2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

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菱形的判定同步练习(含答案)

第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第2课时菱形的判定基础闯关知识点一：利用定义判定菱形1.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E,使AE=AB,连接ED,EC,AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是( )A.AB=ADB.AB=EDC.CD=AED.EC=AD2.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,要使四边形AFDE为菱形,△ABC应满足的条件是.(添加一个条件即可)知识点二：利用对角线的位置关系判定菱形3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )A.EB⊥ECB.AB⊥ACC.AB=ACD.BF∥CE4.从下图入口处进入，最后到达的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁知识点三：利用边的关系判定菱形5.如图,将平行四边形ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE6.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.如果AE=4cm,那么四边形AEDF的周长为( )A.12cmB.16cmC.20cmD.22cm8.如图，两条笔直的公路l₁，l₂相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C到公路l₁的距离为4千米，则村庄C到公路l₂的距离为.知识点四：菱形判定方法的综合应用9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O，添加下列条件，不能判定▱ABCD是菱形的是( )A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠210.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线能力提升11.如图，在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下列结论错误的是( )A.AD∥BCB.DC=ABC.四边形ABCD是菱形D.将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合12.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点，下列结论：①BE ⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.513.如图，四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的度数为.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作▱CDEB,当AD=时,▱CDEB为菱形.15.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:AE=CF.(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.16.如图,▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)求证:当AB=AD时,四边形AECF是菱形.17.如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE.(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.培优创新【求解中点四边形的关键——中位线】18.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件,是( )A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是菱形C.对角线AC=BDD.AD=BC19.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,点P,Q,M,N分别为AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPQ是菱形.参考答案1.B2.示例:AB=AC3.C4.D5.C6.A7.B8.4千米9.C 10.C 11.C 12.C 13.50° 14.2.815.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,BE∥DF,∴∠E=∠F.在△AOE和△COF中,CF.(2)解:示例:当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形.理由:如图,连接BF,DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.16.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∠ABM=∠CDN,∴∠ABE=∠CDF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,∴∠AMB=∠CND=90°,∴∠BAM=∠DCN,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA).(2)如图,连接AC.当AB=AD时,四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,AD∥BC.∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,AD∥BC,∴AM∥CN,∴四边形AECF为平行四边形.∵AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形.17.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴EB=ED,AB∥CD,∴∠EBP=∠EDQ.在△PBE和△QDE中,(2)如图所示,∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ.同理,△BME≌△DNE(ASA),∴EM=EN,∴四边形PMQN是平行四边形.∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.18.D19.证明:如图,连接BD,AC.∵△ADE和△BCE都是等边三角形,∴AE=DE,EC=BE,∠AED=∠BEC=60°,∴∠AEC=∠DEB=120°,∴△AEC≌△DEB(SAS),∴AC=BD.∵M,N是CD,DA的中点,∴MN是△ACD的中位线,即同理可得NP=QM,∴四边形MNPQ是菱形.。

2020-2021学年八年级下册冀教版数学22.5.2《菱形的判定》课后练习含答案

22.5.2《菱形的判定》课后练习一、单选题1．下列命题中，正确的是（）．A ．两邻边相等的四边形是菱形B ．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C ．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D ．对角线垂直的四边形是菱形2．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有（）①当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形；①当AC ①BD 时，四边形ABCD 是菱形；①当①ABC ＝90°时，四边形ABCD 是菱形：①当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是菱形；A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①AC ①BD ；①①BAD ＝90°；①AB ＝BC ；①AC ＝BD ．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 4．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处，易证四边形AECF 是平行四边形．当①BAE 为（）度时，四边形AECF 是菱形．A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°5．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；①AB =CD ；①AB BC ⊥；①AO OC =中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，从下列条件中添加一个条件，仍不能判定ABCD 是菱形的是（）A ．AC BD ⊥B ．AB BC = C ．12∠=∠D ．AB BD = 7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD 、AC 、BC 于M 、O 、N ，连结AN ，CM ，则四边形ANCM 是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法判断 8．如图，在①ABCD 中，用直尺和圆规作①BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（）A ．12B ．24C ．36D ．489．如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件：（1）190DBC ∠+∠=︒；（2）OA OB =；（3）12∠=∠，其中能判定ABCD 是菱形的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分①CAD B．CD平分①ACB C．AB①CD D．AB=CD二、填空题11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．12．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个__________形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于__________．13．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交①MAN的两边AM、AN于点B、D；①以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；①分别连结BC、CD、AC．若①MAN＝60°，则①ACB的大小为_____．14．如图所示，BEAC ⊥于点D ，且AB BC =，BD ED =，若54ABC ∠=，则E ∠=___．15．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．16．如图，①ABC 中，①BAC ＝60°，①B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，D 点关于AB ，AC 的对称点分别是E 和F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 的面积的最小值是__．17．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4=AD ，3BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为________．三、解答题18．如图，AE①BF，BD平分①ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．=．连19．如图，在ABCD中，对角线AC平分BAD∠，点E、F在AC上，且CE AF接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．20．如图，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．21．如图，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．（1）求证：①AOF①①COE；（2）当CE ＝5，AO ＝4，OF ＝3时，求证：四边形AFCE 是菱形．22．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB =90゜，D 为AB 的中点，AE //CD ，CE //AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若①B =60゜，BC =6，求菱形ADCE 的高．23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过B 点作//BF AC ，过C 点作//CF BD ，BF 与CF 相交于点F ．（1）求证：四边形BFCO 是菱形；（2）连接OF 、DF ，若2AB =，2tan 3OFD ∠=，求AC 的长．24．已知，如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置上，连接DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）当160∠=︒，2AE =时，求矩形ABCD 的纸片的面积S ．25．如图，在①ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：①ADE ①①CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案1．B解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；2．D解：①四边形ABCD是平行四边形，①①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当AC①BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当①ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；①当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；3．A解：①①ABCD中，AC①BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD 是菱形；故①正确；①①ABCD中，①BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD 是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误；①①ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD是菱形；故①正确；D、①ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误．4．A解：当①BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，①BAE＝①CAE＝30°，①①B＝90°，①①ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，即①CAE＝①ACE，①EA＝EC，①四边形AECF是平行四边形，①四边形AECF是菱形，5．C解：如图所示：①直线l是四边形ABCD的对称轴，①AB=AD，BC=DC，①1=①2，①3=①4，又①AD①BC，①①2=①3，①①1=①4，①AB①CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AB=CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AO=OC，故①正确．①当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故①错误；6．D解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；C、①四边形ABCD是平行四边形，①AD①BC，①①1=①ACB，又①1=①2，①①2=①ACB，①AB=BC，①四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），正确，此选项不符合题意；D 、AB=BD 不能判断平行四边形一定是菱形，符合题意， 7．B解：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD①BC ，①①DAC=①ACN ，①MN 是AC 的垂直平分线，①AO=CO ，在①AOM 和①CON 中MAO NCOAO CO AOM CON∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝＝，①①AOM①①CON （ASA ），①MO=NO ，①四边形ANCM 是平行四边形，①AC①MN ，①四边形ANCM 是菱形，8．B解：记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分①BAD ，①①BAE ＝①DAE ，①四边形ABCD 为平行四边形，①AD ①BC ，①①DAE ＝①BEA ，①①BAE ＝①BEA ，①BA ＝BE ，①AF ＝BE ，①AF ①BE ，①四边形ABEF 为平行四边形，①AB ＝AF ，①四边形ABEF 为菱形，①OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE①BF，在Rt①AOB中，OA4==，①AE＝2AO＝8，①四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．9．C解：①四边形ABCD是平行四边形，①OA=OC，OB=OD，AD①BC，①①1=①BCO，（1）若①1+①DBC=90°时，则①BCO+①DBC=90°，①①BOC=90°，①AC①BD，①四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；（2）若OA=OB，则AC=BD，①四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；（3）若①1=①2，则①2=①BCO，①AB=CB，①四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；10．D解：由作图知AC=AD=BC=BD，①四边形ACBD是菱形，①AB平分①CAD、CD平分①ACB、AB①CD，不能判断AB=CD，11．AB=AD.解：添加AB=AD，①OA=OC，OB=OD，①四边形ABCD为平行四边形，①AB=AD，①四边形ABCD是菱形，12．菱形16证明：过点A作AE①BC于E，AF①CD于F，①两条纸条宽度相同（对边平行），①AB①CD，AD①BC，AE=AF，①四边形ABCD是平行四边形，①S①ABCD=BC•AE=CD•AF，又①AE=AF，①BC=CD，①四边形ABCD是菱形；当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，由勾股定理：x2=（18-x）2+62，得：x=10，即菱形的最大周长为10×4=40．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：6×4=24．则图形周长的最大值与最小值的差=40-24=16；13．30°解：由题意可得：AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2cm ，①四边形ABCD 是菱形，①BC①DA ，①CAB ＝①CAD ＝12①MAN ＝30°， ①①ACB ＝①CAD ＝30°，14．27°解：如下图，连接AE①BE①AC ，①①ADB=①BDC=90°①①ABD 和①CBD 是直角三角形在Rt①ABD 和Rt①CBD 中AB BC BD BD =⎧⎨=⎩①Rt①ABD①Rt①CBD①AD=DC①BD=DE①在四边形ABCE 中，对角线垂直且平分①四边形ABCE 是菱形①①ABC=54°①①ABD=①CED=27°15．20解：①AG①BD ，BD=FG ，①四边形BGFD 是平行四边形，①CF①BD ，①CF①AG ，又①点D 是AC 中点， ①BD=DF= 12AC ， ①四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt①AFC 中，由勾股定理可得：()()2236132x x +-=解得：5x =即GF=5①四边形BDFG 的周长=4GF=20．16解：由对称的性质得：AE=AD=AF ，①四边形AEGF 是平行四边形，①四边形AEGF 是菱形，①①EAF=2①BAC=120°，当AD①BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小， ①①ABC=45°，AB=2，①四边形AEGF 的面积的最小值=212⨯=．17．解：①AO OC =，//AD BC ， ①OAF OCB ∠=∠，OFA OBC ∠=∠，①易证AOF ①COB △，①AF BC =，又①//AD BC ，①四边形AFCB 为平行四边形．①AO=CO ，连接AE ，CE ，则AE=CE ，①OE①AC ，①平行四边形AFCB 为菱形，①3AF FC BC ===，①1DF =，①CD ==18．证明见解析①AE ①BF ，①①ADB ＝①DBC ，①BD 平分①ABC ，①①DBC ＝①ABD ，①①ADB ＝①ABD ，①AB ＝AD ，又①AB ＝BC ，①AD ＝BC ，①AE ①BF ，即AD ①BC ，①四边形ABCD 为平行四边形，又①AB ＝AD ，①四边形ABCD 为菱形．19．证明见详解．证明：连结BD交AC于O，①对角线AC平分BAD∠，①①BAC=①DAC，在ABCD中，AB①DC，AB=DC，BC①AD，BC=AD，①①BAC=①DCA，①BCA=①DAC，①BC=BA，DC=DA，①平行四边形ABCD为菱形，①AC①BD，OA=OC，OB=OD，①CE AF=，①OA-AF=OC-CE，即OE=OF，①四边形BEDF为平行四边形，AC①BD，点E、F在AC上，①EF①BD，①平行四边形BEDF为菱形．20．（1）见解析；（2）S菱形ADCF＝96．（1）证明：①E是AD的中点，①AE＝DE，①AF∥BC，①①AFE＝①DBE，在①AEF和①DEB中，①AFE DBEAEF DEBAE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF①①DEB（AAS），①D是BC的中点，①AF＝DB＝DC，①四边形ADCF是平行四边形，①①BAC＝90°，D是BC的中点，①AD＝CD＝12 BC，①四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，①AF∥BC，AF＝BD＝CD，①BAC＝90°，①S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S①ABC＝12AB•AC＝12×12×16＝96．21．（1）见解析；（2）见解析（1）证明：①四边形ABCD为矩形，①AD①BC，①①F AC＝①ECA，①AFE＝①CEF，①O是对角线AC的中点，①OA＝OC，①①AOF①①COE（AAS）；（2）由（1）知①AOF①①COE，①AF＝CE＝5，①AO＝4，OF＝3，①222345+=，即222OF OA AF+=，①①AOF＝90°，①三角形AOF是直角三角形，①AF＝CE，AF①CE，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形．22．（1）见解析；（2）（1）证明：①AE//CD，CE//AB，①四边形ADCE是平行四边形，①①ACB=90°，D为AB的中点，①CD=12AB=AD，①四边形ADCE为菱形；（2）解：过点D作DF①CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，①①B=60°，CD=BD，①①BCD是等边三角形，①①BDC=①BCD=60°，CD=BC=6，①CE//AB，①①DCE=①BDC=60°，①①CDF=30°，又①CD=BC=6，①CF=3，①在Rt①CDF中，DF23．（1）见解析；（2）解：（1）//BF AC ，//CF BD ，∴四边形OBFC 是平行四边形，矩形ABCD ， ∴11,,22AC BD BO BD CO AC ===OB OC ∴=， ∴四边形OBFC 是菱形．（2）连接FO 并延长交AD 于H ，交BC 于K ，菱形OBFC ，90BKO ∴∠=︒，矩形ABCD ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，OA OD =， ∴四边形ABKH 是矩形，90DHF ∴∠=︒，2HK AB ==，H ∴是AD 中点， O 是BD 中点，112OH AB ∴==， 1FK OK OH ∴===，3HF ∴=，2tan 3OFD =， 2HD AH ∴==，4BC AD ∴==，①AC =24．（1）证明见解析；（2）ABCD S =矩形（1）证明：①四边形ABCD 是矩形， ①AD①BC ，①①1=①2，①EF 为折痕，①BF=DF ，BE=DE ，①BEF=①2，①①BEF=①1，①BE=BF ，①BF=DF=BE=DE ，①四边形BEDF 是菱形；（2）解：由（1）知①2=①BEF=①1=60°， ①①3=180°-60°-60°=60°，①AE=2，①A=90°，①①ABE=30°，①BE=2AE=4，由勾股定理得：= ①四边形ABCD 是矩形，沿EF 折叠B 和D 重合， ①DE=BE=4，①AD=BC=2+4=6，AB=CD=①矩形ABCD 的面积S=6⨯= 25．（1）见解析；（2）菱形，见解析解：（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形， ①AD ＝CB ，①ADC ＝①CBA ，①①ADE ＝①CBF ，在①ADE 和①CBF 中，14 AD CB ADE CBF DE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ADE ①①CBF （SAS ）；（2）当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：如图，①BD 平分①ABC ，①①ABD ＝①CBD ，①四边形ABCD 是平行四边形，①OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ①BC ，①①ADB ＝①CBD ，①①ABD ＝①ADB ，①AB ＝AD ，①平行四边形ABCD 是菱形，①AC ①BD ，①AC ①EF ，①DE ＝BF ，①OE ＝OF ，又①OA ＝OC ，①四边形AFCE 是平行四边形，①AC ①EF ，①四边形AFCE 是菱形．。

2020届人教版八年级数学下册 18.2.2菱形(2)同步练习(含解析)

18.2.2菱形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１. 一组邻边相等的平行四边形是菱形．２.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列说法中，不正确的是（）A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形2．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 无法确定3．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=4，BC=3，则四边形CODE的周长是（）A. 10B. 12C. 18D. 244．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A. AC=BDB. ∠1=∠2C. ∠ABC=90°D. ∠1=90°5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )A. 当AB＝BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形D. 当AC＝BD时，它是正方形6．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是（）A. ②④B. ①③C. ②③④D. ①③④7．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. 12B.13C.14D.158．如图，已知∠AOB，王华同学按下列步骤作图：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D，分别以点C、点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE；(2)在射线OE上取一点F，分别以点O、点F为圆心，大于12OF的长为半径作弧，两弧交于两点G、H，作直线GH，交OA于点M，交OB于点N；(3)连接FM、FN.那么四边形OMFN一定是( )A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB3S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（）A.（1345,0）B.（1345.5，）C.（1345，）D.（1345.5，0）二、填空题11．对角线相等的四边形顺次连接各边中点所得的四边形是__________．12．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是__________13．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．14．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE=_____．、重合），PE 15．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A C∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积为______________。

2020年春季人教版八年级数学下册18.2.2 菱形同步测试(含答案)

18.2.2菱形1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AB＝AD2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A．10 B．8C．6 D．53．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD 边的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．824．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．146．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )A．AB＝AC B．AD＝BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC7．已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( ) A．2 B. 5 C．3 D．48．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED的面积为( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．89．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P 为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为．10．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为．12．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.(1)四边形ABEF是；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为ABC＝.13．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE 和AF有什么样的数量关系？说明理由．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．15．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．参考答案18.2.2菱形1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AB＝AD2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D)A．10 B．8C．6 D．53．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD 边的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(A)A．2 2 B. 2 C．6 2 D．824．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于(A)A．3.5 B．4 C．7 D．146．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)A．AB＝AC B．AD＝BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC7．已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D) A．2 B. 5 C．3 D．48．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED的面积为(A)A．2 3 B．4 C．4 3 D．89．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为10．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．12．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.(1)四边形ABEF是菱形；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为ABC＝120°.13．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE 和AF有什么样的数量关系？说明理由．解：AE＝AF.理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.又∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE＝12BC，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴AE＝AF.14．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.又∵AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.15．(2016·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．证明：(1)∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD.∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.∴∠CEB＝∠CBE.(2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.又∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD. ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA)．∴EO ＝FO.又∵OB ＝OD.∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)∵四边形BEDF 是菱形，∴BD ⊥EF.设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x.在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴x 2＝42＋(6－x)2.解得x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213，∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF ，∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133.∴EF ＝2EO ＝4133.。

2020-2021学年湘教版数学八年级下册2.6.2《菱形的判定》同步练习(含答案)

湘教版数学八年级下册2.6.2《菱形的判定》同步练习一、选择题1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD2.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A.①③B.②③C.③④D.①②③3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°5.已知▱ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使▱ABCD成为菱形的条件是( )A.①③B.②③C.③④D.①②③6.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )A. B. C. D.7.如图,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.38.平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形二、填空题9.如图,将菱形ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对角线交点O处,折痕为EF.若菱形的边长为2cm,∠BAD=120°,则EF的长为 .10.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).11.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________.12.如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=____时，四边形ABCD是菱形.三、解答题13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.14.如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE 分别交于点O、点E，连接EC.（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形.15.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积.参考答案1.答案为：C.2.A3.答案为：D；4.B.5.C6.答案为：C.7.D8.B9.答案为：(cm)；10.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)11.答案为：AB=AD或AC⊥BD；12.答案为：8；13.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形.14.证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE=BD又∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AE=CD，∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=EC；（2）∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.15.证明：（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．16.解：(1)由AAS易证△AFE≌△DBE(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，∵DB=DC，∴AF=CD，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D 是BC 的中点，∴AD=DC=12BC ， ∴四边形ADCF 是菱形(3)连接DF ，由(2)知AF//==BD ， ∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF=AB=5，∴S 菱形ADCF =12AC ·DF=12×4×5=10。

22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)

菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图，平行四边形 ABCD 中，AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件,个即可，图中不能再添加别的点”和线”)3、在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点 0，从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个： __________________ => ABCD 是菱形； ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以(只需写出1、如图，如果要使平行四边形是D 是BC 的中点，连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证：△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.2、如图，在？ABCD 中，E, F 分别为边 AB , CD 的中点，连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证：△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图，已知点 D 在厶ABC 的BC 边上，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证：AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由.ABCD 中，AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是5、如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证：△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图，△ ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证：AD=CE(2)_________________________________________ 填空：四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC BC上，且EF// AB(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图，在梯形纸片ABCD中，AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证：四边形CDC E是菱形.9已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图，等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点，EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；(1)11若如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD BC的中点，G H分别是BDAC的中点，AB CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。

北师大版九年级数学上册同步课时训练：1.1 菱形的性质与判定含答案

北师大版2020年（秋季）九年级数学上册同步课时训练1.1 菱形的性质与判定一．选择题1．关于菱形，下列说法错误的是（）A．四条边相等B．对角线互相垂直C．四个角相等D．对角线互相平分2．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠24．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96B．48C．24D．125．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°6．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF 的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（）A．2B．2C．D．8．菱形ABCD的周长为40，一条对角线的长为16，则另一条对角线的长为（）A．5B．10C．32D．129．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF 的面积为（）A．1B．2C．2D．4二．填空题10．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）．11．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为cm2．12．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果菱形ABCD的周长是16，那么EF的长是．13．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是．14．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为．三．解答题15．如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．16．如图5，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积．17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连结CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．18．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．20．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在边AB、BC上，△DEF是等边三角形．（1）求证：BE＝CF；（2）若DG⊥AB，AD＝6，AE＝4，求EF的长．参考答案一．选择题（共9小题）1．解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，∴四个角相等不是菱形的性质，故选：C．2．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选：C．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴S＝×6×8＝24．故选：C．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．6．解：连接AC，∵AE垂直平分边BC，∴AB＝AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°．故选：B．7．解：过点A作AE⊥BC，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，∵∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝2，AE＝2．即边AD与BC之间的距离为2．故选：B．8．解：∵菱形ABCD的周长等于40，∴边长AB＝40÷4＝10，∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，BD＝16，∴BO＝8，∴OA＝＝＝6，∴AC＝12，故选：D．9．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，则菱形的面积是：AE•BC＝2．故选：C．二．填空题（共5小题）10．解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形故答案为：AB＝BC（答案不唯一）11．解：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，∵菱形的边长为2cm，∴AB＝BC＝2cm，∵有一个内角是60°，∴∠ABC＝60°，∴AM＝AB sin60°＝，∴此菱形的面积为：2×＝2（cm2）．故答案为：2．12．解：在菱形ABCD中，周长为16，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF＝BC＝2，故答案为：213．解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，∵村庄C到公路l1的距离为4千米，∴CF＝4千米，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴CE＝CF＝4千米，即C到公路l2的距离是4千米．故答案是：4千米．14．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，故答案为：20°．三．解答题（共6小题）15．证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．16．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝8；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，∴形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2．17．证明：（1）∵AE⊥BC，∴∠BAE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），（2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，∴菱形的边长为．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．19．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠FEC＝∠BCE．∵EC平分∠BEF，∴∠BEC＝∠FEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC，又∵EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE＝EF，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵AC＝8，D是AC的中点，∴EC＝AC＝8＝4．∵∠BCF＝120°，∴∠ECB＝∠BCF＝120°＝60°，又∵在菱形BCEF中，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，过点E作EG⊥BC于点G，如图：∴BG＝BC＝4＝2，∴EG＝＝，∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×＝．20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD和△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，DC＝DB，∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°，DF＝DE，∴∠CDF＝∠BDE，∴△CDF≌△BDE（SAS），∴BE＝CF；（2）∴△ABD是等边三角形，DG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝AD＝3，∴DG＝AG＝3，∴EG＝AE﹣AG＝1，在Rt△DGE中，根据勾股定理，得DE＝＝2，∴EF＝DE＝2．。

八年级数学下册《菱形的判定》练习及答案

八年级数学下册《菱形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题）1．下列可以判断是菱形的是()A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90ABC∠=︒时，四边形ABCD是菱形：④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边=，OB OD形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BDAOB⊥∠=︒D．AC BD⊥C．60=B．AB BC4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OAB OAD=，那么下列条件∠=∠，BO DO中不能判定四边形ABCD是菱形的为()A．OA OC==D．AD DC=B．BC DC=C．AD BC第3题图第4题图二．填空题（共4小题）5．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）6．如图在Rt ABCAC=，6BC=，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平ACB∆中，90∠=︒，8行四边形CDEB，当AD=时，平行四边形CDEB为菱形．7．如图所示，四边形ABCD中，AC BDBO DO==，6==，点P为线段AC上AO CO⊥于点O，8的一个动点．（1）填空：AD CD==．（2）过点P分别作PM AD⊥于M点，作PH DC⊥于H点．连结PB，在点P运动过程中，++的最小值为．PM PH PB8．如图1，边长为a 的正方形发生形变后成为边长为a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h ，我们把a h的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD 分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2:3．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，(AEF A ∆、E 、F 是格点）同时形变为△A E F '''，若这个菱形的“形变度” 1615k =，则A E F S '''=V ．三．解答题（共2小题）9．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AH BC ⊥，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH EH =．求证：四边形EBFC 是菱形．10．如图（1），ABC ∆为等腰三角形，AB AC a ==，P 点是底边BC 上的一个动点，//PD AC ，//PE AB ．（1）用a 表示四边形ADPE 的周长为；（2）点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形，请说明理由；（3）如果ABC ∆不是等腰三角形（图2)，其他条件不变，点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形（不必说明理由）．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定是本题的关键．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四=，OB OD边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OC=，Q，OB OD=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【分析】利用菱形的判定依次进行判断即可．【解答】解：A、若AO OC=，=，且BO DO∴四边形ABCD是平行四边形，//∴AB CD∠=∠BAO OCD∴∠=∠，且OAB OAD∴∠=∠OAD OCD∴=，AD CD∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC DC==，BO DO∴是BD的垂直平分线AC∴=AB AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，=，Q，BO DOC、OAB OAD∠=∠∴=，且BO DOAB AD=∴垂直平分BDAC=BC CD∴=，且AD BC∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、OAB OAD=，∠=∠Q，BO DO∴=，且BO DOAB AD=AC∴垂直平分BD=BC CD∴=，且AD CD∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练地掌握菱形的判定，注意与矩形、正方形、平行四边形的判定进行比较，是提高同学们综合能力的关键．二．填空题（共4小题）【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA OC =， OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．【分析】首先根据勾股定理求得10AB =，由菱形的性质可得OD OB =，CD CB =，根据勾股定理可得OB 的值，由2AD AB OB =-可求AD 的长．【解答】解：如图，连接CE 交AB 于点O ． Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，2210AB AC BC ∴=+=若平行四边形CDEB 为菱形时，CE BD ⊥，OD OB =，CD CB =． Q1122AB OC AC BC =g g ， 245OC ∴=． 22185OB BC OC ∴=-= 1425AD AB OB ∴=-=故答案为：145【点评】本题考查了菱形的判定与性质．求出OB 的长是本题的关键．【分析】（1）在ADO ∆中，由勾股定理可求得10AD =，由AC BD ⊥，AO CO =，可知DO 是AC 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD DC =；（2）由PM PH +为定值，当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，由垂线的性质可知当点P 与点O 重合时，OB 有最小值．【解答】解：（1）AC BD ⊥Q 于点O ， AOD ∴∆为直角三角形．22228610AD AO OD ∴=+=+=． AC BD ⊥Q 于点O ，AO CO =， 10CD AD ∴==．故答案为：10；（2）如图1所示：连接PD ．ADP CDP ADC S S S ∆∆∆+=Q ，∴111222AD PM DC PH AC OD +=g g g ，即1111010166222PM PH ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯． 10()166PM PH ∴⨯+=⨯． 9648105PM PH ∴+==， ∴当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，Q 由垂线段最短可知：当BP AC ⊥时，PB 最短．∴当点P 与点O 重合时，PM PH PB ++有最小，最小值4878655=+=．故答案为：10，785．【点评】本题主要考查了勾股定理、垂线段的性质、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM PH +的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP 垂直于AC 时，PM PH PB ++有最小值是解答问题（3）的关键．【分析】求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比=菱形的“形变度”，求AEF ∆的面积，根据两面积之比=菱形的“形变度”，即可解答．【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：2a ，形变后的菱形的面积为：233a =g， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：22323a = Q 这个菱形的“形变度”为23∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比=这个菱形的“形变度”，112222422AEF S ∆=⨯⨯+⨯⨯=，Q 若这个菱形的“形变度” 1615k =， ∴1615AEF A E F S S ∆'''=V ，即41615A E F S '''=V ， 154A E F S '''∴=V ．故答案为：154．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．三．解答题（共2小题）【分析】根据题意可证得BCE ∆为等腰三角形，由AH CB ⊥，则BH HC =，从而得出四边形EBFC 是菱形．【解答】证明：AB AC =Q ，AH CB ⊥，BH HC ∴=，……………………………………………………3分FH EH =Q ，∴四边形EBFC 是平行四边形，………………………………6分又AH CB ⊥Q ，∴四边形EBFC 是菱形．………………………………………10分【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．【分析】（1）由题意可得四边形ADPE 为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB DP =，即可求四边形ADPE 的周长；（2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE EP =，则平行四边形ADPE 是菱形；（3）P 运动到A ∠的平分线上时，四边形ADPE 是菱形，首先证明四边形ADPE 是平行四边形，再根据平行线的性质可得13∠=∠，从而可证出23∠=∠，进而可得AE EP =，然后可得四边形ADPE 是菱形．【解答】解：（1）//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形AD PE ∴=，DP AE =，AB AC =Q B C ∴∠=∠， //DP AC QB DPB ∴∠=∠ DB DP ∴=∴四边形ADPE 的周长2()2()22AD DP AD BD AB a =+=+==故答案为：2a …………………………………………………………………………2分（2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形．………………………………3分理由如下：连结AP ……………………………………………………………………………4分//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形…………………………………………………………5分AB AC =Q ，P 为BC 中点PAD PAE ∴∠=∠…………………………………………………………………………6分//PE AB QPAD APE ∴∠=∠ PAE APE ∴∠=∠EA EP∴=………………………………………………………………………………7分∴四边形ADPE是菱形…………………………………………………………………8分（3）P运动到A∠的平分线上时，四边形ADPE是菱形，…………………………10分PE AB，Q，//PD AC//∴四边形ADPE是平行四边形，Q平分BACAP∠，∴∠=∠，12//Q，AB EP∴∠=∠，13∴∠=∠，23∴=，AE EP∴四边形ADPE是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．。

八年级数学《菱形的判定》课后习题(2020年最新)

A
MD
N
Q
B
P
C
11、【提高题】如图所示， △ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC的平分线 BD?交 AC于点 D，CH⊥AB 于 H，且交 BD于点 F，DE⊥AB 于 E，四边形 CDEF是菱形吗？请说明理由．
C
D F
B
H EA
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菱形的判定答案
1、【答案】 D
2、【答案】四边形 ABCD 是菱形 .
3、如图， AD 是△ ABC 的角平分线。 DE∥ AC 交 AB 于 E，DF∥ AB 交 AC 于 F. 四边形 AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如图， □ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD 、 BC 分别交于 E、F，四边形 AFCE 是否是菱形？为什么？
5、已知 DE∥ AC、 DF∥ AB，添加下列条件后，不能判断四边形 DEAF为菱形的是（
）
A. AD平分∠ BAC
A
B. AB ＝ AC＝且 BD＝CD C. AD为中线
E
F
D. EF ⊥AD
B
D
C
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6、如右图，已知四边形 ABCD为菱形， AE＝ CF. 求证：四边形 BEDF为菱形。
A E
B
D
F C
7、已知 ABCD为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。小刚说只要过 BD中点作 BD的垂
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10、如图，已知四边形 ABCD为矩形， AD＝ 20 ㎝、 AB＝10 ㎝。 M点从 D 到 A， P 点从 B 到 C，两点的速度都为 2 ㎝ /s ；N点从 A 到 B，Q点从 C到 D，两点的速度都为 1 ㎝ /s 。若四个点同时出发。（ 1）判断四边形 MNPQ的形状。（ 2）四边形 MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由。

菱形的判定配套练习-含答案

菱形的判定1.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，作ED∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E。

求证：四边形OCED是菱形。

AB的长为半径画2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC与BD相交于O,AO=CO.请你再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是菱形，则下列条件不符合的是()A．BD平分∠ABC B．AB=ADC．AC⊥BD D．OB=OA4.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形是菱形．5.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E,F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．6.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE，BD，且AE=AB.(1) 求证：∠ABE=∠EAD;(2) 若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．(1) 求证：△ABE≅△DFE；(2) 连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：四边形ABDF是菱形．9.如图，在菱形ABCD中，E、F为对角线BD的三等分点．求证：四边形AFCE是菱形．10.如图，在平行四边形ABCD中，BD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC交于点F，与BD交于点O．(1) 证明：OE=OF．(2) 证明：四边形BEDF是菱形．11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且BE=DF，连接AE 并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．(1) 求证：△AOE≅△COF；(2) 若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．12.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点F是AC上一点，连接BF，DF．(1) 求证：△ABF≅△ADF；(2) 若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．14.如图，平行四边形ABCD的边CD的垂直平分线与边DA，BC的延长线分别交于点E，F，与边CD交于点O，连接CE，DF．(1) 求证：DE=CF；(2) 请判断四边形ECFD的形状，并证明你的结论．菱形的判定1.【答案】略【解析】∵DE∥AC,CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OD=OC，∴四边形OCED是菱形．2.【答案】B【解析】根据做法可知：AC=CB=BD=AD，故四边形ADBC是菱形3.【答案】D【解析】由已知条件可得△AOB≌△COD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，A．∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，∴∠CBO=∠CDO，∴CB=CD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；故A正确；B．∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；故B正确；C．AC⊥BD,AO=CO，∴AB=BC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；故C正确；D．OB=OA，能判定四边形是矩形，故D不正确，选D．【备注】菱形的判定4.【答案】略【解析】∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE // AC，DF // AB∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形5.【答案】略【解析】∵DB⊥BC，F是边CD的中点∴BF=12CD∴BF=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴AB // CD∴∠ADB=∠CBD=90∘∵E是边AB的中点∴DE=12AB∴DE=BE∵AB=CD∵BE=DF∴BF=DF=DE=BE∴四边形DEBF是菱形6.【答案】略【解析】∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD∴∠AOE=∠AOF=90∘∵△AEO与△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△AEO≅△AFO(ASA)∴EO=FO∵EF垂直平分AD∴EF、AD相互平分∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD∴平行四边形AEDF为菱形7.(1)【答案】略【解析】在平行四边形ABCD中，AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD,∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,∴∠ABE=∠EAD;(2)【答案】略【解析】∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBE,∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB,∴∠ABD=∠ABE−∠DBE=2∠ADB−∠ADB=∠ADB,∴AB =AD,又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．8.(1)【答案】略【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ．∵ 点 F 在 CD 的延长线上，∴FD ∥AB ．∴∠ABE =∠DFE ．∵E 是 AD 中点，∴AE =DE ．在 △ABE 和 △DFE 中，∵{∠ABE =∠DFE∠BEA =∠DEF AE =DE∴△ABE ≅△DFE ；(2)【答案】略【解析】∵△ABE ≅△DFE ，∴AB =DF ．∵AB ∥DF ，AB =DF ，∴ 四边形 ABDF 是平行四边形．∵BF 平分 ∠ABD ，∴∠ABF =∠DBF ．∵AB ∥DF ，∴∠ABF =∠DFB ，∴∠DBF =∠DFB ．∵DB =DF ．∴ 四边形 ABDF 是菱形．9.【答案】略【解析】如图，连接 AC ，交 BD 于点 O ．∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，OA =OC ，OD =OB ．又 E ，F 为对角线 DB 的三等分点，∴ DE =BF ．又OE=OD−DE，OF=OB−BF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．又AC⊥BD，∴四边形AFCE是菱形．10.(1)【答案】略【解析】∵EF是BD的垂直平分线，四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，AD∥BC，∴∠EDB=∠FBD，又∠EOD=∠FOB，∴△ODE≅△OBF，∴OE=OF．(2)【答案】略【解析】∵EF⊥BD，∴四边形EBFD的对角线垂直互相平分，∴四边形EBFD是菱形．11.(1)【答案】略【解析】如图．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，BO=DO．∵BE=DF，∴BO−BE=DO−DF．即EO=FO．在△AOE和△COF中，{EO=FO,∠1=∠2, AO=CO.∴△AOE≅△COF．(2)【答案】略【解析】由（1），△AOE≅△COF．∴∠3=∠4．∴AG∥CH．在平行四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，即 AH ∥GC ． ∴ 四边形 AGCH 是平行四边形．∵AC 平分 ∠HAG ，∴∠4=∠5．∴∠3=∠5．∴HA =HC ，∴ 四边形 AGCH 是菱形．12.(1)【答案】略【解析】在 △ABC 与 △ADC 中∵ {AB =ADCB =CD AC =AC∴ △ABC ≅△ADC ，∴ ∠BAC =∠DAC ，在 △ABF 与 △ADF 中∵ {AB =AD∠BAF =∠DAF AF =AF∴ △ABF ≅△ADF ．(2)【答案】略【解析】由（1）得 ∠BAC =∠DAC ，∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC =∠DCA ，∴ ∠DAC =∠DCA ，∴ DA =DC ，∵ AB =AD ，CB =CD ，∴ AB =AD =CB =CD ．∴ 四边形 ABCD 是菱形．13.【答案】∵ 点 D ，E ，F 分别是 BC ，AB ，AC 的中点， ∴DE ∥AC ，DF ∥AB ．∴ 四边形 AEDF 是平行四边形．又 AD ⊥BC ，BD =DC ，∴AB =AC ．∴AE =AF ．∴ 平行四边形 AEDF 是菱形．14.(1)【答案】略【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO =∠FCO ，∠DEO =∠CFO ，∵EF平分CD，∴DO=CO，∴△EOD≅△FOC，∴DE=CF．(2)【答案】四边形ECFD是菱形．【解析】∵EF是CD的垂直平分线，∴DE=EC，CF=DF，又DE=CF，∴DE=EC=CF=DF，∴四边形ECFD是菱形．。

2022年湘教版八年级下《菱形的判定》同步练习(附答案)

2.6.2 菱形的判定一、选择题1．以下四边形中不一定为菱形的是〔〕A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有〔〕．A．1种B．2种C．3种D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，那么两条对角线的长分别是〔〕A．8cm和43cm B．4cm和83cmC．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．〔只写出符合要求的一个即可〕图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，那么要增加的条件是________．〔只写出符合要求的一个即可〕6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，那么BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，那么BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如下图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．四、思考题9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：此题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如下图，假设∠ABC=60°，那么△ABC 为等边三角形，• 所以A C=AB=14×32=8〔cm 〕，AO=12AC=4cm ．因为AC ⊥BD ，在Rt △AO B 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43〔cm 〕，• 所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加A C ⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等． 5．点D 在∠BAC 的平分线上〔或AE=AF 〕6．12cm ；723cm 2点拨：如下图，过D 作DE ⊥AB 于E ，因为AD ∥BC ，•所以∠BAD+∠ABC=180°．又因为∠BAD ：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ．在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108，所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723〔cm 2〕．7．4；43 点拨：如下图，因为DE 垂直平分AB ，又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°，由可得AE=2．在Rt △AED•中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，所以DE=23，因为12AC·BD=AB·DE，即12AC·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABC D中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．点拨：根据条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．14.1.2 幂的乘方一、选择题1．计算〔-a2〕5+〔-a5〕2的结果是〔〕A．0 B．2a10 C．-2a10 D．2a72．以下计算的结果正确的选项是〔〕A．a3·a3=a9 B．〔a3〕2=a5 C．a2+a3=a5 D．〔a2〕3=a63．以下各式成立的是〔〕A．〔a3〕x=〔a x〕3 B．〔a n〕3=a n+3 C．〔a+b〕3=a2+b2 D．〔-a〕m=-a m4．如果〔9n〕2=312，那么n的值是〔〕A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题5．幂的乘方，底数________，指数________，用字母表示这个性质是_________．•6．假设32×83=2n，那么n=________．7．n为正整数，且a=-1，那么-〔-a2n〕2n+3的值为_________．8．a3n=2，那么a9n=_________．三、解答题9．计算：①5〔a3〕4-13〔a6〕2②7x4·x5·〔-x〕7+5〔x4〕4-〔x8〕2③[〔x+y〕3]6+[〔x+y〕9]2④[〔b-3a〕2]n+1·[〔3a-b〕2n+1]3〔n为正整数〕10．假设2×8n×16n=222，求n的值．四、探究题11．阅读以下解题过程：试比拟2100与375的大小．解：∵2100=〔24〕25=1625375=〔33〕25=2725而16<27∴2100<375．请根据上述解答过程解答：比拟255、344、433的大小参考答案：1．A 2．D 3．A 4．B5．不变；相乘；〔a m〕n=a mn〔m、n都是正整数〕6．14 7．1 8．8 9．①-8a12；②-3x16；•③2〔x+y〕18；④〔3a-b〕8n+5 10．n=3 11．255<433<344。

菱形的性质同步练习(含答案)

第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形的性质基础闯关知识点一：菱形的定义与对称性1.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC2.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.对称轴有两条C.对称轴是两条对角线D.是中心对称图形3.如图，菱形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别(0,2),(2,1),(4,2),则顶点D的坐标是( )A.( 2,2)B.( 2,4)C.( 3,2)D.( 2,3)知识点二：菱形的性质4.在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,点E是BC边上的一个动点(点E与点C不重合)，点F,G分别是AE,CE的中点,则线段FG的长度为( )B.35.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状变化的过程中，依次出现的特殊三角形是( )A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形6.如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边,在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF,则∠FAE 的度数为.能力提升7.[空间观念]如图，在边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,点E,F分别为折线AB-BC,AD-DC上的点(不含菱形顶点),AE=AF,BF,DE相交于点G,作射线AG.甲、乙二人分别对这个问题进行了研究：甲：射线AG不一定经过点C；乙：当DE垂直于菱形的边时，线段AG的长可能为3.下列判断正确的为( )A.甲、乙都对B.甲、乙都错C.甲对，乙错D.甲错，乙对8.如图,在菱形ABCD中,点E在对角线BD上,AE=BE,∠C=120°,若BD=12cm,则DE=__________cm.9.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF,则∠CDF=.10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的中点,连接EF,BF.若AF=1,AE=2,则FB的长为.11.如图,含30°角的直角三角板GEF的边GE与菱形ABCD的边AD所在直线重合，GF与BD相交于点H,EF∥CD,则∠FHD的度数是.12.[空间观念]如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的任意两点(E，F不重合)，过点E 作ME∥AD,NE∥AB,点M,N分别在AB,AD上;过点F作RF∥AD,IF∥AB,点I,R分别在BC,DC 上,NE,RF的延长线交于点P，ME，IF的延长线交于点Q.若AC=2,∠B=60°,则图中阴影部分的周长为.13.如图，在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为.14.如图,菱形ABCD中,∠D=135°,BE⊥CD于点E,交AC于点F,FG⊥BC于点G.若△BFG的周长为5,则菱形ABCD的边长为.素养提升【应用意识——菱形性质与三角形全等的综合应用】15.[一题多解]如图,菱形ABCD中,点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF,若∠AED=50°,则∠BCF=度.16.如图,菱形ABCD中,∠ABC=80°,延长BC到点E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为点F,若DF=3,则对角线BD的长为.17.[一题多辨·模型观念]如图，菱形ABCD中,AB=2cm,∠ADC=120°.(1)若E,F分别是AB,BC的中点,连接DE,DF,EF,则△DEF的周长为.(2)[一题多解]若点E,F分别在边AB,BC上,且AE=BF,试判断△DEF的形状并说明理由.(3)若点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为点F的速度为经过ts,△DEF为等边三角形,则t的值为.培优创新18.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为动点.(1)如图①,当点E在线段AB上,且∠CEN=60°时,求证:CE=EN.(2)如图②，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时,求证:CN⊥AD.参考答案1.D2.C3.D4.A5.C6.36°7.B8.89.60°11.120° 12.813.3 [解析]作点F关于BD的对称点连接交BD于点P，则由两点之间线段最短可知，当E，P，在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时∵四边形ABCD为菱形,周长为12,∴AB=BC=CD=DA=3,四边形是平行四边形，的最小值为3.14.515.50 [解析]方法1:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AD∥BC,∠ADF=∠CDF.在△ADF和△CDF中,=∠DCF.∵∠AED=50°,∴∠DAE+∠ADE=180°-50°=130° ,∴∠ADE+∠DCF=130°.∵AD∥BC,∴∠ADE+∠BCD=180°,∴∠ADE+∠BCF+∠DCF=180°,∴∠BCF=180°-130°=50°.方法2:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB,∠CBF=∠ABF,AB∥CD,∴∠BAE=∠AED=50°.在△CBF和△ABF中,=∠BAF=50°.16.6 [解析]如图,连接AC交BD于点H.由菱形的性质,得∠ADC=∠ABC=80°,∠DCE=80°,∠DHC=90°.又∵∠ECM=30°,∴∠DCF=50°.∵DF⊥CM,∴∠CFD=90°,∴∠CDF=40°.又∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ADC,∴∠HDC=40°,∴易证△CDH≌△CDF,∴DH=DF=3,∴BD=2DH=6.(2)解:△DEF是等边三角形,理由:方法1:如图,连接DB.∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠DBC=∠ADB=60°,∴△ADB,△DBC为等边三角形,∴AD=BD.在△ADE和△BDF 中,△BDF,∴DE=DF,∠ADE=∠BDF,∴∠BDF+∠EDB=∠ADE+∠EDB=∠ADB=60°,∴△DEF是等边三角形.方法2:如图,延长AB至点M,使BM=AE,连接FM,则△BMF是等边三角形,可证△EMF≌△DAE,则DE=EF,∠MEF=∠ADE,∴∠MEF+∠AED=∠ADE+∠AED=120°,∴∠DEF=60°,∴△DEF是等边三角形.(3)218.证明:(1)如图①,在BC上截取BF=BE,连接FE.∵BF=BE,∠B=60°,∴△BFE是等边三角形,∴∠B=∠BFE=∠BEF=60°,∴∠EFC=120°.∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,∴AB=BC,∠A=120°=∠EFC,∴AE=FC.∵∠CEN=∠B=60°,∠AEC=∠B+∠BCE=∠CEN+∠AEN,∴∠BCE=∠AEN.在△AEN和△FCE中.△AEN ≌△FCE(ASA),∴CE=EN.(2)如图②,连接AC,设AD与CN的交点为O.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△AEN是等边三角形,∴AN=AE,∠NAE=60° =∠BAC,∴∠BAE=∠CAN.在△ABE和△ACN中,∴△ABE≌△ACN(SAS),∴∠ABE=∠ACN=30°. ∵∠BAC=∠CAD=60°,∴∠AOC=90°,∴CN⊥AD.。

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

2020 年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析．选择题（共 3 小题）1．已知 ?ABCD ，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A ．AB ＝ AC B ． AB ＝CDC ．对角线互相垂直D ．∠ A+∠C ＝ 180°2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（） A ．对角线互相垂直且相等的四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的平行四边形 D ．对角线互相平分且垂直的四边形5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．B ．AC ⊥BD C ．∠ ABC ＝ 90 D ．∠ 1＝∠ 2二．填空题（共 2 小题）4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是? ABCD 成为菱形的是（A ．AB ＝ BC需填一个即可）．6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH ＝EH．求证：四边形EBFC 是菱形．7．如图，AE∥BF，AC 平分∠ BAE，且交BF 于点C，BD 平分∠ ABF，且交AE 于点D ，AC 与BD 相交于点O，连接CD ．（1）求∠ AOD 的度数；（2）求证：四边形ABCD 是菱形．28．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．1）在运动过程中，四边形AECF 的形状是时，四边形AECF 是矩形；3）求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．BF 平分∠ ABC 交AD 于点F，AE⊥BF 于点O，交BC 于点E，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD 的面积．10．如图，已知点P为∠ ACB平分线上的一点，∠ ACB＝60°，PD⊥CA 于D，PE⊥CB 于E．点M 是线段CP 上的动点（不与两端点C、P 重合），连接DM ，EM．（1）求证：DM ＝ME；CP 的什么位置时，四边形PDME 为菱形，请说明理由．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；2）求证：EO＝DC．2020 年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析参考答案与试题解析一．选择题（共3 小题）1．已知?ABCD ，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A ．AB＝AC B．AB＝CDC．对角线互相垂直D．∠ A+∠C＝180°【分析】根据菱形的判定方法① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 四条边都相等的四边形是菱形；③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形” ）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．【解答】解：A、添加AB＝AC，不能证明? ABCD 是菱形，故此选项错误；B、添加AB＝CD，不能证明? ABCD 是菱形，故此选项错误；C、添加对角线互相垂直，可以证明? ABCD 是菱形，故此选项正确；D、添加∠ A+∠C＝180°不能证明?ABCD 是菱形，故此选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A ．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D ．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3．如图，添加下列条件仍然不能使? ABCD 成为菱形的是（）第4页（共14页）【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．【解答】解： A 、∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB ＝BC ， ∴平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项错误；B 、∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC ⊥BD ，∴平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项错误；C 、∵四边形 ABCD 是平行四边形和∠ ABC ＝ 90°不能推出，平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项正确；D 、∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴∠ 2＝∠ ADB ， ∵∠ 1＝∠ 2， ∴∠ 1＝∠ ADB ， ∴AB ＝AD ，∴平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项错误；故选： C ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有： ① 有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ② 四条边都相等的四边形是菱形， ③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．二．填空题（共 2 小题）4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是 AB ＝BC （答案不唯一）（只需填一个即可）．B ．AC ⊥BD C ．∠ ABC ＝ 90 D ．∠ 1＝∠ 2A ．AB ＝ BC分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：∵ AB ＝BC ，且四边形 ABCD 为平行四边形 ∴四边形 ABCD 是菱形故答案AB ＝BC （答案不唯一）点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构∴四边形 ABCD 是平行四边形．故答案为：平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定．关键是掌握平行四边形的判定方法．三．解答题（共 6 小题）6．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，点 E 是 AH 上一点，延长 AH 至点 F ，使 FH＝ EH ．求证：四边形 EBFC 是菱形．【分析】根据题意可证得△ BCE 为等腰三角形，由 AH ⊥CB ，则 BH ＝HC ，从而得出四边形EBFC 是菱形．【解答】证明：∵ AB ＝ AC ，AH ⊥CB ， ∴BH ＝ HC ， ∵FH ＝ EH ，∴四边形 EBFC是平行四边形，又∵AH ⊥CB ，成了一个四边形，这个四边形是平行四边形ABCD 是平行四边形．解答】解：∵ AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形EBFC 是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．7．如图，AE∥BF，AC 平分∠ BAE，且交BF 于点C，BD 平分∠ ABF，且交AE 于点D ，AC 与BD 相交于点O，连接CD ．（1）求∠ AOD 的度数；（2）求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠ BAC，∠ ABD＝∠ DBC ，然后根据平行线的性质得到∠ DAB +∠ CBA＝180°，从而得到∠ BAC+∠ABD＝（∠ DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，得到答案∠ AOD＝90°；（2）根据平行线的性质得出∠ ADB＝∠ DBC ，∠ DAC ＝∠ BCA，根据角平分线定义得出∠ DAC ＝∠ BAC ，∠ ABD ＝∠ DBC ，求出∠ BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD ，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD 是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵ AC、BD分别是∠ BAD、∠ ABC的平分线，∴∠ DAC＝∠ BAC，∠ ABD＝∠ DBC，∵AE∥BF，∴∠ DAB+∠CBA，＝180°，∴∠ BAC+∠ABD ＝（∠ DAB + ∠ ABC ）＝×180°＝90°，∴∠ AOD＝90°；（2）证明：∵ AE ∥BF，∴∠ ADB＝∠ DBC ，∠ DAC＝∠ BCA，∵AC、BD分别是∠ BAD、∠ ABC 的平分线，∴∠ DAC＝∠ BAC，∠ ABD＝∠ DBC，∴∠ BAC＝∠ ACB，∠ ABD ＝∠ ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥ BC，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD 是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD 是平行四边形是解此题的关键．28．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，四边形AECF 的形状是平行四边形；（2）t＝1 时，四边形AECF 是矩形；（3）求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD ＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF＝AE，即可得出四边形AECF 是平行四边形；（2）若四边形AECF 是矩形，则∠ AFC ＝90°，得出AF⊥CD ，由平行四边形的面积得出AF ＝4cm，在Rt△ACF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当AE＝CE时，四边形AECF 是菱形．过C作CG⊥BE 于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）四边形AECF 是平行四边形；理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，∴CF∥ AE，∵DF＝BE，∴CF＝AE，∴四边形AECF 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）t＝1时，四边形AECF 是矩形；理由如下：若四边形AECF 是矩形，∴∠ AFC＝90°，∴AF⊥CD，2∵ S? ABCD＝CD ?AF ＝8cm ，∴ AF＝4cm，2 2 2在Rt△ACF 中，AF 2+CF2＝AC2，即42+（t+2）2＝52，解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），∴ t＝1；故答案为：1；（3）依题意得：AE 平行且等于CF，∴四边形AECF 是平行四边形，故AE＝CE 时，四边形AECF 是菱形．又∵ BE＝tcm，∴ AE＝CE＝t+2 （cm），过C作CG⊥BE于G，如图所示：则CG ＝4cmcm，∵ AG＝＝＝3（cm），∴ GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），在△CGE 中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，解得：t＝，s 时，四边形AECF 是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．9．已知，如图，在 ?ABCD 中，BF 平分∠ ABC 交AD 于点 F ，AE ⊥BF 于点 O ，交 BC 于点E ，连接 EF ．（ 1）求证：四边形 ABEF 是菱形；分析】（ 1）先证明四边形 ABEF 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．?AE?BF ＝BE?FG ，先求出 FG 即可解决问题． ∴AD ∥ BC ，∴∠ EBF ＝∠ AFB ， ∵ BF 平分∠ ABC ， ∴∠ ABF ＝∠ CBF ，∴∠ ABF ＝∠ AFB ，∴AB ＝AF ，∵BO ⊥ AE ，∴∠ AOB ＝∠ EOB ＝ 90∵BO ＝ BO ，∴△ BOA ≌△ BOE （ ASA ），∴AB ＝BE ，∴BE ＝AF ，BE ∥ AF ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∵AB ＝AF ．2）作 FG ⊥BC 于 G ，根据 S 菱形ABEF ＝解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形ABCD 的面积．∴四边形ABEF 是菱形．（2）解：作FG ⊥BC 于G，∵四边形ABEF 是菱形，AE＝6，BF＝8，∴ AE⊥ BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴ BE＝＝5，∵S 菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，菱形∴GF＝，【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．10．如图，已知点P为∠ ACB平分线上的一点，∠ ACB＝60°，PD⊥CA 于D，PE⊥CB 于E．点M 是线段CP 上的动点（不与两端点C、P 重合），连接DM ，EM．（1）求证：DM ＝ME；（2）当点M 运动到线段CP 的什么位置时，四边形PDME 为菱形，请说明理由．【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ ACP＝∠ BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“ HL”可证明Rt△DCP ≌Rt△ECP 得到CD ＝CE，然后证明△ DCM ≌△ ECM 得到DM ＝ME；（2）利用∠ DCP＝30°得到PC＝2PD，∠ CPD ＝60°，则当DM＝DP 时，PD ＝PE＝MD ＝ME，则四边形DMEP 为菱形，由于此时△ PDM 为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM ＝PM ，即当点M 运动到线段CP 的中点时，四边形PDME 为菱形．【解答】（1）证明：∵点P 为∠ACB 平分线上的一点，∴∠ ACP＝∠ BCP＝30°，∵PD⊥CA于D，PE⊥CB 于E，∴PD＝PE，在Rt△DCP 和Rt△ ECP 中∴Rt△DCP≌Rt△ECP，∴CD＝CE，在△ DCM 和△ ECM 中，∴△ DCM ≌△ ECM，∴DM＝ME；（2）解：当点M 运动到线段CP 的中点时，四边形PDME 为菱形．理由如下：∵∠ DCP ＝30°，∴PC＝2PD，∠ CPD＝60°，∵PD＝PE，MD＝ME，∴当DM＝DP 时，PD＝PE＝MD ＝ME，则四边形DMEP 为菱形，此时△ PDM 为等边三角形，∴PD＝PM，∴CM＝PM，∴当点M 运动到线段CP 的中点时，四边形PDME 为菱形．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．【分析】（1）由菱形的性质可证明∠ BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO 为平行四边形，从而可证明四边形AEBO 是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．【解答】解：（1）四边形AEBO 是矩形．证明：∵ BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO 是平行四边形．又∵菱形ABCD 对角线交于点O∴AC⊥ BD，即∠ AOB＝90°．∴四边形AEBO 是矩形．（2）∵四边形AEBO 是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD 中，AB＝DC ．∴EO＝DC．【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．。

初中数学菱形的判定及性质练习题(附答案)

一. 单选题 1•如图，正方形ABCD 的边长为4,点E 在对角线BD 匕且ZBAE = 225。

，EF 丄初，垂足为F ,则EF 的长为（）B. √2C. 4-2√2D. 3∖∕2-42. 如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点,矩形的两条边AB . BC 的长分别为3和4,那么点P 到矩形的两条对角线AC. 3D 的距离之和是（D.不确左3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ φAC±BD ② ZBAD 二 90° ®AB=BC ④ AC=BD4•如图,在菱形ABCD 中，AB = 2, ZBAD = 60?, E 是A3的中点，P 是对角线AC 上的一个动A. 1B. √3C. 2D. √55.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A. 对边相等C.对角线互相平分初中数学菱形的判定及性质练习丿B.24TA.①③B.②®C.③④D. φ(≡X3)B •对角相等 D •对角线互相垂直56.如图，四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是（）B ------------------- 汽A.AB = CDB.AD = BCC.AB = BCD.AC = BD7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：（DAB = BC;②ZABC = 90°：®AC = BD i④AC丄BD中选两个作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A.αχ2) B •②③ C •①③ D •②④8•如图，在菱形ABCD中，对角线AUBD相交于点QH为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于（）A. 3.5B. 4C.7D.149.下列说法中正确的是（）A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形10•如图,⅛ΔABC中，点D、E、F分别在BC. AB、CA上,且DE∕∕CA, DF//BA,则下列三种说法:①如果ZBAC=90° ,那么四边形AEDF是矩形;②如果AD平分ZBAC,那么四边形AEDF是菱形；③如果AD丄BC且AB二AC,那么四边形AEDF是菱形。

2020—2021年华东师大版八年级数学下册《菱形的判定与性质》同步训练(含答案).docx

（新课标）华东师大版八年级下册19.2.2菱形的判定与性质一．选择题（共8小题）1．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A．4 B．6 C．8 D．103．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P 不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B．C．3 D．4．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．125．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形D．菱形的对角线相等8．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共5小题）9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= _________ ．10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为_________ ．11．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是_________ ．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．12．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD=60度，则重叠部分的面积是_________ cm2．13．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为_________ ．三．解答题（共7小题）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．15．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延长线于F，DC=2AD，AB=BE．（1）求证：AD=DE．（2）求证：四边形BCFD是菱形．16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE 交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．18．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD 相交于点O，与BD相交于点N，连接MB，ND．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=1，AD=2，求MD的长．20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．（1）证明：四边形AECF为菱形；（2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的边长．19.2.2菱形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．解答：解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故故选：D．点评：主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A．4 B．6 C．8 D．10考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．解答：解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故选C．点评：此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．3．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P 不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B．C．3 D．考点：菱形的判定与性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：设AP，EF交于O点，四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．解答：解：设AP，EF交于O点，∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=AC•BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．故选：B．点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：菱形的判定与性质．专题：计算题．分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．故选C．点评：本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出等腰三角形．5．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D． 4考点：菱形的判定与性质；等边三角形的性质；平移的性质．分析：先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确．解答：解：∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．∵四边形ACED是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∥DE，∴∠BDE=∠COD=90°，∴BD⊥DE，故④正确，综上可得①②③④正确，共4个．故选D．点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直．6．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：由角平分线的定义，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质可得答案．解答：解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED，∴平行四边形AEDF是菱形．∴四边形AEDF周长为4AE=16．故选B．点评：本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形D．菱形的对角线相等考点：菱形的判定与性质．分析：根据菱形的判定与性质进行判断．解答：解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；B、有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，此选项正确；D、菱形的对角线不一定相等，此选项错误．故选C．点评：本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性质．8．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：菱形的判定与性质．分析：①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．解答：解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．点评：此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．二．填空题（共5小题）9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．解答：解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即BG=5．故答案是：5．点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为8 ．考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．专题：几何图形问题．分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．解答：解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故答案为：8．点评：此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．11．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是①②④．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据菱形的判定判断①即可；根据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④．解答：解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形BEPG是平行四边形，∴PE=BG，PG=BE，在△BEP和△PGB中，∴△BEP≌△PGB（SSS），∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBP=∠GBP，∵PE∥BG，∴∠EPB=∠GBP，∴∠EBP=∠EPB，∴BE=PE，∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，同理AE=HP=DF=PF=CG，∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；故答案为：①②④．点评：本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是比较容易出错．12．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD=60度，则重叠部分的面积是cm2．考点：菱形的判定与性质．分析：首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD 是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．解答：解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=∠BCD=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AB=2AE，BC=2CF，∵AB2=AE2+BE2，∴AB=cm，同理：BF=cm，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD=cm，∴S菱形ABCD=AD•BE=（cm2）．故答案为：．点评：此题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．13．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为105°．考点：菱形的判定与性质；正方形的性质．分析：首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE=2AO，即可求得∠AEO=30°，继而求得答案．解答：解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴BQ⊥AC∵BF∥AC，∴AO∥BQ 且∠QAB=∠QBA=45°∴AO=BQ=AQ=AC，∵AE=AC，∴AO=AE，∴∠AEO=30°，∵BF∥AC，∴∠CAE=∠AEO=30°，∵BF∥AC，CF∥AE，∴∠CFE=∠CAE=30°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠BCA=45°，∴∠BCF=180°﹣∠CBF﹣∠CFE=180﹣45﹣30=105°．故答案为：105°．点评：此题考了正方形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三．解答题（共7小题）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．考点：菱形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．解答：（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D、E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB边上的中点，∴AD=5，∵四边形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．15．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延长线于F，DC=2AD，AB=BE．（1）求证：AD=DE．（2）求证：四边形BCFD是菱形．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由，利用“HL”可证△BDA≌△BDE，得出AD=DE；（2）由AD=DE，DC=DE+EC=2AD，可得DE=EC，又AD∥BC，可证△DEF≌△CEB，得出四边形BCFD为平行四边形，再由BE⊥CD证明四边形BCFD是菱形．解答：证明：（1）∵∠A=∠DEB=90°，在Rt△BDA与Rt△BDE中，，∴△BDA≌△BDE，∴AD=DE；（2）∵AD=DE，DC=DE+EC=2AD，∴DE=EC，又∵AD∥BC，∴△DEF≌△CEB，∴DF=BC，∴四边形BCFD为平行四边形，又∵BE⊥CD，∴四边形BCFD是菱形．点评：本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质．关键是明确每个判定定理的条件，逐步推出特殊四边形．16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE 交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．考点：菱形的判定与性质．分析：（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又麟边EF=BE，则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE •BF进行解答．解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形．∵BE=2DE，BC=2DE，∴BE=BC．∴□BCFE是菱形；（2）解：连结BF，交CE于点O．∵四边形BCFE是菱形，∠BCF=120°，∴∠BCE=∠FCE=60°，BF⊥CE，∴△BCE是等边三角形．∴BC=CE=4．∴．∴．点评：此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．解答：（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．18．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．分析：（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．解答：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．点评：此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题关键．19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD 相交于点O，与BD相交于点N，连接MB，ND．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=1，AD=2，求MD的长．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，在Rt△AMB中，∵BM2=AM2+AB2∴MD2=（2﹣MD）2+12，解得：MD=（舍去负值），即：MD长为．点评：本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．（1）证明：四边形AECF为菱形；（2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的边长．考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．分析：（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出：△AEO≌△CFO；根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；（2）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=3﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程62+（8﹣x）2=x2，求出即可．解答：（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF=x，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF=x，BF=3﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，12+（3﹣x）2=x2，解得 x=．即菱形AECF的边长是．点评：本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．。

2020—2021年华东师大版八年级数学下册菱形的判定同步练习试题.doc

（新课标）华东师大版八年级下册19.2.1菱形的判定一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直D．四条边相等的四边形是菱形6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_________ （写出一个即可）．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是_________ ．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_________ （只填写序号）．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= _________ ，平行四边形CDEB 为菱形．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是_________ ．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_________ （只填写序号）．．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件_________ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E 在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．18如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF 与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．19.如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．19.2.1菱形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形考点：菱形的判定；坐标与图形性质．菁优网版权所有分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．解答：解：图象如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA=0C，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．点评：本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定考点：菱形的判定；矩形的性质．菁优网版权所有分析：求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，得出四边形EGFH 为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可．解答：解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，∴四边形EGFH为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于G点，∴GE=GF，∴四边形EGFH为菱形．故选B．点评：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形考点：菱形的判定．菁优网版权所有分析：利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD考点：菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有分析：根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误．故选D．点评：此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直D．四条边相等的四边形是菱形考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．菁优网版权所有分析：A、根据平行线的性质进行判断；B、由平行线的判定定理进行判断；C、由矩形的性质进行判断；D、由菱形的判定定理进行判断．解答：解：A、两直线平行时，同位角才相等．故本选项错误；B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形的对角线相等．故本选项错误；C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故本选项错误；D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故本选项正确；故选：D．点评：本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．菁优网版权所有分析：根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．解答：解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是AB=AD （写出一个即可）．考点：菱形的判定．菁优网版权所有专题：开放型．分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．解答：解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），故答案为：AB=AD．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是AD=DC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．考点：菱形的判定．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．解答：解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．点评：本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．考点：菱形的判定．菁优网版权所有分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．解答：解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵AB•OC=AC•BC，∴OC=．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，∴AD=AB﹣2OB=．故答案是：．点评：本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是AC⊥BD，AB=BC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：开放型．分析：在平行四边形ABCD的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．解答：解：在平行四边形ABCD的基础上①∵菱形ABCD是一组邻边相等的平行四边形，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：邻边AB=AD或AD=CD；②∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：AC⊥BD．故答案是：AC⊥BD，AB=BC等．点评：本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有①②③④（只填写序号）．考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．解答：解：①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；③若AD平分∠BAC，则DE=DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；④若AD⊥BC，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；所以正确的结论是①②③④．点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．考点：菱形的判定．菁优网版权所有专题：开放型．分析：根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一．解答：解：可添加的条件为AB=AD，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AB=AD．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC∴∠2=∠E，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED为平行四边形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四边形ACED为菱形．点评：本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E 在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．解答：（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；（2）四边形BCDE是菱形；证明：∵∠1=∠2，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．点评：本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：证明题．分析：由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．解答：证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．菁优网版权所有专题：证明题．分析：首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB=∠AND=90°，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF 是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）AE∥CF（矩形的对边平行）∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）又∵△BOE≌△DOF∴OE=OF∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．19．如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．证△AOE≌△COF可得；（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明．解答：解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．又AO=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．考点：菱形的判定；矩形的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．解答：证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=DE=BF=CF又∵AD∥BC，∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．∴GF∥EH、EG∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．在△AEG和△FBG中，，∴△AEG≌△FBG（AAS）∴EG=GB，AG=GF，在△ABE和△BAF中∵，∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AF=BE，∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，∴EG=GF，∴四边形EGFH是菱形．点评：考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．。

2020-2021学年人教版八年级下数学菱形同步习题含答案

菱形同步习题一．选择题1．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）A．对角线垂直B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．菱形的周长为8，一个内角为120°，则较短的对角线长为（）A．4B．2C．2D．13．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．44．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°5．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1B．5：1C．6：1D．7：16．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：BF＝1：3，菱形ABCD 与菱形EFGH的重叠部分面积记为S1，菱形ABCD的面积记为S2，则S1：S2的值为（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：167．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．8C．16D．168．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm9．如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝135°，BF⊥AD于点F，BF交对角线AC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若△EBH的周长是2，则菱形ABCD的面积是（）A．4B．2C．8D．10．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC的长为24，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为（）A．30B．60C．90D．120二．填空题11．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF，连接BD，EF．补充一个条件，可使四边形EBFD是菱形，这个条件是．12．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD 的面积是cm2．13．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于．14．如图，面积为16的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是边BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为．15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为．三．解答题16．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝2，求BD的长．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．18．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE 的长．参考答案一．选择题1．解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；故选：A．2．解：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则∠B+∠BAD＝180°，∴∠B＝60°，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB∥CD，∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝，∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝AD AD＝AD2＝4，∴AD＝2（负值舍去），则菱形的边长为2．故选：A．4．解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，在△BCF和△DCF中，∵，∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：B．5．解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周长为16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sin B＝＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故选：B．6．解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，菱形MFND∽菱形ABCD，∴＝（）2，∵DF：BF＝1：3，∴DF：BD＝1：4，∴＝（）2＝，故选：D．7．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4cm，故选：B．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝∠BAC，又EH⊥AB，EF⊥AD，∴EF＝EH，∠ABF＝∠DAB＝45°，∴AF＝BF，∴AB＝BF，∵∠ABF＝45°，EH⊥AB，∴∠HEB＝45°＝∠ABF，∴HE＝HB，∴BE＝BH，∵△EBH的周长是2，∴BH+EH+EB＝2BH+BH＝2，∴BH＝2﹣＝EH＝EF，∴BE＝2﹣2，∴BF＝BE+EF＝，∴AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AB×DH＝2，故选：B．10．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD与AC互相垂直平分，∴OA＝OC＝12，∴OB＝OD＝＝5，∵DA∥CB，∴∠DAB＝∠CBE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝DAB，∵BF平分∠CBE，∴∠FBE＝CBE，∴∠CAB＝∠FBE，∴AC∥FB，∴S△CBG＝S△ABG，∴S△ACG＝S△ABC＝×AC•OB＝24×5＝60，则△ACG的面积为60．故选：B．二．填空题11．解：添加BD⊥EF，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．故答案为：BD⊥EF．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，∴OB＝＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．13．解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，由勾股定理得：OB＝4，∴BD＝2OB＝8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB和△ECD的面积和＝×菱形ABCD的面积×＝＝12．故答案为：1214．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝×32＝2；故答案为：2．15．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，∵点G为HD的中点，∴HG＝DG，∵∠MGD＝∠CGH，∴△MGD≌△CGH（ASA），∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，∵F，G分别为CE和CM的中点，∴FG是△CEM的中位线，∴FG＝EM，∴EM＝2FG＝4，∵E，M分别为AB和AD的中点，∴AE＝AM，∵∠A＝120°，∴EM＝AE＝4，∴AE＝4，∴AB＝2AE＝8．故答案为：8．三．解答题16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点∴BE＝CE＝BC，AF＝AD，∴CE＝AF，CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：则∠ABG＝90°﹣∠ABC＝30°，∴AG＝AB＝1，BG＝AG＝，∵AD＝BC＝2AB＝4，∴DG＝AG+AD＝5，∴BD＝＝＝2．17．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，∴OA＝＝＝4，∴AC＝2OA＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，∵CE⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，∴CE＝．18．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．。

鲁教版2020-2021年度八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》同步测评(附答案)

鲁教版2020-2021年度八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》同步测评（附答案）1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．4C．4D．282．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．43．己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：( )A.B．C．D．4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直5．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°6．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P 是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）7．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝．9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．10．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．12．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．13．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．14．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为cm2．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cos B的值为．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝．17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．18．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．19．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．21．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝．22．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝°．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．24．感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF．探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．25．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）求证：EO＝DC；（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．26．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是．【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC 于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积．【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连结AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是．参考答案1．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故选：A．3．解：过点E 作EM ⊥AB ，EN ⊥DC ，垂足为M 、N ，过点B 作BG ⊥DC ，垂足为G ．∵AE=DF=x ，∴DE=FC=a-x ．∵∠A=∠NDE=∠C=60°， 3，31-x ），3 ∵△EFB 的面积=菱形的面积-△AEB 的面积-△DFE 的面积-△FCB 的面积， )()31313131111222x x x x -⨯-⨯--⨯- =2333x 当x=0或x=1时，S △EFB 有最大值；故选A 。

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2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析一．选择题（共3小题）1．已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CDC．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180°2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2二．填空题（共2小题）4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）．5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．三．解答题（共6小题）6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．8．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是；（2）t＝时，四边形AECF是矩形；（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．9．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CDC．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180°【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．【解答】解：A、添加AB＝AC，不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；B、添加AB＝CD，不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；C、添加对角线互相垂直，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项正确；D、添加∠A+∠C＝180°不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．二．填空题（共2小题）4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是AB＝BC（答案不唯一）（只需填一个即可）．【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形故答案为：AB＝BC（答案不唯一）【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是平行四边形．【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定．关键是掌握平行四边形的判定方法．三．解答题（共6小题）6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．【分析】根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH＝HC，从而得出四边形EBFC是菱形．【解答】证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC，∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形，又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA＝180°，从而得到∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，得到答案∠AOD＝90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．8．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是平行四边形；（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF ＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC＝90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF＝4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当AE＝CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，∴CF∥AE，∵DF＝BE，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；理由如下：若四边形AECF是矩形，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥CD，∵S▱ABCD＝CD•AF＝8cm2，∴AF＝4cm，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，即42+（t+2）2＝52，解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），∴t＝1；故答案为：1；（3）依题意得：AE平行且等于CF，∴四边形AECF是平行四边形，故AE＝CE时，四边形AECF是菱形．又∵BE＝tcm，∴AE＝CE＝t+2（cm），过C作CG⊥BE于G，如图所示：则CG＝4cmcm，∵AG＝＝＝3（cm），∴GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，解得：t＝，即t＝s时，四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．9．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP＝∠BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD＝CE，然后证明△DCM ≌△ECM得到DM＝ME；（2）利用∠DCP＝30°得到PC＝2PD，∠CPD＝60°，则当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM＝PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，∴PD＝PE，在Rt△DCP和Rt△ECP中，∴Rt△DCP≌Rt△ECP，∴CD＝CE，在△DCM和△ECM中，∴△DCM≌△ECM，∴DM＝ME；（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．理由如下：∵∠DCP＝30°，∴PC＝2PD，∠CPD＝60°，∵PD＝PE，MD＝ME，∴当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，此时△PDM为等边三角形，∴CM＝PM，∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵四边形AEBO是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝DC．【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．。

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