2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全,推荐文档

周长为2a 2c 4a ；选项 D， F1PF2的面积为
1
1 | PF | | PF | 2
| PF | | PF
21
2
| sin F PF
12
2
1
2
2
1 a2 ．
2
6. 甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
A. O, M , B, P 四点共圆
B． A, M , B, N 四点共圆
C． A, O, P, N 四点共圆
D．以上三个说法均不对
【答案】AC
【解析】对于选项 A， OBM OAM OPM 即得；对于选项 B，若命题成立，则 MN 为直径，必 然 有 MAN 为直角，不符合题意；对于选项 C， MBN MOP MAN 即得．答案：AC．
乙：我没有获奖，丙获奖了；
丙：甲、丁中有且只有一个获奖；
丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】BD
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．
7. 已知 AB 为圆 O 的一条弦（非直径）， OC AB 于 C ， P 为圆 O 上任意一点，直线 PA 与直线 OC 相 交于点 M ，直线 PB 与直线 OC 相交于点 N ．以下说法正确的有（ ）
若 x 5 ，则 3 1 1 2 , y 20 , y 5,6 ，进而解得(x, y, z) (5,5,10) ； 10 y z y 3
若 x 6 ，则( y 3)(z 3) 9 ，可得( y, z) (6,6)) ．
答案：B．
10．集合 A {a1, a2 ,, an}，任取1 i j k n, ai a j A, a j ak A, ak ai A 这三个式子中至
B. | AB | 的最小值为4
C. | AB | 的最小值为2 D. 以线段 BM 为直径的圆与 y 轴一定相切
【答案】AB
【解析】对于选项 A，点 M 到准线 x 1的距离为 1 (| AF | | BF |) 1 | AB | ，于是以线段 AB 为直径
2
2
的圆与直线 x 1一定相切，进而与直线 x 3 一定相离；对于选项 B，C，设 A(4a2 ,4a) ，则
2
类似地，有sin C sin A 1,sin B sin A 1，于是sin A sin B sin C cos A cos B cosC ．
不充分性：当 A , B C 时，不等式成立，但ABC 不是锐角三角形．
2
4
9. 已知 x, y, z 为正整数，且 x y z ，那么方程 1 1 1 1 的解的组数为（ ） xyz2
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2016 年清华大学自主招生暨领军计划试题
1. 已知函数 f (x) (x2 a)ex 有最小值，则函数 g(x) x2 2x a 的零点个数为（ ）
A. 0
【答案】C
B．1
C． 2
D．取决于a 的值
【解析】注意 f / (x) ex g(x) ，答案 C．
2. 已知ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ．下列条件中，能使得ABC 的形状唯一确定的有
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【答案】BD 【解析】注意到 y x 1为函数 g(x) 在 (1,0) 处的切线，如图，因此答案 BD．
4. 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点， M 为线段 AB 的中点．下列说法中正确的有
（）Leabharlann Baidu
A. 以线段 AB 为直径的圆与直线 x 3 一定相离 2
A． 8
B．10
C．11
【答案】B
【解析】由于 1 1 1 1 3 ，故3 x 6 ． 2xyzx
D．12
若 x 3 ，则( y 6)(z 6) 36 ，可得( y, z) (7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12) ；
若 x 4 ，则( y 4)(z 4) 16 ，可得( y, z) (5,20),(6,12), (8,8) ；
2
11
21
B( 4a2 ,
) ，于是| a
AB | 4a
4a2 2 ，最小值为
4．也可将| AB | 转化为
AB 中点到准线的距离的
2
1
倍去得到最小值；对于选项
D，显然
BD
中点的横坐标与
2
|
BM |不一定相等，因此命题错误．
x2 y2 5. 已知 F1, F2 是椭圆C : a2 b2 1(a b 0) 的左、右焦点， P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的
有（ ）
A. a 2b 时，满足F PF 900 的点 P 有两个
12
B. a 2b 时，满足F PF 900 的点 P 有四个
12
C. PF1F2 的周长小于4a
a2
D. PF1F2 的面积小于等于 2
【答案】ABCD．
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【解析】对于选项 A，B，椭圆中使得F1PF2 最大的点 P 位于短轴的两个端点；对于选项 C， F1PF2 的
8. sin A sin B sin C cos A cos B cos C 是 ABC 为锐角三角形的（ ）
A. 充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
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【解析】必要性：由于sin B sin C sin B sin( B) sin B cos B 1 ，
3. 已知函数 f (x) x2 1, g(x) ln x ，下列说法中正确的有（ ） A. f (x), g(x) 在点(1,0) 处有公切线 B. 存在 f (x) 的某条切线与 g(x) 的某条切线平行 C. f (x), g(x) 有且只有一个交点 D. f (x), g(x) 有且只有两个交点
（）
A． a 1, b 2, c Z
B． A 1500 , a sin A c sin C 2a sin C b sin B
C． cos A sin B cos C cos(B C) cos B sin C 0, C 600
D． a 3, b 1, A 600 【答案】AD．