高三选修2教案2.4极限的四则运算(一)

课 题：2.4极限的四则运算(一)

教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限

教学重点：运用函数极限的运算法则求极限

教学难点：函数极限法则的运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．

某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞

=．

2.几个重要极限：

（1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n

q （1

→q q n

n

3.函数极限的定义:

(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常

数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .

记作：

+∞

→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .

(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于

一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .

记作

-∞

→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .

(3)如果

+∞

→x lim f (x )=a 且-∞

→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函

数f (x )的极限是a ，记作：∞

→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .

4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞

→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞

=

∞

→x lim f (x )存在，表示+∞

→x lim f (x )和-∞

→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞

→x lim f (x )

中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞

→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义

5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，

如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)

(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00

lim x x x x =→

6. 0

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==

其中0

lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0

lim ()x x f x a +→=表

示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限

二、讲解新课：

1. 对于函数极限有如下的运算法则：

如果B x g A x f o

o

x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f o

x x +=+→)]()([lim ;

B A x g x f o

x x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim

≠=→B B

A

x g x f o

x x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组

成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函

数的极限不能为0）.

说明：当C 是常数，n 是正整数时:

)(lim )]([lim x f C x Cf o

o

x x x x →→=,n x x n x x x f x f o

o

)](lim [)]([lim →→=

这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.

*lim (),o

k k

o x x x x k N →=∈ *1

lim

0()k x k N x

→∞=∈ 三、讲解范例：

例1 求)3(lim 2

2

x x x +→

解：22

2

2

2

lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=

例2 求1

21

2lim 2321-+++→x x x x x .

解：1

lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 1

21

31

1

121231

212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 21

1211

112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1

21

22

32-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得