(完整)高中立体几何二面角的几种基本求法例题.doc
立体几何二面角的求法
立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。
其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。
本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。
一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。
二面角常用字母α表示。
二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。
2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。
3. 二面角的度量范围是0到180度。
4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。
5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。
6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。
三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。
2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。
3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。
四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。
2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。
3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。
4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。
高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结(最新整理)
AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。
D1
A1 （1） 证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ；
C1 B1
（2） 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
E1
D
E
A
F
C B
证（1）略 解 （ 2） 因 为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是 棱 AB 的 中 点 ,所 以 A1 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD⊥平面 PAB 后，容易发现平面 PAB⊥ 平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD
的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角 P BD A 的大
2 ，则 GF
2
，
2
又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ， ABM 600 ∴△ ABM 是等边三角形，∴
BF 3 。在△ GAB 中， AG 6 ， AB 2 ， GAB 900 ，∴ BG 3 4 11
2
2
2
cos BFG GF 2 FB 2 BG 2
6
，求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2
分析：第 1 题容易发现，可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD，使命 题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在 二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。（答
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
立体几何二面角求法
立体几何二面角求法
立体几何中的二面角是指两个平面的夹角，其中一个平面是由立体图形的两个面组成的。
二面角是非常重要的几何概念，它在计算立体图形的体积、表面积和角度时都有很多应用。
二面角的求法有很多种，其中比较常用的方法有以下几种：
1. 用余弦定理求解
在立体图形中，二面角的两个平面可以看做是两个三角形的平面。
如果已知两个三角形的边长及它们之间的夹角，就可以用余弦定理求出二面角的大小。
2. 用向量求解
向量是几何中非常重要的概念，可以用来表示空间中的点和方向。
如果已知二面角的两个平面的法向量，就可以用向量求解的方法求出二面角的大小。
3. 用三维坐标系求解
在三维坐标系中，可以用向量表示空间中的点和方向。
如果已知二面角的两个平面在三维坐标系中的方程式，就可以用向量求解的方法求出二面角的大小。
以上是三种比较常用的二面角求解方法，不同的方法适用于不同的情况。
在实际应用中，根据具体的问题选择合适的方法可以提高计算的效率。
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求二面角的几何法
3种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。
下面来介绍求二面角的大小的几种方法：直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。
例1. 如图 ABCD 是矩形，AB =a ，BC =b (a >b)，沿对角线AC 把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC ，证明：平面 ABD ⊥平面BCD 。
证明：由题意可知：AD ⊥BC ，AD ⊥DC∴ AD ⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD ⊥平面BCD例2. 在四棱锥 A-BCDE 中，底面是直角梯形，其中 BC ∥DE ，∠BCD =90°，且 DE =CD =21BC ，又AB =AE =21BC ，AC =AD ， 求证：面ABE ⊥面BCD 。
证明：取BE 的中点M ，CD 的中点N ， 连结 AM ，AN ，MN ，∵ AB =AC (已知) ∴ AM ⊥BE同理 AC =AD 有AN ⊥CD 在直角梯形BCDE 中，∵ M 、N 分别是BE 、CD 的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN ⊥CD ∴ CD ⊥面AMN ∴ CD ⊥AM又 AM ⊥BE ，CD 、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，CB∴ AM ⊥面BCD ， 又AM 面ABE ∴ 面ABE ⊥面BCD 。
当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。
例3.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°例4.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC—B 的大小为45°。
求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。
立体几何中二面角的求法(教师版)
高二文科数学培优：立体几何中二面角的求法编写：林洪兵2016-1-6一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。
分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。
变式1：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 .分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=2。
将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 .在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos∠A1OC1=31二、三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l，过面α内一点P作PA⊥α于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角βα--l的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。
分析与解本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。
六种方法求二面角的大小
六种方法求二面角的大小河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎 李洪涛求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=，90BDC ∠=，求二面角A BC D --的大小.分析 因为ABC ∆和BCD ∆是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答 取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ∆和BCD ∆的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则AD a =，AO =，2OD a =，在AOD ∆中，因为2222a a ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=，所以二面角A BC D --大小为90.说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =, CD =,AB AC =.设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法例2. 在三棱锥P ABC -中，AP BP BC==，90APB ABC ∠=∠=，面APB ⊥面PBC .（1）求证：APB ABC ⊥面面；（2）求二面角P AC B --的大小.分析 由（1）中APB ABC ⊥面面可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角P AC B --的平面角.只需过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH ，则PHO∠即为所求. 解答 （1）略.（2）过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH .因为APB ABC ⊥面面，=APB ABC AB 面面，PO APB ⊂面，PO AB ⊥，所以DCO ABO HCA B PEGOB DCAPO ABC ⊥面，则OH 为斜线PH 在面ABC 内的射影.又因为AC OH ⊥，所以AC PH ⊥（三垂线定理），则PHO ∠即为所求.设AP a =，则PB BC a ==.在Rt APB ∆中2PO AO a ==，在Rt ABC ∆中AC =，由Rt AOH ∆∽Rt ABC ∆得OH BC AO AC=，所以BC OH AO AC =⋅2a ==，又因为PO ABC ⊥面，OH ABC ⊂面，所以PO OH ⊥，则在Rt ABC ∆中，tan PO PHO HO ∠===60PHO ∠=，即二面角P AC B --的大小为60.说明 当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2 如图，三棱柱111ABC A B C -，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点.若侧棱1AA 和底面ABC 所成的角为45时，求二面角1A AC B --的正切值.三、垂面法例3. 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且3PA =，4PB =若ABC S ∆=l αβ--的度数为______.分析 由已知得l PAB ⊥面.设PAB l O =面，连接,OA OB ，则l OA ⊥，l OB ⊥，则AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，且180AOB P ∠+∠=.要想求AOB ∠，只需由ABC ∆的面积公式求出P ∠即可.解答 因为1sin 2ABC S PA PB P ∆=⋅⋅⋅∠134sin 2P =⋅⋅⋅∠=所以sin 2P ∠=，所以60P ∠=或120，又因为180AOB P ∠+∠=，从而=120AOB ∠或60.说明 180AOB P ∠+∠=可作为结论使用.若给出ABP ∆的三边，则可通过余弦定理l OA BPβαHC 1B 1A 1OC B A求出P ∠的度数.变式训练 3 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且7PA =，8PB =，13AB =，则二面角l αβ--的度数为______.四、面积射影法例4. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，PBC ABC ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”.解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD MEDP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S ==45θ=. 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练4 若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式21=x x S S x++表底，则其侧面与底面所成的二面角的范围是______.五、三正弦定理法例5. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==；取A B ''的中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN'∠M EDC BAPB B'A'C'AD N即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a '=，D C '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=.说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练 5 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，若A EF ∈，AG α⊂，45GAE ∠=，若AG 与β所成的角为30，则该二面角的大小为______.六、向量法例6. 题目同例5.分析 由（1）可证BC CC A A ''⊥面，则BC CA ⊥，所以,,CA CB CC '两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小.解答 (1) 略.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为θ，平面BDC '的法向量为()1,,n x y z =，又因为()101DC '=-，，，()012BC '=-，，，则1100DC n BC n ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则2y =，1z =，所以()11,2,1n =；同理设平面ABB A ''的法向量为2n ，取AB 的中点M ，则可知CM ABB A ''⊥面，所以取211==,022n CM ⎛⎫⎪⎝⎭，，又因为121212cos ,n n n n nn ⋅=32==，由题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=. 说明 向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角还是钝二面角合理取舍.变式训练 6 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.βαGE FA（参考答案：1.π- 2. 2；3.60；4.6090θ≤<；5.45；6.sinθ=.）。
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a PB αC AE FD二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
解：如图，PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。
在Rt △ABH 中，AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2a ；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22aa =，则∠PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
二面角的几种求法
二面角是高中立体几何的一个重点,也是 一个难点. 如何把二面角化归为平面角 ,或借 助立体几何的某些公式直接求出 ,学生往往 束手无策 ,本文介绍二面角的几种求法 ,为学 生解题提供几个着眼点. 1 定义法 例 1 经 S 引三条 等长但不共面的线段 SA , SB , SC ,且 ∠ASB = ∠ASC = 60° , ∠BSC = 90° ,求二面角 A − BC − S 的大小. 分 析 由题设条件可知 AB = AC . 取 BC 中点 O,连 AO, SO 则有 AO ⊥ BC, SO ⊥ BC ,所 以 ∠AOS 为二面角 A − BC − S 的平面角.引入 长度参数 SA = a ,由余弦定理或勾股定理可 得 ∠AOS = 90° . 2 三垂线定理法 例 2 如图,设 E 、 F 、 G 为正方体 AC1 中相应 棱的中点,求截面 EFG 与 各面所成的角. 分 析 如图 ,过 B1 作 B1H ⊥ EF ,连 GH ,则 B1 H 为 GH 在面 B1EF 的射影,所以 GH ⊥ EF . 即得 ∠GHB1 为截面 EFG 与侧面 BC1 的二面 角的平面角 ,不妨设 B1E = B1F = B1G = 1 .易得 ∠GHB1 = arcsin( 6 / 3) . 3 垂面法 例 3 从二面角 α − l − β 内一点 P 分别向两个面引垂 线 PA、PB, A、B 为垂足 . 求证 : ∠APB 与二面 角 α − l − β 互补.
要条件是 x = 2 y ,而在 x + y ≥ 2 xy 中取“=” 号的充要条件是 x = y 与 x = 2 y 矛盾. 正解 x + y = ( x + y)(2/ x + 1/ y) = 2 +1 + x / y + 2 y / x , x 2y ≥2 2 . ∵ x, y ∈ R + , ∴ + y x ∴ x + y ≥ 3+ 2 2 , 2 / x + 1/ y = 1, x = 2 + 2, 当且仅当 即 x / y = 2 y / x y = 1+ 2 时, “=”号成立. ∴ x + y 的最小值是 3 + 2 2 . 例 2 已知 a 2 + b2 + c2 = 1, x2 + y2 + z2 = 9 ,则 ax + by + cz 的最大值为______. 错解 ax + by + cz a 2 + x 2 b2 + y2 c2 + z2 + + = 5. 2 2 2 简析 等号取不到 正解 ∵3( ax + by + cz ) ≤
例谈求解二面角大小的几种方法
例谈求解二面角大小的几种方法解㊀曼㊀㊀房维维(哈尔滨师范大学ꎬ黑龙江哈尔滨１５００２５)摘㊀要:求解二面角大小是高中数学立体几何中的重要内容ꎬ有利于丰富学生的数学知识ꎬ提升数学学科核心素养ꎬ激发学生数学学习的动力ꎬ培养学生的空间想象能力ꎬ所以对于高中生来讲ꎬ如何求解成为了重中之重.本文以普通高中教科书为基础ꎬ例谈运用定义法㊁补形法㊁摄影面积法和向量法求解二面角.关键词:定义法ꎻ补形法ꎻ摄影面积法ꎻ向量法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００３７－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:解曼(１９９７.７－)ꎬ女ꎬ硕士研究生ꎬ从事数字教学研究ꎻ房维维(１９８０.９－)ꎬ女ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀中学数学中的二面角是立体几何的基础概念ꎬ值得学生思考重视ꎬ对于学生而言ꎬ只有在平时学习中多多积累求解二面角的方法ꎬ才能在问题探索中不断提高解题能力ꎬ提高数学核心素养.本文对求解二面角的方法进行归纳和总结ꎬ以供读者借鉴和参考.１定义法在定义法中ꎬ二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的ꎬ就是在平面α和平面β的交线ｌ上找一点ꎬ过该点在平面α和平面β内分别作垂直于棱的两条射线.如图１ꎬ射线ＯＡ与射线ＯＢ所夹的角øＡＯＢ就是所求的二面角.在定义法中ꎬ二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的.适用范围:定义法是最直接的做法ꎬ它适用于比图１二面角图较明显的两个平面相交图形ꎬ在解题时只需要找出两个平面㊁两个射线及射线夹角即可ꎬ对于不太容易找出射线的图形可以借助辅助线来解决ꎬ如例１中的图形[１].例１㊀如图２ꎬ在三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬøＳＡＢ＝øＳＡＣ＝øＡＢＣ＝９０ʎꎬＳＡ＝ＡＢꎬＳＢ＝ＢＣꎬ求二面角Ａ－ＳＣ－Ｂ的平面角的正弦值.解析㊀如图３ꎬ取ＳＣ中点Ｅꎬ连接ＢＥꎬ因为ＳＢ＝ＢＣꎬ所以әＳＢＣ是等腰三角形.图２㊀例１图㊀㊀㊀㊀㊀图３㊀例１定义法解析由等腰三角形三线合一知ＢＥʅＳＣ.过点Ａ作ＡＦʅＳＣ于点Ｆꎬ过点Ｅ作ＥＭʊＡＦ交ＡＣ于点Ｍꎬ连接ＢＭꎬ此时øＭＥＢ就是所求的二面角的平面角.设ＳＡ＝２ꎬ则ＡＢ＝２.因为øＳＡＢ＝９０ʎꎬ所以ＳＢ＝２２.因为øＡＢＣ＝９０ʎꎬ所以ＡＣ＝ＢＣ２＋ＡＢ２＝２３.因为øＳＡＣ＝９０ʎꎬ所以ＳＣ＝ＳＡ２＋ＡＣ２＝４.所以øＳＣＡ＝３０ʎꎬＣＥ＝２ꎬＥＭ＝２３３.由面积相等ꎬ知ＡＦ＝ＳＡ ＡＣＳＣ＝２ˑ２３４＝３.因为әＣＥＭʐәＣＦＡꎬ所以ＥＭＡＦ＝ＣＭＣＡ.所以ＣＭ＝４３３ꎬＡＭ＝２３３.在ＲｔәＢＥＣ中ꎬＢＥ＝ＢＣ２－ＣＥ２＝２.由余弦定理ꎬ知ｃｏｓøＣＡＢ＝ＡＣ２＋ＡＢ２－ＢＣ２２ＡＣ ＡＢ＝１２＋４－８２ˑ２３ˑ２＝３３ꎬＢＭ２＝ＡＭ２＋ＡＢ２－２ＡＭ ＡＢｃｏｓøＣＡＢ＝１２９＋４－２ˑ２３３ˑ２ˑ３３＝２４９ꎬｃｏｓøＭＥＢ＝ＭＥ２＋ＢＥ２－ＢＭ２２ＭＥ ＢＥ＝１２/９＋４－２４/９２ˑ２ˑ２３/３＝３３.所以ｓｉｎøＭＥＢ＝６３.所以二面角的正弦值为６３.２补形法这种方法也是求解二面角大小的重要方法ꎬ通过补形能够顺利地作出二面角的平面角ꎬ从而整体上把握点㊁线㊁面之间的关系ꎬ与定义法有异曲同工之妙.适用范围:补形法顾名思义适用规则不完整的图形ꎬ利用辅助线将平面的图形完整化ꎬ使之有明确的交线ꎬ然后进行解题[２].例２㊀如图４ꎬ四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬ四边形ＡＢＣＤ是一个直角梯形ꎬ其中ＰＡ＝ＡＤ＝ＣＤ＝１ꎬＡＢ＝１２ꎬøＢＡＤ＝øＡＤＣ＝９０ʎꎬ求平面ＰＡＤ和平面ＰＢＣ所成二面角的余弦值.图４㊀例２图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５㊀例２解析图解析㊀如图５ꎬ延长ＤＡ和ＢＣ交于一点Ｅꎬ连接ＰＥꎬ因为ＡＢ＝１２ꎬＣＤ＝１ꎬ四边形ＡＢＣＤ是一个直角梯形ꎬ所以ＡＢʊＣＤꎬＣＤʅＡＤꎬＡＢʅＡＤꎬＡＥ＝ＡＤ＝１.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＢꎬＰＡʅＡＤꎬＤＥ＝ＡＥ＋ＡＤ＝２.所以ＰＥ＝ＡＥ２＋ＰＡ２＝２ꎬＰＤ＝ＰＡ２＋ＡＤ２＝２.所以ＤＥ２＝ＰＥ２＋ＰＤ２.即ＰＥʅＰＤ.因为ＰＡɘＡＤ于点Ａꎬ所以ＡＢʅ平面ＰＥＤꎬＣＤʅ平面ＰＥＤ.所以ＣＤʅＰＥꎬＣＤʅＰＤ.因为ＰＤɘＣＤ于点Ｄꎬ所以ＰＥʅ平面ＰＣＤ.所以ＰＥʅＰＣ.又因为ＰＥʅＰＤꎬ所以øＣＰＤ就是平面ＰＡＤ和平面ＰＢＣ所成的二面角.因为ＰＣ＝ＰＤ２＋ＣＤ２＝３ꎬ所以ｃｏｓøＣＰＤ＝ＰＤＰＣ＝６３.所以平面ＰＡＤ和平面ＰＢＣ所成二面角的余弦值为６３.以上是在图形中找二面角的平面角从而求出二面角的大小ꎬ除此之外ꎬ还可以用公式法来求解二面角ꎬ公式法的特点是代入公式中就可直接求出二面角的大小ꎬ使用方便ꎬ下面给出两种用公式求二面角的方法[３].３射影面积法利用公式ｃｏｓθ＝Ｓ射Ｓ原找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影ꎬ从而利用射影面积与原来面积的比值求出二面角的大小.适用范围:这种方法适合一个面在另一个面内的投影确定的图形[４]ꎬ对于这种方法我们依旧看例１.解析㊀如图６ꎬ过点Ｂ作ＢＤʅＡＣ于点Ｄꎬ图６㊀例１射影面积法图因为øＳＡＢ＝øＳＡＣ＝øＡＢＣ＝９０ʎꎬ所以ＳＡʅＡＢꎬＳＡʅＡＣ.所以ＳＡʅ平面ＡＢＣ.所以ＳＡʅＢＤ.又因为ＢＤʅＡＣꎬ所以ＢＤʅ平面ＳＡＣ.所以әＳＤＣ是әＳＢＣ在平面ＳＡＣ内的投影.设ＳＡ＝ＡＢ＝２ꎬ则ＳＢ＝ＢＣ＝２２ꎬＡＣ＝ＡＢ２＋ＢＣ２＝２３ꎬＤＢ＝ＡＢ ＢＣＡＣ＝２ˑ２２２３＝２６３ꎬＣＤ＝ＢＣ２－ＢＤ２＝２２()２－２６３æèçöø÷２＝４３３.设二面角Ａ－ＳＣ－Ｂ的平面角为θꎬ则ｃｏｓθ＝ＳәＳＤＣＳәＳＢＣ＝ＤＣ ＳＡ/２ＢＣ ＳＢ/２＝４３ˑ２/３２２ˑ２２＝３３.所以ｓｉｎθ＝６３.所以二面角的正弦值为６３.４向量法在建立空间直角坐标系后ꎬ找出平面α和平面β的法向量ｎ１ꎬｎ２ꎬ设二面角为θꎬθɪ０ꎬπ[]ꎬ利用公式ｃｏｓθ＝ｃｏｓ‹ｎ１ꎬｎ２›＝ｎ１ ｎ２ｎ１ ｎ２进行求解ꎬ注意‹ｎ１ꎬｎ２›与二面角大小的关系ꎬ是相等还是互补ꎬ需要结合图形进行判断ꎬ如图７所示ꎬ当两条法向量的方向相同时ꎬ所成的二面角的平面角θ与法向量夹角大小互补ꎬ即ｃｏｓθ＝－ｃｏｓ‹ｎ１ꎬｎ２›ꎬ当两条法向量的方向相反时ꎬ如图８所示ꎬ所成的二面角的平面角θ与法向量夹角大小相等ꎬ即ｃｏｓθ＝ｃｏｓ‹ｎ１ꎬｎ２›.图７㊀两条法向量方向相同时㊀㊀图８㊀两条法向量方向相反时适用范围:向量法适用于所有能作平面直角坐标系的图形ꎬ通过找出两个半平面的法向量进而解出题目.其中ꎬ直角坐标系的建立是基础ꎬ而判断两平面的法向量是相等还是互补是难点和关键[５].例３㊀如图９所示ꎬ正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１ꎬ求二面角Ａ１－ＢＤ－Ｃ１的余弦值.图９㊀例９图解析㊀如图９ꎬ以Ｄ为坐标原点ꎬＤＡң的方向为ｘ轴ꎬＤＣң的方向为ｙ轴ꎬＤＤ１ң的方向为Ｚ轴建立空间直角坐标系ꎬ因为棱长为１ꎬ则Ｄ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＡ１１ꎬ０ꎬ１()ꎬＢ１ꎬ１ꎬ０()ꎬＣ１０ꎬ１ꎬ１().所以ＤＡ１ң＝１ꎬ０ꎬ１()ꎬＤＢң＝１ꎬ１ꎬ０()ꎬＤＣ１ң＝０ꎬ１ꎬ１().设平面ＤＡ１Ｂ的法向量为ｍ＝ｘꎬｙꎬｚ()ꎬ则ＤＡ１ңｍ＝０.ＤＢңｍ＝０.{即ｘ＋ｚ＝０ꎬｘ＋ｙ＝０.{所以ｍ＝１ꎬ－１ꎬ－１().设平面ＤＢＣ１的法向量为ｎ＝ａꎬｂꎬｃ()ꎬ则ＤＢңｎ＝０ꎬＤＣ１ңｎ＝０.{即ａ＋ｂ＝０ꎬｂ＋ｃ＝０.{所以ｎ＝－１ꎬ１ꎬ－１().设平面ＤＡ１Ｂ和平面ＤＢＣ１所成的二面角为θꎬ则ｃｏｓθ＝ｍ ｎｍ ｎ＝１３.所以二面角Ａ１－ＢＤ－Ｃ１的余弦值为１３[６].以上就是求解二面角大小的四种方法即相应的例题ꎬ在求解二面角的大小时可以根据不同的题型采取不同的方法ꎬ其中有的题型可以用多种方法来进行解决ꎬ需要视情况而定.参考文献:[１]王永军.精解二面角[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２２(０３):１６４－１６７.[２]吴壁章.浅谈二面角大小的求解方法[Ｊ].科教文汇(下旬刊)ꎬ２０１１(０７):１０９－１１０.[３]杨竞达.求解二面角的策略初探[Ｊ].广西教育学院学报ꎬ２００３(０５):１３１－１３５.[４]王治伟.求解二面角问题的策略[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２００９(１２):４３－４６.[５]张东.从２０２０年一道高考题谈二面角的求法[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０２１ꎬ２８(１７):１７－１９.[６]郭兴甫.一道２０２０年全国高考立体几何题的多解及教学反思[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０２１ꎬ２８(０１):５－９.[责任编辑:李㊀璟]。
求二面角的方法
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。
二面角的多种求法(最新经典版)
六种方法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。
一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
34 高中数学立体几何(解答题)二面角计算专题训练
专题3高中数学立体几何（解答题）二面角计算专题训练【方法总结】 1．二面角(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝＜AB →，CD →＞．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos ＜n 1，n 2＞|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．2．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n 1，n 2＞|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|． 3．利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【高考真题】1．（2022新高考Ⅰ卷）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．2．（2022新高考Ⅱ卷）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ︒∠=∠=，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值． 【题型突破】1．(2020·全国Ⅲ改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1．(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求平面AEF 与平面EF A 1夹角的正弦值．2．(2019·全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝ BF ＝2，∠FBC ＝60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2． (1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．3．(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．4．(2019·全国Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求平面AMA1与平面MA1N夹角的正弦值．5．(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝66DO．(1)证明：P A⊥平面PBC；(2)求二面角B－PC－E的余弦值．6．(2021·全国新Ⅱ)在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝5，QC＝3．(1)证明：平面QAD ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －QD －A 的平面角的余弦值．7．(2021·全国乙)如图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，M 为BC 的 中点，且PB ⊥AM ． (1)求BC ；(2)求二面角A －PM －B 的正弦值．8．(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直，M 是CD ︵上异 于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．9．(2021·全国新Ⅰ)如图，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点． (1)证明：OA ⊥CD ；(2)若△OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE ＝2EA ，且二面角E －BC －D 的大小为45°，求三棱锥A －BCD 的体积．DABCQDABCPM10．(2021·全国甲)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1． (1)证明：BF ⊥DE ；(2)当B 1D 为何值时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小？11．(2021·北京)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为A 1D 1中点，直线B 1C 1交平面CDE 于点F ．(1)证明：点F 为B 1C 1的中点；(2)若点M 为棱A 1B 1上一点，且二面角M －CF －E 的余弦值为53，求A 1M A 1B 1的值．12．如图所示的几何体由平面PECF 截棱长为2的正方体得到，其中P ，C 为原正方体的顶点，E ，F 为原 正方体侧棱长的中点，正方形ABCD 为原正方体的底面，G 为棱BC 上的动点． (1)求证：平面APC ⊥平面PECF ；(2)设BG →＝λBC →(0≤λ≤1)，当λ为何值时，平面EFG 与平面ABCD 所成的角为π3？ABCDOEBACA 1B 1C 1D FEBAD CA 1B 1C 1D 1E FM13．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N ，Q 分别是CC 1，BC ，AC的中点，点P 在直线A 1B 1上运动，且A 1P →＝λA 1B 1→(λ∈[0，1])． (1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥平面PNQ ；(2)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 的夹角为60°？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．14．已知在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝4，E 为PC的中点，PD ＝PC ，BC ＝22． (1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若PB 与平面ABCD 所成角为45°，点P 在平面ABCD 上的射影为O ，问：BC 上是否存在一点F ，使平面POF 与平面P AB 所成的角为60°？若存在，试求点F 的位置；若不存在，请说明理由．15．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF ． (1)求证：EF ⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．16．如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)设在线段AB 上存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6，求此时AM 的长及点E 到平面D 1MC的距离．17．(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M －AB －D 的余弦值．18．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ，四边形DCEF 是正方形，N ，G 分别是线段AB ，CE 的中点． (1)求证：NG ∥平面ADF ；(2)设二面角A －CD －F 的大小为θ⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，当θ为何值时，二面角A －BC －E 的余弦值为1313？19．已知三棱锥P －ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P －ABC 中： (1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱P A 上运动，当直线BM 与平面P AC 所成的角最大时，求二面角P －BC －M 的余弦值．20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A＝PD＝2，P A⊥PD，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点．(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为63若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．。
高中立体几何中二面角的求法
高中立体几何中二面角的求法！
大致提供几种思路：
（1）定义法（基本）：分别向交线作垂线，求两线的夹角；
（2）垂面法（少用）：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角；
（3）三垂线法（常用）：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解；
（4）向量法：（万能）分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！
（5）*摄影面积法（常用）：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。
高考数学二面角10种求法及锐钝角的判断
二面角10种求法及判断锐钝角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
1.概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =，并且3AD =。
根据余弦定理知：2222223()(3)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠===-⨯⨯⨯ 即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =，3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
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二面角的基本求法例题
一、平面与平面的垂直关系
1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
例 1．在空间四边形ABCD 中， AB=CB ，AD=CD ，E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。
求证：平面 BEF ^ 平面 BDG 。
A A
F
E
E
G D
B F
D
B C
C
例 2． AB ^ 平面 BCD，BC = CD ，? BCD 90°，E、F分别是AC、AD的中点。
求证：平面 BEF ^ 平面 ABC 。
D1 C1
A1 B1
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线
垂直于另一个平面。
中，求和平面所成的角。
例 3．在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1
B C D A B A B CD .
D C
A B
二、二面角的基本求法D1 C1 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。
A1 B1
例4．在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中，
求（ 1）二面角A- B1C - A1的大小；
（ 2）平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。
D C
A B
P
练习：过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，求
二面角 B - PC - D 的大小。
A
D
2．三垂线法
B C
例 5 ．平面ABCD ^平面ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且
D C
AF= 1
AD= a，G 是 EF 的中点，
2
（ 1）求证：平面AGC ^平面BGC；
（ 2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值；A B
1
G E
（ 3）求二面角 B -AC - G 的大小。
例 6．点 P 在平面 ABC 外，VABC 是等腰直角三角形，? ABC90°，VPAB是正三角形，PA ^ BC。
P （ 1）求证：平面PA B ^平面ABC；
（ 2）求二面角 P -AC - B 的大小。
A
B C 练习：正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 1，P 是 AD 的中点，求二面角 A - BD1 - P 的大小。
C1
B1
D1A1
C B
S
D P A
3．垂面法
例7．SA ^平面ABC，AB ^ BC，SA = AB = BC，
（1）求证： SB ^ BC ；
（2）求二面角 C - SA- B 的大小；
C （3）求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。
A
B
4．无棱二面角的处理方法
（1）找棱
P
例8．过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，
求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。
A
D
s射影 B C
（2）射影面积法（cosq = ）
S
例9．正方体 ABCD— A1 B1C1 D1的棱长为 1， P 是棱AA1的中
点，求平面 PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。
2。