偏移成像技术

1、偏移技术分类【叠前/后偏移】可根据不同的标准对目前的地震偏移成像技术进行简单分类：按照所依据的理论基础，可以分为射、线类偏移成像和波动方程类偏移成像；根据输入数据类型，可以分为叠前偏移和叠后偏移；根据实现的时空域，可以分为时间偏移和深度偏移；按照维数，可以分为二维偏移以及三维偏移等；1.1叠前偏移使CSP道集记录或COF道集记录中的反射波归位，绕射波收敛。

●叠前偏移有椭圆切线法【手工方法，不适用】、Rockwell偏移叠加法【波前模糊法的拓展，计算量也很大】和Paturet-Tariel偏移叠加法【为了进行偏移，我们应当把的曲线上的地震能量（即采样点振幅）送到零炮检距绕射双曲线的顶点M上去叠加。

这样, 把各个相同炮检距的剖面偏移后叠加在一起即得偏移叠加剖面】等1.2叠后偏移基于水平叠加剖面，采用爆炸反射面的概念实现倾斜反射层归位和绕射波收敛。

●叠后偏移有波前模糊法、绕射曲线叠加法【两种方法原理简单，都是基于惠更斯原理提出的，前者将一个道上的波场值送到各个道上去叠加—输出道法，后者把各个道上的相应值取来在一道上叠加—输入道法，但是计算量很大】2、偏移成像特点●具有地震勘探本身的特征●计算机使其研究由地震波运动学特征过度到地震波动力学特征●提高地震空间分辨率和保真度●偏移成像是使反射界面最佳成像的一种技术●处理反射波，使之成为反映地下界面位置和反射系数值的反射界面的像3、偏移成像原理图偏移过程定量分析【Chun and Jacewitz ，1981】2(tan )/4t dx v t θ=221/2{1[1(tan )/4]}t dt t v θ=--221/2tan tan /[1(tan )/4]t t t v θθθ=-3.1 偏移前后的图例4、偏移方法分类5、实际中应用的一些偏移算法5.1 Kirchhoff 积分法【波场外推】适用条件：只满足均匀介质的情况。

[]111'1111(,,,)'4S R u u u x y z t u dS vR n t n R R n π⎧⎫-∂⎡∂⎤∂⎡∂⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤'''⎡⎤=-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰式中的[[u]]不再是推迟场，而是超前场。

1v R =，2222111()()()R x x y y z z =-+-+-详细解释见：PPT37页【地震偏移原理与方法】5.3 三种流行算法【建立在波动方程基础上】流行的三种算法都是建立在波动方程基础上，即Kirchhoff 积分法，有限差分法和F-K 法及其各种变形。

这三种方法由于有相同的数理基础，因此它们的原理相同。

同时，因计算方法不同，它们之间又有许多不同之处。

下面讨论三种方法对水平叠加地震剖面的偏移。

5.3.1 频率-波数域波动方程偏移【叠前时间偏移】采用爆炸反射面的理论。

为了成像，要求向地面以下反向外推地震波场。

假定z 轴垂直向下为正，测线沿x 轴，则u(x,z,0)表示偏移后的真实剖面，而u(x,0,t)是未偏移的叠加剖面。

在均匀各向同性完全弹性介质中，用半速度代替地震波传播速度，则标量波动方程变为2222222()04u v u ut x z ∂∂∂-+=∂∂∂（1.2.1）222222222(,,)(,,)x z x z u x z t u k k u u tu k u x u k u z ωω⇔⎫⎪∂⎪⇔-⎪∂⎪⎬∂⇔-⎪∂⎪⎪∂⇔-⎪∂⎭（1.2.2）对（1.2.1）式进行傅里叶变换并利用（1.2.2）式有：2222()04x z v k k ω-+=（1.2.3）2212x z zk vk k ω=±+其中正号代表上行波，负号是下行波。

5.3.1.1 Stolt 偏移法设(,,)x z u k k t 为(,,)u x z t 的二维傅里叶变换，对（1.2.1）式进行上述变换得到：22222()04x z u v k k u t ∂++=∂将（1.2.3）式代入上式有：2220uu t ω∂+=∂按上行波求解，即取正值得：(,,)(,)i tx z x z u k k t A k k e ω=【根据微分方程求解可得】其中A 与t 无关。

令t=0，上式变为：(,,0)(,)x z x z u k k A k k =从而，(,)x z A k k 是待求的偏移剖面(,,0)u x z 的傅里叶变换。

----------------完美分割线，重点来了-----------------------------------------下面讨论用水平叠加剖面(,0,)u x t 如何求出(,)x z A k k 。

对(,,)x z u k k t 做傅里叶逆变换得：()21(,,)(,)4x z i k x k z i tx x z z u x z t dk A k k e e dk ωπ∞∞-+-∞-∞=⋅⎰⎰令z=0，上式变为：()21(,0,)(,)4x i t k x x xzzu x t dk A k k edk ωπ∞∞--∞-∞=⎰⎰ （1.2.4）设水平叠加剖面(,0,)u x t 的二维傅里叶变换为(,)x B k ω，则()(,)(,0,)x i t k x x B k dx u x t e dt ωω∞∞---∞-∞=⎰⎰ （1.2.5）其逆变换为：()21(,0,)(,)4x i t k x x xu x t dk B k e d ωωωπ∞∞--∞-∞=⎰⎰ （1.2.6）比较（1.2.4）与（1.2.6）有(,)(,)x z z x A k k dk B k d ωω=这样(,)(,)x z x zd A k k B k dk ωω= 按上行波ω取正号并对zk 微分得2222(,)(,1/)221/x z x z x z x z v vA k kB k k k k k k =⋅+⋅⋅+ （1.2.7）对(,)x z A k k 做二维傅里叶逆变换得到()21(,,0)(,)4x z i k x k z x z x zu x z A k k e dk dk π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰（1.2.8）(,,0)u x z 就是要求取的偏移剖面。

5.3.1.2 Gazdag 相移法【纵向速度可变】首先对标量波动方程的x 和t 做二维傅里叶变换得到：2222()0x u k k u z ∂--=∂式中2/k v ω=，接下来求解(,,)x u k z ω【根据微分方程求解】：22(,,)exp()(,0,)x x x u k z iz k k u k ωω=- （1.2.10）能够适应深度方向速度变化的原因：（1.2.10）中包含了z 和v ，其中v 可以取固定值，也可以表示成z 的函数【此时，可以适应纵向速度变化的情形】。

其中的(,0,)x u k ω可以直接对水平叠加剖面(,0,)u x t 进行二维傅里叶变换得到。

接下来将（1.2.10）公式变换到空间-时间域，并且取t = 0时刻的波场值为成像值：21(,,0)(,,)4x ik xxxu x z t dk u k z ed ωωπ∞∞--∞-∞==⎰⎰注意：标量波动方程是关于x,z,t 的一个等式，因此只要两个自由变量，所以这是一个伪三维的函数，这样就可以已知两维求解三维表达式。

操作流程如下：为了适应横向速度变化，Gazdag （1984）提出了相移插值域波动方程偏移，在一定程度上解决速度横向变化的问题。

另一种求解方式，假设地下介质的速度只有垂向变化，没有横向变化，并假设在的深度间隔内波的传播速度保持不变。

这样，在每个深度间隔内，F-K 域标量波动方程上行波的解可以表示为：其中：对于探地雷达，应该有个4那么，当Zi =0时，就可以得到最初的【是的二维傅里叶变换】，之后就可以使用下面的计算过程了：关键点：只要已知和就可以得到下一个深度的波场，这一过程是递推进行的，从地面开始一直计算到偏移成像的最大深度。

关键问题是：根据给定的速度函数来确定【可以理解为Z[i]-Z[i-1]】，进而求出，并且每次递推的可以不同，就可以顺利完成递推了。

特殊情况【考虑速度不变的情况】： 那么就可以将第一个直接设置为想要观察深度的情况。

5.3.2 三维频率-波数域波动方程偏移采用爆炸反射面的理论。

为了成像，要求向地面以下反向外推地震波场。

假定z 轴垂直向下为正，测线沿x 轴，则u(x,y,z,0)表示偏移后的真实剖面，而u(x,y,0,t)是未偏移的叠加剖面。

在均匀各向同性完全弹性介质中，用半速度代替地震波传播速度，则标量波动方程变为222222222(+)04u v u u ut x y z ∂∂∂∂-+=∂∂∂∂ （1.2.1）732222733x ik v ω--（）(,0,)x uk ω(,0,)u x t (,,)x i u k z ωzt ik ze-∆(,,)x i u k z z ω+∆()i v z z ∆zt ik ze-∆z ∆z ∆222222222222(,,,)(,,,)x y z y x z u x y z t u k k k u u t u k u y u k u x u k u z ωω⎫⎪⇔⎪∂⎪⇔-⎪∂⎪∂⎪⇔-⎬∂⎪⎪∂⇔-⎪∂⎪⎪∂⇔-⎪∂⎭（1.2.2）对（1.2.1）式进行傅里叶变换并利用（1.2.2）式有：22222()04x y z v k k k ω-++= （1.2.3）222212y x z z zk k vk k k ω=±++其中正号代表上行波，负号是下行波。

Stolt 偏移法设(,,,)x y z u k k k t 为(,,,)u x y z t 的三维傅里叶变换，对（1.2.1）式进行上述变换得到：222222()04x y z u v k k k u t ∂+++=∂将（1.2.3）式代入上式有：2220uu t ω∂+=∂按上行波求解，即取正值得：(,,,)(,,)i t x y z x y z u k k k t A k k k e ω=【根据微分方程求解可得】其中A 与t 无关。

令t=0，上式变为：(,,,0)(,,)x y z x y z u k k k A k k k =从而，(,,)x y z A k k k 是待求的偏移剖面(,,,0)u x y z 的傅里叶变换。

----------------完美分割线，重点来了-----------------------------------------下面讨论用水平叠加剖面(,,0,)u x y t 如何求出(,,)x y z A k k k 。

对(,,,)x y z u k k k t 做傅里叶逆变换得：()31(,,,)(,,)8x y z i k x k y k z i t x yx y z z u x y z t dk dk A k k k e edk ωπ∞∞∞-++-∞-∞-∞=⋅⎰⎰⎰令z=0，上式变为：()31(,,0,)(,,)8x y i t k x k y x yx y z z u x y t dk dk A k k k edk ωπ∞∞∞---∞-∞-∞=⎰⎰⎰（1.2.4）设水平叠加剖面(,,0,)u x y t 的三维傅里叶变换为(,,)x y B k k ω，则()(,,)(,,0,)x y i t k x k y x y B k k dx dy u x y t edt ωω∞∞∞----∞-∞-∞=⎰⎰⎰ （1.2.5）其逆变换为：()31(,,0,)(,,)8x y i t k x k y x yx y u x y t dk dk B k k ed ωωωπ∞∞∞---∞-∞-∞=⎰⎰⎰（1.2.6） 比较（1.2.4）与（1.2.6）有(,,)(,,)x y z z x y A k k k dk B k k d ωω=这样(,,)(,,)x y z x y zd A k k k B k k dk ωω= 按上行波ω取正号并对zk 微分得22222222(,,)(,,1//)221//x y z x y z x z y z x z y zv vA k k kB k k k k k k k k k k k =⋅++⋅⋅++（1.2.7）对(,,)x y z A k k k 做三维傅里叶逆变换得到()31(,,,0)(,,)8x y z i k x k y k z x y z x y z u x y z A k k k edk dk dk π∞∞∞-++-∞-∞-∞=⎰⎰⎰（1.2.8）(,,,0)u x y z 就是要求取的偏移剖面。