§3.3 质点系的动力学方程(YBY

§3.3 质点系的动力学方程 一、质点组的动力学方程。 1、质点系的动力学方程为简单计，研究两个质点构成的质点系
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21

m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )

m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
zc
m z m
i i
（4）
（3）或（4）式所确定的空间点和质点系密切关连，叫作质 点系的质量中心，简称质心。
引入质心的概念后，（2）式可写为： 2 d rC F Fi m 2 maC dt aC 称质心加速度。质点系的质心运动定理。
图3.2 刚体的平动 （7）
基本特征： 平动刚体中所有点的运动轨迹形状都保持完全相 同．在运动过程中，刚体上各点在任一时刻都具有相同的速度 和加速度．因此，刚体做平动时，刚体上各点运动都相同，可 用其上任何一点的运动来代表整个刚体的运动．
平动刚体的动力学方程
mi ai mi a ma F
也就是说，研究质点B相对于质点A运动时，只要将质点B的质量m2用约 化质量代替，则质点B相对于质点A的运动微分方程，就和质点A静止不动 时的微分方程形式完全一样。类似地，将质点A的质量m1用约化质量代替， 则质点A相对于质点B的运动微分方程就和质点B静止不动时的微分方程形 式完全一样。从而将二体问题转化为一个等效的单质点问题来处理，可以 直接运用质点动力学的方法简单求解。
2

d r M m ˆr G e 2 2 dt r
2
质心坐标：
mr 2 r 3.8105 km 3 rc 4.7 10 km RE M 80 m M m 3
ydV , dV
zc
zdV dV
（10）
若刚体均匀
xc
xdV , V
yc
ydV , V
zc
zdV V
（11）
可以证明： （1）质量均匀分布而且形状对称的刚体的质心，就在它的对 称中心（或几何中心）。
（2）若刚体由几部分组成，要确定其质心，应先求每一部分 的质心，并认为每一部分的质量集中在其各自的质心上，再将 各部分看作质点系，求其总质心． （3）一般情况下，刚体的质心和重心（刚体所受重力的作 用点）相重合。 （4）由于构成刚体的任意两质点之间的距离保持不变，所以 刚体质心的位置在刚体中位置不变。
根据两体相对运动的动力学运动微分方程，求出相对运动规律 2 d r 2 f (r ) r2 (t ) r1 (t ) r (t ) （17） dt 第三：根据质心运动规律（13）式 ，两体相对运动的规律（17） r ( t ) r 式 ，求出 1 和 2 (t )
（8）
即平动刚体的运动可简化为质点的运动。
2、刚体的质心。对质量连续分布的刚体的质心
xc xdm , dm yc ydm , dm zc zdm dm
（9）
积分遍及刚体的整个体积V 引入体密度
( x, y, z ), dm dV
yc
xc
xdV , dV
由此可得：
m1 y1 m2 y2 yc m1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
x2 xc m1 , xc x1 m2
由此可知，质心必位于m1，m2的联线上， 且质心与各质点距离与质点质量成反比。
三、两体的运动问题 1、两体运动问题的解决方案
第一：根据质心运动的动力学方程，求解质心运动规律 2 d rc F m 2 mac rc (t ) （12） dt
B相对于A的位置矢量
r2 r1 r
图3.3 两体相对运动
定义约化质量
m1m2 m1 m2
（15）
则（3.17）式变为： 2 d r （16） 2 f (r ) dt (19)说明了两体的相对运动规律。它相当于一个质量等于 的 单质点在固定力心的有心力场 f (r ) 中的运动。
特殊情况：不受外力作用的两体的质心的运动
2 d r1 d r2 d 2 m1 2 m2 2 2 (m1r1 m2 r2 ) dt dt dt 2 d m1r1 m2 r2 ( m1 m2 ) 2 dt m1 m2 d 2 rc ( m1 m2 ) 2 0 dt
【例1】有一刚体，由二质点用一根长为的刚性轻杆连接而成， m1 , m2 试求质心。 质量各为
xA1m1 xA2 m2 m2 xc l m1 m2 m1 m2
【例2】计算一个由两质点组成的最简单的质点系的质心。 【例2解】根据质心的定义
m1 x1 m2 x2 xc , m1 m2
2
（13）
不受外力作用的两体的总动量守恒，质心作匀速直线运动
第二：求出相对运动规律。 现求特殊情况下，既不受外力作用的两体的相对运动 两体的相对运动动力学微分方程 质点A
两个不受外力作用的质点在已 知内力作用下的相对运动。
d r1 m1 2 f (r ) dt
2
2
d r2 质点B m2 2 f (r ) dt 2 1 d ( r2 r1 ) 1 f ( r ) （14） 2 dt m1 m2 m1m2 d 2 ( r2 r1 ) f (r ) 2 dt m1 m2
（18）
行星绕太阳运动、人造卫星绕地球运动、电子绕原子核运动、 带电粒子在核场中的散射等，都属于两体运动问题。两体运 动是质点系理论能够精确求解的一个问题。因为三体运动就 不可求解。
2、人造地球卫星的运动 d 2r Mm 2 f (r ) G 2 dt r 地球质量远大于卫星质量M >> m， Mm m M m
二、刚体的平动动力学方程 刚体的一般运动=刚体的质心的运动+绕质心转动
1、平动刚体的动力学方程 刚体平动时，连接刚体上任意两点的直线 的方向始终不变．或者说，刚体内任意两 点间的连线总是平行于它们的初始位置间 的连线．
刚体的平动的基本特征：
A
A
A
B B
B A
B
ai a,
vi v
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
d r Mm ˆr m G 2 e 2 dt r
2
质心坐标
Mx1 mx 2 xc M m
My1 my 2 yc M m
图3.4 地球卫星系统
地球质量远大于卫星质量M >> m， ---卫星相对于地心的单质点运动问题x Nhomakorabea x1
yc y1
3、地月系统
3 R 6.4 10 km 地球半径为 E
r
地球
月地质量比： m / M 1/ 80
月球
地月相距约： r 3.8 10 km 月球相对于地心运动的动力学方程为
5
图3.5 地球月球系统
2 d r Mm d r Mm ˆr 2 2 G 2 e dt r M m dt