1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质精品PPT课件

(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n
应用: 集合a1, a2,, an的非空子集有多少个?
2n 1
例5.在(a b)n 展开式中,奇数项二项式系数的和 等于偶数项二项式系数的和.
证明： 在(a+b)n中,令a=1,b= -1得：
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnr (1)n Cnn ,
(2)系数最大的项是____; (3)系数最小的项是____.
T5=C
4 9
x4
T6=C 95 (-x)5
=
-
C
5 9
x5
略解: 由题意可得:
(2)(3)要求：具体写出其项是什么.
Cn3 =Cn6 得 n = 9 最大二项式系数为 Cn4 、Cn5
例2.在（x 1 ）10的展开式中 x
系数最大的项是： 第5、第7项
二项式系数的性质
(a+b) (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
11 121 13 31 1 4 64 1 1 55 10 10 55 1
(a+b)6 …
1 6 15 20 15 6 1
………….
………….
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2
Cnn-2 Cnn-1 Cnn
共有 n+1 项
a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7
(a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47.
.已知(2x 3)100 a0 a1x a2 x2 a100 x100 , 求下列各式的值 : (1)(a0 a2 a100 )2 (a1 a3 a99 )2; (2)a0 a2 a100.
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数
n
Cn2 取得最大值；
n1
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
C
2 n
Cn2
相等，且同时取得最大值.
2.增减性与最大值
(1)若二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;
(2)若二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等最大.
(最大系数规律)
(1)当n为偶数时，展开式共有n+1(奇数)项，所以展开式
C 有中间一项:
第
n
2
+1
项T
n 2
+1
的二项式系数最大,
为
n
n2
(2)当n为奇数时，展开式共有n+1(偶数)项，所以展开式
C C 有中间两项:
为
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n -1
2
n
、
第
n+1
2
n+1
2.
n
、n+2 1+1 项的二项式系数最大,
例题巩固
例1. (1-x)n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，
则展开式中: (1)二项式系数最大的项是第_5_、_6_项;
3
3
∴展开式中系数最大项为第5项，T5=
C142 (2x)8 31680x8
例4.证明:Cn0 Cn1 Cn2
证明：
(1 x)n Cn0 Cn1x Cn2 x2
Cnn 2n. Cnr xr Cnn xn
令x=1得： 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn.
此表在我国现称为杨辉三角(“开方做法本源”).
杨辉三角
杨辉(宋朝) 《九章算术》
杨辉三角
《详解九章算法》中记载的表
二项式系数的性质
1.对称性 与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式
Cmn Cnnm 得到．
图象的对称轴：r n 2
如n=6时
2.增减性与最大值
由于：
510
(2) 所有项的系数和为_____.
赋值法 求所有项的系数和：令x=1即得.
例8.已知(3x 1)7 a0x7 a1x6 a6x a7. 求(1)a1 a3 a5 a7;(2)a0 a2 a4 a6;
(3) a0 a1 a2 a7 .
解 :设f (x) (3x 1)7
n1
C n1 n
2
(1)n
1
证明: 由
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnr a nrbr Cnnbn ( n N * )
令a 2,b 1可得 :
(2 1)n Cn0 2n Cn1 2n1
(1)
C n1 n1 n
2
(1
)
n
(n N* )
1
2n
Cn1
2n1
例3．求(2x+1)12展开式中系数最大的项.
解: 设Tr+1 的系数最大，则Tr+1 的系数 不小于Tr 与Tr+2 的系数，即有
新疆 王新敞
奎屯
C1r2 212r C1r2 212r
C 2 r1 13r 12
C1r211211r
C2C1r21r22CC11rr2211
3 1 r 4 1 , r 4
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 ),
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1,
(奇数项 的二项式系数和)
(偶数项 的二项式系数和)
对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质 ——赋值法(是数学中一种常用方法).
练练,证明 :
2n
Cn1
2n1
Cn2
2n2
(1)
令x=1得：a0 +a1 +a2 +…+a50 =251 -23
253 23
(2)即求：a0+a2+a4+…+a50
2
令x=1得： a0+a1+a2+a3+…+a50=251-23 令x=-1得： a0 -a1+a2 -a3+…+a50=0
例7. (3+2x)10的展开式中，
(1) 所有项的二项式系数和为_2_1_0_;
f (1) a0 a1 a2 a7 27
f (1) a0 a1a2 a3 a7 47
(1)a1 a3 a5 a7
f (1) f (1) 2
27
47 ;
2
(2)a0 a2 a4 a6
f (1) f (1) 24 47 ;
2
2
(3)因为a1, a3, a5 , a7是负数
C
k n
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以Ckn
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定．
2.增减性与最大值
由： n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当 k n 1 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.
Cn2
2n2
(1)
C n1 n1 n
2
(1)n
例6.已知(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50 .
(1) 求展开式的各项系数和； (2) 求x的偶次幂项系数和.
解: 设: (1+x)3 +(1+x)4 +…+(1+x)50 =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a50x50
(1)即求：a0+a1+a2+…+a50