高三选修2教案2.4极限的四则运算(一)

课 题：2.4极限的四则运算(一)
教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞
=．
2.几个重要极限：
（1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n
q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞
→q q n
n
3.函数极限的定义:
(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常
数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .
记作：
+∞
→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .
(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于
一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .
记作
-∞
→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .
(3)如果
+∞
→x lim f (x )=a 且-∞
→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函
数f (x )的极限是a ，记作：∞
→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .
4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞
→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞
=
∞
→x lim f (x )存在，表示+∞
→x lim f (x )和-∞
→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞
→x lim f (x )
中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞
→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义
5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，
如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)
(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00
lim x x x x =→
6. 0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==
其中0
lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0
lim ()x x f x a +→=表
示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限
二、讲解新课：
1. 对于函数极限有如下的运算法则：
如果B x g A x f o
o
x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f o
x x +=+→)]()([lim ;
B A x g x f o
x x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim
≠=→B B
A
x g x f o
x x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组
成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函
数的极限不能为0）.
说明：当C 是常数，n 是正整数时:
)(lim )]([lim x f C x Cf o
o
x x x x →→=,n x x n x x x f x f o
o
)](lim [)]([lim →→=
这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.
*lim (),o
k k
o x x x x k N →=∈ *1
lim
0()k x k N x
→∞=∈ 三、讲解范例：
例1 求)3(lim 2
2
x x x +→
解：22
2
2
2
lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=
例2 求1
21
2lim 2321-+++→x x x x x .
解：1
lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 1
21
31
1
121231
212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 21
1211
112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1
21
22
32-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得
到极限值.这种方法叫代入法.
例2 求1
21
lim 221---→x x x x .
分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将
分子分母因式分解，共有x －1这个因子.因为x 无限趋近于1，不包含x =1即x
≠1，所以可约去公因式，化简再求极限.
解：)
12(lim )1(lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 121lim 1
1
11221++=
++=+--+=---→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 3
2
11211=+⋅+=
当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因
式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.
例3 求1
1
2lim 231++-→x x x x
解：3232321111
11
1
1
lim(21)lim 2lim lim1212lim 11lim(1)lim lim12
x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+-+====+++
例4 求4
16lim 24--→x x x
分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.
注意函数4
16
2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后
变成4+x ，由此即可求出函数的极限.
解：24444416(4)(4)
lim
lim lim(4)lim lim 444844
x x x x x x x x x x x x →→→→→--+==+=+=+=-- 例5 求1
33lim 22++-∞→x x x x
分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的
极限运算法则.如果分子、分母都除以2
x ，所得到的分子、分母都有极限，就可
以用商的极限运用法则计算
解：2
222
2222
131313
3lim(3)lim3lim lim 33lim lim 311111lim(1)lim1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-+-+-+-+====++++ 例6 求1
34
2lim 232+--+∞→x x x x x
分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3
x ，
就可以运用法则计算了
解：2
232323
32333
214214214lim()lim lim lim 24lim lim 111111
313lim(3)lim3lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞+-+-+-+-====-+-+-+-+
例7 求下列极限. (1))
1)(12()
2)(1(lim -+-+∞→x x x x n ; (2)12144lim 232+++-∞→x x x x n
解： (1)2
2
221
122
11lim 122lim )1)(12()2)(1(lim
x
x x x x x x x x x x x x x x ----
=----=-+-+∞→∞→∞→ 2
10020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim
1lim 22
=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x
(2)3
3
2332232
1
lim 2lim 1lim 1
lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-
00
010
00=+++-=
.
四、课堂练习：
1.求下列极限: (1)
1
lim →x (3x 2－2x +1) (代入法.)
解：1
lim →x (3x 2－2x +1)=1
lim →x 3x 2－1
lim →x 2x +1
lim →x 1=3×12－2×1+1=2.
(2))
6)(5()
12)(3(lim
1-+-+-→x x x x x . (代入法)
解：)
6)(5(lim )12)(3(lim )6)(5()12)(3(lim 1
1
1-+-+=-+-+-→-→-→x x x x x x x x x x
x
14
3
)61)(51()12)(31()
6(lim )5(lim )
12(lim )3(lim 1
1
1
1
=--+---+-=
-+-+=
-→-→-→-→x x x x x x x x
(3)2
4
lim 22--→x x x . (因式分解法.)
解：4)2(lim 2
)
2)(2(lim 24lim
2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x . (4)20
121
3lim
2+--∞→x x x x (分子、分母同除x 的最高次幂.)
解：020
12113lim 20121
3lim 2
2
2
=+--=+--∞→∞→x
x x x x x x x x (5)4
2
28lim
24
---→x x x . (分子有理化.)
解：)
228)(4()22(8lim 4228lim
22
2424
+----=---→→x x x x x x x .
=22
284442
284lim
)
228)(4()4)(4(lim
2
2
4
2
4
=+-+=
+-+=+---+→→x x x x x x x x
五、小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极
限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极
限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、
分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法.
六、课后作业：
1.（1）)432(lim 3
1++-→x x x ;（2）35lim 222-+→x x x ;（3）1
2lim 21++→x x x
x ;
（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x ;（5）13
lim 2423++-→x x x x ;（6）245230233lim x x x x x x -++→;
（7）42lim 22--→x x x ;（8）11lim 21-+-→x x x ;（9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x ; （10）x m m x x 220)(lim -+→;（11）)112(lim 2x
x x +-∞→ ;（12）1221lim 22-++∞→x x x x
答案：⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5
⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2
七、板书设计（略）
八、课后记：。