质心
质量中心或称质心
质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心.如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在重心名称定义一个物体的各部分都要受到重力的作用。
从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。
有规则形状的物体，它的重心就在几何重心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。
不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定.物体的重心,不一定在物体上.质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。
载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。
如果是几何体,那要看是否规则,一般来说,高中阶段比较规则的图形，两个都在同一点上，不规则的话要看具体情况，如：一个装满水的球，两心合一，但是半满水或低于半满水的球，则重心比质心要低。
最好又具体例题分析，这些东西最好找学校比较权威的老师去询问比较好。
只有一种情况两心不重合：重力场g（矢量）不均匀我们一般讨论的是在g均匀地向下，所以质心和重心重合，只是大小不同质心一个假象点假象的质量的中心重心一个物体的各部分都要受到重力的作用，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点这一点叫做物体的重心。
质心、刚心、重心
质心质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为：X表示某一坐标轴mi 表示物质系统中，某i质点的质量xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心1.jpgmiri／Image:质心1.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc＝Image:质心2.jpgρrdτ／Image:质心2.jpgρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知：①质点系的内力不能影响质心的运动。
②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
重心、中心、质心
质心：质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。
重心重心，是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成支点的重力的合力都通过的那一点。
规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。
不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定。
物体的重心，不一定在物体上。
另外，重心可以指事情的中心或主要部分。
三角形的重心即为中线交点。
物体的重心位置，质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。
有规则形状的物体，它的重心就在几何中心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。
不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定.物体的重心,不一定在物体上。
如果一个任意几何图形，其实没有中心的定义正多边形有中心，平行四边形有对称中心。
这个中心的意义其实并不很严谨。
数学上本身也并没有所谓的几何中心的定义。
探讨几何图形的中心一词，实际是来源于中心对称这个概念。
就是说这个几何图形首先应该是中心对称的图形，那么这个图形各部分围绕某个点呈中心对称时，这个点就是这个几何图形的中心。
那么后来有人把这个概念扩大了，认为所有的正多边形的重心都可以看做是这个几何图形的中心。
垂心是三角形三条高的交点内心是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心重心是三角形三条中线的交点外心是三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。
质心位置的求法
质心位置的求法
质心是物体内部所有质量点的平均位置，是一个物体的几何中心。
它在三维空间中的坐标表示为(x,y,z)，其中x、y、z分别为物体在三个坐标轴上的质心位置坐标。
在静力学和力学中，质心位置的求法可以通过以下步骤来实现：
1. 将物体划分为无数个微小的质量点，每个质量点的质量可以表示为dm 。
2. 对于一个三维物体，其质心坐标可以用以下公式计算：
x = (1/M) * ∫(x*dm)
y = (1/M) * ∫(y*dm)
z = (1/M) * ∫(z*dm)
其中M为整个物体的质量，∫表示对整个物体积分。
3. 对于一个平面物体或线段，质心坐标可以用以下公式计算：
x = (1/M) * ∫(x*dm)
y = (1/M) * ∫(y*dm)
其中M为整个物体的质量，∫表示对整个物体积分。
4. 对于一个质点系，质心坐标可以用以下公式计算：
x = (Σ(mixi)) / M
y = (Σ(mi*yi)) / M
z = (Σ(mi*zi)) / M
其中mi表示第i个质点的质量，xi、yi、zi表示第i个质点在三个坐标轴上的位置，M为整个质点系的总质量，Σ表示对i从1到n求和，n为质点的数量。
通过上述公式，可以精确地计算物体的质心位置。
质心运动课件
一.质心动能定理 (科尼希定理)
一个质点组的质心在C，如图．
z S
ric C
mi
rc
对某参照系S， 定义：
O
ri
EC
1 2
MvC2
——质心动能
x
y
是否相等？
Ek
i
1 2
mi
vi2——质点组总动能
可以证明：
对 质某点参组照 总系 动， 能：Ek EC ErC
——质心动能定理 (科尼希定理)
质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能
ErC
vrriiCC
i
1 2
mi
vi2C
是质点组相对质心的总动能
是第i个质点相对于质心C的位 速率矢
18
科尼希定理: Ek EC ErC 证明如下： z
r riC
是第i
个质点相对于质心C的位矢
如图：对某参照系S，
ri
v
2 i
rC
i
1 2
mi vi2C
i
1 2
mi
2vC
viC
19
Ek
i
1 2
mi vC2
i
1 2
mi vi2C
i
rr mivC viC
r r r mivC viC vC
r mi viC
vC
0
0
i
i
质心系中质点组总动量
＝质心系中的质心动量
Ek
i
1 2
dLrC dt
M rC
质点组对质心的 角动量变化定理
质点组的角动
质点组相对于质心的角动量的时间 量变化定理在
变化率 = 各外力对质心的总力矩
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
质心和质心运动定律
质心与质心运动定律
【例题 1】一艘质量为 M = 500 kg，长为 l = 4 m 的小船 静浮在水面上，船尾站着一质量为 m = 50 kg 的人，当 人从船尾走到船头相对船停下后，求船的位移？忽略船 受到的水的阻力。
质心与质心运动定律
【解析】
以水平方向为 x 轴，取船尾为坐标原点。 人在走动过程中，人和船构成 的体系在水平方向不受外力作用， 因此质心加速度为 0 ，由于质心 初速度也为 0 ，因此质心位置不变。 人走动前质心坐标： xC 0
质心与质心运动定律
【习题 3】用质心运动定律重解[动量例题 5]
[动量例题 5]一根长为 l，质量为 m 的柔软的均匀绳子盘放在 地面上，现拎着绳子的一端以恒定的速度 v0 匀速向上提，求 当该端离地面 x 高时，拎绳的力 F。
质心与质心运动定律
【解析】
取竖直向上为 x 轴正方向，坐标原点取地面。 当绳上端离地面 x 高时，质心坐标 m x x⋅ x2 2 = xC = l m 2l dxC x dx x = = v0 质心的速度 vC = dt l dt l
m1 x1 + m2 x2 xC = m1 + m2
质心
二、质心的位置
求质心的计算方法从数学的角度来看，为一种求平 均的方法，即求带有质量权的平均。 每个质点的质量代表一定的权重，质量大，权重就 大，质量小，权重就小。
m2 m1 m1 + m2 就非常小，而 x1 所占的比重 m1 + m2 非常大，
n
将质心的速度表示式两边对时间求导数，得质心的
r ∑ mi ai
n i =1
其中
∑m a
i =1
n
M
=
r ∑ F外i
12.3质心运动定理(理论力学课件).
（12.10）
mi ri rc
2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
m r1 m r2 ...... m rn rc m m ...... m r1 r2 ...... rn 1 ri n n
1/n 与 i 无关，为公因子。
e F ix 0, px cont
运动分析：t=0 时系统静止； t时刻：车v，人v+vr
可知
t 0
px 0 0
y
车重W，人重Q，某瞬时人相对小 车的速度为vr，试求此时的车速v？
e F ix 0, px cont
vr Q
v
o
N1
W
N2
x
t=0时系统静止； t：车v，人v+vr 可知
（3）
将质心c的运动方程等式两端微分得：
y
m2 2 x e cos t c m1 m2 （4） y m2 e 2 sin t c m1 m2
c1
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx Ry
(4)质心运动微分方程：
m1 m2 xc m2e 2 cos t Rx 2 m m y m e sin 1 2 c 2 Ry m1 g m2 g
习题12.19 均质杆AB，长2L，铅直地静置于光滑
水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆AB在
倒下过程中，点A的轨迹方程。
y A Co , C B , FN B mg , A
x
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
11-2 质心运动定理
r
aB
B O
aB
mA g
A
A相对于 的加速度： 相对于B的加速度 相对于 的加速度：a
θ
ar
x
mB g
的绝对加速度： 则A的绝对加速度：a + a 的绝对加速度 B r
FN
§11-3
质心运动定理
质心运动守恒定律的应用。 解： (1) 求d。质心运动守恒定律的应用。 向左移动的距离d。 设B向左移动的距离 。 向左移动的距离
§11-3
质心运动定理
4. 小结：动量守恒定律、质心运动守恒定律 小结：动量守恒定律、
(e) Fx = 0 ∑
x方向上动量守恒 方向上动量守恒
px = mvCx = mvCx0 = Cx
(e) Fx = 0 ∑
初始静止
x方向上质心守恒 方向上质心守恒
xC = C : xC
或：∆x = 0 C
∑m x = ∑m
i
i Ci
=C
∑mi ∆xCi = 0 ∆xC = ∑mi
∑m ∆x
i
Ci
=0
§11-3 例11-11 11-
质心运动定理
如图所示， 静止的小船上， 如图所示，在静止的小船上，设船的 的小船上 质量为m 人的质量为m 质量为m1 ，人的质量为m2，船长 l，水的阻力忽略 不计。若一人自船头走到船尾， 不计。若一人自船头走到船尾，求船的位移 s 。
§11-3 [说明] 说明]
（1）投影式 ）
质心运动定理
(e)
maC = ∑F i
maCx = ∑Fx(e) maCy = ∑Fy(e) ma = F(e) Cz ∑ z
或
n maC = ∑F(e) n t maC = ∑Ft(e) 0 = F(e) ∑b
力学中的质心
力学中的质心力学中的质心（Center of Mass in Mechanics）在力学中，质心（Center of Mass）是一个经常被讨论的主题。
质心是一个物体的几何中心，它可以用来描述物体在力学中的运动和平衡。
本文将深入探讨质心的概念、计算方法以及其在力学中的应用。
一、质心的定义和特性质心被定义为一个物体的总质量分布在空间中的几何中心。
对于一个质点系统或一个具有连续分布的物体，质心是一个特殊的点，它具有以下特性：1. 质心的位置与物体的形状和质量分布有关。
当物体具有对称性时，质心通常位于物体中心或中轴线上。
但对于不规则形状的物体，质心的位置可能会有所偏移。
2. 质心是一个虚拟的点，它不一定处于物体实际存在的位置。
即使一个物体是孔洞或空洞的，它的质心也可以在物体的实际存在之外。
3. 对于一个质点系统或一个连续分布的物体，质心的位置可以通过对质量进行加权平均来计算。
质心的坐标可以用矢量的形式表示。
二、质心的计算方法计算质心的位置需要考虑物体的质量和质量分布。
有几种常见的方法可以计算质心的坐标。
1. 对于一个质点系统，可以通过将每个质点的质量与其位置的乘积相加，再除以总质量来计算质心的位置。
这可以表示为：x_cm = (m1x1 + m2x2 + ... + mnxn) / (m1 + m2 + ... + mn)y_cm = (m1y1 + m2y2 + ... + mnyn) / (m1 + m2 + ... + mn)z_cm = (m1z1 + m2z2 + ... + mnzn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，m是质量，x、y和z是位置坐标。
2. 对于一个连续分布的物体，可以使用积分来计算质心的位置。
假设物体沿着x轴分布，可以表示为：x_cm = ∫x dm / ∫dm同样，可以使用相同的方法计算y和z方向的质心坐标。
三、质心在力学中的应用质心在力学中有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动和平衡时。
第一章质心
=_______ 。
y
A
xB y A l
rC xB i y A j
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
L
L
m
3
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝ 2 。求其质量中心。
dm dx cx dx
2
m
1 3
dm cx dx cL
0
3
3m
dm dx 3 xdx
L
L
xc
2
xdm
m
L
0
0
3m 3
x dx
3
L
m
x
3
L
4
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝x2。求其质量中心。
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
yA
xC
v
O
C
B
yC
x
xB
y vt
d rC
v
aC
质心法高中物理
质心法高中物理质心法是高中物理中一个重要的概念和计算方法。
它在研究物体平衡、转动和碰撞等问题时起到了关键作用。
质心，也叫质量中心，是一个物体所有部分的质量的平均位置。
在考虑物体的平衡和转动时，我们可以将整个物体的质量视为集中于质心的一个质点，从而简化问题的分析和计算。
质心的位置可以通过以下公式计算得到：[x_{cm} = frac{m_1x_1+m_2x_2+...+m_nx_n}{m_1+m_2+...+m_n}] [y_{cm} = frac{m_1y_1+m_2y_2+...+m_ny_n}{m_1+m_2+...+m_n}] [z_{cm} = frac{m_1z_1+m_2z_2+...+m_nz_n}{m_1+m_2+...+m_n}]其中，(x_{cm})、(y_{cm})和(z_{cm})分别代表质心在三个坐标轴上的位置，(m_1)、(m_2)…(m_n)分别代表物体上各部分的质量，(x_1)、(x_2)…(x_n)、(y_1)、(y_2)…(y_n)和(z_1)、(z_2)…(z_n)分别代表这些部分的坐标。
质心法的主要应用之一是研究物体的平衡。
当一个物体受到多个力的作用时，如果这些力的合力和合力矩都为零，那么物体将保持平衡。
利用质心法，我们可以将物体看作一个质点，只需考虑合力和合力矩的作用点是否通过质心即可判断平衡条件。
此外，在研究物体的转动时，质心法也非常有用。
根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，我们可以推导出转动定律：(tau = Ialpha)。
其中，(tau)代表力矩，(I)代表物体对于旋转轴的转动惯量，(alpha)代表物体的角加速度。
在质心法中，我们可以简化计算，将转动惯量(I)视为质量(m)乘以距离(r)的平方，即(I = mr^2)。
这样一来，我们可以将物体的质心作为旋转轴，计算转动惯量和力矩，从而分析物体的转动情况。
最后，质心法在研究碰撞问题时也发挥着重要作用。
高中物理中质心概念的应用
.∑ 高中物理中质心概念的应用湖北省恩施高中 陈恩谱一、质心的定义与系统总动量一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为 m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为 r = ∑ m i r i，其中 M =m +m +m +….CM1 2 3写成直角坐标系下的分量式为 x =∑ m i x i，y= ∑ m i y i ， z = ∑ m i z i . CMC M CMd r Cdd r上式变形，对时间求导，容易得出 Mv C = Md t=d t ∑m i r i= ∑m id ti= ∑m i v i.即：一个系统的总动量可以用系统总质量 M 与质心 C 的速度 v C 的乘积。
二、质心与重心、重力势能重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似： r CG = m i g ir i ∑ m i g i从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占空间都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非 匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。
另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。
有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算： h CG ⋅∑m i g i = ∑m i g i h i匀强重力场中，上式可以简化为： Mgh C =∑m igh i。
这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。
【例 1】(2017·全国卷Ⅲ，16)如图 1，一质量为 m 、长度为 l 的均匀柔软细绳 PQ 竖直悬挂。
用外力将绳的下端 Q 缓慢地竖直向上拉起至 M 点，M 点与绳的上端 P 相距 1l 。
重力加速度大小为 g 。
在此过程中，3外力做的功为( )1 1 A. mgl B. 9 6mgl C.1 3 mgl D.1 2 mgl[答案] A 三、质心与动能如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计 算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有 E = E CM + 1Mv 2 ， kk2 C其中 ECM= ∑ 1m (v CM )2 为各质点相对质心的动能之和， v CM 是各质点相对质心的速度。
质心不变原理
质心不变原理质心不变原理是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体的运动和相互作用时起着至关重要的作用。
质心不变原理指出，在一个封闭系统内，系统的质心在没有外力作用的情况下保持不变。
这一原理对于研究物体的运动、碰撞、旋转等现象具有重要的指导意义，下面我们来详细了解一下质心不变原理的相关内容。
首先，我们来看一下质心的定义。
质心是一个系统中所有质点的加权平均位置，它可以用来描述整个系统的运动状态。
在一个封闭系统内，如果没有外力作用，系统的质心将保持不变。
这意味着，即使系统内部发生了各种运动和相互作用，系统的整体运动状态仍然可以用质心的运动来描述。
接下来，我们来看一下质心不变原理的应用。
在物体的运动和相互作用过程中，质心不变原理可以帮助我们简化问题，从而更容易地分析和理解物体的运动规律。
例如，在研究碰撞过程时，我们可以通过质心不变原理来分析碰撞前后系统的整体运动状态，从而得到碰撞后物体的速度、动量等重要物理量。
此外，质心不变原理还可以帮助我们理解物体的旋转运动。
在刚体的旋转运动中，质心不变原理可以帮助我们确定整个系统的旋转中心，从而更好地描述和分析刚体的旋转规律。
通过对质心的运动状态进行分析，我们可以得到刚体的角速度、角动量等重要物理量，进而揭示刚体旋转运动的规律和特性。
总之，质心不变原理是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体的运动和相互作用时具有重要的指导意义。
通过对质心的运动状态进行分析，我们可以更好地理解和描述物体的运动规律，从而为物理学的研究和应用提供重要的理论基础。
希望通过本文的介绍，读者能够对质心不变原理有一个更加清晰的认识，并能够在实际问题中灵活运用这一重要的物理概念。
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例:已知半圆环质量为M,半径为R 已知半圆环质量为M,半径为R M,半径为 它的质心位置? 求:它的质心位置? 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图 由对称性 x = 0
c
M 线密度 λ = πR
M dm = Rdθ πR
y = R sin θ
πபைடு நூலகம்
0
取dl → dm=λdl dl=Rdθ θ
M ∫ ydm = ∫ R sin θ π R Rdθ = yc = M M π R R 2R = ( cos θ ) = (1 + 1) = 0 π π π
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
p = ∑ mi vi = mvc 其中 m = ∑ mi = m1 + m2 + 为质点系的总质量
若令系统总动量 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动. 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点 的运动.
y
设小球质量为 0,则质量和质心坐标分别为: 小球质量为m 则质量和质心坐标分别为: 质量为 大球: 大球: m1 = 64m0 , x1 = 0 , y1 = 0 小球: 小球:m3 = m0 , x3 = R / 2, y3 = R / 4 系统的总质量为 m = m + m2 + m3 = 57m0 1 中球: 中球: m2
drc vc = dt
vc
如何确定这个 点的位置? 点的位置?
∑ =
dri mi vi ∑ mi dt = = m m
dri vi = dt
i i
∑ m dr
mdt
rc
∑mr =
m
i i
rc =
∑m r
i =1 n
n
i i
点C的位矢是质点系各质 的位矢是质点系各质 的位矢是质点系 点位矢的质量加权平均. 的质量加权平均 点位矢的质量加权平均. 质心(质量中心 : 质心 质量中心):质点系 质量中心 质量分布的平均位置 平均位置. 质量分布的平均位置. 对两质点系统,质心位 两质点系统, 系统 置总满足关系式: 置总满足关系式:m1d1 = m2d2 C m1 m2 × d2 d1 o
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 0 + 0 m0 R / 4 1 yc = = = R m 57 m0 228
实例
和质心( 是两个不同 ★重心(Center of Gravity)和质心 Center-of-Mass)是两个不同的 重心 和质心 是两个不同的 概念: 概念: 重心是重力的作用点,质心是系统质量分布的中心. ① 重心是重力的作用点,质心是系统质量分布的中心. 当物体远离地球而不受重力作用时,重心这个概念就失去意义 失去意义, ② 当物体远离地球而不受重力作用时,重心这个概念就失去意义, 但质心却依然存在. 但质心却依然存在. 除非重力场均匀 否则系统的质心与重心通常不重合 重力场均匀, 重合. ③ 除非重力场均匀,否则系统的质心与重心通常不重合. 作用在物体上各部分的重力方向平行;重力加速度可以视为常数. 作用在物体上各部分的重力方向平行;重力加速度可以视为常数. 作用在物体上各部分的重力方向平行 常数 小线度物体(其上 g 各处相等),质心和重心是重合的. 小线度物体( 各处相等),质心和重心是重合的. ),质心和重心是重合的 小线度物体 对于地球上体积不太大的物体,重心与质心的位置是重合的. 对于地球上体积不太大的物体,重心与质心的位置是重合的. 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时,两者就不重合了, 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时,两者就不重合了, 如高山的重心比质心要低一些. 如高山的重心比质心要低一些. ★质心的运动代表着质点系整体的运动,与单个质点的运动相同. 质心的运动代表着质点系整体的运动,与单个质点的运动相同. 整体的运动 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质. 实际物体抽象为质点模型的实质 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质. 质点系的任何运动一般都可分解为 质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和 质心的运动和相对于质心的运动
§2 质心参考系
质心参考系是固结在质心上的平动参考系. 质心参考系是固结在质心上的平动参考系. 固结在质心上 质心在其中静止,一般选取质心作为坐标系的原点. 坐标系的原点 质心在其中静止,一般选取质心作为坐标系的原点. z z' mri i rc = i i c r i'
r '= r r
N
N
∑ m i (ri rc ) = ∑ m i ri '
i =1
∑ mi vi ' = 0
i =1
质心系中的速度
vi ' = vi vc
在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系. 在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系. 卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统, 卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统, 它们的共同质心在冥王星表面以外. 它们的共同质心在冥王星表面以外.
∑m
i =1
n i i
i
直角坐标系中, 分量的表达式 直角坐标系中,各分量的表达式
xc =
∑m x
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
, yc =
∑m y
i =1 n i
n
i
i
∑m
i =1
, zc =
∑m z
i =1 n
i
∑m
i =1
i
例:任意三角形的每个顶点有一质量m,求质心. 任意三角形的每个顶点有一质量 ,求质心. y mx1 + mx2 + 0 (x1, y1)
质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统 质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统 系统上 等于系统的总质量 质心加速度的乘积 的乘积. 质心加速度的乘积. 与描述质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同. 与描述质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同. 质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同 整体的运动→单个质点的运动 单个质点的运动. 整体的运动 单个质点的运动. 质心的运动与内力无关,仅取决于外力, 大力士不能自举其身. 质心的运动与内力无关,仅取决于外力,如大力士不能自举其身. 质点系受到的外力的矢量和为零 受到的外力的矢量和为零, 质心静止或作匀速直线运动 若质点系受到的外力的矢量和为零,则质心静止或作匀速直线运动
a y=a x b b
1 ab 2
从图中看出三角形斜边的方程为
∫ (∫ xdy)dx a = ∫ x(a x)dx b
a a x b b
a 2∫ x(a x)dx 2 ∫ ∫ ydxdy 0 b xc = a 0 0 = 同理 yc = ab ab 3 1 2 a 3 2 2 2 2( ab b ) (ab ab ) b b a 2 3b 3 = = = ∴ 质心的坐标为 , ab ab 3 3 3
N mg = mac
l
质心的坐标:未落地部分+已落地部分 质心的坐标:未落地部分 已落地部分
z
m 1 z,质心的坐标为 z , 未落地部分: 未落地部分:质量 l o 2 整条绳的质心坐标为 整条绳的质心坐标为 v = 2g(l z) dvc d z v2 z dv 2 1 m 1 z = ( v) = + 质心的加速度为 ac = zc = ( z z ) = dt dt l l l dt m l 2 2l z z z
1 1 1 xc = ∫ xdm, yc = ∫ ydm, zc = ∫ zdm m m m m m m dm 线分布: 面分布: 体分布: 线分布: = dl 面分布: = dS 体分布:dm = dV dm S V l
坐标系的选择不同,质心的坐标也不同; 坐标系的选择不同,质心的坐标也不同; 坐标系的选择不同 坐标也不同 密度均匀,形状对称的物体,其质心在物体的几何中心处; 密度均匀, 的物体, 几何中心处 密度均匀 形状对称的物体 其质心在物体的几何中心 质心不一定在物体上,例如:圆环的质心在圆环的轴心上. 质心不一定在物体上 质心不一定在物体上,例如:圆环的质心在圆环的轴心上.
V1 : V2 : V3 = R : R2 : R3 = 64 : 8 : 1
3 1 3 3
x
o
= 8m0 ,x2 = R / 2, y2 = 0
三个球体可视为质量 各自集中在质心( 各自集中在质心(球 处的三个质点 质点. 心)处的三个质点.
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 0 4m0 R + m0 R / 2 7 xc = = = R m 57 m0 114
i =1
N
∑ ∑m
mi
i
=0
rc
x'
y' ri
y
求导
x 从质心系中来看,系统总动量=0, 从质心系中来看,系统总动量 ,零动量参考系 动量守恒 质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性系. 不一定是惯性系 合外力为零时质心系才是惯性系 质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性系.
R ∫ sin θ dθ
π
质心不在物体上,但 质心不在物体上, 相对半圆环位置固定
r = Rsinθ 例:求半径为R的半球形球壳的质心 求半径为 的半球形球壳的质心 根据对称性 细环的质心位于y轴 对称性, 解:根据对称性,细环的质心位于 轴. y = Rcosθ r 如图将球壳细分成无数多细环, 如图将球壳细分成无数多细环,细环 θ R 半径记为r, 球壳质量面密度 面密度为 半径记为 ,设球壳质量面密度为σ, o 则其中任一细环的质量 细环的质量为 则其中任一细环的质量为