浅谈正弦、余弦定理在中考中的应用.doc

浅谈正弦、余弦定理在中考中的

应用

(1)余弦定理：c2=a2+b2-2ab*cosC

文字表述：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边

与它们夹角的余弦的积的两倍。

(2)正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r(r 为Z\ABC 外接圆的

半径)

文字表述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。

F面我们来证明:

证明：(1)作BC上的高AD=h,设CD二x,则BD=a-x

贝ij b2=h2+x2=c2- (a~x) 2+x2=c2-a2+2ax-x2+ x2

又x二b*cosC

所以c2=a2+b2-2ab*cosC

(2)因为sinB=h/c, sinC=h/b

所以h二b*sinC二c*sinB

所以b/sinB=c/sinC

同理可得：a/si nA二b/s i nB二c/sinC

下面我们来看如何运用正弦、余弦定理解题：

例1:

25-右「/XABC 中，AC-BC. ZACB^90: , D、E 是用线AB 上两点.ZDCE^45c

(1)当CE丄AB时，点D与点A晅合•能然DE‘=AD ‘十BE’(不必证明)

(2)如图，当点D不与点A直合时，求证：DE2=AD-4-BE2

(3 )当点D衽BA的延L3上时.(2 )中的结论是否成立?训山图形.说明理由・

(2)证明：令ZACD二Zl, ZBCE=Z2,则Z1 + Z2=ZACB~ZDCE=45°

因为AD/sinZl=CD/sinZA, BE/sinZ2=CE/sinZB, sinZA= sinZB= sin45° C 所以AD2+ BE2 = (CD:f:sinZl/sinZA) 2+ (CE* sinZ2/sinZB) 2

=(CD2* sin2Z 1+ CE2* sin2Z2)/ sin245°又

CD/sin(45°+Z2)= CE/sin(45°+ Z1 )=DE/sin45°所以AD2+

BE2={[ DE* sin(45°+ Z2) *sinZl/sin450]2 + A [DE*

sin(45°+Zl) *sinZ2 /sin450]2}/ sin245°因为sin(45°+Z2) *sinZl = sin(45°+Z2) *sin

(Z45°-Z2) =cos2Z2/2, sin(45°+Zl) *sinZ2= sin(45°+Zl) *sin (Z45°-Z1) =cos2Zl/2, 2

(Z1+Z2) =90°

所以AD2+ BE2 =DE2 cos22Z2+ DE2COS22Z1= DE2(cos22Z2+sin22Z2)= DE2 即DE2=

AD2+ BE2

例2：

A

如图，在RtAABC 中，ZB二90°, c=l, sinA=b/4,

求ZA, ZCc

解：在BC±取点D,使AD=CD

则AD2=CD2+b2-2CD*b*cosC

则b二2 CD*cosC=2 CD* sinA=2 CD* b/4 所以CD=2=AD

因为c=l, AD=2, ZB=90°

所以ZBDA=30°=2ZC

所以ZC=15°

所以ZA=75°

例3：

求sin75()的值。

方法一：

解：作图部分如例2

其中ZB=90°, CD二AD, ZBDA=30°=2ZC

令c=l,贝】J AD=2, BD=V3 , b= V2 + V6

所以sT当=◎

A/6+ A/2 4

解: sin75°= sin(450+300)=sin450cos300+cos45°sin300

方法二

例2是我由例3变化來的，例3学生都会做，而例2只有少部分学生做出来了。事后我总结了一下，就在这说几句：学生不能为做题而做题。哦，一道题目解出来就完事了？显然不是，我是坚决反对这种风气的！要知道，做题是了解学牛对知识点掌握情况的一种检验手段，那学牛在做题时要得出哪几点信息呢？

一、明确出题者的用意。只有明确题意后才能正确有效的解题。（我问学生: 这题怎么都做错了？经常听到回答说：看错题目了。无语屮……）

二、不断的强化自己的基础知识。

三、在做题过程中要不断总结完善自己的不足，从而提高解题的效率。

四、要能举一反三，提高自己的领悟能力。

前三点缺一不可，只有这样才能在考试中得到优良的成绩，而第四点可以看出一个学生的悟性，这个不做强求。