第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析

傅立叶分析：用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统 的频域分析。
频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为： (1) 频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来； (2) 利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多 实际问题，并可获得清晰的物理概念；
(3) 连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础。 (4) 简化了求解微分方程的过程
其中
直流分量： A0
基波：
A1 cos(0t 1)
二次谐波： A2 cos(20t 2 )
依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。
周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基
波分量以及各次谐波分量之和。。
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
n1
式中各正、余弦函数的系数 an , bn ，称为傅立叶系数。
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
根据正交函数展开理论，容易得到傅立叶系数公式如下
周期信号
周期信号的特点：
（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间
范围为 (, )
（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 f0 (t)，则周期信号 f (t)
可以写成
f (t) f0 (t nT ) n
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
aT
bT
T
f (t)dt f (t)dt f (t)dt
周期信号
f (t) ，周期为 T
，角频率 0
2f 0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jn0t
n
T
其中
Fn
1 T
2 T
f (t)e-jn0t dt,
2
式中 Fn 称为傅立叶系数，是复数。
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
a0
1 T
t0 T
f
t0
(t)dt
an
2 T
t0 T
f
t0
(t) cos n0tdt
bn
2 T
t0 T
f
t0
(t) sin n0tdt
n 1,2, n 1,2,
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
(0, T) 或 ( T , T )
22
信号与系统一、周期信号的傅立叶级数
三角形式的傅立叶级数
信号与系统
§ 3.1 引 言
信号与系统
变换域分析
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
号 f (t) ，或者说，信号 f (t) 用完备的正交函数集来展
开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区 别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。
信号与系统
傅立叶分析
连续时间LTI系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号； 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积。
傅立叶分析: 以正弦函数或复指数函数作为基本信号; 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复
指数函数信号响应的加权和或积分。
信号与系统
傅立叶分析
频谱分析：把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量 的加权和，简称信号的谱分析。
n0tdt
T
2
T
t0 T
sin m 0t
sin n
பைடு நூலகம்
0tdt
0 T
t0
2
mn mn0 mn0
t0 T
sin m 0t cosn 0tdt 0
t0
mn
mn0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
指数函数集
{e jn0 t}(n 0, 1, 2, }
在区间
(t0 ,
t0
T)
内也是一完备正交函数集。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立 叶级数
f t
1
0 T/2 T
t
1
解：直接代入公式有
a0
1 T
T 0
f (t)dt
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
直接代入公式有
T
T
an
2 T
2 T
f
(t) cos n0tdt
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
t0T
t0
e jn0t e jm0t dt
t0 T
e j(nm)0t dt
t0
0 T
mn m=n
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
1. 三角形式的傅立叶级数
周期信号
f (t)
，周期为
T
，角频率 0
2f 0
2
T
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数：
2 T
0
(1) cos n0tdt
T
2 T
2
(1) cos n0tdt
0
2
2
0
T
2 T
1
n0
( sin n0t)
T
2 T
1
n0
2
(sin n0t)
0
0
2
T
T
bn
2 T
2 T
2
f
(t) sin n0tdt
2 T
1
n0
cos n0t
0 T
2
2 T
1
n0
2
( cos n0t)
0
2
n
(1
cos
n
)
0 4
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
还可以写成下面形式
f (t) A0 An cosn0t n
n1
两种形式之间系数有如下关系:
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
n 1, 2, L 或
a0 A0
an An cos n bn An sin n
n 1, 2,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数