第九章 线性系统的状态空间分析与综合

9-2

线性系统的状态空间描述线性系统的可控性与可观测性

第九章线性系统的状态空间

分析与综合

《现代控制理论》

唐建

9-1

⑵由系统微分方程建立状态空间表达式

①系统输入量中不含导数项 (单输入-单输出)

状态变量为 y (

n ) + a y ( n -1) + a n -1 n -2 y ( n -2) +… + a y ˙ + a y = β u 1 0 0

y , u 分别为输出、输入。a 0 , a 1 ,…, a n -1 , β0 为系统特性确定

的常系数。由于给定 n 个初值 y (0), y ˙ (0),…, y (n -1) (0) 及 t ≥ 0

的

u (t ) 时，可唯一确定 t > 0 时系统的行为，可选取 n 个

图9-5系统状态变量图

图9-6 系统状态变量图

应用综合除法：

是严格有理真分式，其系数由综 合除法得到：

式中，b n 是直接联系输入与输出 量的前馈系数，当 G (s ) 的分母次 数>分子次数时，b n 0 ，N (s )

D (

s )

当b

0 时，若按式(9-12)选取状态变量，则A,b,c为

n

：

注意：A,c的形状特征，此处A阵是友矩阵的转置。若动态方程中的A,c具有这种形式，则称为可观测标准型。

若令状态变量为：

②

N (s ) D (s ) 只含单实极点 此时，除了可化为上述可控标准型或可观测标准型动态方程以外，还可化为对角型动态方程，其A 阵是一个对角阵。

D (s ) = (s - λ1 )(s - λ2 )…(s - λn )

式中，λ1 ,…, λn 为系统的单实极点，则部分分式展开： i i

c Y (s ) = N (s ) U (s ) D (s ) s - λ n = ∑ i =1 n

i c U (s )

i =1 s - λi 1 i X (s ) = s - λi

U (s ); i = 1, 2,…, n c i 是 N (s ) D (s ) 在极点 λi 处的留数。则：Y (s ) = ∑

若令状态变量为：

则：

i

c i

X (s) =

s - λi

U (s); i =

1, 2,…, n

n

Y (s) = ∑ X i (s)

i=1

上述两种选取状态变量的方案是对偶的。

③N (s) D(s) 含有重实极点

此时，不仅可化为可控、可观测标准型，还可化为约当标准型动态方程，其A 阵是一个含约当块的矩阵。

3

1 4 n

D(s) = (s -λ) (s -λ)…(s -λ)

3 2 c i

c 11 c

12

c

13

Y (s) = N (s) = U (s) D(s)

+ ++

(s - λ1 ) (s - λ1 ) (s - λ1 ) s - λi

n

∑

i=4

y = [c 11

c 4 …c n ]

x 11 3

U

X

= (s - λ1 ) 1

i i

X (s ) =

s - λ U (s );i = 4,…, n 12 2

U

X = (s - λ1 ) 13 U

X =

s - λ1

c 12 c 13

下面，再讨论另一种状态变量选取方法，与上述选取状态变量的方法是对偶的关系。

3

1 4 n

D(s) = (s -λ) (s -λ)…(s -λ)

3 2 c i

c 11 c

12

c

13

Y (s) = N (s) = U (s) D(s)

+ + +

(s - λ1 ) (s - λ1 ) (s - λ1 ) s - λi

n

∑

i=4

若令状态变量为：

[]

11 c 11

X U

=

s - λ1

i c i

X (s) =

s - λi U (s);i = 4,…, n[ ]

y =0 0 1 1…1 x

12 2

c

11

U

X=

+c

12

U

(s - λ1 ) s - λ1 13 3 2

c

11

U c

12

U

X = +

+c

13

U

(s - λ1 ) (s - λ1 ) s - λ1

4. 线性定常连续系统状态方程的解

③ ④ 状态转移有可逆性：

Φ(t 1 ±

t 2 ) = Φ(t 1 )Φ(±t 2 ) = Φ(±t 2 )Φ(t 1 )

令(9-30)中 t = t 1 ± t 2 ，便可证明。Φ(t 1 )、Φ(t 2 )、Φ(t 1 ± t 2 ) 分 别表示由状态 x (0) 转移至 x (t 1 ) 、x (t 2 ) 、x (t 1 ± t 2 )的状态转移 矩阵。

Φ-1 (t ) = Φ(-t ) Φ-1

(-t ) = Φ(t )

证：Φ(t - t ) = Φ(t )Φ(-t ) = Φ(-t )Φ(t ) = I 。对线性定常系

统，显然有

x (t ) = Φ(t )x (0) , x (0) = Φ-1

(t )x (t ) = Φ(-t )x (t ) ，说明 x (t )

x (t 0 )