电磁场与电磁波实验有限差分法
有限差分法在电磁场理论教学中的应用研究
分布 ，而 电磁场与 电磁波又都具 有不可 见和 不可触摸
的特性 ，只能进行抽象 的想象或通过仪器进行 数据测
量 ；三是 电磁波是动态 的 ，电磁波是 电磁场相 互激 发 的结果 ，它在空间 的传播每时每刻 它的位置和状 态都 在发生变化。
传 统 的 电磁 场 与 电磁 波 课 堂 理 论 教 学 方式 ，一是
１静 态 场 模 拟
在 均 匀 介质 内 ，静 电势 （满 足泊 松 方程 ｐ
Ｖ ＝
如 各种复 杂的边 界条件 等 ，这种枯燥 的教学方法无法 引起学生 的学 习兴趣 ，找到一种方便 快捷的方法计算
和 模 拟 电磁 场 ， 并 以形 象 化 的 图形 演 示 电磁 场 是 一 种
行 之有效 的教学手段…。二是偏重理论教学 ，而忽视
为求解 由偏微 分方程定解 问题所构 造的数学模型 ，有
限差分法是将 定解区域 （ 区 ）离散化为 网格离散 节 场 点的集合 。并 以各离散点上 函数的差商来近似该 点的 偏导数 ，使待 求的偏 微分 方程定解 问题转化 为一组 相 应 的差 分方程 。根据 差分 方程组解 出各离散点 处的待
解不仅耗 时费力 ，容易出差错 ，并且求解 的电磁场和
程 中，学生就会思考 ：为什 么可以这么求解 ；如何 求
解 ；解决一 些什 么问题？ 带着 这些 问题学 习，学 习效
果 明 显 提 高。
电磁 波问题均 为设计 的理想化模型 ，只对一些特殊对
称 的边界 才能求解 ，而实际工程中的问题是变化 的，
电磁场 与 电磁 波理论作 为电子信 息类专业 的一门
的电位 分布问题 ，利用时域有 限差分法数值计 算波导
中的 电磁 波传 播问题 ，实现 电磁场和 电磁波可视化教 学简 化 了繁 琐的数学推 导 ，能够形象而直观地输 出可
电磁场与电磁波教案4(hao)
边值问题的求解是偏微分方程的求解，同 时要考虑解得存在性、唯一性和稳定性。 已知整个边界上的电位函数（第一类边界 条件），则场域的解答是唯一的。 已知整个边界上的电位法向导数（第二类 边界条件），则场域的解答是唯一的。 已知一部分边界上的电位函数和另一部分 边界上的电位法向导数（第三类边界条 件），则场域的解答是唯一的。
使用镜像法时必须注意：
边界必须是无限大，或者是具有球或圆柱 对称性。 为了保证待求场区域内原方程成立，镜像 电荷不能出现在待求场区域内。 镜像电荷的确定必须保证原有的边界条件 全部满足。
1 q q '' q q '' ( z 0) 2 ( x, y, z ) ( ) 4 2 R 4 2 x2 y 2 ( z h)2
1
q
z q R1 O h R1′ P z q q h
1
h
2
O R2 P
q′
在z=0面上应用电位边界条件
1 2 q ' q 1 2 q '' q ' 1 2 q 1 2
z
( x, y, z)
q 4 0
[
1 x y ( zபைடு நூலகம் 1)
2 2 2
1 x y ( z 1)
2 2 2
P
]
O x
106 1 1 (0,0, z) [ ] 104 4 0 z 1 z 1
z1 1.67 z2 0.45
4.3.2 导体球面的镜像
1 z 0 2 z 0 1 2 2 1 z z z 0
q q ' q q '' 2 1 q q ' q q '' z 0
电磁场数值计算
电磁场数值计算引言：电磁场是电荷和电流产生的物理现象，它在现代科技和工程中起着至关重要的作用。
对电磁场的数值计算是研究和应用电磁学的基础。
本文将介绍电磁场数值计算的原理和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、电磁场的数值计算方法：电磁场的数值计算可以通过求解麦克斯韦方程组来实现，这是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
通过数值方法求解这些方程，可以得到电磁场在空间中的分布情况。
1. 有限差分法：有限差分法是一种常用的数值计算方法，通过将空间离散化为有限个点，时间离散化为有限个步骤，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以将空间划分为网格，通过有限差分法计算电场和磁场在网格节点上的数值。
2. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它通过将计算域划分为许多小的有限元，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
在电磁场计算中，可以将计算域划分为三角形或四边形网格，通过有限元法计算电场和磁场在每个有限元上的数值。
3. 边界元法：边界元法是一种适用于边界值问题的数值计算方法，它将偏微分方程转化为积分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以通过边界元法计算电场和磁场在边界上的数值，然后利用边界条件求解整个计算域内的电磁场分布。
二、电磁场数值计算的应用：电磁场数值计算在科学研究和工程应用中具有广泛的应用价值，以下是一些常见的应用领域：1. 电磁场仿真：电磁场数值计算可以用于电磁场仿真，模拟和预测电磁场在不同结构和材料中的分布情况。
例如，可以通过数值计算预测电磁波在天线中的传播情况，从而优化天线设计和布局。
2. 电磁场辐射：电磁场数值计算可以用于估计电磁场辐射对人体和环境的影响。
例如，可以通过数值计算评估电磁辐射对人体健康的潜在风险，从而制定相应的防护措施。
3. 电磁场感应：电磁场数值计算可以用于分析电磁感应现象，研究电磁场对电路和设备的影响。
电磁学的数值计算方法
电磁学的数值计算方法电磁学是研究电场和磁场相互作用的学科，它在日常生活和科学研究中起着重要的作用。
随着计算机技术的快速发展，数值计算方法在电磁学中的应用也越来越广泛。
本文将介绍几种常用的电磁学数值计算方法，并探讨其原理和应用。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种基于离散化空间和时间的数值计算方法，常用于求解求解具有边值条件的偏微分方程。
在电磁学中，有限差分法可以用来求解电磁场的静电场、静磁场以及时变电磁场等问题。
该方法通过将空间和时间进行网格离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并用迭代方法求解得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于各种物理问题求解的数值计算方法，电磁学也不例外。
该方法通过将求解区域划分为有限的小元素，并在局部内部逼近真实场量的变化。
在电磁学中，有限元法可以用来求解电场、磁场以及电磁波传播等问题。
通过选择合适的元素类型和插值函数，以及建立元素之间的边界条件，可以得到电磁场的数值解。
三、时域积分法（Time Domain Integral Method）时域积分法是一种基于格林函数的数值计算方法，通过积分形式表示电磁场的边界条件和过渡条件，进而求解电磁场。
时域积分法广泛应用于求解电磁波的辐射和散射问题，如天线辐射和散射、电磁波在介质中的传播等。
该方法通过离散化电磁场的源和观测点，并利用格林函数的性质进行数值积分，得到电磁场的数值解。
四、有限时域差分法（Finite-Difference Time-Domain Method）有限时域差分法是一种基于电磁场的离散化网格和时间的有限差分法，是求解各种电磁问题最常用的数值计算方法之一。
有限时域差分法通过离散化时空域，将麦克斯韦方程组转化为差分方程组，并通过时间步进的方式求解得到电磁场的数值解。
该方法适用于求解各种电磁波传播、辐射和散射等问题。
电磁场数值分析,有限差分法
可得：
(K ) x (x x 0 )K 0 x x 0 )n ) (( K 0 K ! 1 2 2 1 3 3 1 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x 1 2 2 1 3 3 3 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x
有限差分法的基本步骤 （1）剖分场区，确定离散点。将所研究的电位分布 按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立电位分布问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。可以采用各种迭代法，如简 单迭代法，塞德尔迭代法，超松弛迭代法等等。
100 V 1 4 OV 7 2 5 8 3 6 9
在xoy 平面内把所求解区域 划分为若干个相同的正方形格 子，边长均为h，假设0点点位 为φ0 ，其余各点为φ1，φ2，φ3，
φ4，φ5。
将这几个点的点位用泰勒级数展开：
f 1 2f 1 3f f f0 (x x 0 ) 2 (x x 0 )2 3 (x x 0 )3 ... x 2! x 0 3! x 0 0
四，计算实例
1V
如图，一正方形区域，四个边的电位分 别是0V,0V,1V,100V，求解该区域内部 的电位分布。
0V
解： 将该正方形区域分割成4X4的小正 方形区域，则一共有9个内点。按照前 面得出的结论，任意一点的电位等于他 周围四个点电位的平均值。可以得到方 程组：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 二源自差分方程的数值解法简单迭代法
《电磁场与电磁波》仿真实验
年《电磁场与电磁波》仿真实验————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《电磁场与电磁波》仿真实验2016年11月《电磁场与电磁波》仿真实验介绍《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。
受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。
本课程仿真实验包含五个内容：一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门二、单电荷的场分布三、点电荷电场线的图像四、线电荷产生的电位五、有限差分法处理电磁场问题目录一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 (4)二、单电荷的场分布 (10)三、点电荷电场线的图像 (12)四、线电荷产生的电位 (14)五、有限差分法处理电磁场问题 (17)实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门一、实验目的1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤；2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。
二、实验原理（一）MATLAB运算1.算术运算(1)．基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。
(2)．点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。
点运算符有.*、./、.\和.^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。
项目训练二 求二维金属槽内的点位分布
将这几点的电位用泰勒级数展开，化简，近似可得：
1
0
1 ( ) 2 3 4 4 1
上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。
图 3-1 差分网格
差分方程的数值解法: 平面内有多少个节点，就能得到多少个差分方程，当这些节点数目较大时，使用迭代 法求解差分方程组比较方便。 a. 简单迭代法： 用迭代法解二维电位分布时，将包含边界在内的节点均以下标（i，j）表示，i，j 分 别表示沿 x，y 方向的标点。次序是 x 方向从左到右，y 方向从上到下，我们用上标 n 表示 某点电位的第 n 次的迭代值。下式得出点（i，j）的第 n+1 次电位的计算公式：
n n 1 n 1 1 n ( ) i , j 1 i 1, j i , j 1 4 i 1, j
c. 超松弛迭代法：
n 1 i, j
此式也称为异步迭代法，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右。
为了加快收敛速度，常采用超松弛迭代法。计算时，将某点的新老电位值之差乘以一
图 4-3 三维电位分布图 等位线分布图
4.6 中心点电位的数值解和精确解的比较
4.6.1 中心点 p ( , ) 的数值解：
因为电位是从上至下逐渐呈递减状，中间点的所在等位线的 a b 为 50V。
, 2 2
a b 2 2 a b 2 2
4.6.2 中心点 p ( , ) 的精确解：
在不同的 m 取值下， a b 的取值会不同。
, 2 2
m=1.2， a b =49.5133V
, 2 2 , 2 2
m=1.4， a b =49.5149V M=1.6， a b =49.5161V
电磁场与电磁波实验报告
工程电磁场实验报告实验1 :熟悉Matlab、矢量运算要求：学习矢量的定义方法（例A=[1,2,3]），加减运算，以及点积积cross（A,B）、求模运算norm（A）。
1）通过调用函数，完成下面计算【p31，习题1.1】。
给定三个矢量A、B和C如下：求（1）e；（2）|A-B| ；（3）AB ；（4）AB（5）A在B上的投影（6）A C ；(7)A (B C)和C (A B) ；( 8)(A B) C 和A (B C)答案：(1)e A =[0.2673,0.5345,—0.8018]； (2)| A —B|= 7.2801 ； (3)=；(4)% =2.3646(135.4815) ；( 5)-2.6679 ；(6)A C =[-4,-13,-10]；(7) A (B C) =C (A B) =-42(8) (A B) C =[2, -40,5] ；A (B C)珂55,-44,-11]程序代码：A=[1,2,-3]B=[0,-4,1]C=[5,0,-2](1) eA=A/norm(A) ( 2)X=norm(A-B)(4) D=acos(dot(A,B)/(norm(A)*norm(B)))(6)G=cross(A,C)(7)I=dot(A,cross(B,C))(8)M=cross(cross(A,B),C) 2、三角形的三个顶点位于A(6,-1,2), B(-2,3,-4), C(-3, 1,5)点，求(1)该三角形的面积；(2)与该三角形所在平面垂直的单位矢量。
(答案S=42.0119, n =[0.2856,0.9283,0.238])程序代码：A=[6，-1,2]B=[-2,3,-4]C=[-3, 1,5]D=acos(dot(A-B,C-A)/( norm(A-B)* norm(B-C)))A = e x 2e y _ 3e zC = 5e x- 2e zdot(A,B)、叉(3)Y=dot(A,B)(5) H=norm(A)*cos(F)K=dot(C,cross(A,B))P=cross(A,cross(B,C))E=norm(A-B)*si n(D)S=norm(B-C)*E/2n=cross(A-B,C-A)/( norm(C-A)* norm(A-B)*(sqrt(1-(dot(C-A,A-B)/( no rm(C-A- A)* norm(A-B))F2)))3、在直角坐标系中，在点P(3,4,2 )处的电场强度为4e x 2e y 3e z。
通信电子中的电磁场计算方法
通信电子中的电磁场计算方法电磁场在通信电子领域中扮演着至关重要的角色。
无论是无线电通信还是光通信，都需要计算电磁场的传输效应和衰减规律。
为了得到准确的计算结果，研究人员需要将电磁场模型转化为数学模型进行计算，这就涉及到了电磁场计算方法。
本文将介绍通信电子中常用的电磁场计算方法。
有限差分法有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是求解偏微分方程的常用数值方法。
在电磁场计算中，有限差分法主要用于求解Maxwell方程组（即电磁场方程），通过数值模拟的方式来得到电磁场分布的规律。
该方法的关键是将空间离散化为网格，电磁场在各个节点上的取值通过差分来表示。
有限差分法的优点是易于理解和实现，可以处理复杂的几何形状和不规则介质。
不过，该方法对于某些边界条件的处理比较困难，且计算过程中需要大量存储和计算空间，其计算效率并不高。
有限元法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种求解偏微分方程的数值方法。
与有限差分法不同，有限元法将连续介质离散为若干个简单的几何单元，通过组建形函数来表示电磁场在每一个单元中的分布情况。
通过将所有单元的贡献组合起来，可以得到整个电磁场的分布情况。
有限元法的优点是能够完美地处理复杂的几何形状和不规则介质，并且可以方便地处理不同类型的边界条件。
但是需要高度复杂的数值计算，且对计算机性能的要求较高。
时域积分法时域积分法（Time Domain Integral Method，TDIM）是一种计算电磁波传输的数值方法。
与有限差分法和有限元法不同，时域积分法并不对电磁场进行离散化处理，而是通过求解Maxwell方程组的积分形式来得到电磁场随时间的演变规律。
时域积分法的优点是可以考虑到时域的变化，从而更加真实地模拟电磁场传播的过程。
但是由于每一时刻都需要计算全局的积分，其计算效率和精度都较低。
频域方法频域方法是一种将电磁波转化为频域信号进行计算的方法。
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法电磁场理论是电磁学的重要组成部分，研究电磁场的分布和变化规律对于解决实际问题具有重要意义。
在计算电磁场中，有限差分法和有限元法是两种常用的数值计算方法。
本文将从理论原理、应用范围和优缺点等方面对这两种方法进行探讨。
有限差分法是一种将连续问题离散化的方法，通过将连续的电磁场分割成网格，然后在每个网格上进行离散计算。
这种方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用差分方程进行求解。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，适用于各种电磁场问题的求解。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，所以在计算精度上存在一定的限制。
与有限差分法相比，有限元法是一种更加精确的数值计算方法。
有限元法将电磁场问题的求解区域划分为有限个小单元，然后在每个小单元上建立适当的插值函数，通过求解代数方程组得到电磁场的近似解。
有限元法的优点是可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题。
然而，有限元法的计算过程相对较为复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题，计算量也较大。
在实际应用中，根据具体问题的特点和求解要求，选择合适的数值计算方法是十分重要的。
对于简单的电磁场问题，如一维导线的电流分布，可以选择有限差分法进行求解。
而对于复杂的电磁场问题，如三维空间中的电磁波传播，有限元法更适合。
此外，有限差分法和有限元法还可以结合使用，通过将两种方法的优点相结合，提高计算精度和效率。
除了理论原理和应用范围，有限差分法和有限元法的优缺点也值得关注。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，而且对于一些简单问题可以得到较为准确的结果。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，对于复杂问题的求解精度有限。
相比之下，有限元法可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题，计算精度较高。
然而，有限元法的计算过程相对复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题计算量较大。
《电磁场与电磁波》仿真实验
《电磁场与电磁波》仿真实验2016年11月《电磁场与电磁波》仿真实验介绍《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。
受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。
本课程仿真实验包含五个内容：一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门二、单电荷的场分布三、点电荷电场线的图像四、线电荷产生的电位五、有限差分法处理电磁场问题目录一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 (4)二、单电荷的场分布 (10)三、点电荷电场线的图像 (12)四、线电荷产生的电位 (1)4五、有限差分法处理电磁场问题 (17)实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门一、实验目的1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤；2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。
二、实验原理（一）MATLAB运算1.算术运算(1)．基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。
(2)．点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。
点运算符有.*、./、.\和.^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。
程序：x=linspace(0,6)y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2;plot(x,y1,x, y2,x, y3)（二）几个绘图命令1. doc命令：显示在线帮助主题调用格式：doc 函数名例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。
有限差分法(新版)
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
7
将式（3.7.3）与式（3.7.4）相加，并略去h2的更高阶项：
2
x2
i, j
i1, j
2i, j
h2
i1, j
（3.7.7）
将式（3.7.5）与式（3.7.6）相加，并略去h2的更高阶项：
2
y2
i, j
i, j1
2i, j
解，因此只能用数值计算方法；其所得结果为电 磁场在空间离散点上的数值的集合（近似解）
有限差分法的基本思想
将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解 网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程 近似代替场域内的偏微分方程来求解。
电子科技大学编写 高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
次近似值，即初始值。然后再按照：
(k1) 1 [ (k ) (k ) (k ) (k ) ]
i,j
4 i1, j
i , j1
i1, j
i , j1
（3.7.10）
(i, j 1, 2,......) (k 0,1, 2,......)
进行反复迭代。若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两 次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
i1, j
(xi
h,
yj)
i, j
h
x
i, j
h2 2!
2
x2
i, j
h3 3!
3
x3
i, j
...
（3.7.3）
i1, j
(xi
h,
yj)
i, j
h
x
i, j
h2 2
电磁场与电磁波演示验证实验1
基于有限差分法的二维边值问题的数值分析一、实验目的1.掌握简单二维边值问题的分离变量求解方法；2.通过有限差分法的实现来熟悉数值法的求解过程。
二、实验内容及步骤by具体参数为：盖板电位U=100V ，其余三面电位=0，尺寸a=10，b=10； 求解矩形槽内电位函数分布1. 在matlab 中分析基于分离变量法的解析解：长度（m ）电压（V ）解析法沿一半宽度处电压随长度的变化宽度（m ）电压（V ）解析法沿一半长度处电压随宽度的变化2. 利用简单迭代法求解，与解析法结论对比，分析求解结果的精确度。
分析过程至少包括：在网格尺寸为0.1和1两种条件下，两次迭代差值最大为10-10时的分析结论；长度（m ）电压（V ）沿一半宽度处电压随长度的变化宽度（m ）电压（V ）沿一半长度处电压随宽度的变化结论： 1.当网格尺寸为0.1时，可从上图中观察到电位函数分布基本与解析解一致；2.当网格尺寸为1时，可从上图对比中看出与解析函数有较大误差；3.尺寸取得越小，有限差分法取得的函数解越接近于解析解，可计算量会相应增大3.利用超松弛迭代法分析，选择松弛因子，分析其对收敛速度（即迭代次数）的影响，并确定最优值。
分析过程至少包括：在网格尺寸为0.1和1两种条件下，两次迭代差值最大为10-10时，松弛因子随迭代次数的变化，得到对应的最优松弛因子。
迭代次数超松弛因子4迭代次数超松弛因子根据最佳收敛因子公式：α=2/(1+sin(pi/(p-1))),可求得网格尺寸为1时αopt1=1.5279;当网格尺寸为0.1时,αopt2=1.9391结论： 1.当α取最佳收敛因子时，迭代次数最小，收敛速度最快. α越靠近最佳收敛因子，收敛速度越快.三．附录1.解析法程序： for k=1:length(n)for i=1:length(X) for j=1:length(Y)s(i,j)=z*sinh(n(k)*pi*Y(j)/a)*sin(n(k)*pi*X(i)/a)/n(k)/sinh(n(k)*pi*b/a);end endphai=phai+s;end %循环求解电位函数解析解2.简单迭代法程序：g ridsize=0.1;%%网格尺寸nodenumx=a/gridsize;nodenumy=b/gridsize; %离散节点数jingdu=10^(-10); %%求解精度num=0; %%迭代次数初始化%%%%¸赋初值v1=zeros(nodenumy+1,nodenumx+1);v1(nodenumy+1,:)=ones(1,nodenumx+1)*U;v2=v1;%%前后两次迭代值r=zeros(nodenumy-1,nodenumx-1); %迭代差值d=3; %求解精度初始化可以赋值任意大于精度的值while(d>jingdu)num=num+1;v1=v2;for I=2:nodenumyfor J=2:nodenumxv2(I,J)=(v1(I,J+1)+v1(I+1,J)+v1(I-1,J)+v1(I,J-1))/4;%%简单迭代r(I,J)=abs(v2(I,J)-v1(I,J));endendd=max(max(r));end3．超松弛迭代法程序：for i=2:Mfor j=2:M+1x(i,j)=j-1;endendy=x; %赋初值flag=1;N=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; %迭代次数赋初值for z=1:11while flag==1for i=2:Mfor j=2:Mb=0.25*(y(i-1,j)+x(i+1,j)+y(i,j-1)+x(i,j+1));y(i,j)=x(i,j)+a1(z)*(b-x(i,j));endend %循环迭代if max(abs(x-y))<werrorflag=0; %跳出循环endx=y;N(z)=N(z)+1; %迭代次数加1endflag=1;for i=2:Mfor j=2:M+1x(i,j)=j-1;endendy=x; %切记再赋初值end。
电磁场的数值计算方法与应用
电磁场的数值计算方法与应用引言：电磁场是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到电磁波、电磁感应等多个方面。
为了更好地理解和应用电磁场，科学家们开发了各种数值计算方法。
本文将介绍电磁场的数值计算方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常用的数值计算方法，它将连续的电磁场问题离散化为离散的网格点问题。
通过在网格点上近似计算电场和磁场的导数，可以得到电场和磁场在空间中的分布情况。
有限差分法的优点是简单易懂，适用于各种电磁场问题的求解。
例如，可以利用有限差分法计算电磁波在介质中的传播，或者计算导体中的电磁感应现象。
二、有限元法有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它可以用于求解各种复杂的电磁场问题。
有限元法将电磁场问题离散化为一系列的小区域，称为有限元。
通过在每个有限元上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
有限元法的优点是适用于各种不规则形状的区域，可以处理复杂的边界条件和材料特性。
例如，可以利用有限元法分析电磁场在电机中的分布，或者计算电磁屏蔽结构的性能。
三、边界元法边界元法是一种特殊的数值计算方法，它将电磁场问题转化为在边界上求解的问题。
边界元法通过在边界上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
边界元法的优点是可以减少计算的自由度，提高计算效率。
例如，可以利用边界元法计算电磁波在散射体上的散射现象，或者计算导体表面的电磁场分布。
四、数值计算方法在电磁场问题中的应用数值计算方法在电磁场问题中有着广泛的应用。
例如，在通信领域中，可以利用数值计算方法分析电磁波在天线和传输线中的传播特性，以及在无线通信系统中的传播损耗和干扰现象。
在电力系统中，可以利用数值计算方法分析电磁场对输电线路和变压器的影响，以及计算电力设备的电磁兼容性。
在电子设备设计中，可以利用数值计算方法分析电磁场对电路元件的耦合和干扰，以及计算电磁屏蔽结构的性能。
总之，数值计算方法在电磁场问题的研究和应用中发挥着重要的作用。
有限差分法【范本模板】
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的.例如,在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是,就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时,关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手.依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频)运行条件下的情况.但是,在高频应用中,则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场,在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此,计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言,计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法,手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类,其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的(如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解.在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.差分运算的基本概念:有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。
有限差分法求解电磁场问题
Φ 11 = Φ 12 = Φ 13 = Φ 14 = Φ 15 = 100V
Φ 51 = Φ 52 = Φ 53 = Φ 54 = Φ 55 = 0V
Φ 21 = Φ 31 = Φ 41 = Φ 25 = Φ 35 = Φ 45 = 0V
n 设Φ ij 为第i行第j列节点上的第n次迭代的电位，则 1 n n +1 Φ ij = (Φ i −1, j + Φ in, j −1 + Φ in+1, j + Φ in, j +1 ) (3.14) 4 对于每一个未知电位节点，我们可以列出一个这样的迭代 方程，于是得到9个未知电位节点的迭代方程组。若对9个 未知电位赋予初值（在计算机程序求解迭代方程时，9个 未知电位的初值通常赋予0值），则可通过在计算机上运 行一个简单的程序完成解迭代方程组。若将各未知节点电 位的初值赋予0值，当n=10时 Φ22 = 322523 Φ23 = 455555 Φ24 = 666666 Φ32 = 666666 , , ,
(3.9)
而在节点0的泊松方程又可以写为
⎛ ρs ⎞ ⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ⎞ ⎜ 2 + 2 ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎜ε ⎟ ∂y ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠0
将式(3.10)代入式(3.9)可得
(3.10)
⎛ ρs ⎞ 2 ⎤ 1⎡ (3.11) Φ 0 = ⎢Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + ⎜ ⎟ h ⎥ ⎜ε ⎟ 4⎢ ⎝ 0 ⎠0 ⎥ ⎣ ⎦ 这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式， 它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度 之间的关系。对于无源区域，ρ s = 0 ，则式(3.11)变 为 1 (3.12) Φ 0 = (Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 )
电磁场与电磁波18_有限差分法
空 散
差分方程
迭代法求解
Research Institute of RF & Wireless Techniques
18.2 导数的有限差分近似
首先将连续空间用网格离
South China University of Technology
散化根据研究的问题，离 散化网格可以是长方形、 三角形等。 考虑连续函数 ( x) 在x0处 的泰勒级数展开
18.1 引言
有限差分法是一门最古老的数值计算法。
South China University of Technology
有限差分法把连续空间离散化，把导数以差分
近似，从而把偏微分方程转化为差分方程组 （代数方程），再采用适当的算法求解，得到 原问题的近似解。
空间离散化的越细，解的误差愈小，但差分方
0
4
a b
采用分界面边界条件 a |0 b |0 n n 差分近似
a 1* 3
2h b
1 3*
2h
a1* b3* a3 b1
K 2 1 2 2K 于是 0 4 (1 K 1 2 1 K 3 4 1 K h F ) Research Institute of RF & Wireless Techniques K a / b
n i , j 为高斯-赛德尔迭代法得到的结果
称为松弛因子。不同的值，可以有不同
的收敛速度，其值范围一般为1与2之间。 通常会有一个最佳值。最佳的确定与具体 问题有关。 显然，如果选择合适，超松弛迭代法收敛 速度最快。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
电磁场与电磁波实验有限差分法
电磁场与电磁波实验有限差分法作者: 日期:电磁场与电磁波实验报告实验项目：有限差分法一、实验目的及要求1学习有限差分法的原理与计算步骤；2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。
二、实验内容理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；三、实验仪器或软件Matlab7.0电脑四、实验原理有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
简单迭代法小(°)先对场域内的节点赋予初始值㈡，这里上标(0)表示第°次近似值，即初始值。
然后再按照：VUi]进行反复迭代。
若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
MAX①:N)- ①:N‘)W初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值; 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。
五、实验步骤复习理论知识；编写matlab程序；六、结果分析与问题讨论1、程序:clearX=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]Pot=[0,0];for i=2:4for j=2:4(i ,Pptx(1 ；j2,=(X(!-.1)j)+xe k1)+X3+1)2X0+1))4'Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));'''Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=1;while(max(1000.*Pot)>1) Pot(2)=0;for i=2:4for j=2:4声PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=nu m+1endsurf([0:4],[0:4],X);shadi ng in terpcolorbar('horiz')title(' 有限差分法计算电位图');2、运行结果X =0 0 0 0 00 25 25 25 00 50 50 50 00 75 75 75 0100 100 100 10C 1 100%第一次迭代PotX =18.7500Pot =6.2500 6.2500PotX =7.1440 9.8230 7.144018.7515 25.0023 18.751542.8583 52.6801 42.8583Pot =0.3815 0.7629%第28次迭代X =0 0 0 0 00 7.1440 9.8230 7.14400 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 num =283、波形图matlab 软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效 并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
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电磁场与电磁波实验报告
实验项目：有限差分法
一、实验目的及要求
1、学习有限差分法的原理与计算步骤；
2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；
3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。
二、实验内容
理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；
实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；
三、实验仪器或软件
Matlab7.0
电脑
四、实验原理
有限差分法的基本思想
将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
简单迭代法
先对场域内的节点赋予初始值
）（0,j i Φ ，这里上标（0）表示第0次近似值，即初
始值。
然后再按照： ][4
1k 1,k ,1k 1,k ,11k ,）（）（）（）（）（++--+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ
j i j i j i j i j i
进行反复迭代。
若当第N 次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
W MAX N j
i N j i 〈Φ-Φ-）（）（1,, 注意：
初始值的赋予是任意的；
赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值； 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。
五、实验步骤
复习理论知识；
编写matlab 程序；
六、结果分析与问题讨论
1、程序：
clear
X=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]
Pot=[0,0];
for i=2:4
for j=2:4
PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4 Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));
Pot(2)=max(Pot)
end
end
X(2:4,2:4)=PotX
num=1;
while(max(1000.*Pot)>1)
Pot(2)=0; (,1,2,......) (0,1,2,......)
i j k ==
for i=2:4
for j=2:4
PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4 Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));
Pot(2)=max(Pot)
end
end
X(2:4,2:4)=PotX
num=num+1
end
surf([0:4],[0:4],X);
shading interp
colorbar('horiz')
title('有限差分法计算电位图');
2、运行结果
X =
0 0 0 0 0
0 25 25 25 0
0 50 50 50 0
0 75 75 75 0
100 100 100 100 100
%%第一次迭代
PotX =
18.7500
Pot =
6.2500 6.2500
PotX =
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18.7515 25.0023 18.7515
42.8583 52.6801 42.8583
Pot =
1.0e-003 *
0.3815 0.7629
%%第28次迭代
X =
0 0 0 0 0
0 7.1440 9.8230 7.1440 0
0 18.7515 25.0023 18.7515 0
0 42.8583 52.6801 42.8583 0
100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000
num =
28
3、波形图
matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
由于很久没有用过matlab
程序，忘记了matlab的函数使用和初值定义方法等，导致实验的进度十分缓慢。
对于编程思路，理清了有限差分法的概念就使之变得容易很多，所以我复习了优先差分法的求解方法，并自己做了一遍题，思路就有了，后期编程就是要知道运用什么函数就可以了。