专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法-学习文档

专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法
►方法一直接根据相关性质定理解题
1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分．
图4－ZT－1
►方法二连线构造全等三角形
2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.
图4－ZT－2
3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA.
图4－ZT－3
►方法三作垂线段得距离
4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC.
图4－ZT－4
5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长．
图4－ZT－5
6.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G.
(1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由；
(2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．
图4－ZT－6
7．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB.
求证：(1)P为AB的中点；
(2)DC＝AD＋BC.
图4－ZT－7
8．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC；
(2)∠CAE＋∠BEC＝90°.
图4－ZT －8
► 方法四 作线段的延长线构造全等三角形
9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD.
图4－ZT －9
详解详析
1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ，
∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上，
即AC 垂直平分BD ，
同理可证得BD 垂直平分AC.
∴AC 与BD 互相垂直平分．
2．证明：连接AD.
在△ABD 与△ACD 中，
∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，
BD ＝CD ，AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.
3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°.
证明：在AB 边上取中点E ，连接DE.
因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB.
因为AB ＝2AC ，
所以AE ＝12
AB ＝AC. 在△ADE 和△ADC 中，
⎩⎨⎧AE ＝AC ，
∠DAE ＝∠DAC ，AD ＝AD ，
所以△ADE ≌△ADC ， 所以∠ACD ＝∠AED ＝90°，所以CD ⊥CA.
4．[解析] 根据题意可知AD 是∠BAC 的平分线，可过点D 作∠BAC 两边的垂线段，根据角平分线的性质，并结合三角形的面积进行证明．
证明：如图，分别过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.
因为AD 为∠BAC 的平分线，所以DE ＝DF.
又因为AD 平分BC ，
所以BD ＝CD ，
所以S △ABD ＝S △ACD .
又S △ABD ＝12AB ·DE ，S △ACD ＝12
AC ·DF ， 所以AB·DE ＝AC·DF ，
所以AB ＝AC.
5．[解析] 连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F ，则OE ＝OF ＝OM.由S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC 可求OE 的长．
解：如图，连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F.
∵BO 平分∠ABC ，OF ⊥AB ，OE ⊥BC ，
∴OF ＝OE.
同理OE ＝OM.
∴OF ＝OE ＝OM.
∵S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ，
∴12AB ·OF ＋12BC ·OE ＋12
AC ·OM ＝6， ∴12
OE ·(BC ＋AB ＋AC)＝6. 又∵△ABC 的周长为12，即BC ＋AB ＋AC ＝12，∴OE ＝1.
6．解：(1)DE ＝DF.理由：过点D 作DN ⊥AC 于点N.
∵DG ⊥AB 于点G ，
∴∠EGD ＝∠FND ＝90°.
∵AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DN ⊥AC ，
∴DG ＝DN(角平分线的性质)．
∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，
∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°.
∵∠AED ＋∠DEG ＝180°，
∴∠DEG ＝∠NFD.
在△EGD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠GED ＝∠DFN ，
∠DGE ＝∠DNF ，DG ＝DN ，
∴△EGD ≌△FND(AAS)，
∴DE ＝DF.
(2)由已知易证△ADG ≌△ADN.
由(1)知△EGD ≌△FND ，
∴S △ADG ＝S △ADN ，S △EGD ＝S △FND ，
∴S △ADE ＋S △EGD ＝S △ADF －S △EGD ，
即39＋S △EGD ＝50－S △EGD ，
∴S △EGD ＝5.5.
7．证明：(1)如图，过点P 作PE ⊥DC 于点E.
∵DP 平分∠ADC ，PA ⊥AD ，PE ⊥DC ，
∴PA ＝PE.
同理PB ＝PE.
∴PA ＝PB ，∴P 为AB 的中点．
(2)在△ADP 与△EDP 中，
∵DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP ＝∠EDP.
又∵∠PAD ＝∠PED ＝90°，DP ＝DP ，
∴△ADP ≌△EDP ，
∴AD ＝ED.
同理BC ＝EC.
∵DC ＝DE ＋EC ，
∴DC ＝AD ＋BC.
8．证明：(1)∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CE 平分∠ACD ，
∴∠ECD ＝12∠ACD ＝12
(∠BAC ＋∠ABC)． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12
∠ABC. ∴∠ECD ＝∠BEC ＋∠EBC ＝∠BEC ＋12
∠ABC ， ∴∠BEC ＋12∠ABC ＝12
(∠BAC ＋∠ABC)， ∴∠BEC ＝12
∠BAC ，即∠BAC ＝2∠BEC. (2)过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥BA 支BH 的延长线于点N ，EG ⊥AC 于点G. ∵CE 平分∠ACD ，EM ⊥BD ，EG ⊥AC ，∴EG ＝EM.
∵BE 平分∠ABC ，EM ⊥BD ，EN ⊥BA ，
∴EN ＝EM ，∴EG ＝EN ，∴AE 平分∠CAN ，
∴∠CAE ＝12∠CAN ＝12
(180°－∠BAC)， ∴∠CAE ＋∠BEC ＝12(180°－∠BAC)＋12
∠BAC ＝90°. 9．[解析] 要证BE ＝2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线， 利用轴对称的性质把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，构造全等三角形，然后证明BE 和CF(2CD)所在的三角形全等．
证明：如图，延长BA ，CD 交于点F.
∵BD ⊥CF(已知)，
∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°.
∵BD 平分∠ABC(已知)，
∴∠1＝∠2.
在△BCD 和△BFD 中，
⎩⎨⎧∠2＝∠1（已证），
BD ＝BD （公共边），∠BDC ＝∠BDF （已证），
∴△BCD ≌△BFD(ASA)，
∴CD ＝FD ，即CF ＝2CD.
∵∠5＝∠4＝90°，∠BDF ＝90°，
∴∠3＋∠F ＝90°，∠1＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠3.
在△ABE 和△ACF 中，
⎩⎨⎧∠4＝∠5，
AB ＝AC ，
∠1＝∠3（已证），
∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴BE ＝CF ，
∴BE ＝2CD.。