5闭环系统的极点和零点汇编

(s p j ) (s pl ) Kg0 KgH (s zi ) (s zk )
1 Kg0 KgH
i 1 n1
k 1 n2
j 1
l 1
i 1
k 1
(s p j ) (s pl )
j 1
l 1
C(s)
（二） 闭环极点的求解
单位反馈系统： H(s) 1
m1
(s zi )
G(s) G0 (s) 1 G0 (s)
§4-5 闭环系统的零、极点
（一） 前言
由第三章内容可知，系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密 切相关，闭环零、极点分布决定了系统的稳定性、动态性能、 静态性能。因此要使用根轨迹方法全面地分析系统，需要根据 根轨迹求解闭环系统的零、极点。然后根据闭环系统零、极点 分布情况估算出系统的动态性能和静态性能指标。
第三步，估算系统的性能指标
（二） 闭环极点的求解
动态性能指标：
1/ 3 % e / 12 100% 16.3%
wn
0.5
ts
3 wn
3 9s 1/ 3
稳态误差：
Kp
K Kg / 2 0.525 Kv K 0.525
K
a
0
因为系统为I型系统，所以在位置阶跃输入作用下无稳态误差，而在单位斜坡给
nm
3
4.
分离点：d
2
2k , nm 3
N ' (s)D(s) N (s)D' (s) 0 3s2 6s 2 0 s1,2 1
3 -0.423,-1.577(舍) 3
5. 与虚轴的交点：
s3
1
2
s2
3 Kg
s1 6 Kg 0
s0
6 Kg
Kg 6 辅助方程：3s2 6 0 s1,2 2 j
R(s) G0(s)
(s pj ) j 1
m1
(s pl )
(s zi ) l1
G(s) G0 (s) 1 G0 (s)H (s)
Kg i1 0 n1
m1
n2
H(s)
(s pj )
Kg0 (s zi ) (s pl )
j 1
m1Leabharlann Baidu
m2
n1
i 1
l 1
n2
m1
m2
(s zi ) (s zk )
定信号作用下的稳态误差为：
ess 1/ Kv 1.9
（三）G(s)的极点与H(s)的零点相消情况下的闭环零点
（三） G(s)的极点与H(s)的零点相消情况下的闭环零点
第四节中讨论了当G(s)的分母与H(s)的分子含有公因式时，即G(s)与H(s) 发生零极点相消情况下根轨迹的绘制方法，即补充闭环极点的方法。对结构图 作等效变换：
闭环极点求解：对于一个具体的控制系统，绘制出其根轨迹后，
可以利用幅值条件或通过试探法在根轨迹上求出相应于已知参 数(例如Kg值)下的全部闭环极点。
闭环零点求解：可通过传递函数的分析而求得。
m1
(s zi )
G0 (s) Kg0
i 1 n1
m2
(s zk )
H (s) KgH
k 1 n2
GK
(s)
s(s
2K 1)(s
2)
s(s
Kg 1)(s
2)
其中： Kg 2K
由前节绘制根轨迹草图的规则：
1. 系统的开环极点：-p1,-p2,-p3为0, -1,-2；无开环零点。系统有三条趋 向于无穷远的根轨迹。
2. 实轴上的根轨迹：[-1,0]，(-∞,-2]
3. 渐近线： pj zi 0 1 2 1
R(s)
G(s)
C(s)
R(s)
G(s)H(s)
H(s)
C(s) 1/H(s)
变换后有： {闭环极点}＝{GH回路闭环极点}＋{H的零点} {闭环零点}＝{GH的零点}＋{H的极点}
说明： G(s)极点与H(s)零点相消，所消去的因子对应了闭环系统一个极点。 G(s)零点与H(s)极点相消，所消去的因子对应了闭环系统一个零点。
以下通过实例说明求取闭环系统零、极点的方法。
（二） 闭环极点的求解
【例
1】单位反馈系统
GK
(s)
s(s
K 1)(0.5s
1)
，应用根轨迹法求取具有阻尼比
0.5的共扼闭环主导极点和其它的闭环极点，估算此时系统的性能指标。
解：第一步，绘制系统的根轨迹。首先应求开环传递函数的零极点形式：
（二） 闭环极点的求解
（三）G(s)的极点与H(s)的零点相消情况下的闭环零点
当H(s)中存在没有对消的零点，直接作如上变换将导致系统的阶数增加， H(s)中没有消掉的零点为闭环系统附加了一对重合的极、零点，为此在做 上述结构图变换时可以将对消的因子提出来，作等效变换。
令H1(s)为H(s)中对消因子组成的部分，H0(s)＝H(s)/H1(s)，则：
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)
G(s)H1(s)
C(s) 1/H1(s)
H0(s)H1(s)
H0(s)
【例 2】设系统 G(s)
Kg
，H (s) (s 1)(s 3) ，求闭环系统的极零点
s(s 1)(s 2)
方法一：直接使用1/H(s)，变换
GH Kg(s 3) s(s 2)
1/ H (s 1)(s 3)
（二） 闭环极点的求解
第二步，由ξ求Kg及闭环极点
1. 由ξ求β
cos1 60
2. 作等阻尼线，如果在坐标纸上绘制根轨迹可直接读出等阻尼线和根轨迹的交 点，即满足阻尼条件的系统闭环极点。其实质是求解方程组：
s jw
w
3
Kg
28 27
1.037
1/ 3 0.333
s3 3s2 2s Kg 8 3 6 2 2 Kg (6 3 2 2 3 ) j 0 w 3 / 3 0.577
Kg i1 0 n1 (s pj )
m1
Kg0 (s zi )
j 1 m1
n1
i 1 m1
(s zi )
(s p j ) Kg0 (s zi )
1 Kg0
i 1 n1
j 1
i 1
(s pj )
j 1
非单位反馈系统： {闭环零点}＝{前向通道零点}＋{反馈通道极点}
单位反馈系统： {闭环零点}＝{前向通道零点}
用闭环极点和的定理， sj
pj
s3
2 3
3
s3
7 / 3
2.333
综合上述分析，满足阻尼条件的闭环系统极点为：s1,2,3 0.333 0.577 j, 2.333
此时Kg=1.037。由于-s3与-s1,2的实部之比为
7 / 3 1/ 3
7
5
，因此系统具有主
导极点-s1,2，可将系统近似为二阶系统估算系统的性能指标。