点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案：

一.判断题（每小题2分）

1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ）

2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ）

3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ）

4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ）

5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（V ）

6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ）

7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ）

8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ）

9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ）

10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ）

11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ）

12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ）

二.填空题：（每空格3分）

1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中

乙={n,n+1,n+2, -},

贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s

包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...

包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3

设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_

3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ .

4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______

答案：U (A {x})

5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ；

答案：X ；X

6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ;

答案：X ；X

7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部

为____________ ；_______

答案：{2}

1、已知X {a,b,c,d,e},卜列集族中，(

①T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c, e}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b,d},{ a,b,c,e}} ③T {X, ,{a},{a,b}}

④T

{X, ,{a},{b},{ c},{ d},{e}}

2、已知X {a,b, c,d}，拓扑 T {X, ,{a}}

答案：③

{b,c,d}

答案：④

3、已知 X {a,b, c,d}

,拓扑T

{X, ,{a}},则{a}=(

{a,b}

④{b,c,d}

答案：②

三、单项选择题(每题2分)

)是 X 上的拓扑.

②X

③{b} ,则{b}=(

④

4、 设X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a},{b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集的

个数为（ ） ①

1

②2

③3

④4 答案：②

5、

设X {a,b}，拓扑T {X, ,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）

答案：③

③R-Z ④

10、在实数空间中，区间［0,1）的边界是（

① d(A B) d(A) d(B)

6、 在实数空间中，有理数集 Q 的内部Q °是（

R -Q 答案：①

7、 在实数空间中，有理数集 Q 的边界 （Q ）是（ R -Q

答案：④

在实数空间中，整数集 Z 的内部Z 是（

③R-Z

答案：①

9、 在实数空间中，整数集 Z 的边界（Z ）是

答案：②

②[0,1]

③{0,1}

(0,1)

答案：③

11、设X 是一个拓扑空间, A B 是X 的子集，则下列关系中错误的是（

答案：③

12、已知X是- 个离散拓扑空间，

（）

① d(A)② d(A)

③ d(A) A④ d(A)

A是X的子集，则下列结论中正确的是

X A

X 答案：①

③ d(A B) d(A) d(B) ④A

13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是

( )

①若A ,则d(A) ②若A {x。},则d(A) X A

③若A={x i,x2},则d(A) X ④若A X ,则d(A) X 答案：④

14、设X {a,b,c,d},令 B {{ a,b,c},{ c},{ d}},则由 B 产生的X 上的拓扑是( )

①{X , ,{ c},{ d},{ c, d},{ a, b, c}}

②{X, ,{ c},{ d},{ c, d}}

③{X , ,{ c},{ a, b, c}}

④{X , ,{ d},{ b, c},{ b, d},{ b, c, d}}答案：①

15、离散空间的任一子集为()

①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③

16、平庸空间的任一非空真子集为()

①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④

17、实数空间R中的任一单点集是()

①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②

18、实数空间R的子集A ={1,丄，1 ,丄，……},则A =()

2 3 4

①© ②R ③A U {0} ④A 答案：③

19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是( )

①整数集②a,b ③有理数集④无理数集答案：①

20、在实数空间R中，下列集合是开集的是()

①整数集Z ②有理数集

③无理数集④整数集Z的补集Z 答案：④