热点02 整式与因式分解(解析版)

热点02 整式与因式分解

模块

考点 水平层级 整式与因

式分解

代数式的有关概念

Ⅱ 列代数式和求代数式的值

Ⅱ 整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则

Ⅲ 乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用

Ⅲ 因式分解的意义 Ⅱ 因式分解的基本方法【提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法】 Ⅲ

【满分技巧】

整式的加、减、乘、除及乘法的运算法则，乘法公式及其简单运用

1．用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．

2．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．

3．由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

4．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

5．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数就是这个多项式的次数． 例如：多项式221a a +-是单项式22a a 、

与﹣1三项的和，代数式中次数最高的项是2a ，所以这个多项式的次数是2．

6．单项式、多项式统称为整式．

7．所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．

8．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．

9．合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

10．a a a a 可以写成n a （读作“a 的n 次方”），其中a 表示底数，正整数a 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂．

11．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．m n m n a a a +=（m 、n 都是正整数）．同底数幂相除，底数不变，指数相减m n m n a a a -÷=（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）．任何不等于零的数的零次幂为1，即01a =（a ≠0）．

12．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =．（m 、n 都是正整数）

13．积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n ab a b =．（n 为正整数）

14．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．

15．单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．

16．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

17．两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

18．多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．

【总结】理解代数式中字母表示数以及单项式多项式的相关概念；

注意单项式与多项式乘法的基本步骤．

因式分解的意义，因式分解的基本方法

1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即22()()a b a b a b +-=-．

2．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+．

3．平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式．

4．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

5．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．

6．如果一个多项式各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．这种分解因式的方法叫做提取公因式法．

7．提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．

8．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法，由平方差公式反过来可得22=()()a b a b a b -+-．这个公式叫做因式分解的平方差公式．同理由乘法公式中的完全平方公式反过来可得2222=()a ab b a b +++，2222=()a ab b a b -+-．这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．

9．由多项式与多项式相乘的法则，可知2()()()x a x b x a b x ab ++=+++．反过来可得2()()()x a b x ab x a x b +++=++．如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因数a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a +b ，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．

10．利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．

11．利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．

【总结】注意理解因式分解的意义；

注意因式分解四种方法的灵活运用，特别是十字相乘法的基本步骤需要理解．

【限时检测】（建议用时：30分钟）

一、单选题

1．（2020·上海浦东新区·九年级三模）下列各运算中，正确的运算是（ ）

A ．=

B ．339(3)27a a -=-；

C ．842a a a ÷=；

D ．22244()a b a b -=-．

【答案】B

【分析】依据同底数幂的除法、合并同类二次根式、积的乘方以及完全平方公式法则即可判断．

【详解】A.5335+不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；

B. 339(3)27a a -=-，正确；

C.48484=a a a a -÷=，故此选项错误；

D.2224224()2a b a a b b -=-+，故此选项错误．故选B ．

【点睛】本题考查了同底数幂的除法、合并同类二次根式、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

2．（2020·上海长宁区·九年级二模）下列单项式中与xy 2是同类项（ ）

A ．x 2y

B ．x 2y 2

C ．2xy 2

D ．3xy

【答案】C

【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．

【详解】解：与xy 2是同类项的是2xy 2．故选：C ．

【点睛】此题考查同类项，关键是根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．

3．（2020·上海大学附属学校九年级三模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）20的展开式中第20项的系数为（ ）

A ．1

B ．18

C ．19

D ．20

【答案】D 【分析】观察“杨辉三角”，根据已知图归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．

【详解】观察“杨辉三角”可得以下两条规律：（其中，n 为自然数）

（1）()n a b +的展开式的项数为1n +