2014年全国高考理科真题及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，学科网只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝
正确答案：D
答案详解：由于N={x| 1 ≤ x ≤2},，因此M ∩N=｛1，2｝。

所以选D 。

2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i
正解答案：A
答案详解：由题意可知：22z i =-+，所以12z z =-5，所以选A 。

3.设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( ) A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
正解答案：A
4.钝角三角形ABC 的面积是12
，AB=1，，则AC=( )
A. 5
C. 2
D. 1
正解答案：B
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良学科网的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
正解答案：A
答案详解：设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则
()0.6
(|)0.8
()0.75P A B P B A P A ⋂=
==，所以选 A.
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零
件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13
正解答案：C
答案详解：可由三视图及几何的体积公式得出
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
正解答案：D
答案详解：由题意可知：当k=1时，M=2,S=5; 当k=2时，M=2,S=7; 当k=3时，输出S=7。

所以选D.
8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
正解答案：D
答案详解：由于y=a-
,所以切线的斜率是a —1=2,解出a=3,所以选D.
9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）
A. 10
B. 8
C. 3
D. 2
正解答案：B
答案详解:画出不等式表示平面的区域，可以平移直线y=2x —z,可得到最大值为8.
10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
C. 6332
D. 94
正解答案：D
11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A. 110
B. 25正解答案：C
12.设函数()x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）
A. ()(),66,-∞-⋃∞
B. ()(),44,-∞-⋃∞
C. ()(),22,-∞-⋃∞
D.()(),14,-∞-⋃∞
正解答案：C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，学科网每个试题考生必须做答.第22题
~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题
13.()10
x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)
正解答案：1/2
14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.
正解答案：1
答案详解：用两角和的正余弦公式和二倍角公式把()f x 展开，可得()sin f x x =，所以最大值为1。

15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.
正解答案：（-1，3） 答案详解：因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x-1) >0 <=>f(|x-1|)>f(2),又因为f(x)在 [0，+∞ ）上单调递减，所以|x-1|＜2，可得-1＜x ＜3
16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.
正解答案：[-1,1]
答案详解：画出图形，可知点M 在直线y=1上，ON=1，可得[-1,1]
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：1
231112
n
a a a ++<…+.
答案详解：
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，
E-ACD 的体积.
答案详解：
19. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，ˆˆa
y bt =- 答案详解：
20. （本小题满分12分）
设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率；
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .
答案详解：
21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<
<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，学科网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
答案详解：
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
于
如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交
点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB
答案详解：
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
答案详解：
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a
++->
（Ⅰ）证明：()f x ≥2；
（Ⅱ）若()35f <，求a 的学科网取值范围.。