第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章线性系统的状态空间综合法
1
Sb AbR31C1 R3C2
R31C1R31C1R11C1R32C 11C2 R31C2R31C2R21C2R32C 11C2
当 R 1R 2,且 C 1C 2时， rankS=2=n，系统可控 当R 1R 2,且 C 1C 2时， rankS=1<n，系统不可控
由电路图可知：R1R2,C 时1，C2 x1 x2 即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
对于 1 有5：
5 1 0 0 0 1
ran 1kIA Bran0 0k
5 0
10 5 1
1 0
1 04
0 0 5 5 2 0
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
ran 1IkABran 0 0 k5 1 0 50Fra bibliotek11 0
1 04
0 0 5 5 2 0
满足PBH判据充要条件，所以该系统可控。
其中：W (0,t) t1eAtBT B eATtdt——格拉姆矩阵 0
显然，用此判据需要求eAt，再求积分。通常只用于理论分析、证明。
2）秩判据
（A,B）状态完全可控 可控性矩阵S满秩 。
其中：S B A A 2 B B A n 1 B
即当 rank(S)=n （满秩），则系统完全可控 。
例9-3 判断已知系统的可控性。
x 1 1 x20 x3 0
3 2 1
2x1 2 0x21 3x3 1
1 11u u12
解：可控性判别阵为:
S BAA B 2 B
2 1 33 22 55 44
1
1
22
22
44
44
1 1 22 22 44 44
可见，rankS=2<3，系统不可控。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
现代控制理论作业题答案
第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 设系统的微分方程为u x x x=++23 其中u 为输入量，x 为输出量。
⑴ 设状态变量x x =1，xx =2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。
解：⑴ u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1032102121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y ； ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x T x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110012121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y 。
9-2 设系统的微分方程为u y y yy 66116=+++ 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。
试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。
解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，[]x y u x x 0061006116100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ；[]xy u x x 1000066101101600=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。
试求动态方程，并画出状态变量图。
解：由图中信号关系得，31x x= ，u x x x 232212+--= ，32332x x x -= ，1x y =。
动态方程为 u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020********* ，[]x y 001；状态变量图为9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程23213213212161162u x x x xu u x xu x x+---=-+=+= ，32122112x x x y x x y -+=-=， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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第9章线性系统的状态空间分析与综合PPT课件
b 0u (n)
b 1u (n1)
*
b
n
1
u
bnu
选在取由状包态含变状量态的变原量则的: n个微 分x 2 议 x程1 构h 1成u 的系
统状态议程解中任何一个微 x 分n 议x n程 1 均h n不 1 u 含有
作用函数的导数项。
X AX BU
x1 y b 0u
y CX DU
掌握和运用可控性判据和可观性判据。
*
4
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控
系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
*
5
状态空间方法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。
采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
*
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
x 2
y (2)
x 1 x 2
所以
x
2
x3
x
3
x1
2x 2
3x3
r
X AX Br
*
19
0 1 0
0
其中
A
0
0
1
B
0
- 1 - 2 - 3
1
C 1 0 0
线形系统的状态空间分析与综合
T A i T , 的特征向量 0 。
TB 0
一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特
秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是
rank B AB An1B n
其中 n为矩阵 A 的维数，S B AB An1B 称为系统的
可控性判别阵。 14
二、 线性系统的可控性与可观测性（14）
例： 桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。
解： 该桥式电路的微分方程为
试判别系统的可控性。
解： 根据状态方程可写出
n4
20
二、 线性系统的可控性与可观测性（20）
s 1 0 0 0 1
sI A B 0 s 1 0 1 0
0 0 s 1 0 1
0 0 5 s 2 0
考虑到 A 的特征值为1 2 0, 3 5, 4 5 ，所以只
需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当 s 1 2 0
1
二、 线性系统的可控性与可观测性（1）
现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输 入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量， 这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由 输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统 所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的 初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可 控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可 控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可 观测。
7
二、 线性系统的可控性与可观测性（7）
此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 t0的选取有
关，是相对于Tt 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定
线性系统的状态空间表达式
9.1 线性系统的状态空间表达式
该机械系统的状态如图9-4所示。
F1
m
.
x2
x2
f m
k m
图9-4 机械系统状态图
x1 y
9.1 线性系统的状态空间表达式
2、从系统方块图出发建立状态空间表达式
例9-2 在图9-5所示系统中，若选取 x1, x2 , x3作为状态变量，试列写其
状态空间表达式，并写成矩阵形式。
在图9-1中，uc 为输出，用 y表示，则有
用矩阵表示为 y uc x1
(9 7)
y 1
0
x1 x2
或y
CT
x
其中
CT 1 0
(9 8)
9.1 线性系统的状态空间表达式
6 状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为状态空间
表达式。它构成对一个系统的完整描述。
一般情况下，设单输入—单输出线性定常连续系统的状态变量
.
x
n
C
c1
c2
cn
9.1 线性系统的状态空间表达式
对于一个r 维输入、m 维输出的多输入、多输出系统其状态空间表达式为
式中
.
x
Ax
Bu
y Cx Du
(9 10)
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
b1r
u1
y1
b2r
,
u
u2
,
y
y2
x1 y / b0 ,
..
x1 y/ b0 x2 ,
.
..
x2 y/ b0 x3,
.
xn1 y(n1) / b0 xn ,
(9 15)
第九章 线性系统的状态空间分析与综合(3)
(9 2 2 2 )
与该状态方程对应的可控性矩阵S是一个右下三角阵，其主 对角线元素均为1，故d et S 0 ，系统一定可控，这就是形如 式（9-222）中的A，b称为可控标准型名称的由来。其可控 性矩阵S形如
13
S b
Ab
0 0 n 1 A b 0 0 1
x P
1
如果系统能控，则
n 1
B]
则必
.
x A x bu
15
其中：
A PAP
0 0 A 0 a 0 1 0 0 1 0 a1 0 a2
1
b Pb
0 0 1 a n 1
对偶系统一定可控，但不是可控标准型。 可利用已知的化为可控标准型的原理和步骤，先将对偶系统 化为可控标准型，再使用一次对偶原理，便可获得可观测 标准型。
27
计算步骤： 1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测矩阵 V 2 ）
V2 c
T
A c
1
T
T
(A )
T
n 1
c
T
(9 2 4 1)
，变换后的
(9 2 0 6 ) 令 x Px 式中 P 为非奇异变换矩阵，它将 x 变换为 x 动态方程为
式中
x A x b u , y cx
1
(9 2 0 7 ) (9 2 0 8)
4
A P
A P , b P b , c cP
1
线性变换的目的 使 A 阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算， 并不会改变系统的原有特性，故称为等价变换。 待获得所需结果后，再引入反变换关系 x P 换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。 下面概括地给出本章常用的几种线性变换关系。
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
线性系统的状态空间分析与综合
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ]
6、输出方程 描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程组。 关系的代数方程组。
y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
y (
9、线性系统 f 系统状态空间表达式中， 均是线性函数。 系统状态空间表达式中， 和 g 均是线性函数。
10、 10、线性系统的状态空间表达式 状态方程为一阶向量线性微分方程或一阶向量线性 差分方程，输出方程是向量代数方程。 差分方程，输出方程是向量代数方程。
ɺ x(t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) y (t ) = C (t )x(t ) + D(t )u(t )
9.1 9.2 9.3 9.4
线性系统的状态空间描述 线性系统的可控性与可观测性 李雅普诺夫稳定性分析 线性定常系统的反馈结构及状态 观测器
9.1线性系统的状态空间描述 9.1线性系统的状态空间描述 一、系统数学描述的两种基本类型
系统外部描述：输入-输出描述。 系统外部描述：输入-输出描述。 系统内部描述：状态空间描述，对系统的 系统内部描述：状态空间描述， 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。
7、状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ] y (t k ) = g[x(t k ), u(t k ), t k ]
线性系统的状态空间分析法
第九章线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。
三、教学内容：以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。
1、系统数学描述的两种基本方法一种是外部描述。
一种是内部描述。
对比举例2、系统描述中常用的基本概念输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形3、系统状态空间描述常用的基本概念状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。
将概念讲解、举例、对比来加深理解。
4、举例熟悉对概念理解5、根据系统机理建立状态空间表达式方法步骤：①确定输入输出向量；②根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程；③选择状态变量，根据方程建立状态方程；④列写输出方程；⑤将状态方程、输出方程变换为向量—矩阵形式。
举例：RLC网络（单输入-单输出）；机械位移系统（双输入-三输出）第一节 线性系统的状态空间描述一、教学目的和要求掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容：1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出） （1）系统输入量中不含倒数项。
()(1)(2)12100...n n n n n y a y a y a y a y uβ∙----+++++=式中y ,u 分别为系统的输出、输入量；0110,,...,,n a a a β-是由系统特性确定的常数。
由于给定n 个初值1(0),(0),...(0)yn y y - 及t ≧0的u （t ）时，可唯一确定t>0时系统得的行为，可选取n 个状态变量为(1),,...,12n x y x y x y n -===，故上式可化为12231 (011210)x xx xxx nn x a x a x a x un n n y xβ∙∙∙∙∙∙∙===-=----+-=再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。
10第九章线性系统状态空间分析
选择状态变量如下：
x1 y1 (1) x y 1 x1 2 ( 2) 2 x y x 3 1 xn y1( n 1) x n 1
1 x2 x x 2 x3 x n 1 xn n a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn u (t ) x
9.2 线性系统状态空间基础
整理成状态空间表达式，得：
1 x 1 0 x1 0 C ui (t ) 1 R x2 1 / L 2 x L L x1 Y [1 0] x 2 1 0 0 C X ui (t ) 或简写成： X 1 R 1 / L L L Y [1 0] X
9.2 线性系统状态空间基础
（1）式和（2）式已经化成没有零点/极点的形 式，分别进行拉氏变换得：
(1) y1( n ) an1 y1( n1) ... a1 y1(1) a0 y1 u (t ) 1 y1( n1) bn 2 y1( n2) ... b1 y1(1) b0 y1 (2) z (t ) bn
9.2 线性系统状态空间基础
9.2.2 状态空间的实现
【例9-1】如下图所示的RLC电路，输入是 ui (t )，输出 是 u0 (t )。试建立该电路的状态空间表达式。
i (t )
R L
解：根据基尔霍夫电压定律、 电流定律，得
C
ui (t )
u0 (t )
di(t ) L R * i (t ) u0 (t ) ui (t ) dt i (t ) C du0 (t ) dt
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
线性系统的状态空间分析法
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x 1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x 2 x1
x 1
x
2
1RL
1
LC 0
b0 - an
- an-1
-a2
x1
-
a1
x
2
xn
x1
b0u bn
bn-1
b1
x2
xn
在 一 般 情 况 下b0 0则 得 到
x1
y bn
bn-1
b1
x2
xn
y cx
输出方程
0 1 0 0
A
0
0 1 0
- a n
an1
a1
0
B
0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 00] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1
-a1 -a2
-an-1
X2
X1=y
-an
例1.设控制系统的运动方程为 y(2) 3 y 2 y u
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
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9-2
线性系统的状态空间描述线性系统的可控性与可观测性
第九章线性系统的状态空间
分析与综合
《现代控制理论》
唐建
9-1
⑵由系统微分方程建立状态空间表达式
①系统输入量中不含导数项 (单输入-单输出)
状态变量为 y (
n ) + a y ( n -1) + a n -1 n -2 y ( n -2) +… + a y ˙ + a y = β u 1 0 0
y , u 分别为输出、输入。
a 0 , a 1 ,…, a n -1 , β0 为系统特性确定
的常系数。
由于给定 n 个初值 y (0), y ˙ (0),…, y (n -1) (0) 及 t ≥ 0
的
u (t ) 时，可唯一确定 t > 0 时系统的行为，可选取 n 个
图9-5系统状态变量图
图9-6 系统状态变量图
应用综合除法：
是严格有理真分式，其系数由综 合除法得到：
式中，b n 是直接联系输入与输出 量的前馈系数，当 G (s ) 的分母次 数>分子次数时，b n 0 ，N (s )
D (
s )
当b
0 时，若按式(9-12)选取状态变量，则A,b,c为
n
：
注意：A,c的形状特征，此处A阵是友矩阵的转置。
若动态方程中的A,c具有这种形式，则称为可观测标准型。
若令状态变量为：
②
N (s ) D (s ) 只含单实极点 此时，除了可化为上述可控标准型或可观测标准型动态方程以外，还可化为对角型动态方程，其A 阵是一个对角阵。
D (s ) = (s - λ1 )(s - λ2 )…(s - λn )
式中，λ1 ,…, λn 为系统的单实极点，则部分分式展开： i i
c Y (s ) = N (s ) U (s ) D (s ) s - λ n = ∑ i =1 n
i c U (s )
i =1 s - λi 1 i X (s ) = s - λi
U (s ); i = 1, 2,…, n c i 是 N (s ) D (s ) 在极点 λi 处的留数。
则：Y (s ) = ∑
若令状态变量为：
则：
i
c i
X (s) =
s - λi
U (s); i =
1, 2,…, n
n
Y (s) = ∑ X i (s)
i=1
上述两种选取状态变量的方案是对偶的。
③N (s) D(s) 含有重实极点
此时，不仅可化为可控、可观测标准型，还可化为约当标准型动态方程，其A 阵是一个含约当块的矩阵。
3
1 4 n
D(s) = (s -λ) (s -λ)…(s -λ)
3 2 c i
c 11 c
12
c
13
Y (s) = N (s) = U (s) D(s)
+ ++
(s - λ1 ) (s - λ1 ) (s - λ1 ) s - λi
n
∑
i=4
y = [c 11
c 4 …c n ]
x 11 3
U
X
= (s - λ1 ) 1
i i
X (s ) =
s - λ U (s );i = 4,…, n 12 2
U
X = (s - λ1 ) 13 U
X =
s - λ1
c 12 c 13
下面，再讨论另一种状态变量选取方法，与上述选取状态变量的方法是对偶的关系。
3
1 4 n
D(s) = (s -λ) (s -λ)…(s -λ)
3 2 c i
c 11 c
12
c
13
Y (s) = N (s) = U (s) D(s)
+ + +
(s - λ1 ) (s - λ1 ) (s - λ1 ) s - λi
n
∑
i=4
若令状态变量为：
[]
11 c 11
X U
=
s - λ1
i c i
X (s) =
s - λi U (s);i = 4,…, n[ ]
y =0 0 1 1…1 x
12 2
c
11
U
X=
+c
12
U
(s - λ1 ) s - λ1 13 3 2
c
11
U c
12
U
X = +
+c
13
U
(s - λ1 ) (s - λ1 ) s - λ1
4. 线性定常连续系统状态方程的解
③ ④ 状态转移有可逆性：
Φ(t 1 ±
t 2 ) = Φ(t 1 )Φ(±t 2 ) = Φ(±t 2 )Φ(t 1 )
令(9-30)中 t = t 1 ± t 2 ，便可证明。
Φ(t 1 )、Φ(t 2 )、Φ(t 1 ± t 2 ) 分 别表示由状态 x (0) 转移至 x (t 1 ) 、x (t 2 ) 、x (t 1 ± t 2 )的状态转移 矩阵。
Φ-1 (t ) = Φ(-t ) Φ-1
(-t ) = Φ(t )
证：Φ(t - t ) = Φ(t )Φ(-t ) = Φ(-t )Φ(t ) = I 。
对线性定常系
统，显然有
x (t ) = Φ(t )x (0) , x (0) = Φ-1
(t )x (t ) = Φ(-t )x (t ) ，说明 x (t )
x (t 0 )
⑧若AB = BA，则e( A+ B )t
若AB ≠ BA，则e( A+ B )t = e At e Bt = e Bt e At ≠ e At e Bt ≠ e Bt e At
⑧证：
e( A+ B)t= I + ( A + B)t +
1 ( A +
B)2 t 2 + 1 ( A + B)3 t3 +…
2 3!
= I + ( A + B)t + 1 ( A2 + AB + BA + B2 )t 2
2
3!
+ 1 ( A3 + ABA + BA2 + B2 A + A2 B + AB2 + BAB + B3 )t3 +…
e( A+ B )t - e At e Bt
= 1
(BA - AB)t 2 +
1
( ABA + BA2 + B2 A - 2 A2 B - 2 A B2 + BAB)t3 +…
2 3!
只有当AB = BA时，有e( A+ B )t - e At e Bt= 0 。