11集合集合的含义与表示(一)
集合的含义和表示
1.1集合的含义及表示内容分析：集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集课外知识补充，康托尔-集合创始人，由于集合导致的数学危机。
（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,（5）实数集：全体实数的集合记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x∈A|满足条件}含义：在集合A中满足条件的x的集合注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图，也叫作韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ女神助教刘亚楠。
【参考教案2】《集合的含义与表示》(数学人教必修一)
《集合的含义与表示》教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型新授课教学目标通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；教学重点1、利用集合中元素的三个特性解题。
(重点)2、准确认识元素与集合之间的符号“∈”“∉”。
(难点)教学过程引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a∈A）（举例）5.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集）：记作N正整数集：记作N*或N+；整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R题型一集合的基本概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2018年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2018年度诺贝尔经济学奖获得者；(5)上海世博会的所有展馆。
1-11集合部讲义
一、集合的含义与表示1、集合的含义：一般地，具有相同属性的对象构成的整体，我们称之为集合。
那么我们所研究的具有相同属性的对象称之为集合的元素。
2、元素与集合的关系：若元素a在集合A中，则a∈A（a属于A）；若元素a不在集合A中，则a∉A（a属于A）。
3、元素的特性：1）确定性2）互异性3）无序性说明：(I)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(II)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(II)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(IV)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、常用数集的表示：1）自然数集(非负整数集)N 2）正整数集N*或N+3）整数集Z4）有理数集Q 5）实数集R5、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}探究以下描述的不同：{ x | y=x2+ 1} = R = { y | y=x2+ 1}{ y | y=x2+ 1} ={ y≥1}{(x,y) | y=x2+ 1}函数上所有点的集合（3）图示法（文氏图）：封闭的曲线6、集合的分类：1) 有限集含有有限个元素的集合2) 无限集含有无限个元素的集合3) 空集不含任何元素的集合二、集合间基本关系及相关运算1、子集(包含关系)对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：1）有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
集合的含义与表示(1)
小结：
1.集合的概念 2.集合中元素的性质 3.集合与元素的表示 4.几个重要的数集 5.集合与元素的关系
4.集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于
（belong to）集合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属 于(not belong to)集合A，记作aA.
注:∈，是表示元素与集合关系的专用符号，若不是元素
与集合关系则不能使用。
4.几个重要的数集:
➢ N：自然数集(含0) ➢ N*(N+) 正整数集(不含0) ➢ Z：整数集 ➢ Q：有理数集 ➢ R：实数集
0.5___Q, 0.5___R,
2 ___N; 2 ___Z; 2 ___Q;
2 ___R;
3、若-3∈{m-1，3m，m2+1}，求实数m
解: -3∈{m-1，3m，m2+1} m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3 m=-2,或m=-1,（m2+1=-3无实数解，舍去）
代入检验符合集合元素的互异性 所以实数m=-2或-1
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
D. ②③⑤⑥⑦⑧
下列指定的对象，能构成一个集合的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
答:(1) 集合的元素是:4、6、8、10 （2）集合的元素是1、-1 （3）集合的元素是1、3、5、15
2、用符号 或填空：
1___N, 1___Z,
1.1.1集合的含义与表示(1)
这两个集合是相等的.
(3)整数集,记作Z;
6,集合的表示方法
(1)列举法:把集合的元素一一列举出来,并且用花 括号"｛｝"括起来表示集合的方法. 例:我们可以把"方程(x+1)(x-2)=0的所有实数根" 组成的集合表示为｛-1,2｝.
例1，用列举法表示下列集合： (1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为________． (2)方程|x－1|＝3的解集为________． (3)绝对值小于3的整数的集合为________．
构成的集合怎么表示？
福建宏翔高级中学
知识引入
其实在初中，大家也接触过“集合”一词。 那么，请大家回忆一下在初中有哪些地方接触过 “集合”一词呢？
观察下列实例：
（1） 1～20以内的所有质数； 2,3,5,7,9,11,13,17,19
（2）绝对值小于3的整数； （3）满足x－3＞2 的实数；
-2,-1,0,1,2
x>5
(2)若a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作 a∈ / A。
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称 4,集合的三个特征
(1)确定性：它的元素必须是确定的。 (2)互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列, 调换. 5,数学中常用的数集及其记法 (1)自然数集,记作N; (2)正整数集,记作N*或N+; (4)有理数集,记作Q; (5)实数集,记作R;
（4）我国古代四大发明; 造纸术,印刷术,指南针,火药 （5）宏翔高中高一（10）班的所有同学； （6）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
知识新知
1,集合的含义：一般地,我们把研究的对象统称为 元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 2,表示方法：集合通常用{}或大写的拉丁字母 A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表 示。 3,元素与集合关系： (1)若a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A。
11集合的含义与表示
集合常用大写字母表示,例如集合A、集 合B等。 集合的元素则常用小写字母表示.
3．集合元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的． 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，
记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．
__3___
3.已知集合A={x ax2+2 x +1=0, x ∈R} a∈R (1)若Ａ是空集，求a的取值范围； (２)若A是单元素集,求a的值; (3)若A至多只有一个元素，求a的取范围．
４：已知集合A={a-2,2a2+5a,10}, 且-3∈A,求实数a
解：∵-3∈A ∴a-2=-3或2a2+5a=-3
形式如 :{ | }
例１ 用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ， 那么Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
(2)设方程x2 x的所有的实数根组成的集合 为B, 那么B={0,1}
(3)设由1 ~ 20以内的所有质数组成的集合为C, 那么C {2,3,5,7,11,13,17,19}.
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集 合; (2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x, 并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺的． 集 合中的任何两个元素都可以交换位置．
集合的含义与表示知识点
集合的含义与表示一集合与元素1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……；集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
2.集合中元素的属性（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”.4.集合相等如果构成两个集合的元素个数及元素相同，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关.二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A （“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）2.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
高一数学集合的含义及表示
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素。 (5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。 (6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
2、集合中元素的特性 （1）确定性：
按照明确的判断标准给定
（三） 有限集与无限集
高
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的 集合。
一 数
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素 学
的集合。
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合。 记作Φ
例2 用符号“∈”或“∈”填空：
(1)3.14＿Q； (2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(5)(-2)0 ＿ N+ (6)2 5 ＿ Z
(7) 2 5 ＿ Q (8)2 5 ＿ Q
三、小 结：本节课学习了以下内容： 1.集合的含义； 2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
3.数集及有关符号.
集合的含义是什么？ 集合之间有什么关系？ 怎样进行集合的运算？
练习： (1)《课课练》P1 Ex2 (2)在作业本上写出你这节 课不懂的地方。 (3)思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2} 中的元素,则实数a为( )
（一）集合的有关概念：
1、集合的含义
（1）集合：一定范围内某些确定的、不同 的对象的全体构成一个集合(set)。
（2）元素：集合中的每一个对象叫做该集 合的元素(element)或简称元。
探讨以下问题: (1){1,2,2,3}是含1个1,2个2,
1个3的四个元素的集合吗?
高一数学必修一知识点集合的含义与表示
高一数学必修一知识点集合的含义与表示1.集合的概念一般地，把一些确定能够确定的多种不同的对象看成一个整体，就说生成元这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个叫做这个集合的元素(或成员)。
集合概念的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道自同态元素有两大性质特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是恰当中的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的成分元素必须是互不相同的。
设集合给定，的元素是指含于其中的相互相同元素，相同的对象归于同一集合时只能更何况算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系二元关系与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如：是集合的元素，记作，读作“属于”;不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和拆成无限集。
特殊地，不符合要求任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法⑴例举法是把元素不重复、所获不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征顺磁性描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任一一个元素新元素都具有性质，而不属于集合的元素都一般性不具有性质。
除此之外,高二，给定还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部结构的点来表示集合的方法(有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素)【同步练习题】1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1，k∈Z，且k;5}C.{x|x=4t-3，t∈N，且t≤5}D.{x|x=4s-3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中给定的金属元素外，还有3,7,11,15;B中k取负数，多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素，只有D是正确的.2.集合P={x|x=2k，k∈Z}，M={x|x=2k+1，k∈Z}，S={x|x=4k+1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有()A.c∈PB.c∈MC.c∈SD.以上都不对解析：选B.∵a∈P，b∈M，c=a+b，设a=2k1，k1∈Z，b=2k2+1，k2∈Z，∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，又k1+k2∈Z，∴c∈M.3.定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.6解析：选D.∵z=xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有：1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4，故A*B={0,2,4}，∴集合A*B的绝大多数元素之和为：0+2+4=6.4.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，C={(x，y)|x∈A，y∈B}，则用罗列法表示集合C=____________.解析：∵C={(x，y)|x∈A，y∈B}，∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2).答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}。
111集合的含义与表示(1)
思考1：设集合A表示“1～15以内的所有质数”，那 么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A 中？
思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系？
3：元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作aA.
集合，求实数a、b.
例3.已知2 1，x，x2 x ，求实数 x的值.
通常用小写字母a, b, c, … 表示元素.
观察下列对象： （1）1～15以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）高一（九）班全体同学； （4）平面内到定点的距离等于定长的所有的点.
思考1：上述4个集合中的元素分别是什么？ 思考2：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？ 思考3：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.
观察下列对象： （1）1～15以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）高一（九）班全体同学； （4）平面内到定点的距离等于定长的所有的点.
1.集合的概念: 一般地，指定的某些对象的全体称为集合，
简称“集”. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2.集合的表示:
通常用大写字母A, B, C, … 表示集合.
实数集：记作 R
3.14 ____Q, 0 ____ N*,
____Q, 2 ____ Q,
注意：自然 数集包括0
0 ____ Z 2 ____ R
考察下列集合： （1）小于9的所有正奇数组成的集合； （2）15以内的质数组成的集合.
思考1、这两个集合分别含有哪些元素？ （1）1，3，5，7； （2）2，3，5，7，11，13；
集合的含义及其表示1学案(人教A版必修1)
第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析 因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析 解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素． 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ， 即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。
集合的含义和表示
集合的含义和表示知识点一：集合的含义集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。
元素用小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合，胖人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}元素与集合的关系：“属于”和“不属于”（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）集合的分类：1、有限集：含有有限个元素的集合。
2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如：例：1，①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A．2组B．3组C．4组D．5组2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______知识点二：常用数集的记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ．知识点三：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
人教版高中必修一 111 《集合的含义与表示》 课件
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例题讲解
例1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x²=x的所有实数根组成的集合； （3 ) 小于100的所有奇数．
注意：由于元素具有无序性， 集合A还有其它列举方法哦，
动手试一试吧！
【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
为__-_1_. （3）若A= {x²+x-6=0},则3___∉_____A.
巩固练习
3、判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2} .
(2) 若4x=3,则 x N. (3) 若x Q,则 x R .
(4)若X∈N,则x∈N+.
（ √） （√ ） （×） （× ）
巩固练习
4、已知集合A={x | ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}只有一个元素， 求a的值和这个元素．
解析：当a=0时，x=-1； 当a≠ 0 时，由于集合只有一个元素，所以 =0，则x=-2.
拓展应用
5、设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，a∈A且3a∈A，求a的值.
解析：因为a∈A且3a∈A， a＜6,
合是不么定义呢的？那概你么念能，，举集数一合学些的家有很含难关义回集是答合什。 一的天例，子他吗看到？牧民正在向羊圈里赶羊，
等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家 突然灵机一动，兴奋地告诉牧民：“这就是 集合”。
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探究1 集合的含义
观察下面例子，它们有什么共同特征？ （1）1～20以内的所有偶数； （2）我国古代四大发明 （3）所有的长方形； （4）到直线的距离等于定长d的所有的点； （5）方程x²+3x-2=0的所有实数根； （6）我国从2001～2018年的15年内所发射的所有卫星。
集合的含义及表示
集合的含义及表示一． 知识卡片1. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.2. 集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.3. 集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a A .4. 常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .5. 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a }不同.6. 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x 代表元素，P 是确定条件.7. 反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.∉{|}x A P ∈2{(,)|1}x y y x =-2{|1}y y x =-{|1}x x >{|3,}x x k k Z =∈二． 高考预测本部分内容为高考中频考点，多见于选择题、填空题。
11集合的概念及特征(精讲)(原卷版)
1.1集合的概念及特征（精讲）一．元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三个特性：(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．4.元素与集合的关系6.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法1.列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.2.描述法(1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用说明①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.三．集合的分类1、有限集：集合的元素有限个2、无限集：集合的元素无限个一．集合概念的理解判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。
二．判断元素和集合关系的两种方法1.直接法：集合中的元素是直接给出的.2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 三．元素的互异性求参数1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.四．集合的表示方法1.用列举法表示集合(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.（3）使用列举法表示集合时的注意事项①元素间用逗号隔开；②元素不能重复(互异性)；③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{ }”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．2.利用描述法表示集合(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z 也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.考点一集合概念的理解【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个B．3个C．4个D．5个【一隅三反】1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；x+>的x的取值．⑤满足不等式103．（2023·上海）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；，的距离等于1的所有点；②在平面直角坐标系中，到定点(00)③影响力比较大的中国数学家；④不等式3100x-<的所有正整数解.考点二 元素与集合的关系【例2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①12R ；R ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【一隅三反】1．（2023春·四川内江）已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（ ） A ．0M ∈ B ．1M ∉ C ．1M -∈ D ．0M ∉2．（2023春·福建龙岩）给出下列6个关系：R ，Z ，③0N *∉，N ，⑤Q π∉，⑥2Z -∉.其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．53．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合A =｛0，1，2｝，则（ ） A ．0∈A B ．1∉ AC ．2=AD ．∅∈A考点三 元素互异性及应用【例31】（2023·北京朝阳）设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ） A ．0 B ．1- C ．0或1- D ．0或1【例32】（2023·安徽）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例33】（2023·河南）已知{}210A xx ax =-+<∣，若2A ∈，且3A ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．510,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．510,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【例34】（2023·云南）已知集合{}2=-3+2=0A x ax x 的元素只有一个，则实数a 的值为（ ）A ．98B ．0C ．98或0D ．无解【一隅三反】1．（2023·福建）若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-2．（2023春·河南）若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则a 2020+b 2020的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．1或﹣13．（2023春·山东日照）已知集合{}2|1A x x =<，且a A ∈，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．14．（2023·广东）设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A ∈，则a 的值为（ ）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，25．（2023·陕西西安）已知集合{}2310A x ax x =-+=，其中a 为常数，且R a ∈.若A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为___________.考点四 集合的表示方法【例4】（2023·陕西安康）表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用适当方法表示出来： （1）{2,4,6,8,10}； （2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =∈≤≤；（5）{}2|320C x x x =-+=.2．（2023山东）用适当的方法表示下列集合： （1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．3．（2023湖北）选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合.考法五 集合相等【例51】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣D ．{2,3}M =，{(2,3)}N =【例52】（2023·全国·高一专题练习）已知集合{}4,,2A x y =，{}22,,1B x y =--，若A B =，则实数x 的取值集合为（ ） A ．{1,0,2}- B ．{2,2}-C ．{}1,0,2-D ．{2,1,2}-【一隅三反】1．（2023北京）集合{}2|0,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．（2022·高一单元测试）已知集合{}()(){}3,4,30,M N xx x a a ==-+=∈R ∣， 若M N ， 则=a （ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-3．（2022秋·海南海口·高一校考阶段练习）含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.。
1.1.1集合的含义与表示(1)
B、②③⑥⑦⑧ D、②③⑤⑥⑦⑧
4、判断下列例子能否构成 集合： ① 中国的直辖市 ② 身材较高的人 √ × ×
③ 非常有名的数学家
④ 高一(5)班眼睛很近视的 像“很”、“非常”、 × 同学 “比较”这些不确定的 词都不能构成集合。
• 小学和初中我们曾经接 触过的集合： • 自然数集合 • 整数集合
D、1∈M且3∉M。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、找出下列集合中的所有元素： (1)1～10以内的所有质(素)数；
(2)绝对值小于3的整数；
(3)中国古代的四大发明。
判断下列语句是否构成一个集合：
(1)中国古代的四大发明； (2)自然数的全体；
(3)班上高个子同学全体；
确定性 (4)与0接近的全体实数；
(5)到线段的两个端点距离相等的所有点。
• 有理数集合
• 实数集合 有没有更 简单的记 法呢？
自主学习二(3min)
(1) N：自然数集(含0)即非负整数集
(2) N＋或N*：正整数集(不含0)
(3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 阅读教材第3页的表格，以 最快的速度记忆下来！
(5) R：实数集
四、重要数集：
①N ②N+ ③Z ④Q ⑤R 有理数集 自然数集 正整数集 实数集 整数集
5、用符号“∈”或“∉”填空： (1)3.14____Q ∈ ∉ (2)π____Q (3)0____N ∈
∉ (4)0____N+
(5)(-0.5)0____Z ∈ (6)2____R ∈
收获知多少
一、集合的定义；
二、集合的三大特性； 三、集合与元素的关系； 四、重要数集。
写在书上：P5—练习1 P11—A组1、2 优化设计：P1—课前预习案 P3—当堂检测
集合的含义及其表示教案11北师大必修1
《集合的含义及其表示》教案教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.三维目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.重点难点教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1课时设计方案（一）教学过程导入新课思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.⑧3个.⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.提出问题阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.讨论结果：常见数集的专用符号.N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);Z:整数集(全体整数的集合);Q:有理数集(全体有理数的集合);R:实数集(全体实数的集合).提出问题①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a 与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x ∈R |x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果：①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N 、Q,所有的正方形组成的集合记为A 等等;方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路1（温小平提出）1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.在选项A 、C 、D 中的元素符合集合的确定性;而选项B 中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.答案：B变式训练1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工答案：D2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是.分析:实数x 的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x 2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x 的取值范围是{x|x<0或0<x<3或x>3}.答案：{x|x<0或0<x<3或x>3}点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.2.用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.提示学生注意以下方面:(1)自然数中包含零;(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么A={0,1}.(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.变式训练用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A={-8,8};(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10<x<20,x∈Z.(重点引导用描述法表示集合)用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).解：(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.-,因此,用列举法表示为方程x2-2=0的两个实数根为2,2-}.A={2,2(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x ∈Z ,且10<x<20,因此,用描述法表示为 B={x ∈Z |10<x<20}.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.思路2（徐昌荣提出）1.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2)所有素质好的人能否表示为集合?(3)A={2,2,4}表示是否准确?(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:(1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)集合元素的性质;(3)两个集合相同的定义.解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(∉),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5∉A.(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A 不能表示为集合.(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.(4)因其元素相同,A 与B 表示同一集合.变式训练1.数集{3,x,x 2-2x}中,实数x 满足什么条件?解：集合元素的特征说明{3,x,x 2-2x}中元素应满足⎪⎩⎪⎨⎧-≠-≠≠,23,2,322x x x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠≠,032,3,322x x x x x 也就是⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≠,1,0,3x x x 即满足x≠-1,0,3. 2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______. 分析:方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},那么21、31是方程的两根, 即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙-=+,3121,53121ac a 得⎩⎨⎧==-1,c -6,a 那么a=-6,c=-1.答案：6 -13.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.解：由于A 中元素是关于x 的方程kx 2-3x+2=0(k ∈R)的解,若k=0,则x=32,知A 中有一个元素,符合题设; 若k≠0,则方程为一元二次方程,当Δ=9-8k=0即k=89时,kx 2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A 中有一个元素. 综上所述k=0或k=89. 4.2006山东高考,理1定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为…( )A.0B.6C.12D.18分析:∵x ∈A,∴x=0或x=1.当x=0,y ∈B 时,总有z=0;当x=1时,若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.综上所得,集合A ⊙B 的所有元素之和为0+6+12=18.答案：D注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等.2.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. 活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.提示学生注意：(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3-x 是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程x 2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足x-36∈Z 的x 有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.变式训练用列举法表示下列集合:(1)x2-4的一次因式组成的集合;(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};(3)方程x2+6x+9=0的解集;(4){20以内的质数};(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};(6){大于0小于3的整数};(7){x∈R|x2+5x-14=0};(8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.解：(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4,故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3};(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};(6){大于0小于3的整数}={1,2};(7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2};(8)当x∈N且1≤x<4时,x=1、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6,那么{(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.3.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x<a的形式,则这些实数的特征是满足x<a.解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2};(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合;(7){1,3,5,7,…};(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.解：(1){(x,y)|2x+y=5};(2){x|0≤x<10,x ∈Z };(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};(4){x||x|>3};(5){(x,y)|xy<0};(6){(x,y)|⎩⎨⎧==+1y -x 1y x }; (7){x|x=2k-1,k ∈N *};(8){(x,y)|x ∈R ,y=0};(9){x|x=2k,k ∈N };(10){x|x=3k,k ∈Z }.知能训练课本P 5练习1、2.【补充练习】1.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2>x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.2.(口答)说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数};(2){平方等于1的数};(3){15的正约数}.答案：(1)其元素为4,6,8,10;(2)其元素为-1,1;(3)其元素为1,3,5,15.3.用符号∈或∉填空:(1)1______N ,0______N ,-3______N ,0.5______N ,2______N ;(2)1______Z ,0______Z ,-3______Z ,0.5______Z ,2______Z ;(3)1______Q ,0______Q ,-3______Q ,0.5______Q ,2______Q ;(4)1______R ,0______R ,-3______R ,0.5______R ,2______R .答案：(1)∈ ∈ ∉ ∉ ∉(2)∈ ∈ ∈ ∉ ∉(3)∈ ∈ ∈ ∈ ∉(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈4.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√5.分别用列举法、描述法表示方程组⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解集. 解：因⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解为⎩⎨⎧==-7.y 3,x 用描述法表示该集合为{(x,y)|⎩⎨⎧==+273y -2x 2y 3x }; 用列举法表示该集合为{(3,-7)}.拓展提升（赖林生提出）问题:集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x 化为a+2b 的形式,再判断a 、b 是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.解：由于x=a+b 2,a ∈Z ,b ∈Z ,∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A. 又121-=2+1=1+2,当a=b=1时,a+b 2=1+2,∴121-∈A. 又231-=3+2,当a=3,b=1时,a+b 2=3+2,而3∉Z, ∴231-∉A.∴0∈A,121-∈A,231-∉A.点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.课堂小结本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤. 作业课本P 11习题1.1A 组2、3、4.设计感想集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.。
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1.1集合：集合的含义与表示（一）
课型： 新授课 课时数： 1 讲学时间： 2010年9月 2日
班级： 学号： 姓名：
一、【学习目标】：
1、了解集合的含义，了解集合元素的确定性、互异性、无序性。
2、会用符号表示元素与集合关系。
3、掌握常用数集的符号表示。
4、初步掌握集合的表示方法。
二、【学前准备】：
阅读课本P2-3页，找出疑惑之处
讨论： 军训前学校通知：8 月9日下午 3 点，高一年级在学校广场集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入： 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高
三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
三、【探究内容】：
探究 1：考察几组对象：
① 1～20 以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形； ④中国的直辖市
⑤高明纪念中学高一级全体学生； ⑥ 方程2
30x x +=的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂 2009 年 8 月生产的所有童车； ⑧ 2010 年 8 月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？ 新知 1：
集合：
测试1：探究 1 中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？
探究 2：“ 好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
新知 2： 集合元素的特征是； ，你能举例说明吗？
只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 。
测试 2：
1．下列各组对象不能组成集合的是（ ）
A ．大于6的所有整数
B ．高中数学的所有难题
C ．被3除余2的所有整数
D ．函数1y x =图象上所有的点 2、下列说法正确的是（ ）.
A ．某个村子里的高个子组成一个集合
B ． 集合{1, 2,3, 4,5}和{5, 4,3, 2,1}表示同一个集合
C ．所有小正数组成一个集合
D ． 1, 0.5, 12 ，32
14 6 这六个数能组成一个集合
探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
新知 3：集合的字母表示
如果 a 是集合 A 的元素，就说 ，记作： ；
如果 ，就说 a 不属于集合 A ，记作: ；
测试 3： 设B 表示“ 5 以内的自然数”组成的集合，则 5 B ， 0.5 B ， 0 B ， －1 B
探究 4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？
新知 4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）： ； 正整数集：记作
整数集：记作 ； 有理数集：记作 ； 实数集：记作 。
测试 4：填∈或∉： 0 N ，0 R ，3.7 N ，3.7 Z ， 3- Q ， 32- R .
探究 5：集合的表示方法
探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？
新知 5：列举法与描述法
列举法：
描述法：
测试 5：请说出下列集合的表示方法。
① {}5,2,3,4,6,0,1- ②=A {x |x 为奇数}
③ {|31}x x -<≤ ④{}Z k k x x A ∈+==,12|
⑤ {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} ⑥2{2,}x x x -
思考：列举法与描述法有什么异同？
相同点：
不同点：
四、【达标练习】：
1. 教材P5: 1。
2．下列条件能形成集合的是（ ）
A ．充分小的负数全体
B ．爱好篮球的人
C ．中国的富翁
D ．纪念中学的全体员工
3．给出下列关系：① 2=R ；② 2Q ∉ ；③ 3N +-∉ ；④ 3Q -∈其中正确的个数为（ ）.
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
4.在数集{}1,2x 中，实数x 满足的条件是 .
5. 设 A 表示“ 中国所有省会城市”组 成的集合，则 ：深圳 A ； 广州 A. （填∈或∉）
6. “方程2
30x x -=的所有实数根”组成的集合
用列举法表示为_____ _______.描述法表示为：
五、【推荐作业】第一部分：基础必做作业
1、教材P11习题A 组1,2,3。
（抄题完成）
1、用
2、
3、
推荐作业第二部分：巩固提高作业
设 x ∈R ，集合 A = {3,x , 2
2x x } .
（1）求元素x 所应满足的条件；
（2）若 -2∈ A ，求实数x .
六、【课后反思】：学而不思则罔，思而不学则殆
1、本课时的学习目标完成了吗？还有哪些没有完成的？
2、本课时我还没弄懂的问题有：
3、对老师有何建议：。