历年来北大自主招生数学试题
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对于②，令 ，得 ．
于是 ．
．不妨设 ， ，则
③
不妨设 ，则有
6个 9个
． ④
又由当 时，③，④处的等号均可取到．
∴ ．
注记：不妨设 ，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由 知当 时 ；当 时 ．
则 在 上单调减，在 上单调增．于是当 时 取得最小值．
4．向量 及 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， （或 ， ），所以 （或 ）；
若 及 外切， 内切，则 ， （或 ， ），所以 （或 ）；
所以 或 ，所以 的圆心的轨迹是过 ， 的直线（除直线及圆 、 的交点外）；
（3）当 和 相交时，即 ，
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， （或 ， ），所以 ；
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分
1．（仅文科做） ，求证： ．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线及 轴围成面积的最小值．（25分）
4．向量 及 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
法二：由 ，所以当 ， 。
4.在 中， ，求证： .
解析：因为
，当且仅当 时， 成立，又因为 ，所以 。
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
解析：设存在四个正实数 使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数 的两两乘积为 ，把这些乘积乘起来，所以 ，又 为正实数，所以 ，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于 ，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当 中有一点位于 点时，知另一点位于 或者 时有最大值为 ；当有一点位于 点时， ；
⑵当 均不在 轴上时，知 必在 轴的异侧方可能取到最大值（否则取 点关于 轴的对称点 ，有 ）．
2.求过抛物线 和 的交点的直线方程。
解析：
解法一：由 ， 得 ，所以过抛物线 和 的交点的直线方程 。
解法二：由 得 或 ，所以过抛物线 和 的交点的直线方程 。
3.在等差数列 中， ，数列 的前 项和为 ，求数列 的最小项，并指出其值为何？
解析：因为 所以 ，所以 ，
法一：由 得 ，又 ，所以 ，所以 。
5．（仅理科做）存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分解析
1．（仅文科做） ，求证： ．
1【解析】不妨设 ，则 ，且当 时， ．于是 在 上单调增．∴ ．即有 ．
同理可证 ．
，当 时， ．于是 在 上单调增。
∴在 上有 。即 。
由角平分线定理知 ．解得 ．
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线及 轴围成面积的最小值．（25分）
3【解析】 不妨设过 点的切线交 轴于点 ，过 点的切线交 轴于点 ，直线 及直线 相交于点 ．如图．设 ，
且有 ．
由于 ，
于是 的方程为 ；①
的方程为 ． ②
联立 的方程，解得 ．
对于①，令 ，得 ；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ；
若 及 外切， 内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
（2）当 和 外切时，即 ，
（ⅰ）பைடு நூலகம் 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线（圆 、 的交点除外）；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ；
若 及 外切， 内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由椭圆的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的椭圆（圆 、 的交点除外）；
（4）当 和 内切时，即 ，
6. 和 是平面上两个不重合的固定圆， 是平面上的一个动圆， 及 ， 都相切，则 的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.
解析：不妨设 ， 和 的半径分别为 （ ），
（1）当 和 相离时，即 ，
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
不妨设 位于线段 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使 最大的 点必位于线段 上．
且当 从 向 移动时， 先减小后增大，于是 ；
对于线段 上任意一点 ，都有 ．于是
由⑴，⑵知 ．不妨设为 ．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做 的角平分线 交 于 ．
易知 ．
于是四边形 为平行四边形．∴ ．
4【解析】不妨设 ， 夹角为 ，则 ，令
．
其对称轴为 ．而 在 上单调增，故 ．
当 时， ，解得 ．
当 时， 在 上单调增，于是 ．不合题意．
于是夹角的范围为 ．
5．存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
5【解析】不存在；否则有 ，
则 或者 ．
若 ，有 ．而此时 不成等差数列；
若 ，有 ．解得有 ．
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， （或 ， 或 ， ），所以 (或 或 )；
所以 或 ，所以 的圆心的轨迹是过 ， 的直线（除直线及圆 、 的交点外）；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ，所以 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的椭圆（两圆 、 的交点除外）；
而 ，矛盾！
2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试
数学试题
请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。
【试题解答】
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为 ，所以 ,所以 。
于是 ．
．不妨设 ， ，则
③
不妨设 ，则有
6个 9个
． ④
又由当 时，③，④处的等号均可取到．
∴ ．
注记：不妨设 ，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由 知当 时 ；当 时 ．
则 在 上单调减，在 上单调增．于是当 时 取得最小值．
4．向量 及 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， （或 ， ），所以 （或 ）；
若 及 外切， 内切，则 ， （或 ， ），所以 （或 ）；
所以 或 ，所以 的圆心的轨迹是过 ， 的直线（除直线及圆 、 的交点外）；
（3）当 和 相交时，即 ，
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， （或 ， ），所以 ；
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分
1．（仅文科做） ，求证： ．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线及 轴围成面积的最小值．（25分）
4．向量 及 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
法二：由 ，所以当 ， 。
4.在 中， ，求证： .
解析：因为
，当且仅当 时， 成立，又因为 ，所以 。
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
解析：设存在四个正实数 使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数 的两两乘积为 ，把这些乘积乘起来，所以 ，又 为正实数，所以 ，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于 ，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当 中有一点位于 点时，知另一点位于 或者 时有最大值为 ；当有一点位于 点时， ；
⑵当 均不在 轴上时，知 必在 轴的异侧方可能取到最大值（否则取 点关于 轴的对称点 ，有 ）．
2.求过抛物线 和 的交点的直线方程。
解析：
解法一：由 ， 得 ，所以过抛物线 和 的交点的直线方程 。
解法二：由 得 或 ，所以过抛物线 和 的交点的直线方程 。
3.在等差数列 中， ，数列 的前 项和为 ，求数列 的最小项，并指出其值为何？
解析：因为 所以 ，所以 ，
法一：由 得 ，又 ，所以 ，所以 。
5．（仅理科做）存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分解析
1．（仅文科做） ，求证： ．
1【解析】不妨设 ，则 ，且当 时， ．于是 在 上单调增．∴ ．即有 ．
同理可证 ．
，当 时， ．于是 在 上单调增。
∴在 上有 。即 。
由角平分线定理知 ．解得 ．
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线及 轴围成面积的最小值．（25分）
3【解析】 不妨设过 点的切线交 轴于点 ，过 点的切线交 轴于点 ，直线 及直线 相交于点 ．如图．设 ，
且有 ．
由于 ，
于是 的方程为 ；①
的方程为 ． ②
联立 的方程，解得 ．
对于①，令 ，得 ；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ；
若 及 外切， 内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
（2）当 和 外切时，即 ，
（ⅰ）பைடு நூலகம் 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线（圆 、 的交点除外）；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ；
若 及 外切， 内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由椭圆的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的椭圆（圆 、 的交点除外）；
（4）当 和 内切时，即 ，
6. 和 是平面上两个不重合的固定圆， 是平面上的一个动圆， 及 ， 都相切，则 的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.
解析：不妨设 ， 和 的半径分别为 （ ），
（1）当 和 相离时，即 ，
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
不妨设 位于线段 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使 最大的 点必位于线段 上．
且当 从 向 移动时， 先减小后增大，于是 ；
对于线段 上任意一点 ，都有 ．于是
由⑴，⑵知 ．不妨设为 ．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做 的角平分线 交 于 ．
易知 ．
于是四边形 为平行四边形．∴ ．
4【解析】不妨设 ， 夹角为 ，则 ，令
．
其对称轴为 ．而 在 上单调增，故 ．
当 时， ，解得 ．
当 时， 在 上单调增，于是 ．不合题意．
于是夹角的范围为 ．
5．存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
5【解析】不存在；否则有 ，
则 或者 ．
若 ，有 ．而此时 不成等差数列；
若 ，有 ．解得有 ．
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， （或 ， 或 ， ），所以 (或 或 )；
所以 或 ，所以 的圆心的轨迹是过 ， 的直线（除直线及圆 、 的交点外）；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ，所以 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的椭圆（两圆 、 的交点除外）；
而 ，矛盾！
2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试
数学试题
请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。
【试题解答】
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为 ，所以 ,所以 。