人教版八年级数学下册 一次函数的应用(提高)知识讲解
一次函数的图象和性质提高知识讲解
一次函数的图象与性质（提高）责编：杜少波【学习目标】y?kx?by?kx的图象之间的关系； 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数y?kx?b的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函能正确画出一次函数2. 数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数的定义y?kx?b kbk≠0）的函数，叫做一次函数是常数，（.，一般地，形如y?kx?by?kx b，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一即要点诠释：当0＝时，kb的要求，一次函数也次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质y?kx?b kbk≠函数1.0）的图象是一条直线为常数，且；（、y?kx?by?kx bb个单位长度得到的；是由直线向上平移当＞0时，直线y?kx?by?kx bb|个单位长度得到的向下平移时，直线0是由直线|. 当＜y?kx?b kbk）的图象与性质：0≠为常数，且、（一次函数2.k、3.y?kx?b b的图象和性质的影响：对一次函数ykbkb by?kx?一起决定直线决定直线从左向右的趋势，轴交点的位置，决定它与、y?kx?b经过的象限．y?kx?by?kx?bll的位置关系可由其系数确定：和 4. 两条直线：：211212k?kk?kb?bllll??平行；与））1相交；（2，且与（2112211122【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式】要点三、待定系数法求一次函数解析式y?kx?b kbkkb，需要两个独立条件确0（）中有两个待定系数，一次函数，是常数，≠y x bk 的值.定两个关于，，的方程，这两个条件通常为两个点或两对要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式y?kx?b kb两个待定系数，所以用待定系数子的方法，叫做待定系数法中有和.由于一次函数kb为未知数）和法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以，解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，.因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数表示，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式y x2y?b(k?0)y?kx??2），平行，且与，与直线，则1、（1）已知直线轴的交点是（0直线解析式为___________________．y?kx?b(k?0)y?3x?1平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的2）若直线与（纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．k相同，再找一个条件求）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则比例系数（1【思路点拨】bbk2?相同，注2）点，可用待定系数法求）题同样比例系数.即可，而题中给了图象过（0，（意同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差一个单位长度有两种情况，都要考虑到. y?2x?2y?3x?2y?3x.（2））或；【答案】（1y?2xy?2x?b b＝－2，【解析】（1）因为所求直线与，－2）代入，解得，将（平行，所以0y?2x?2.所以y?3x?1k上面，那么点（1，5）或（2）由题意得）在＝3，假设点（1，4y?3x?by?3x?2y?3x bb.所求直线为3（1，）在直线0.＝2或或上，解得＝k值相同. 【总结升华】互相平行的直线举一反三：【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例2】y轴于点A（0，3）【变式1】一次函数交，与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式. 【答案】??,∴OA3?A3.0,解：1S?OA?OB,AOB△21OB??3∴6?24?∴OB????.?或B∴B4,04,0y?kx?3.??4,0B??k∴0?3?k4时，；当过43??4,0B????k4?3k∴0时，设一次函数的解析式为3当过；4．33x?3y?xy???3. 或所以，一次函数的解析式为44【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例3】y3)?2,0)B(1,xOyA(?轴上求作一点，P【变式2】在平面直角坐标系，使中，已知两点，在AP＋BP最短，并求出点P的坐标.【答案】????,0A1yyBA轴交于点P解：作点A关于，连接轴的对称点为，点P即为所求，与.?b?y?kx BA，的解析式为设直线??????2,31,0?A,BBA过直线，1?k?k?b?0??∴∴??1b??b?3k?2???y1?y??x BA∴.1）（0，它与，的解析式为：轴交于P 类型二、一次函数图象的应用家小明后出发．?四川南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，2、（2016 ）的函数图象．（minm，如图是小明和爸爸所走的路程s（）与步行时间t到公园的距离为2500m的函数关系式；s与时间t （1）直接写出小明所走路程（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？到达公园，则小明在步行过程中停留）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min（3 的时间需作怎样的调整？的t与时间t≤60时，小明所走路程s＜＜）根据函数图形得到【思路点拨】（10≤t≤20、20t≤30、30 函数关系式；的函数关系式，列出二元一次方t与步行时间（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s 程组解答即可；3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．（．50t(0≤t≤20)??1000(20＜t≤30)?；【答案与解析】解：（1）s=?60)≤t-500(30＜t50?（2）设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为：s=kt+b，25k?b?1000??，则250b??k?30??，解得，250b??则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，当50t﹣500=30t+250，即t=37.5min时，小明与爸爸第三次相遇；（3）30t+250=2500，解得，t=75，则小明的爸爸到达公园需要75min ，∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴20min5min ．小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少【总结升华】本题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式、读懂函数图象是解题的关键．类型三、一次函数的性质【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例4】??b?xy?a x的图象经过第二、三、四象限，则（3、已知自变量为的一次函数 ? ）aaaa bbbb＞，0 ＞＜0，0＜ A．＞0，0 D＜0 B．＜0，．＞0 C．【答案】C；aaab?ax?y ab?＜0，解得【解析】原函数为0，，＜，因为图象经过二、三、四象限，则0＜b＜0.y?kx?b的图象有四种情况：【总结升华】一次函数y xb?y?kx bk的值增大的图象经过第一、二、三象限，的值随＞0，函数①当，＞0而增大；y xb?y?kx bk的值增大②当0＞，0＜，函数的值随的图象经过第一、三、四象限，而增大；y xb??ykx bk的值增的值随的图象经过第一、二、四象限，时，函数0＞，0＜③当．大而减小；y xb?y?kx bk的值增＜0时，函数0，的值随④当的图象经过第二、三、四象限，＜大而减小．举一反三：【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例5】ll y?bxb?ky?kx?在同一坐标系中的大致位置是（与直线【变式1】直线：：）．12A． B． C． D．【答案】C；ll bkbkbk的取值自相矛盾，所以，，＞0，0＜0，从，看0提示：对于A，从看＜＜12ll bkkbkb 的取值自相矛，＞0＜0，从，所以看0＞排除掉A.对于B，从看，＞0，12盾，排除掉B. D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求.【变式2】（2015?宿迁）在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C．解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，∴直线y=bx+k不经过第三象限，故选C．类型四、一次函数综合4、（2015春?东莞期末）在平面直角坐标系xOy中，将直线y=2x向下平移2个单位后，与一﹣x+3的图象相交于点A次函数y=．（1）将直线y=2x向下平移2个单位后对应的解析式为；（2）求点A的坐标；的坐标．P是等腰直角三角形，直接写出点OAP轴上一点，且满足△x是P）若3（．【思路点拨】（1）根据将直线y=2x向下平移2个单位后，所以所对应的解析式为y=2x﹣2；（2）根据题意，得到方程组，求方程组的解，即可解答；（3）利用等腰直角三角形的性质得出图象，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）根据题意，得，y=2x﹣2；故答案为：y=2x﹣2．（2）由题意得：解得：∴点A的坐标为（2，2）；（3）如图所示，∵P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，P点的坐标为：（2，0）或（4，0）．【总结升华】此题主要考查了一次函数平移变换以及等腰直角三角形的性质等知识，得出A点坐标是解题关键．。
人教版八年级下数学一次函数的应用(提高)知识讲解
一次函数的应用（基础）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．【要点梳理】【高清课堂：393616 一次函数的应用，知识要点】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、简单的实际问题【高清课堂：393616 一次函数的应用，例4】1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示.下列说法正确的有（）：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答案】C；【解析】①②④正确.在起跑1小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；第一小时，两人所跑的路程均为10千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10千米/时，2小时跑了20千米，甲也跑了同样的路程.【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析这四个结论．举一反三：【变式】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12米；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③8秒钟内，乙在甲前面；④8秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（）A．①② B．①②③④ C．②③ D．①③④【答案】B；提示：①由图形，t＝0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故①正确；②当t＝8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5米/秒，故②正确；③8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；④8秒钟后，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故④正确．故选择B．类型二、方案选择问题2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干(不少于4支)．(1)分别写出两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间和函数关系式；(2)对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；(3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．【答案与解析】解：(1)根据题意可得：方案①购买费用1y 与购买水性笔支数x 之间的函数关系式：1y ＝4×20＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4)；方案②购买费用2y 与购买水性笔支数x 之间的函数关系式；2y ＝4×20×0.9＋5×0.9x ＝4.5x ＋72(x ≥4)．(2)在同一坐标系内分别画出1y 与2y 的图象，如图所示，由图象可知：x ＝24时，两个函数的函数值相等；x ＞24时，对同一个x ，1y 上的点都在2y 上的点的上边即1y ＞2y ；4≤x ＜24时，对同一个x ，2y 上的点都在1y 上的点的上边即1y ＜2y ．可得优惠方案：当购买24支水性笔时，方案①与方案②同样优惠；当购买水性笔不少于4支但没超过24支时，方案①收费少，选方案①；当购买水性笔超过24支时，方案②收费少，选方案②.(3)小丽购买4个书包，12支水性笔时，12＜24，应在方案①中，费用y ＝5×12＋60＝120（元）．但题中有一个条件不可忽视，方案①购买4个书包赠4个水性笔，而方案②中一律9折，这让人不得不想到还可这样购买．两种优惠全用，在方案①中买4个书包这样得4支笔，总共买12支笔还差8支，去方案②中打9折购买，算一算总费用y ＝4×20＋5×0.9×8＝80＋36＝116（元）；而116＜120．故小丽这样买最经济：按方案①买4个书包得4支水性笔．按方案②买余下的8支水性笔．【总结升华】（2）对x 的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找x 取何值时，值相等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小．举一反三：【变式】某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y （元）与复印页数x （页）的关y x ⑵现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。
八年级下册数学一次函数知识点
八年级下册数学一次函数知识点一次函数是中学数学中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将逐步介绍八年级下册数学中一次函数的基本概念、性质和解题方法。
一、一次函数的基本概念一次函数又称为线性函数，是指函数的表达式中只包含一次项和零次项，不含其他次数的项。
一次函数的一般形式可以表示为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且 k 不等于零。
在一次函数中，x 是自变量，y 是因变量。
k 表示函数的斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b 表示函数的截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
二、一次函数的性质1.斜率 k 的含义和性质斜率 k 反映了函数图像的倾斜程度。
当 k 大于零时，函数图像逐渐上升；当 k小于零时，函数图像逐渐下降；当 k 等于零时，函数图像是水平的。
2.截距 b 的含义和性质截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b 大于零时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴上方；当 b 小于零时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴下方；当 b 等于零时，函数图像与 y 轴的交点在原点上。
3.函数图像的性质一次函数的图像是一条直线，它可以通过斜率 k 和截距 b 来确定。
当斜率 k 不等于零时，函数图像是一条斜线；当斜率 k 等于零时，函数图像是一条水平线；当截距 b 不等于零时，函数图像与 y 轴有交点；当截距 b 等于零时，函数图像通过原点。
三、一次函数的解题方法1.求函数图像与坐标轴的交点要确定一次函数图像与 x 轴的交点，只需将函数表达式中的 y 置为零，解方程得到 x 的值。
同样地，要确定一次函数图像与 y 轴的交点，只需将函数表达式中的x 置为零，解方程得到 y 的值。
2.求函数图像的斜率函数图像的斜率可以通过任意选取两个点，计算它们的坐标变化量，然后利用斜率的定义公式Δy/Δx 来求得。
3.求函数的表达式已知函数图像通过两个点A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) 时，可以利用斜率公式k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 来求得斜率 k。
八年级数学一次函数的应用人教实验版知识精讲
八年级数学一次函数的应用人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 通过文字、表格、图像获取有效信息，抽象出一次函数的模型，再利用一次函数的模型解决生活中的实际问题。
2. 通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案。
二. 知识要点：1. 实际问题中如何确定一次函数的解析式（1）和列方程有很多相似之处，关键是弄清题意，分清数量关系，确定它们的关系式，从而得函数的解析式。
（2）注意函数的取值和自变量的取值要符合实际情况。
在实际生活中许多量不能取负数，如：重量、路程、用水量等；还有的不能取小数，如：人数、车辆数等。
2. 确定一次函数的最大（小）值一次函数没有最大（小）值，但是当自变量的取值X 围不是任意数的时候，函数的图象变成了一条线段，出现了最大（小）值。
如图1，直线y ＝23x ＋2没有最大（小）值。
如图2，当－3≤x ≤3时，函数y ＝23x ＋2，当x ＝3时取得最大值y ＝4；当x ＝－3时取得最小值y ＝0。
图1图2三. 重点难点：重点：用一次函数解决实际问题，难点是用一次函数解决选择方案问题。
【典型例题】例1. （2008年某某）生态公园计划在园内的坡地上造一片有A 、B 两种树的混合林，需要购买这两种树苗设购买A 种树苗x 棵，造这片林的总费用为y 元，解答下列问题：（1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？分析：（1）如果设购买A 种树苗x 棵，则购买B 种树苗（2000－x ）棵，A 种树苗每棵的费用是（15＋3）元，B 种树苗每棵的费用是（20＋4）元，所以总费用y ＝18x ＋24（2000－x ）＝18x －24x ＋48000＝－6x ＋48000。
（2）要求总费用，必须求出x 的值，x 可以根据成活1960棵列方程x ＋0.99（2000－x ）＝1960求得。
解：（1）根据题意得：y ＝（15＋3）x ＋（20＋4）（2000－x ）＝－6x ＋48000（2）由题意，列方程得：x ＋0.99（2000－x ）＝1960解得，x ＝500此时y ＝－6×500＋48000＝45000（元）答：（1）y 与x 之间的函数关系式是y ＝－6x ＋48000。
【最新】人教版八年级数学下册第十九章《一次函数的应用》公开课课件.ppt
（3）根据题意得： y (100 m)x 150(100 x) ，即 y (m 50)x 15000 ，∵ 33 1 x 70 ， 3
①当 0 m 50 时， m 50 0，y 随 x 的增大而减小，∴当 x 34 时，y 的取最大值． 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑才能获得最大利润．
（2）①根据题意得y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15000， ②根据题意得100－x≤2x，解得x ≥ 33 1 ，∵y＝－50x+15000，－50＜0，∴y随x的增大而减小．
3
∵x为正整数，∴当x=34最小时，y取最大值，此时100－x=66.
即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大
解：（1）按优惠方案①可得：y1=20×4+(x﹣4)×5=5x+60(x≥4)， 按优惠方案②可得：y2=(5x+20×4)×90%=4.5x+72(x≥4)；
【点拨】本题根据实际问题 考查了一次函数的运用．解
（2）因为y1﹣y2=0.5x﹣12(x≥4)，
决本题的关键是根据题意正
①当y1﹣y2=0时，得0.5x﹣12=0，解得x=24，∴当购买24张票时，两种优惠方案确付列款出一两样种多方．案的解析式， ②③当当yy11﹣﹣yy22＜＞00时 时，，得得00..55xx﹣﹣1122＜＞00，，解解得 得xx＜ ＞2244， ，∴ 当4x≤＞x2＜4时24，时y，1＞y1y＜2，y2优，惠优方惠案方②案进 再付①而进款付计一较款算步少较出讨．少临论．界．点x的取值，
【点拨】 本题是一道实际应用性的问题，首先，要根据实际问题抽象出数学模型，在这过程中找出题目中的变
量，分析变量之间的关系是重点．其次在找出函数解析式之后，注意自变量的范围要从实际问题的意义出 发去求解．当有不确定性字母时，要分类讨论的办法是分情况求解．此题中的第3问就是利用m的取值不同 选择最优方案．
人教版八年级下册19.2一次函数的应用(教案)
（3）图像在坐标平面内的变化规律：教师需要引导学生观察一次函数图像，理解斜率k的正负与图像的增减性之间的关系。如斜率为正时，图像呈现上升趋势；斜率为负时，图像呈现下降趋势。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的表达式，其中k和b是常数，x和y是变量。一次函数在生活中有着广泛的应用，如速度与时间的关系、单价与数量的关系等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某商品的单价为5元/个，购买3个的总价是多少？通过这个案例，展示一次函数在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
4.在今后的教学中，我会尝试更多元化的教学手段，如利用信息技术辅助教学，让学生在直观、生动的环境中学习一次函数。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算速度、时间和路程的关系的情况？”（如：计算从家到学校的距离和时间）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数在实际问题中的奥秘。
八年级数学一次函数应用知识点归纳
八年级数学一次函数应用知识点归纳八年级数学一次函数的应用知识点归纳1一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数三、概括整合(1)简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
常用公式1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴*行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴*行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[(x1+x2)/2，(y1+y2)/2]八年级数学一次函数的应用知识点归纳2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.三、函数中自变量取值范围的求法：(1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
(3)用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
(4)若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
人教版八年级下册数学教案：19.2一次函数的应用
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，在小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对一次函数在实际生活中的应用还不够了解。为此，我计划在今后的教学中，多引入一些贴近学生生活的案例，激发他们的兴趣和参与热情。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的积极性。但在操作过程中，有些学生对于如何准确绘制一次函数图像还存在一定的困惑。针对这个问题，我打算在下一节课中，专门安排一段时间，详细讲解和演示如何绘制一次函数图像，以便学生能够更好地掌握这一技能。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的解析式和图像这两个重点。对于难点部分，比如斜率k和截距b的物理意义，我会通过具体实例和图形来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如购物打折、电话计费等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如测量不同速度下的物体移动距离，以验证一次函数的实际应用。
在课堂总结环节，我发现学生们对于一次函数的应用有了更深入的理解，但仍有部分学生对于某些知识点掌握不够牢固。为了巩固学习成果，我将在课后布置一些针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。
3.引导学生从实际问题中发现数学规律，培养数学运算和问题解决的核心素养，提高学生对一次函数的理解和应用。
八年级数学下册教学课件《一次函数的应用》
（2）若这户居民某月的用水量 为 15 t，求这个月的水费；
（3）若这户居民上月的水费为 91 元， 则上月பைடு நூலகம்水量为多少吨？
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
当 x≥17 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y = k1x + b（k1 ≠ 0）.
由题意得
（2）销售完这批香菇和大米，至少可获得多少元的利润？
在 y = 5x + 15000 中，因为 5 > 0，所以 y 随 x 的增大而增大， 所以当 x = 300 时，y 有最小值为 5×300+15000 = 16500. 所以销售完这批香菇和大米，至少可获得16500元的利润.
题型二 简单的分段函数问题 某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水 价计费.如图是某户居民每月的水费 y（单位：元）与用 水量 x（单位：t）之间的函数图象.
3x（0 ≤ x < 17）， y = 5x-34（x ≥ 17）.
（2）若这户居民某月的用水量为 15 t， 求这个月的水费；
当 x = 15 时，y = 3×15 = 45， 则这个月的水费为 45 元.
（3）若这户居民上月的水费为 91 元， 则上月用水量为多少吨？
当 y = 91 > 51 时， 由题意得 5x - 34 = 91， 解得 x = 25， 则上月用水量为 25 t.
已知销售香菇和大米共 1000 袋，其中香菇不少于 300 袋， 大米不少于 400 袋.设销售香菇 x 袋，销售完这批香菇和 大米获得的利润为 y 元.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
解：由题意得 y = (60-40)x + (53-38)·(1000-x)， 所以 y = 5x + 15000. 由题意得 x≥300，1000-x≥400， 所以 300≤x≤600，且 x 为整数.
精编初二数学下册《一次函数的应用》知识点梳理
精编初二数学下册《一次函数的应用》知识
点梳理
知识梳理
1、一次函数的概念若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k、b为常数，kne;0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)特别地，当b=0时，称y 是x的正比例函数。
2、一次函数的图象①一次函数y=kx+b的图象是一条经过(0,b)(-bk，0)的直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0)的一条直线。
②在一次函数ykxb#61501;#61483;中当0k#61502;时，y随x的增大而增大，当0b#61502;时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限;当0b#61500;时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限.当0#61500;k 时，y随x的增大而减小，当0b#61502;时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限;当0b#61500;时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限.意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k、b的正负对图象的影响.通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.
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人教版八年级数学下册 第19章《一次函数》讲义 第22讲 一次函数的综合应用-word
第22讲 一次函数的综合应用（1）定义型 （2）点斜型 （3）两点型 （4）图像型 （5）斜截型 （6）平移型 （7） 实际应用型 （8）面积型 （9）比例型（10）对称型知识归纳： 若直线l 与直线y kx b =+关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =--（2）y 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-+（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为y k x b k=-1 （4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b k =+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =-公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P 的坐标为(x 0,y 0) 在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）或不等式（组）或函数性质进行求解.直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 （4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1（5）两直线交于y 轴上同一点: b 1=b 2函数的思想、数形结合的思想，分类讨论的思想。
考点1、实际问题的函数解析式例1、某计算器每个定价80元，若购买不超过20个，则按原价付款：若一次购买超过20个，则超过部分按七折付款．设一次购买数量为x （x ＞20）个，付款金额为y 元，则y与x之间的表达式为（）A、y=0.7×80（x-20）+80×20B、y=0.7x+80（x-10）C、y=0.7×80•xD、y=0.7×80（x-10）例2、等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（）A、y=－0.5x+20（0＜x＜20）B、y=－0.5x+20（10＜x＜20）C、y=－2x+40 （10＜x＜20）D、y=－2x+40（0＜x＜20）例3、甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m 处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为．（写出自变量取值范围）例4、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是．例5、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，如图，求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数例6、年级（1）班班委发起为玉树灾区捐款义卖活动，决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款．已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具，并按每个15元卖出，租用摊位一天的租金为20元．（1）求同学们当天所筹集的善款y（元）与销售量x（个）之间的函数关系式（善款=销售额-成本）；（2）若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出玩具多少个？1、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系式（）A、Q=5tB、Q=5t+40C、Q=40－5t（0≤t≤8）D、以上答案都不对2、如图中各图分别是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)个花盆，每个图案花盆的总数是s．按此规律推出，s与n的关系式是（）A、S=3nB、S=3（n-1）C、S=3n-1D、S=3n+13、某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为．4、一位卖报人每天从报社固定购买100分报纸，每份进价0.6元，然后以每份1元的价格出售．如果报纸卖不完退回报社时，退回的报纸报社只按进价的50%退款给他．如果某一天卖报人卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，试写出y与x的表达式．5、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？6、水管是圆柱形的物体，在施工中，常常如下图那样堆放，随着的增加，水管的总数是如何变化的？如果假设层数为n，物体总数为y．（1）请你观察图形填写下表，（2）请你写出y与n的函数解析式．7、某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元．求一个工人：（1）完成100个以内所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式．考点2、一次函数的应用例1、明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）A、300m2B、150m2C、330m2D、450m2例2、如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A、1元B、2元C、3元D、4元（例1）（例2）例3、如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省元．例4、甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）（例3）（例4）例5、为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x 的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．例6、某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？（3）若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围．1、小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）B．放人的长方体的高度为30cmC．该容器注满水所用的时间为21分钟3、设甲,乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关x于的函数关系如图所示,则甲车的速度是_______米/秒.4、某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用y（单位：元）与上网流量x（单位：兆）的函数关系的图象如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a的值为．（3）（4）5、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元。
一次函数的应用知识讲解
一次函数的应用知识讲解一次函数是数学中的基础概念之一，它是形式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.直线运动问题：一次函数可以用来描述物体的运动情况。
例如，一个物体在t秒内匀速直线运动，它的初始位置是x0，速度是v，则物体的位置可以用一次函数来表示：x(t) = x0 + vt。
这个函数中的x0是物体的初始位置，vt是速度v与时间t的乘积。
通过对时间t的不同取值，我们可以得到物体在不同时刻的位置。
2.价格和需求关系：在经济学中，一次函数可以用来描述价格和需求之间的关系。
假设商品的价格为p，需求量为d，根据供需理论，商品的需求量和价格之间存在着一定的线性关系。
可以将需求量表示为d(p) = ap + b的一次函数，其中a是需求量随价格的变化率，b是需求量随价格为0时的截距。
通过分析一次函数的图像，可以得出价格对需求量的影响规律，进而指导制定合理的价格策略。
3.利润和成本关系：在管理学和经济学中，一次函数常常用于描述利润和成本之间的关系。
一个企业的利润可以表示为P(x) = ax + b，其中x是生产量，a是单位生产量带来的增加利润，b是无生产时的固定成本。
利润函数的图像可以反映企业在不同生产量下的盈亏情况，通过最大化或最小化利润函数，可以帮助企业制定最优的生产方案和经营策略。
4.数学建模：一次函数是数学建模中最常用的数学模型之一、数学建模是将实际问题抽象化为数学问题，并通过数学方法解决这些问题。
许多实际问题可以通过一次函数来建模，从而得出问题的解析解或近似解。
例如，通过分析市场价格的变化规律，可以建立一次函数来预测未来的价格走势；通过分析股票的历史数据，可以建立一次函数来预测股票的未来涨跌幅度等。
5.统计学分析：一次函数也广泛应用于统计学中的回归分析。
回归分析是用来研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
简单线性回归模型就是一次函数模型，可以用来描述因变量和自变量之间的线性关系。
人教版八年级数学下册第15讲 一次函数的应用_教案讲义及练习
教学过程一、课堂导入某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t 之间的关系的是（）一次怎样解决这样的问题？本节课将重点探讨——一次函数的应用。
二.复习预习：1.判断k 正负的方法① 从图像倾斜方向上看：左低右高形如“∕”，k ＞0；左高右低形如“﹨”，k ﹤0.② 从图像经过的象限看：图像如果过第一、三象限k ＞0；图像如果过第第二、四象限象限k ﹤0.③ 从增减上看：x 增大y 也增大，k ＞0；x 增大y 反而减小，k ﹤0.2.判断b 正负的方法：b 是直线与y 轴交点的纵坐标，所以通过直线与y 轴交点判定b 的符号：b 0,= 直线与y 轴交于原点b 0＞，直线与y 轴交点在x 轴上方 b 0﹤， 直线与y 轴交点在x 轴上方 3.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y kx b =＋的图象是一条直线，它可以看作是由直线y kx =平移b 个单位长度而得到（当b 0>时，向上平移；当b 0<时，向下平移）.三、知识讲解1．直线=+11y k x b 与=+22y k x b 的几种位置关系（1）两直线平行：1212k k b b =且 （2）两直线相交：12k k（3）两直线重合：121k k b b ==且 2 （4）关于y 轴对称：120k k ＋＝，12b b ＝； （5）关于x 轴对称：120k k ＋＝，120b b ＋＝； （6）垂直：121k k •＝－ 2.与一次函数有关的面积问题求解：当一次函数图象与两坐标轴相交或两条相交直线与坐标轴相交时就会得到封闭图形，形成面积问题。
面积问题有两种类型：一是封闭图形是规则图形，这时可以直接使用面积公式。
二是封闭图形不规则，我们可以将一个不规则图形或难于不易求面积的规则图形，分解成几个易于求面积的规则图形，求出各部分面积后相加.一次函数y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积：S=kb 22例题精析： 【例题1】【题干】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x 表示时 间，y 表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）A ．体育场离张强家2.5千米B ．张强在体育场锻炼了15分钟C ．体育场离早餐店1.千米D ．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时【答案】C【解析】A 、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A 选项正确；B 、由图象可得出张强在体育场锻炼30-15=15（分钟），故B 选项正确；C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5-1.5=1（千米），故C选项错误；D、∵张强从早餐店回家所用时间为95-65=30（分钟），距离为1.5km，∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/时），故D选项正确．故选C．【例题2】【题干】如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x ≥ax+4的解集为（）A．x≥32B．x≤3 C．x≤32D．x≥3【答案】A【解析】将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，解得，m=32，∴点A的坐标为（32，3），∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥32．故选A．【例题3】【题干】已知一次函数y=mx+m-2与y=2x-3的图象的交点A在y轴上，它们与x轴的交点分别为点B，点C.（1）求m的值及△ABC的面积；（2）求一次函数y=mx+m-2的图象上到x轴的距离等于2的点的坐标.【答案】（1）m=-1；274；（2）（-5，2）、（-1，-2）．【解析】（1）把x=0代入y=2x-3得y=-3，所以A点坐标为（0，-3），把y=0代入y=2x-3得2x-3=0，解得x=32，所以C点坐标为（32，0），把A（0，-3）代入y=mx+m-2得m-2=-3，解得m=-1；所以直线AB的解析式为y=-x-3，把y=0代入y=-x-3得-x-3=0，解得x=-3，所以B点坐标为（-3，0），所以△ABC的面积=12×3×（32+3）=274；（2）把y=2代入y=-x-3得-x-3=2，解得x=-5；把y=-2代入y=-x-3得-x-3=-2，解得x=-1，所以一次函数y=mx+m-2的图象上到x轴的距离等于2的点的坐标为（-5，2）、（-1，-2）．【例题4】【题干】在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A、B两地的距离；（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过2km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．【答案】（1）A、B两地的距离为20千米．（2）M（23，403）．表示23小时时两车相遇，此时距离B地403千米；（3）当35≤x≤1115或1.8≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．【解析】（1）由函数图象，得A、B两地的距离为20千米．（2）由函数图象，得甲的速度为：20÷2=10千米/时，乙的速度为：20÷1=20千米/时．∴甲乙相遇的时间为：20÷（10+20）=23小时．相遇时乙离开B地的距离为：23×20=403千米．∴M（23，403）．表示23小时时两车相遇，此时距离B地403千米；（3）设OB的解析式为y1=k1x，BC的解析式为y2=k2x+b2，AC的解析式为y3=k3x+b3，由题意，得20=k1，22222002k b k b =+=+⎧⎨⎩，3332002b k b ==+⎧⎨⎩，解得：k1=20，222040k b =-=⎧⎨⎩，331020k b =-=⎧⎨⎩， ∴OB 的解析式为y1=20x ，BC 的解析式为y2=-20x+40，AC 的解析式为y3=-10x+20．当y3-y1≤2或y1-y3≤2时，()10202022010202x x x x -+-≤--+≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得：35≤x≤1115．当y2-y3≤2时，204010202 2x x x -++-≤≤⎧⎨⎩ 解得：1.8≤x≤2，∴当35≤x≤1115或1.8≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．【例题5】【题干】已知：等腰三角形的周长为80．（1）写出底边长y 与腰长x 的函数表达式； （2）当腰长为30时，底边长为多少？ （3）当底边长为8时，腰长为多少？【答案】（1）802+-=x y （2）20 （3）36 【解析】（1）根据等腰三角形的边的关系可以列式子802+-=x y（2）直接代入可求解为20 （3）直接代入可求解为36【例题6】【题干】一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地, 两车同时出发,沿同一条道路匀速行驶.设行驶时间为t （h ），两车之间的距离为s （km ），图中折线A-B-C-D 表示s 与t 之间的函数关系.（1）甲、乙两地相距 km ，两车出发后 h 相遇；（2）通过计算说明，当快车到达乙地时，慢车还要多少时间才能到达甲地？【答案】（1）900， 5 ；（2）当快车到达乙地时，慢车还要49小时才能到达甲地【解析】（1）车没走时相距900km ，即甲乙两地相距900km ， 如图所示：两车行驶5小时相遇。
数学人教版八年级下册一次函数的应用
例：某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和 一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同.设汽车每 月行驶xkm，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有 出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关 系图象（两条射线）如图2， （1）求出y1、y2分别与x之间的函数关系式； （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2600km，那么这 个单位租哪家车合算？ (2)两个图象的交点坐标的实际意义是 什么？如果图象上无法直接获取这一信息 怎么解决问题（2）？ （表明当行驶里程为1500公里时，两 家车的费用相等；可以利用y1=y2，构建 一元一次方程求解）
5.如果点P(-1,4)在一条直线上,那么这条直线可能是 1 D （ ） A .y 3 x
C .y 3 x 1
B. y x 3 D .y 1 3 x
2 一次函 6.若一次函数y=kx-3k+6的图象过原点，则k=__, y=2x 数的解析式为________. 7.如图,直线AB是一次函数 y=kx+b的图象,若|AB|=5，则函 y=-2x+2 数的表达式为_________.
y=kx(k≠0) y=kx+b(k≠0) kx+b=0 kx+b (0,b)
小明发现，在式子y=kx+b中，x每增加1，kx增加k， b没有变，因此y增加了k，观察图象（图1）后，他发 现x从0增加到1，y从-2增加到0，他说k=2，你觉得他 的这种确定k值的方法可靠吗，谈谈你的认识.
例：某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和 一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同.设汽车每 月行驶xkm，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有 出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关 系图象（两条射线）如图2， （1）求出y1、y2分别与x之间的函数关系式； （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2600km，那么这 个单位租哪家车合算？ (1)你从图象上获取哪些重要信息有助 于你求出y1、y2分别与x之间的函数关系式？ 用什么方法求解析式？ （y1是一次函数，y2是正比例函数；都 经过（1500，2000）这个点，y1经过点 （0，1000）；待定系数法）
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一次函数的应用（提高）【学习目标】1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．【要点梳理】【高清课堂：393616 一次函数的应用，知识要点】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、简单的实际问题1、（2016·四川攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n 元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式； （3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？【思路点拨】先列方程组求m 和n ，再根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为n 元． 14(2014)4914(1814)42m n m n +-=⎧⎨+-=⎩，解得：23.5 mn=⎧⎨=⎩，答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．（2）当0≤x≤14时，y=2x；当x＞14时，y=14×2+（x﹣14）×3.5=3.5x﹣21，故所求函数关系式为：y=(014)3.521(14) x xx x⎧⎨-⎩≤≤＞；（3）∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26﹣21=70(元)，答：小明家5月份水费70元．【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.举一反三：【变式】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12米；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③8秒钟内，乙在甲前面；④8秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（）A．①② B．①②③④ C．②③ D．①③④【答案】B；提示：①由图形，t＝0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故①正确；②当t＝8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5米/秒，故②正确；③8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；④8秒钟后，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故④正确．故选择B．类型二、方案选择问题2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干(不少于4支)．(1)分别写出两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间和函数关系式；(2)对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；(3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．【答案与解析】解：(1)根据题意可得：方案①购买费用1y 与购买水性笔支数x 之间的函数关系式：1y ＝4×20＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4)；方案②购买费用2y 与购买水性笔支数x 之间的函数关系式；2y ＝4×20×0.9＋5×0.9x ＝4.5x ＋72(x ≥4)．(2)在同一坐标系内分别画出1y 与2y 的图象，如图所示，由图象可知：x ＝24时，两个函数的函数值相等；x ＞24时，对同一个x ，1y 上的点都在2y 上的点的上边即1y ＞2y ；4≤x ＜24时，对同一个x ，2y 上的点都在1y 上的点的上边即1y ＜2y ．可得优惠方案：当购买24支水性笔时，方案①与方案②同样优惠；当购买水性笔不少于4支但没超过24支时，方案①收费少，选方案①；当购买水性笔超过24支时，方案②收费少，选方案②.(3)小丽购买4个书包，12支水性笔时，12＜24，应在方案①中，费用y ＝5×12＋60＝120（元）．但题中有一个条件不可忽视，方案①购买4个书包赠4个水性笔，而方案②中一律9折，这让人不得不想到还可这样购买．两种优惠全用，在方案①中买4个书包这样得4支笔，总共买12支笔还差8支，去方案②中打9折购买，算一算总费用y ＝4×20＋5×0.9×8＝80＋36＝116（元）；而116＜120．故小丽这样买最经济：按方案①买4个书包得4支水性笔．按方案②买余下的8支水性笔．【总结升华】（2）对x 的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找x 取何值时，值相等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小．举一反三：【变式】（2015•六盘水）联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？（3）什么情况下A套餐更省钱？【答案】解：（1）A套餐的收费方式：y1=0.1x+15；B套餐的收费方式：y2=0.15x；（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；（3）当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．3、（2015•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【思路点拨】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，得到，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．【答案与解析】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，解得：，∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵，∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵，∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．【总结升华】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．4、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A 楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．(1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置?(2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置?【思路点拨】（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米，求出各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距A楼x米处，列出等量关系式，解得x．【答案与解析】解：(1)设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米．①当0≤x≤40时，y＝20x＋70(40－x)＋60(100－x)＝－1l0x＋8800．∴当x＝40时，y的最小值为4 400．②当40＜x≤100时，y＝20x＋70(x－40)＋60(100－x)＝30x＋3200．此时，y的值大于4400．因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处．(2)设取奶站建在距A楼x米处．①当0≤x≤40时，20x＋60(100－x)＝70(40－x)，解得3203x=-<（舍去）．②当40＜x≤100时，20x＋60(100－x)＝70(x－40)，解得x＝80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80米处．【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．。