双曲线的图像与性质共21页文档
双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
双曲线的几何性质课件
双曲线的
标准方程
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
a和b是双 曲线的半 轴长， a>b
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
双曲线关于x轴对称
双曲线关于原点对称
添加标题
添加标题
双曲线关于y轴对称
添加标题
添加标题
双曲线关于直线y=x对称
顶点：双曲线有两个顶点，分 别位于x轴和y轴上
中心：双曲线的中心位于顶点 连线的中点
顶点坐标：顶点的坐标可以通 过双曲线的方程求解得到
中心坐标：中心的坐标可以通 过顶点的坐标和双曲线的方程 求解得到
双曲线的离心率与焦点距离成反比 离心率越大，焦点距离越短 离心率越小，焦点距离越长 双曲线的离心率决定了焦点距离的大小
离心率：双曲线 的离心率是双曲 线的性质之一， 决定了双曲线的 形状和位置
开口大小：双曲 线的开口大小是 指双曲线的两个 焦点之间的距离， 与离心率有关
关系：双曲线的 离心率越大，开 口越小；离心率 越小，开口越大
双曲线的渐近 线与直线的交 点称为渐近线 与直线的交点
渐近线与直线 的交点性质是 双曲线的几何
性质之一
渐近线与直线 的交点性质决 定了双曲线的
形状和位置
渐近线与直线 的交点性质是 双曲线的重要
特征之一
确定双曲线的渐近线方程 计算渐近线与直线的交点坐标 判断交点是否在双曲线上 应用交点坐标求解双曲线的参数
高中数学 双曲线的图像与性质
F2
x 2 y 2 a 2 b 2 上.
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗?
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 B1（0，-a），B2 （0，a）A1 o
B1
A2
X
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 a 5、渐近线方程： y x b 6、离心率： e c a
F2
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个园上. Y 证明:(1)设已知双曲线的方程是:
双曲线的图像与 性质(2)
双曲线图像(2)
Y F2 A2
y2 x2 2 1 2 a b
标 准 方 程
范 围
对 称 性
顶
点
焦 点
对 称 轴 离 心 率 渐 进 线
B1
O A1
B2
X
F1
双曲线的图像与性质(2)
双曲线标准方程：
y2 x2 2 1 a2 b
F2 B2
Y
双曲线性质： 1、范围： y≥a或y≤-a
x y x2 y2 0 2 1 渐近线为 2 a b a b
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y x y2 x2 0 2 1 渐近线为: b 2 a b a x y 显然,它可化为 a b 0
X
A2
F’1
A1
o
B渐近线 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∴ c=c' ∵ c a 2 b 2 c a 2 b 2 所以四个焦点F1,F2,F1,F2在同一个圆
6 双曲线图像
F2 B2
A2
X
o
B1
y x 0 5、渐近线方程： a b
F2
想一想：怎样较为准确的画出
x2 16 y2
双曲线的渐近线
=1 的图象 ？ 9 3x y= 4
4
猜想：
3x y= - 4
Y -4 0
3
X
-3
x y 双曲线 2 1的渐近线是 2 a b ±bx y= a
Y B2
N
2
2
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
两种双曲线性质对比
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴
x2 y2 1 a 2 b2 x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
y2 x2 1 2 2 a b y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1（-a，0),A2（a，0）
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1 (-c , 0 ), F2 ( c , 0 ) 实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b x y=± a
F1 (0 , -c ), F2 ( 0 , c ) 实轴 B1B2 虚轴 A1A2 a x y=± b
渐近线
双曲线渐近线应用
问题1：双曲线的渐近线能否由其方程直接 变形得到？
将”1”变为“0”
问题2：方程具有什么特点的两条双 曲线的渐近线相同？
当λ>0时，表示焦点在x轴上的双曲线； 当λ<0时，表示焦点在y轴上的双曲线； 当λ=0时，表示渐近线方程
3.根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程： x y （）与双曲线 1 1有共同渐进线，且 9 16
2 2
过点（ 3， 3）； 2
双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数xx y 1+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数xbax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与xb的值比较，当x 很大很大的时候，xb的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x bax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数xx y 3233+=是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 33=和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,由渐近线与实轴的夹角是30º，则有ab=tan30º,得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,xx 3233+）满足3421=-PF PF 即可；34)323232()323232()32323()2()32323()2(222221=++--+=++++--++-=-x x x x x x x x x x PF PF所以，函数xx y 3233+=表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）2．2五种表现形式表现 1：函数xbax y += （a >0,b >0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡ab上函数分别是单调递增的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=ab处有极小值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现 2：函数xbax y += （a <0,b <0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡a b 上函数分别是单调递减的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -处有极小值，在x=ab处有极大值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现1图表现 3：函数xbax y += （a >0,b <0）的双曲线大概图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2xba y -='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．表现 4：函数xbax y += （a <0,b >0）的双曲线图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x ba y -='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．表现 5：函数 xby = (x ≠0) 是等轴双曲线，以轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数2、3应用举例与重点推广这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．例2．已知x >y >0 , xy=1 ,求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值解：∵x >y >0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，∴y x y x -+22=222)(2)(2≥-+-=-+-yx y x y x xy y x ； 解混合式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=y x y x xy y x 210得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x所以当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．例3．求y=2101122+---x x x (x ≥0)解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而342-+-=tt y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞- 例11．已知2)(-⋅-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围解：()2f x x x a =--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2222当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2aa -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x-＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-∈=+∈ 则122()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-122()1h x x=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或cbx ax nmx y +++=2（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．重点推广：到此我们来看看函数bax dcx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？它可以通过变形化为)()(ab x a a bc ad a b x c y +-++=，继续化为2))((abc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2a bc ad xy -=的图象通过平移而来的，从而bax dcx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2a bcad ->0时都是单调递减，2a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x bax y += （a >0,b >0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．例4．已知正项数列{}n a 满足a 1=a (0<a<1)且an+1≤nna a +1, 求证 an aa n )1(1-+≤分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 ak aa k )1(1-+≤结论成立则n=k+1时候， a k+1≤k k a a +1,而ak aa k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=x x +1=1-x+11在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）⊂),1(+∞-，所以f(x)=xx+1在0，1）也是递增函数，从而，a k+1≤k k a a +1ak a ak a ak a)11(1)1(11)1(1-++=-++-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．综上所述，an aa n )1(1-+≤对任意n 是正的自然数都成立．这样，b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．。
双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数xx y 1+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数xbax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与xb的值比较，当x 很大很大的时候，xb的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x bax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数xx y 3233+=是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 33=和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32由渐近线与实轴的夹角是30º，则有ab=tan30º得b=2 , c=22b a +=4, ∴F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,xx 3233+）满足3421=-PF PF 即可；34)323232()323232()32323()2()32323()2(222221=++--+=++++--++-=-x x x x x x x x x x PF PF所以，函数xx y 3233+=表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）2．2五种表现形式表现 1：函数xbax y += （a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡ab上函数分别是单调递增的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=ab处有极小值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现 2：函数xbax y += （a<0,b<0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡a b 上函数分别是单调递减的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -处有极小值，在x=ab处有极大值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现1图表现 3：函数xbax y += （a>0,b<0）的双曲线大概图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2xba y -='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．表现 4：函数xbax y += （a<0,b>0）的双曲线图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x ba y -='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．表现 5：函数 xby = (x ≠0) 轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数2、3应用举例与重点推广这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．例2．已知x>y>0 , xy=1 ,求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值解：∵x>y>0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，∴y x y x -+22=222)(2)(2≥-+-=-+-yx y x y x xy y x ； 解混合式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=y x y x xy y x 210得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x所以当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．例3．求y=2101122+---x x x (x ≥0)解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而342-+-=tt y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞- 例11．已知2)(-⋅-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围解：()2f x x x a =--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2222当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2aa -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x-＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-∈=+∈ 则122()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-122()1h x x=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或cbx ax nmx y +++=2（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．重点推广：到此我们来看看函数bax dcx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？它可以通过变形化为)()(ab x a a bc ad a b x c y +-++=，继续化为2))((abc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2a bc ad xy -=的图象通过平移而来的，从而bax dcx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2a bcad ->0时都是单调递减，2a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x bax y += （a>0,b>0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．例4．已知正项数列{}n a 满足a 1=a (0<a<1)且an+1≤nna a +1, 求证 an aa n )1(1-+≤分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 ak aa k )1(1-+≤结论成立则n=k+1时候， a k+1≤k k a a +1,而ak aa k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=x x +1=1-x+11在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）⊂),1(+∞-，所以f(x)=xx+1在0，1）也是递增函数，从而，a k+1≤k k a a +1ak a ak a ak a)11(1)1(11)1(1-++=-++-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．综上所述，an aa n )1(1-+≤对任意n 是正的自然数都成立．这样，b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．。
双曲线的图像与性质
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质 几何性质： 1、范围： y≥a或y≤-a
y2 x2 标准方程： 2 2 1 a b
Y F 2 A1 B2 A2
o B 1
F2
X
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点： B1（0，-a），B2（0，a） 4、轴：实轴 B1B2=2a ; 虚轴 A1A2=2b. a 5、渐近线方程： y x b c 6、离心率： e a
双曲线 的简单几何性质
一、复习回顾：
1.双曲线的标准方程:
形式一： x 2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b F1 -c，0）、 F（ （焦点在x轴上，（ 2 c，0））
形式二： y 2
x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
F1 0，-c）、（ （焦点在y轴上，（ F2 0，c））
上与M有相同横坐标的点，
b 则Y= x a
b 2 b a 2 b 2 x a x 1 ( ) x Y ∵y = a a x a
∴
MN Y y
2 2
b a
(x x 2 a 2 )
2 2
ab b ( x x a )( x x a ) 2 2 2 2 a x x a x x a
②从图 8 —2 16 可以看出， 2 双曲线 x y 1
a
2
b
2
的各支向外延伸时，与直 b 线y=± x 逐渐接近.
a
③“渐近”的证明：
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明 .这 b 2 2 一部分的方程可写为y = x a ( x >a). a
《双曲线》相关概念和性质
《双曲线》相关概念和性质
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质.
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支.当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴.
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点.双曲线有两个焦点.焦点的横（纵）坐标满足
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线.
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率.
离心率
双曲线有两个焦点，两条准线.（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线.但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的.）[3]
顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴.实轴长的一半称为实半轴.
虚轴
在标准方程中令该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴渐近线
双曲线有两条渐近线.渐近线和双曲线不相交.
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：则则双曲线的渐近线为顶点连线斜率
双曲线上一点与两顶点连线的斜率之积为。