人教版必修二高中数学笔记讲义

第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽

1.下列说法错误的是（

）

A.多面体至少有四个面

B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱

D.三棱柱的侧面为三角形

分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误. 答案：D

2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm.

分析：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：12

3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥

第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征

¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.

¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得

梯形腰长为R +r = 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图

¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图

所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.

¤知识要点：

1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 2

2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来

.

¤例题精讲：

【例1

】画出下列各几何体的三视图：

解：这两个几何体的三视图如下图所示.

【例2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.

【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm ），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.

解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.

从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示. 第

第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图

¤学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图. 了解空间

图形的不同表示形式.

¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒.

（2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.

（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y

轴的线段，长度为原来的一半. ¤例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示. 【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm 的正方体的直观图. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴，与BC 垂直的直线为y 轴，画出对应的x '轴和y '轴，使45x O y '''∠=.

第二步，在x '轴上取''O C BC =，过'C 作'y 轴的平行线，取1''2

C A

CA

=

. 第三步，连接

'

'A

O ，即得到该直角三角形的直观图.

（2）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使

45,BAD ∠=4,2A B c m A D c m

==. 第二步，过A 作z '轴，使90BAz '∠=. 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线，在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.

第三步，连接,,,A B B C C D D A ''''''''，所得图形就是正方体的直观图.

点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.

第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和

c 直截面周长

S +

解：设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为2

24

S ππ=⋅=上，圆台的上底面面积为2

525S ππ=⋅=下， 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上.又圆台的侧面积

(25)7S l l ππ=+=侧， 于是725l ππ=，即29

7

l =

为所求. 【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积. 解：由三视图知正三棱柱的高为2mm .

由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为. 设底面边长为a = ∴ 4a =. ∴正三棱柱的表面积为21

23422424)2

S S S mm =+=⨯⨯+⨯

⨯⨯=+侧底. 【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m 2）

解，

其侧面积为15

2

S π=⨯下部分圆柱体的侧面积为 15 1.8S π=⨯⨯.

所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为

115

5 1.850.052

S S S ππ=+=⨯⨯

⨯≈（m 2）.

点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算. 第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算

h 高

S h 底高

'S S ++图2-3-12

12m 18m

5m