1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出与后.s由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始公式.2.化方程为参数方程.计算A,B,C或E,F,G利用推倒公式求积分.3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.三、公式推广:第一式中z=f(x,y).第二式E,F,G定义同上.四、例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑zdS，其中∑是球面2222azyx=++被平面z=h(0<h<a) 截出的顶部例2 计算⎰⎰∑xyzdS，其中∑是由平面x=0,y=0 ,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面第五节对坐标的曲面积分一．同第二类曲线积分的推导及形式,相类似的有积分形式为:二．下面求第二类曲面的计算公式: 与上述推导类似,分割,做和,与I相比较,有对于正负号的取舍,适当uv平面的正向与曲面s选定一侧相关的正向相互对应时取正号,否则取负.因为第二类区面积分计算可利用上述公式将分别计算,然后求和.三．两类曲面积分的联系对于微小面有(由中值定理得其存在性).作和,由于.取极限:,其中为微小元的直径的最大值.因为,于是得由方程对称性得到联系方程(为法线与x,y,z轴的夹角)四．例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222长方体Ω的整个表面的外侧，{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0,0,0),,(。
曲线积分与曲面积分备课教案
曲线积分与曲面积分备课教案第一章：曲线积分概述1.1 曲线积分的概念引入曲线积分的基本概念，理解曲线积分的重要性。
解释曲线积分的定义，通过图形和实例进行说明。
1.2 曲线积分的计算方法介绍常用的曲线积分计算方法，如参数法、极坐标法等。
讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。
第二章：曲线积分的应用2.1 曲线长度引入曲线长度的概念，并解释其与曲线积分的关系。
学习计算曲线长度的方法，并通过实例进行练习。
2.2 曲线围成的面积介绍曲线围成面积的概念，并解释其与曲线积分的关系。
学习计算曲线围成面积的方法，并通过实例进行练习。
第三章：曲面积分概述3.1 曲面积分的概念引入曲面积分的概念，理解曲面积分的重要性。
解释曲面积分的定义，通过图形和实例进行说明。
3.2 曲面积分的计算方法介绍常用的曲面积分计算方法，如参数法、极坐标法等。
讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。
第四章：曲面积分的应用4.1 曲面的面积引入曲面面积的概念，并解释其与曲面积分的关系。
学习计算曲面面积的方法，并通过实例进行练习。
4.2 曲面的体积介绍曲面体积的概念，并解释其与曲面积分的关系。
学习计算曲面体积的方法，并通过实例进行练习。
第五章：曲线积分与曲面积分的进一步应用5.1 曲线积分与曲面积分的联系与区别探讨曲线积分与曲面积分的联系与区别，加深对两种积分概念的理解。
通过实例说明两种积分的应用场景和计算方法的不同。
5.2 曲线积分与曲面积分的综合应用引入实际应用问题，综合运用曲线积分和曲面积分进行解决。
通过实例讲解如何将实际问题转化为曲线积分或曲面积分问题，并进行计算和分析。
第六章：曲线积分与曲面积分的定积分形式6.1 曲线积分的定积分形式引入曲线积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。
学习如何从曲线积分的定积分形式进行计算，并通过实例进行演示。
6.2 曲面积分的定积分形式介绍曲面积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
曲线积分与曲面积分高等数学下册国家级课程教案
曲线积分与曲面积分——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：曲线积分概念及性质1.1 教学目标了解曲线积分的概念掌握曲线积分的性质学会计算曲线积分1.2 教学内容曲线积分的定义曲线积分的性质曲线的参数方程与曲线积分曲线积分的计算方法1.3 教学方法采用讲解、例题、互动讨论的方式进行教学引导学生通过图形直观理解曲线积分概念培养学生运用性质简化计算过程的能力第二章：曲线积分的计算2.1 教学目标学会计算曲线的弧长掌握计算曲线积分的方法能够应用曲线积分解决实际问题2.2 教学内容弧长的计算曲线积分的计算方法曲线积分在实际问题中的应用2.3 教学方法结合实例讲解弧长与曲线积分的计算方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行图形绘制与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分在实际问题中的应用第三章：曲面积分概念及性质3.1 教学目标了解曲面积分的概念掌握曲面积分的性质学会计算曲面积分3.2 教学内容曲面积分的定义曲面积分的性质曲面的参数方程与曲面积分曲面积分的计算方法3.3 教学方法采用讲解、例题、互动讨论的方式进行教学引导学生通过图形直观理解曲面积分概念培养学生运用性质简化计算过程的能力第四章：曲面积分的计算4.1 教学目标学会计算曲面的面积掌握计算曲面积分的方法能够应用曲面积分解决实际问题4.2 教学内容曲面的面积计算曲面积分的计算方法曲面积分在实际问题中的应用4.3 教学方法结合实例讲解曲面的面积与曲面积分的计算方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行图形绘制与计算验证鼓励学生自主探究曲面积分在实际问题中的应用第五章：曲线积分与曲面积分的应用5.1 教学目标学会运用曲线积分与曲面积分解决实际问题掌握曲线积分与曲面积分的几何意义了解曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用5.2 教学内容曲线积分与曲面积分的几何意义曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用实际问题的建模与计算方法5.3 教学方法结合实际问题讲解曲线积分与曲面积分的应用方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行实际问题建模与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用第六章：曲线积分与曲面积分的计算技巧6.1 教学目标学习曲线积分与曲面积分的计算技巧掌握一些特殊的积分公式提高计算曲线积分与曲面积分的速度和准确性6.2 教学内容特殊的积分公式变量代换法在曲线积分与曲面积分中的应用分部积分法在曲线积分与曲面积分中的应用三角函数的积分公式在曲线积分与曲面积分中的应用6.3 教学方法通过讲解和例题展示特殊的积分公式和计算技巧引导学生运用变量代换法和分部积分法解决实际问题鼓励学生自主探究三角函数的积分公式在曲线积分与曲面积分中的应用第七章：曲线积分与曲面积分的应用案例分析7.1 教学目标学会运用曲线积分与曲面积分解决实际问题掌握曲线积分与曲面积分的应用案例分析方法能够应用曲线积分与曲面积分解决工程与科学研究中的问题7.2 教学内容曲线积分与曲面积分在物理学中的应用案例分析曲线积分与曲面积分在工程学中的应用案例分析曲线积分与曲面积分在生物学中的应用案例分析7.3 教学方法结合实际问题讲解曲线积分与曲面积分的应用案例分析方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行实际问题建模与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用第八章：曲线积分与曲面积分的进一步研究8.1 教学目标学习曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识掌握曲线积分与曲面积分的进一步研究方法了解曲线积分与曲面积分的前沿研究领域8.2 教学内容曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识曲线积分与曲面积分的进一步研究方法曲线积分与曲面积分的前沿研究领域8.3 教学方法通过讲解和例题展示曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识和进一步研究方法引导学生阅读相关的学术论文和研究报告鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分的前沿研究领域第九章：曲线积分与曲面积分的综合练习巩固和加深对曲线积分与曲面积分的理解和掌握提高解决实际问题的能力培养学生的综合应用能力9.2 教学内容综合练习题集综合练习题讲解实际问题案例分析9.3 教学方法通过布置综合练习题和实际问题案例分析，巩固和加深对曲线积分与曲面积分的理解和掌握组织学生进行小组讨论和交流，提高解决实际问题的能力引导学生运用所学的知识和方法，培养学生的综合应用能力第十章：总结与展望10.1 教学目标总结学习曲线积分与曲面积分的收获和体会展望曲线积分与曲面积分在未来的发展和应用前景激发学生继续学习和深入研究的兴趣和动力10.2 教学内容学习收获和体会分享曲线积分与曲面积分的未来发展趋势曲线积分与曲面积分的应用前景通过小组讨论和报告，总结学习曲线积分与曲面积分的收获和体会引导学生关注曲线积分与曲面积分的未来发展趋势和应用前景鼓励学生继续学习和深入研究，激发学生的兴趣和动力重点解析本文档详细编写了一套关于曲线积分与曲面积分的教案，包含了十个章节。
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侧面积 ALzdsLyds
x L:
5cot s(0t)
y3sitn
A3sitn 5si2n t9co2td s t
0
3 54co2stsintdt
0
2
3
5 u2du 915ln5
0
4
注
曲面面积的计算法
z
zf(x,y)
S
z
zf(x,y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
x S f(x,y)ds L(A,B)
解 补上曲面
0:z e a,x 2 y 2 a 2
取上侧
则由 Gauss 公式
4 zxd2 yzd yzdz (1 dz2 x )dxdy
0
(4z2z2z)d v0
4 zxdy 2zdyzdz(1d zx 2)dxdy 0 (1z2)dxdy
0
(1e2a)dxdy(1e2a)a2 x2y2a2
d s ( x t ) 2 (y t ) 2 d 3 tsti cn to , dst
S 82 1 c6 o t s6 itn 3 sitc ntodst 0
24 2 3si2tn co 2tssitc no tdst 0
2432si2ntco2tsdt
3
3 .
0
2
例4 计算 | xyz| dS :zx2y2被平 z1面 所截下的部分
LPdQ x d y D( Q x P y)dxd 或yLQd P xd y D( P x Q y)dxdy
A (M )为平面向量场
L A A 推d s d 广 D S (r(A o r k A o tA ) d (n M t)d x )为 d Sy 空 ( L 间 (A A n n ) )d d 向 ss D 推d 量 d 广A id A v id 场 x vv dy
Q P , (x, y) D 是 ( ). x y
(A)充 分 条 件 ; (B)必 要 条 件 ; (C)充 要 条 件 . 5 、 设 为 球 面 x 2 y 2 z 2 1 , 1 为 其 上 半 球 面 , 则
y
dS
z dS
z
dS
转动惯量
Ix(y2z2)dS
Iy (x2z2)dS
Iz (x2y2)dS
二、典型例题
例1 求椭圆柱面 x2 y2 1 位于xoy 面上方
59
和平面 z = y 下方的那部分的侧面积
解一 易见曲面对称于 yoz 面
AdS2dS 1:x 5 2y 9 2 1 ,x 0 ,1y 0 ,0 zy
I4 zxd 2z yy dd z(1 z d z2)d xxdy
4zxd 2 yzd yd z(z1 dz2)x dxd(e2y a1)a2 0
例7 计算
I [ f(x, y,z) x]dydz[2f(x, y,z) y]dzdx
[ f (x, y,z)z]dxdy, 其中f (x, y,z)为连续函,数
1
1
1 3dxdy .
3 Dxy
2
向量点积法
设 : zf(x,y),法向量 fx为 ,fy,1,
IPdyQ dzd zR dxdxdy
{P,Q ,R }{dy,ddzz,d dx x}dA y n0dS
{P,Q ,R }{fx ,fy ,1}dxdy
将 在 x面 oy { 投 P ,Q ,R } 影 { fx , fy ,1 } d.xd
(x2y2z2)3
其为 中1 曲 z (x 面 2 )2 (y 1 )2(z 0 )的上 5 16 9
解 记 r x2y2z2 Prx3,Qry3,Rrz3
P Q R x y z
r23x2r2 r5 3y2r23z2
0 (r 0)
考虑使用 Gauss 公式
但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“ 碗 ”
解二
ez dx dy ez dxdydz
x2y2
x2y2
2e2
123
1:z 2 ,x 2y 2 4
上侧
2:z 1 ,x 2y 2 1 下侧
3:zx 2 y 2,1 z 2 外侧
3在 xo 面 y 的 ： 1x 投 2y2 影 4
1 2 3
e2
e
dxdy
dxdy
x2y24 x2y2
x2y21 x2y2
00
1
2 r5
14r2dr
125 51 420
0
例5 计算
x2
1 y2
z2
dS
是介 z0 ， z 于 H 间的x2 圆 y2柱 R 2 面
解 1:x R 2 y 2,0 y R
1 在 y面 ozD 的 ： 0 y R 投 ,0 z H 影
由对称性
1
x2 y2 z2dS
1 R
z 2 dx d [c yR 2 (x a )2 (y b )2 ]2 dxd
D
[cR 2(xa)2(yb )2]2dxd
D
4c R 2(xa)2(yb)2dxdy
D
4c
R2u2v2dudv8R3 c
u2v2R2
3
同理 x2dydz83R3a
y2dzdx83R3b
x 2 dy y d 2 dz z z d 2 dx x 8 d R 3(y a b c )
3、
若
L
是
上
半
椭
圆
x y
a b
cos sin
t t
, 取 ,
顺
时
针
方
向
,则
L ydx xdy 的 值 为 (
).
(A)0;
( B ) ab ; 2
( C ) ab .
4、 设 P ( x , y ) , Q ( x , y )在 单 连 通 区 域D 内 有 一 阶 连 续
偏 导 数 , 则 在 D 内 与 L Pdx Qdy 路 径 无 关 的 条 件
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
关于对称性
对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积 分相类似的奇偶性
你对称，我奇偶
扣在xoy坐标面上，与xoy坐标面的截痕为
1(x2)2(y1)2 16 9
故曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧） 封住碗口
但要注意 PQR 在（0，0，0）不存在 x y z
而（0，0，0）又在 z = 0 上，故须挖去（0，0，0）
考虑到P,Q,R的分母为 r3(x2y2z2)3
为简化计算用半径充分小的小球面挖去原点
1zx2 z2ydxdy
Dxy
b
f(x,y)
1y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z zf(x,y)
S (1 1 fx2 fy2)d D
f(x,y)ds L
oyxD源自L例2计算ez x2
y2
dxdy为锥 z面 x2y2
及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧
解一 由 Gauss 公式
x0 , 0
y 3,则 2
4ds 的 值 为 (
L
).
(A)4x0，
( B )6 ,
( C )6 x 0 .
2、 设 L 为 直 线 y y0上 从 点 A(0 , y0 ) 到 点 B(3 , y0 ) 的
有 向 直 线 段 , 则 L 2dy = (
).
(A)6;
(B) 6 y0 ;
(C)0.
3
解二 由 Gauss 公式
x2dy dyz2dzd zx2dxdy
2(xyz)dxdydz
2 [ x ( a ) (y b ) z c ) (a b c )d ]xd
2
(uvw)dudvdw 2(abc)4R3
u2v2w2R2
3
= 0 （用对称性）
8R3(abc)
3
例11 计算曲面积分 xdydyzdzdzxdxdy
1在yo面 z 的投影
D :0 y 3 ,0 z y
x 5 9y2
3
A2
D
1x2 yxz2dydz2
D
81 3 9
y2 y2
dydz
23 81 y2dy
30 9 y2
(令 y3sin)
2
6
54co2ssind
915ln5 4
0
解二 对弧长的曲线积分的几何意义：
柱面上的曲边梯形的面积
例8 计算 Iydydxzdzdzx2dxd,其 y 中 为
锥面 z x2y2 被平z面 1,z2所截部分的
解 利用向量点积法
f
x
x ,
x2 y2
f
y
y ,
x2 y2
D
I y,x,z2 x 2 xy2,
y x2y2,1 dxdy
z2dxdy
(x2 y2)dxdy Dxy
[D x: y 1 x 2y 2 4]
积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个 变量具有奇偶性
对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般 不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系 先化为对面积的曲面积分，再使用对称性
关于对面积的曲面积分的应用
曲面面积 A dS
曲面质量 M(x,y,z)dS