八年级上册数学 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

八年级上册数学全等三角形单元测试卷（word版，含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．

【答案】AD的中点

【解析】

【分析】

【详解】

分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出

AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.

详解：如图，过AD作C点的对称点C′，

根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D

∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD

∴△ABP≌△DC′P

∴AP=PD

即P为AD的中点.

故答案为P为AB的中点.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．

2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0,

4⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．

【详解】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝

22125+=；

∴D （0，5）；

②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，

∴P （0，4）；

③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，

由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，

∴OC ＝54

， ∴C （0，54

）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,

4⎛

⎫ ⎪⎝⎭．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

3．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，

PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB ，PE BC ∥

∴四边形HBDP 是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC 为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC ∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE 是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE 是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

4．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10︒

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ≅

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=

∴BE BF =， 70DBF ︒∠=

∴50BEF F ︒∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=

∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=

故答案为：10︒

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

5．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有

AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．

【详解】

∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，

∵

BD BA

ABE DBC

BE BC

∠∠

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；

在△ABF和△DBG

中，

60

BAF BDG

AB DB

ABF DBG

∠∠

∠∠

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪==︒

⎩

，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．

∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；

∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；

∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．

∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG ∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．

6．如图,在ABC中,90,

ACB ABD

︒

∠=是ABC的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上.若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且5

AE=,13

AF=,则DE=______．