2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析
一．选择题（共3小题）
1．已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CD
C．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180°
2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2
二．填空题（共2小题）
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）．
5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．
三．解答题（共6小题）
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．
7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
8．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是；
（2）t＝时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．
9．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．
10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．
（1）求证：DM＝ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CD
C．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180°
【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．
【解答】解：A、添加AB＝AC，不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；
B、添加AB＝CD，不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；
C、添加对角线互相垂直，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项正确；
D、添加∠A+∠C＝180°不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．
2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，
故本选项正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互
相垂直的平行四边形是菱形．
二．填空题（共2小题）
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是AB＝BC（答案不唯一）（只需填一个即可）．
【分析】根据菱形的判定可得．
【解答】解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）
【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．
5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是平行四边形．
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．关键是掌握平行四边形的判定方法．
三．解答题（共6小题）
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．
【分析】根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH＝HC，从而得出四边形EBFC是菱形．
【解答】证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴BH＝HC，
∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA＝180°，从而得到∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，得到答案∠AOD＝90°；
（2）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∵AE∥BF，
∴∠DAB+∠CBA，＝180°，
∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOD＝90°；
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．
8．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是平行四边形；
（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF ＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC＝90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF＝4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当AE＝CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，
∴CF∥AE，
∵DF＝BE，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；理由如下：
若四边形AECF是矩形，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥CD，
∵S▱ABCD＝CD•AF＝8cm2，
∴AF＝4cm，
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，
即42+（t+2）2＝52，
解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），
∴t＝1；故答案为：1；
（3）依题意得：AE平行且等于CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故AE＝CE时，四边形AECF是菱形．
又∵BE＝tcm，
∴AE＝CE＝t+2（cm），
过C作CG⊥BE于G，如图所示：
则CG＝4cmcm，
∵AG＝＝＝3（cm），
∴GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），
在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，
解得：t＝，
即t＝s时，四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
9．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB＝BE，
∴BE＝AF，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，
∴BE＝＝5，
∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．
（1）求证：DM＝ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP＝∠BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD＝CE，然后证明△DCM ≌△ECM得到DM＝ME；
（2）利用∠DCP＝30°得到PC＝2PD，∠CPD＝60°，则当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM＝PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，
∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，
∴PD＝PE，
在Rt△DCP和Rt△ECP中
，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP，
∴CD＝CE，
在△DCM和△ECM中
，
∴△DCM≌△ECM，
∴DM＝ME；
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
理由如下：∵∠DCP＝30°，
∴PC＝2PD，∠CPD＝60°，
∵PD＝PE，MD＝ME，
∴当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，
此时△PDM为等边三角形，
∴CM＝PM，
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．
【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．。