2016年高考真题数学理(北京卷)
2016年高考北京卷理数试题(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 =____________________. （12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
(精校版)2016年高考北京理数高考试题文档版(无答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=x x<2，B= −1，0，1，2，3，则A B=（A）0,1（B）0，1，2（C） −1，0，1（D） −1，0，1，2（2）若x,y满足2x−y≪0,x+y≪3,x≫0,，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，学.科.网则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y∈R,且x>y>o，则（A）1x -1y>0（B）sin x−sin y>0（C）(12)x(-12)y<0 （D）lnx+lny>0(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）16（B）13（C）12（D）1(7)将函数y =sin （2x ﹣π3）图像上的点P （π4，t ）向左平移s （s ﹥0）个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y =sin （2x ）的图像上，则（A ）t =12，s 的最小值为π6（B ）t = 32，s 的最小值为π6（C ）t =12，s 的最小值为π3（D ）t = 32，s 的最小值为π3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，学科.网则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a ∈R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
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2016年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={|||＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若，y满足，则2+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，y∈R，且＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sin﹣siny＞0 C．（）﹣（）y＜0 D．ln+lny＞06．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．17．（5分）将函数y=sin（2﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2的图象上，则（）A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ．10．（5分）在（1﹣2）6的展开式中，2的系数为．（用数字作答）11．（5分）在极坐标系中，直线ρcos θ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B 两点，则|AB|= ．12．（5分）已知{an }为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= ．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a= ．14．（5分）设函数f（）=．①若a=0，则f（）的最大值为；②若f（）无最大值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A ，B ，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA=PD ，AB ⊥AD ，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f （）=e a ﹣+b ，曲线y=f （）在点（2，f （2））处的切线方程为y=（e ﹣1）+4， （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求f （）的单调区间． 19．（14分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与轴交于点N ．求证：|AN|•|BM|为定值．20．（13分）设数列A ：a 1，a 2，…，a N （N ≥2）．如果对小于n （2≤n ≤N ）的每个正整数都有a ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A ：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G （A ）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G （A ）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足a n ﹣a n ﹣1≤1（n=2，3，…，N ），则G （A ）的元素个数不小于a N ﹣a 1．2016年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={|||＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={|||＜2}={|﹣2＜＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）若，y满足，则2+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设=2+y得y=﹣2+，平移直线y=﹣2+，由图象可知当直线y=﹣2+经过点A时，直线y=﹣2+的截距最大，此时最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数=2+y得=1×2+2=4．即目标函数=2+y的最大值为4．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的值为2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=||”与“|+|=|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．5．（5分）已知，y∈R，且＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sin﹣siny＞0 C．（）﹣（）y＜0 D．ln+lny＞0【分析】，y∈R，且＞y＞0，可得：，sin与siny的大小关系不确定，＜，ln+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：∵，y∈R，且＞y＞0，则，sin与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，ln+lny与0的大小关系不确定．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．7．（5分）将函数y=sin（2﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2的图象上，则（）A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为【分析】将=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（﹣s，）点，若P′位于函数y=sin2的图象上，则sin（﹣2s）=cos2s=，则2s=+2π，∈，则s=+π，∈，由s＞0得：当=0时，s的最小值为，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球个，黑球y个，+y=a．则乙中有个球，其中个红球，j个黑球，+j=；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又+y=a，故=i+j由于=+j，所以可得i=，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选：B．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ﹣1 ．【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案．【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1=0，解得：a=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．10．（5分）在（1﹣2）6的展开式中，2的系数为60 ．（用数字作答）【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．=（﹣2）r=（﹣2）r r，【解答】解：（1﹣2）6的展开式中，通项公式Tr+1令r=2，则2的系数==60．故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B 两点，则|AB|= 2 ．【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB|．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线﹣y﹣1=0．圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴2+y2=2，配方为（﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．则圆心C在直线上，∴|AB|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．12．（5分）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1=6，a 3+a 5=0，则S 6= 6 ．【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n 项和公式能求出S 6．【解答】解：∵{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和． a 1=6，a 3+a 5=0， ∴a 1+2d+a 1+4d=0， ∴12+6d=0， 解得d=﹣2，∴S 6==36﹣30=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．13．（5分）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a= 2 ．【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±， 即a=b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB=2，即c=2，则a 2+b 2=c 2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．14．（5分）设函数f（）=．①若a=0，则f（）的最大值为 2 ；②若f（）无最大值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【分析】①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当=﹣1时，f（）的最大值为2；②若f（）无最大值，则，或，解得答案．【解答】解：①若a=0，则f（）=，则f′（）=，当＜﹣1时，f′（）＞0，此时函数为增函数，当＞﹣1时，f′（）＜0，此时函数为减函数，故当=﹣1时，f（）的最大值为2；②f′（）=，令f′（）=0，则=±1，若f（）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA ﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）【分析】（I ）由已知先计算出抽样比，进而可估计C 班的学生人数； （Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1．【解答】解：（I ）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C 班抽取8个，故抽样比==，故C 班有学生8÷=40人，（Ⅱ）从从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人， 共有5×8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况； 当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况； 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==；（Ⅲ）μ0＞μ1．【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA=PD ，AB ⊥AD ，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB ⊥PD ，再由PD ⊥PA ，由线面垂直的判定得到PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）取AD 中点为O ，连接CO ，PO ，由已知可得CO ⊥AD ，PO ⊥AD ．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD 的法向量，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设，M （0，y 1，1），由可得M （0，1﹣λ，λ），，由BM ∥平面PCD ，可得，由此列式求得当时，M 点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 且AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，且PA ∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）解：取AD 中点为O ，连接CO ，PO ， ∵CD=AC=，∴CO ⊥AD ， 又∵PA=PD ， ∴PO ⊥AD ．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0）， 则，，设为平面PCD 的法向量，则由，得，则． 设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设，M （0，y 1，1）， 由（Ⅱ）知，A （0，1，0），P （0，0，1），，B （1，1，0），，则有，可得M （0，1﹣λ，λ），∴，∵BM ∥平面PCD ，为平面PCD 的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M ，即当时，M 点即为所求．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．18．（13分）设函数f（）=e a﹣+b，曲线y=f（）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（）的单调区间．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）+4，∴当=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同时f′（2）=e﹣1，∵f（）=e a﹣+b，∴f′（）=e a﹣﹣e a﹣+b，则，即a=2，b=e；（Ⅱ）∵a=2，b=e ；∴f （）=e 2﹣+e ，∴f ′（）=e 2﹣﹣e 2﹣+e=（1﹣）e 2﹣+e=（1﹣+e ﹣1）e 2﹣，∵e 2﹣＞0，∴1﹣+e ﹣1与f ′（）同号，令g （）=1﹣+e ﹣1，则g ′（）=﹣1+e ﹣1，由g ′（）＜0，得＜1，此时g （）为减函数，由g ′（）＞0，得＞1，此时g （）为增函数，则当=1时，g （）取得极小值也是最小值g （1）=1，则g （）≥g （1）=1＞0，故f ′（）＞0，即f （）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．19．（14分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与轴交于点N ．求证：|AN|•|BM|为定值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P （0，y 0），可得02+4y 02=4，求出直线PA 的方程，令=0，求得y ，|BM|；求出直线PB 的方程，令y=0，可得，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．方法二、设P （2cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π），求出直线PA 的方程，令=0，求得y ，|BM|；求出直线PB 的方程，令y=0，可得，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，又△OAB 的面积为1，可得ab=1，且a 2﹣b 2=c 2，解得a=2，b=1，c=， 可得椭圆C 的方程为+y 2=1； （Ⅱ）证法一：设椭圆上点P （0，y 0），可得02+4y 02=4，直线PA ：y=（﹣2），令=0，可得y=﹣，则|BM|=|1+|； 直线PB ：y=+1，令y=0，可得=﹣， 则|AN|=|2+|． 可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+| =||=|| =||=4，即有|AN|•|BM|为定值4．证法二：设P （2cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π），直线PA ：y=（﹣2），令=0，可得y=﹣，则|BM|=||； 直线PB ：y=+1，令y=0，可得=﹣，则|AN|=||．即有|AN|•|BM|=||•||=2||=2||=4． 则|AN|•|BM|为定值4． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．20．（13分）设数列A ：a 1，a 2，…，a N （N ≥2）．如果对小于n （2≤n ≤N ）的每个正整数都有a ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A ：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G （A ）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G （A ）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足a n ﹣a n ﹣1≤1（n=2，3，…，N ），则G （A ）的元素个数不小于a N ﹣a 1．【分析】（Ⅰ）结合“G 时刻”的定义进行分析；（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a 1=﹣2，a 2=2，a 3=﹣1，a 4=1，a 5=3，a 1＜a 2满足条件，2满足条件，a 2＞a 3不满足条件，3不满足条件，a 2＞a 4不满足条件，4不满足条件，a 1，a 2，a 3，a 4，均小于a 5，因此5满足条件，因此G （A ）={2，5}．（Ⅱ）因为存在a n ＞a 1，设数列A 中第一个大于a 1的项为a ，则a ＞a 1≥a i ，其中2≤i ≤﹣1，所以∈G （A ），G （A ）≠∅；（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为i 1＜i 2＜…＜i ，对于第一个“G 时刻”i 1，有＞a 1≥a i （i=2，3，…，i 1﹣1），则 ﹣a1≤﹣≤1．对于第二个“G 时刻”i 1，有＞≥a i （i=2，3，…，i 1﹣1），则 ﹣≤﹣≤1．类似的﹣≤1，…，﹣≤1． 于是，≥（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣a 1）=﹣a 1．对于a N ，若N ∈G （A ），则=a N ． 若N ∉G （A ），则a N ≤，否则由（2）知，，…，a N ，中存在“G 时刻”与只有个“G 时刻”矛盾． 从而≥﹣a 1≥a N ﹣a 1．【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G 时刻”定义的把握，难度较大．。
2016年高考数学(理)北京卷参考答案
数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人． （Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =， 所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，， 设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量 所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==， 又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，． （Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． （Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)
绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）设，是向量，则“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sin x﹣sin y＞0C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞06．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．17．（5分）将函数y＝sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t＝，s的最小值为B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为D．t＝，s的最小值为8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝．10．（5分）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝．12．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3+a5＝0，则S6＝．13．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝．14．（5分）设函数f（x）＝．①若a＝0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos C的最大值．16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC ＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．20．（13分）设数列A：a1，a2，…，a N（N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a k＜a n，则称n 是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A中存在a n使得a n＞a1，则G（A）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A满足a n﹣a n﹣1≤1（n＝2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于a N﹣a1．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝1×2+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b＝1，第一次执行循环体后，a＝﹣，不满足退出循环的条件，k＝1；第二次执行循环体后，a＝﹣2，不满足退出循环的条件，k＝2；第三次执行循环体后，a＝1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若“||＝||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|＝|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||＝||”与“|+|＝|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．5．【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sin x与sin y的大小关系不确定，＜，lnx+lny 与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sin x与sin y的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S＝×1×1＝，高为1，故棱锥的体积V＝＝，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．7．【分析】将x＝代入得：t＝，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x＝代入得：t＝sin＝，将函数y＝sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（﹣s，）点，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则sin（﹣2s）＝cos2s＝，则2s＝+2kπ，k∈Z，则s＝+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k＝0时，s的最小值为，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．8．【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y＝a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j＝x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l＝y；黑球总数a＝y+i+j，又x+y＝a，故x＝i+j由于x＝k+j，所以可得i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选：B．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，则a+1＝0，解得答案．【解答】解：（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．10．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式T r+1＝（﹣2x）r＝（﹣2）r x r，令r＝2，则x2的系数＝＝60．故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB|．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0化为y直线x﹣y﹣1＝0．圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，∴x2+y2＝2x，配方为（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0），半径r＝1．则圆心C在直线上，∴|AB|＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．12．【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．a1＝6，a3+a5＝0，∴a1+2d+a1+4d＝0，∴12+6d＝0，解得d＝﹣2，∴S6＝＝36﹣30＝6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．13．【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，即a＝b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB＝2，即c＝2，则a2+b2＝c2＝8，即2a2＝8，则a2＝4，a＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．14．【分析】①将a＝0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x＝﹣1时，f（x）的最大值为2；②若f（x）无最大值，则，或，解得答案．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，则f′（x）＝，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x＝﹣1时，f（x）的最大值为2；②f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cos B＝，进而得到答案；（Ⅱ）由（I）得：C＝﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cos A+cos C的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．∴a2+c2﹣b2＝ac．∴cos B＝＝＝，∴B＝（Ⅱ）由（I）得：C＝﹣A，∴cos A+cos C＝cos A+cos（﹣A）＝cos A﹣cos A+sin A＝cos A+sin A＝sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+＝时，sin（A+）取最大值1，即cos A+cos C的最大值为1．【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．16．【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1．【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K＝＝，故C班有学生8÷＝40人，（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P＝＝；（Ⅲ）μ0＞μ1．【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．17．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD＝AC＝，∴CO⊥AD，又∵PA＝PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则＝；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．18．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，∴当x＝2时，y＝2（e﹣1）+4＝2e+2，即f（2）＝2e+2，同时f′（2）＝e﹣1，∵f（x）＝xe a﹣x+bx，∴f′（x）＝e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则，即a＝2，b＝e；（Ⅱ）∵a＝2，b＝e；∴f（x）＝xe2﹣x+ex，∴f′（x）＝e2﹣x﹣xe2﹣x+e＝（1﹣x）e2﹣x+e＝（1﹣x+e x﹣1）e2﹣x，∵e2﹣x＞0，∴1﹣x+e x﹣1与f′（x）同号，令g（x）＝1﹣x+e x﹣1，则g′（x）＝﹣1+e x﹣1，由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，则当x＝1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）＝1，则g（x）≥g（1）＝1＞0，故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．19．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a＝2，b＝1，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02＝4，求出直线PA的方程，令x＝0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y＝0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x＝0，求得y，|BM|；求出直线PB 的方程，令y＝0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝，又△OAB的面积为1，可得ab＝1，且a2﹣b2＝c2，解得a＝2，b＝1，c＝，可得椭圆C的方程为+y2＝1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02＝4，若P（0，﹣1），可得PA与y轴交于点M（0，﹣1），直线PB与x轴交于点N（0，0），可得|AN|•|BM|＝4；直线PA：y＝（x﹣2），令x＝0，可得y＝﹣，则|BM|＝|1+|；直线PB：y＝x+1，令y＝0，可得x＝﹣，则|AN|＝|2+|．可得|AN|•|BM|＝|2+|•|1+|＝||＝||＝||＝4，即有|AN|•|BM|为定值4．证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），直线PA：y＝（x﹣2），令x＝0，可得y＝﹣，则|BM|＝||；直线PB：y＝x+1，令y＝0，可得x＝﹣，则|AN|＝||．即有|AN|•|BM|＝||•||＝2||＝2||＝4．则|AN|•|BM|为定值4．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析；（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a1＝﹣2，a2＝2，a3＝﹣1，a4＝1，a5＝3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）＝{2，5}．（Ⅱ）因为存在a n＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为a k，则a k＞a1≥a i，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜…＜i k，对于第一个“G时刻”i1，有＞a1≥a i（i＝2，3，…，i1﹣1），则﹣a 1≤﹣≤1．对于第二个“G时刻”i 1，有＞≥a i（i＝2，3，…，i1﹣1），则﹣≤﹣≤1．类似的﹣≤1，…，﹣≤1．于是，k≥（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣a 1）＝﹣a1．对于a N，若N∈G（A），则＝a N．若N∉G（A），则a N≤，否则由（2）知，，…，a N，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾．从而k≥﹣a1≥a N﹣a1．【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．。
(精校版)北京理数高考试题文档版(含答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=，B=，，，，，则（A）（B），，（C），，（D），，，（2）若x,y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（4）设a ,b 是向量，则“=a b ”是“+=-a b a b ”的（A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o ，则（A ） - （B ）（C ） (- 0 （D ）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）（B ）（C ） （D ）1(7)将函数（ ﹣π ）图像上的点P （ ，t ）向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数 （ ）的图像上，则 （A ）t = ，s 的最小值为 （B ）t =，s 的最小值为 （C ）t = ，s 的最小值为 （D ）t = ，s 的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
2016年高考北京卷理数试题解析(正式版)
因此 AB 2 ，故填： 2 . 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化. 12.已知 {an } 为等差数列， S n 为其前 n 项和，若 a1 6 ， a3 a5 0 ，则 S6 = _______.. 【答案】6
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【解析】 试题分析：∵ {an } 是等差数列，∴ a3 a5 2a4 0 ， a4 0 ， a4 a1 3d 6 ， d 2 ， ∴ S6 6a1 15d 6 6 15 (2) 6 ，故填：6． 考点：等差数列基本性质. 13.双曲线
AM 的值. AP
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考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 1 8.（本小题 13 分） 设函数 f ( x) xe
a x
bx ，曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y (e 1) x 4 ，
C. t
D. t
【答案】A
考点：三角函数图象平移 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其 中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋 中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 【答案】C 【解析】 试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
x2 y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双 a2 b 2
2016北京高考数学试卷及答案
2016北京高考数学试卷及答案【篇一：2016年北京理数高考试题(含答案)】ass=txt>数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合a=（a）（c）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为 b=，则（b）（d）（a）0 （b）3（c）4 （d）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（a）1（b）2（c）3（d）4（4）设a,b是向量，则“iai=ibi”是“ia+bi=ia-bi”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件（5）已知x,yr,且xyo，则（a）-（b）（c） (-0 （d）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（a）（b）（c）（d）1(7)将函数若p′位于函数图像上的点p（的图像上，则，t ）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点p′.（a）t= ，s的最小值为（b）t= ，s的最小值为（c）t= ，s的最小值为（d）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（a）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（b）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（c）乙盒中红球不多于丙盒中红球（d）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设ar，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
北京市高考数学试卷(理科)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第Ⅰ部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{|||2}A x x =<，{}32101，，，，-=B ，则A B =I （ ） （A ）{}10，（B ）{}210，， （C ）{}101，，- （D ）{}2101，，，- （2）若x ，y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥则2x y +的最大值为（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1， 则输出的k 值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）设a ，b 是向量．则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知R y x ∈，，且0x y >>，则（ ）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y -> （C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A ）16（B ）13（C ）12（D ）11俯视图正（主）视图111（7）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '.若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） （A ）12t =，s 的最小值为6π （B）2t =，s 的最小值为6π （C ）12t =，s 的最小值为3π （D）2t s 的最小值为3π（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第Ⅱ部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = ． （10）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答） （11）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB = ．（12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，350a a +=，则6S = ．（13）双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ．（14）设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-=⎨->⎩≤① 若0a =，则()f x 的最大值为 ；① 若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题13分）在ABC ∆中，222a c b +=． （①）求B ∠的大小；（①cos A C +的最大值．（16）（本小题 13分）A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（①）试估计（①）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙， 假设所有学生的锻炼时间相互独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （①）再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB D A ⊥，1AB =，2AD =，AC CD =（①）求证：PD ⊥平面PAB ；（①）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（①）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．PDBA（18）（本小题13分）设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+． （①）求a ，b 的值； （①）求()f x 的单调区间．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1．（①）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ． 求证：||||AN BM ⋅为定值．（20）（本小题13分）设数列12:,,,N A a a a ⋅⋅⋅(2)N ≥．如果对小于(2)n n N ≤≤的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （①）对数列:2,2,1,1,3A --，写出()G A 的所有元素； （①）证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则()G A ≠∅；（①）证明：若数列A 满足11n n a a --≤(2,3,,)n N =⋅⋅⋅，则()G A 的元素个数不小于1N a a -．2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =-I .2. C 【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.3. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响． ①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10-=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴∵222a cb +=∴222a c b +-∴222cos 2a c b B ac +-==∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4A C +=cos A C +()A A A =+A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD ∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v ，，，(210)CD =--u u u v，， 设n v为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩v u u u v v v u u u v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===v u u u v v u u u v v u u u v⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-u u u u r u u u r∴()1,,BM λλ=--u u u u r∵BM ∥面PCD ，n u u r 为PCD 的法向量∴0BM n ⋅=u u u u r r即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+Q∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+① 2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴(g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，1,122c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022My y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅ 故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，2016年北京市高考数学试卷(理科)11 / 11直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<<L ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =-L ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =-L ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=-L ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a +L ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =（ ） （A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1AB =-，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （4）【2016年北京，理4，5分】设a ，b 是向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b ，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =”与“a b a b +=-”表示的几何意义，是解答 的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（ ）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故 选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） （A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）32t =，s 的最小值为6π（C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题． 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2016年北京高考数学(理科)真题+解析版
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A.B.C.D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】试题分析：由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，选C. 【考点】集合的交集运算.2．若x,y 满足则2x y +的最大值为A.0B.3C.4D.5【答案】C 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则当y x z +=2经过点P 时，z 取得最大值，又)2,1(P ，所以所求最大值为4.【考点】线性规划.【名师点睛】若约束条件表示的可行域是封闭区域，则可以将顶点坐标代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若约束条件表示的可行域不是封闭区域，则不能简单地运用代入顶点坐标的方法求最值.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】输入1=a ，则0=k ，1=b ；进入循环体：21-=a ，否，1=k ；2-=a ，否，2=k ；1=a ，此时1==b a ，跳出循环体，输出k ，则2=k ，选B.【考点】算法与程序框图【名师点睛】解决循环结构的框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.4．设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由||||=a b 无法得到||||+=-a b a b ，充分性不成立；由||||+=-a b a b ，得0⋅=a b ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D. 【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 5．已知,x y ∈R ，且0x y >>，则A.110x y-> B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】A.由0>>y x ，得y x 11<，即011<-yx ，A 不正确； B.由0>>y x 及正弦函数的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C.由1210<<，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)21()21(<-y x ，C 正确； D.由0>>y x ，得0>xy ，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C.【考点】函数性质6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.B.C.D. 1【答案】A 【解析】考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式. 7．将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(,)4P t 向左平移s （s ﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数sin 2y x =的图象上，则 A.12t =，s 的最小值为π6B.t = ，s 的最小值为π6C.12t =，s 的最小值为π3D.t =，s 的最小值为π3【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B 【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B. 【考点】概率统计分析【名师点睛】本题创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.二、填空题：9．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1- 【解析】由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 10．__________________.（用数字作答）【答案】60 【解析】2226C (2)60x x -=，∴所求系数为60.【考点】二项式定理 【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项1C r n r rr n T a b -+=，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2.求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析.11．在极坐标系中，则||AB =____________________. 【答案】2 【解析】直线10x --=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【考点】极坐标方程【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式θρθρsin ,cos ==y x 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用θρθρsin ,cos ==y x 以及22y x +=ρ，)0(tan ≠=x xyθ，同时要掌握必要的技巧. 12．___.【答案】6 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-，所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6． 【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.13．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 【答案】2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知OB =，所以22222a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线. 14．设函数33,()2,⎧-≤=⎨->⎩x x x af x x x a.①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】 ①2 ②(,1)-∞- 【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求a 的取值范围是(,1)-∞-．【考点】分段函数求最值,数形结合【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．三、综合题：15．在△ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】 （1）π4； （2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B .又因为0πB <∠<，所以π4B ∠=. （2）由（1）知3π4A C ∠+∠=. 3πcos cos()4A C A A +=+-πcos()4A A A A A A ==+=-. 因为3π04A <∠<，所以当π4A ∠=时，C A cos cos 2+取得最大值1. 【考点】三角函数、余弦定理【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆或内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．16．A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明） 【答案】 （1）40； （2）38； （3）01μμ<. 【解析】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为40208100=⨯. （2）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1⋅⋅⋅=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1⋅⋅⋅=j ，由题意可知，51)(=i A P ，5,,2,1⋅⋅⋅=i ；81)(=j C P ，8,,2,1⋅⋅⋅=j . 111()()()=5840i j i j P AC P A P C =⨯=,5,,2,1⋅⋅⋅=i ,8,,2,1⋅⋅⋅=j . 设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A .因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P .（3）01μμ<.【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式)(1)(A P A P -=，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析； （2）33；（3）存在，41=AP AM . 【解析】（1）因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以⊥AB 平面PAD . 所以PD AB ⊥. 又因为PD PA ⊥， 所以⊥PD 平面PAB .（2）取AD 的中点O ，连结CO PO ,.因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -.由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以(1,2,2)=-n .又)1,1,1(-=PB，所以cos ,3PB PB PB⋅==-n n n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0BM ⋅=n ，即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得∥BM 平面PCD ，此时41=AP AM . 【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.18．设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）2,e a b ==；（2） ),(+∞-∞【解析】（1）因为()e a x f x x bx -=+，所以()(1)e a x f x x b -'=-+.依题设，(2)2e 2,(2)e 1,f f =+⎧⎨'=-⎩即222e 22e 2,e e 1,a ab b --⎧+=+⎨-+=-⎩ 解得2,e a b ==.（2）由（1）知2()e e x f x x x -=+.由21()e (1e )x x f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+，则1()1e x g x -'=-+.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增.故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.【考点】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．19．已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）1422=+y x ； （2）见解析.【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为1100+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.20．设数列A ：1a ，2a ,…,N a (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：−2，2，−1，1，3，写出)(A G 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a −1n a -≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于Na−1a .【答案】（1）)(A G 的元素为2和5；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）)(A G 的元素为2和5.（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}12,i i i N a a *∈≤≤>≠∅N . 记{}1min 2,i m i i N a a *=∈≤≤>N ，则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,.因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G .（3）当1a a N ≤时，结论成立.以下设1a a N >.由（2）知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(.记10=n .则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{},i i i k n G k n k N a a *=∈<≤>N .如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1.从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .从而对任意p n k N ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤.对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a .所以p a aa a a a i i p n p i n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.因此)(A G 的元素个数p 不小于1N a a -.【考点】数列、新定义问题.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1=q 或1≠q )等.。
2016北京高考数学试卷及答案
2016北京高考数学试卷及答案【篇一：2016年北京理数高考试题(含答案)】ass=txt>数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合a=（a）（c）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为 b=，则（b）（d）（a）0 （b）3（c）4 （d）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（a）1（b）2（c）3（d）4（4）设a,b是向量，则“iai=ibi”是“ia+bi=ia-bi”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件（5）已知x,yr,且xyo，则（a）-（b）（c） (-0 （d）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（a）（b）（c）（d）1(7)将函数若p′位于函数图像上的点p（的图像上，则，t ）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点p′.（a）t= ，s的最小值为（b）t= ，s的最小值为（c）t= ，s的最小值为（d）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（a）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（b）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（c）乙盒中红球不多于丙盒中红球（d）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设ar，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
2016年高考北京理科数学试题与答案(word解析版)
D考查的是
点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力
题.
(6)12016年北京，理6,5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
(A)-(B)-(C)-
=sin2x的图象上，则()
.3
(B)t■-，s的最小值为
2
(D)t3,s的最小值为
2
长度得到点
(A)
(C)
答案】A
P,若P位于函数y
,s的最小值为
，s的最小值为3
fn)f
解析】点P4，t在函数y=sin 2x
-訂上，所以t=sin[2b-
7t
fn\
,然后y=sin2x-3向左平
/3.丿
1nnn
移s个单位,即y二sin 2(x • s)…-sin2x,所以s-+kn,kZ,所以s的最小值为,故选a.
2016
(北京卷)
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中
项.
，选出符合题目要求的一
(1)12016年北京，理1,5分】已知集合A=1x|x＜：2l，「:—1,0,1,2,3?,则B二( (A)「0,11(B)10,1,2)(C)1-1,0,1；
(D)
)^-1,0,1,2?
k值为
()
(A)1
答案】B
(B)2
(C)3
(D)
解军析】开始a=1，k=0；第一次循环
第二次循环a=-2
，k=2，第三次循环
结束
-1
"I1
2016北京理高考数学试题
2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京理)一、选择题1．已知集合A ＝{x | |x |＜2}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{－1，0，1}D ．{－1，0，1，2}2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，，则2x ＋y 的最大值为A ．0B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为A ．1B ．2C ．3D ．44．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知x ，y R ，且x ＞y ＞0，则A ．1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0C ．(12)x －(12)y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．17．将函数y ＝sin(2x －π3)图像上的点P (π4，t )向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′．若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π38．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题9．设a R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝_______________．10．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为__________________．(用数字作答)11．在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝____．12．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝_________．13．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝_______________．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .． ⑴．若a ＝0，则f (x )的最大值为________；⑵．若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题15．(本小题13分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac ．⑴．求角B 的大小； ⑵．求2cos A ＋cos C 的最大值．16．(本小题13分)A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)； A 班6 6．57 7．58 B 班6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4．5 6 7．5 9 10．5 12 13．5⑴．试估计C 班的学生人数；⑵．从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；⑶．再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8．25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小，(结论不要求证明)17．(本小题14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝5．⑴．求证：PD ⊥平面P AB ；⑵．求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；⑶．在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由．18．(本小题13分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4．⑴．求a ，b 的值；⑵．求f (x )的单调区间．19．(本小题14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1．⑴．求椭圆C 的方程；⑵．设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |·|BM |为定值．20．(本小题13分)设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2)．如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．⑴．对数列A ：－2，2，－1，1，3，写出G (A )的所有元素；⑵．证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G (A )≠∅；⑶．证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2，3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1．2016北京理参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1)C (2)解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1，2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．(3)B 解析：k ＝0，b ＝1．a ＝－12，k ＝1；a ＝－11－12＝－2，k ＝2；a ＝－11－2＝1，满足a ＝b ．故输出k ＝2．(4) 解析：若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．(5)C (6) 由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h ＝1，又底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝16． (7)A 【解】点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图像上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12．又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，故s 的最小值为π6． (8)B 解析：解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误．故选B ．解法二：设袋中共有2n 个球，最终放入甲盒中k 个红球，放入乙盒中s 个红球．依题意知，甲盒中有(n －k )个黑球，乙盒中共有k 个球，其中红球有s 个，黑球有(k －s )个，丙盒中共有(n －k )个球，其中红球有(n －k －s )个，黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B ．二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9) 解析：(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1(10) 解析：由二项式定理得含x 2的项为C 26(－2x )2＝60x 2．60 (11) 解析：将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2(12) 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.(13)取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，故c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，故b a ＝tan π4＝1，即a ＝b ．又a 2＋b 2＝c 2＝8，故a ＝2． (14)【解】(1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .，若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0．故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，故f (x )最大值为f (－1)＝2．若x ＞0，f(x )＝－2x 单调递减，故f (x )＜f (0)＝0．综上，f (x )最大值为2．(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图像如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2．当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值．且－2a ＞2．故a ＜－1．三、解答题(共6小题，共80分)(15)(共13分)解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22．又0＜B ＜π，故B ＝π4． (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，故C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4．故2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，∵0＜A ＜3π4，故π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1．(16)(共13分)解：(Ⅰ)由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为100×8÷20＝40．(Ⅱ)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，…，5，事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8，由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2，…，8．P (A i C j )＝P (A i ) P (C j )＝15×18＝1/40，i ＝1，2，…，5，j ＝1，2，…，8． 设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4，因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×(1/40)＝38； (Ⅲ) μ1＜μ0．(17)(共14分)(1)证明 因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD ．又P A ⊥PD ，AB ∩P A ＝A ，AB ，P A ⊂平面P AB ，故PD ⊥平面P AB ．(2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，CO ．因为P A ＝PD ，故PO ⊥AD ．因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，故PO ⊥平面ABCD ．因为CO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥CO ．因为AC ＝CD ，故CO ⊥AD ．如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．由题意得，A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (2，0，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2．故n ＝(1，－2，2)．又PB →＝(1，1，－1)，故cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33．故直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33． (3)解 设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0，1]，使得AM →＝λAP →．因此点M (0，1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，故要使BM ∥平面PCD ，则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14．故在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14． (18)解：(1)因f (x )＝x e a－x ＋bx ，故f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e ． (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ．由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(19)【解】(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)知A (2，0)，B (0，1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4．当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2．直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1．令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1．故|AN |·|BM |＝|2＋x 0y 0－1|·|1＋2y 0x 0－2|＝|x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2|＝|4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2|＝4．当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，故|AN |·|BM |＝4．综上，|AN |·|BM |为定值．(20)解：⑴．G (A )的元素为2和5．⑵．因存在a n 使得a n ＞a 1，故{i ∈N *| 2≤i ≤N ，a i ＞a 1}≠∅．记m ＝min{i ∈N *| 2≤i ≤N ，a i ＞a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k ＜m ，a k ≤a 1＜a m ．因此m ∈G (A )，从而G (A )≠∅． ⑶．当a N ≤a 1时，结论成立．以下设a N ＞a 1．由⑵知，G (A )≠∅．设G (A )＝{n 1，n 2，…，n p }，n 1＜n 2＜…＜n p ，记n 0＝1．则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210．对i ＝0，1，2，…，p ，记G i ＝{k ∈N *| n i＜k ≤N ，a k ＞a n i }．如果G i ≠∅，取m i ＝min G i ，则对任何1≤k ＜m i ，i i k n m a a a ≤<．从而m i ∈G (A )且m i ＝n i ＋1．又n p 是G (A )中的最大元素，故G p ＝∅．从而对任意n p ≤k ≤n ，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤．对i ＝0，1，2，…，p －1，11i in n a a +-≤．因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a ．故p a a a a a a i i p n p i n n N ≤-=-≤--∑=)(1111．因此G (A )的元素个数p 不小于a N －a 1．。
2016年高考理科数学北京卷
东望山乡中心学校2018-2019 学年四年级下学期数学期中模拟试卷含分析班级 __________ 座号 _____ 姓名 __________ 分数 __________一、选择题1．（ 2 分）在 2.2，2.02， 2.022， 2.202 中最大的数是（）。
A. 2.2B. 2.022C. 2.202【答案】 C【考点】小数大小的比较【分析】【解答】在 2.2，2.02， 2.022， 2.202 中最大的数是 2.202.应选 C.【剖析】依据小数比较大小的方法进行解答.先比较整数部分，整数部分相同，再比较十分位上的数字，十分位上的数字大的就大，以此类推.2．（ 2 分）全班一共有 38 人，共租了8 条船，每条船都坐满了。
大船每条乘 6 人，小船每条乘 4 人，则他们租船的状况是（）。
A. 大船 3条，小船 5条B. 大船 5条，小船 3条C. 大船 6条，小船 2条【答案】 A【分析】【解答】解：大船：（38-8 4×）÷（ 6-4）=6÷2=3（条）小船： 8-3=5 （条）故答案为： A【剖析】假定都是小船，则一共坐人8 ×4，必定比38 人少，是由于把大船也看作乘4 人来计算了。
这样用一共少算的人数除以每条船少算的人数即可求出大船的条数，从而求出小船的条数。
3．（ 2 分）一个等腰三角形，此中一个底角是75°，顶角是（）°。
A. 75B. 45C. 30D. 60【答案】C【考点】等腰三角形与等边三角形，三角形的内角和【分析】【解答】 180 °-75 ×°2=30 °故答案为： C【剖析】等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和-底角度数×2=顶角度数。
4．（ 2 分）小华用 5 个相同大小的正方体摆成一个物体．如图分别是她从不一样方向看到的图形．从左面第1页，共8页看摆成的物体，看到的是第（）号图形．A.B.C.D.【答案】B【考点】从不一样方向察看物体和几何体【分析】【解答】解：如图，故答案为： B．【剖析】如下图，正面看到的图形是两层，基层3 个正方形，上层1 个；上边看到的图形两排，里排有3个正方形，外排1 个；则从左面看到的图形是有两层正方形，基层两个，上层1 个靠左；所以的解．5．（ 2 分） 5 名同学参加跳远竞赛，成绩分别是：小明188 厘米、小刚2.05 米、小枫2.1 米、晨晨190 厘米、毛毛雨203 厘米。
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(北京卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合A =B =，则【C 】（A ）（B ）（C ） （D ）（2）若x,y 满足 ，则2x+y 的最大值为【C 】（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为【B 】2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（4）设a ,b 是向量，则“”是“”的【D 】（A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知x,y R,且x y o ，则【C 】（A ）- （B ）（C ）(-0 （D ）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为【A 】（A ）（B ）（C ） （D ）1(7)将函数图像上的点P （，t ）向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数的图像上，则【A 】（A ）t = ，s 的最小值为 （B ）t =，s 的最小值为=a b +=-a b ab（C ）t = ，s 的最小值为 （D ）t = ，s 的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则【B 】 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= -1 . （10）在的展开式中，的系数为 60 .（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 = 2 .（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则 6 .（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
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2016年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}
2．若x，y满足，则2x+y的最大值为（）
A．0B．3C．4D．5
3．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1
B．2
C．3
D．4
4．设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．﹣＞0B．sinx﹣siny＞0C．（）x﹣（）y＜0D．lnx+lny＞0 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
7．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）
A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为
8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．10．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）
11．在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则
|AB|=．
12．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=．
14．设函数f（x）=．
①若a=0，则f（x）的最大值为；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
16．（13分）（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A班6 6.577.58
B班6789101112
C班3 4.567.5910.51213.5
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
17．（14分）（2016•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，
PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
18．（13分）（2016•北京）设函数f（x）=xe a﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14分）（2016•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），
B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．
20．（13分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，a N（N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a k＜a n，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G 时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a n使得a n＞a1，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A满足a n﹣a n﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于a N﹣a1．。